第一章 第4节 第二课时 基本不等式的综合应用（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

第4节　基本不等式 第二课时　基本不等式的综合应用 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 A 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 请完成：课时训练(5) 温馨提示 谢谢观看！ 考点一　与基本不等式有关的恒(能)成立问题 [例1] (1)(2025·杭州期末)若正实数x，y满足(x－1)(y－4)＝4，且x＋ eq \f(y,4)≥a2－3a恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|－1<a<4} B．{a|－1≤a≤4} C．{a|－4≤a≤1} D．{a|－4<a<1} (2)若x>0，不等式 eq \f(8x,x2＋4)>m2－m有解，则实数m的取值范围是________________． 答案：(1)B　(2)(－1，2)　解析：(1)因为正实数x，y满足(x－1)(y－4)＝4，即xy＝4x＋y，所以 eq \f(4,y)＋ eq \f(1,x)＝1，所以x＋ eq \f(y,4)＝(x＋ eq \f(y,4))( eq \f(1,x)＋ eq \f(4,y))＝2＋ eq \f(4x,y)＋ eq \f(y,4x)≥2＋2 eq \r(\f(4x,y)·\f(y,4x))＝4，当且仅当 eq \f(4x,y)＝ eq \f(y,4x)，即y＝8，x＝2时，等号成立．因为正实数x，y满足(x－1)·(y－4)＝4，且x＋ eq \f(y,4)≥a2－3a恒成立，所以a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，即实数a的取值范围是{a|－1≤a≤4}． (2)因为x>0，所以 eq \f(8x,x2＋4)＝ eq \f(8,x＋\f(4,x))≤ eq \f(8,2\r(x·\f(4,x)))＝2，当且仅当x＝ eq \f(4,x)，即x＝2时，等号成立，所以( eq \f(8x,x2＋4))max＝2，所以m2－m<2，即(m＋1)(m－2)<0，解得－1<m<2，所以实数m的取值范围是(－1，2). 恒(能)成立问题的解题思路 (1)∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a； (2)∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a； (3)∀x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)min≥a； (4)∀x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)max≤a. 训练1 (2025·忻州模拟)已知a2＋b2＝k，若 eq \f(4,a2)＋ eq \f(9,b2＋1)≥1恒成立，则k的最大值为(　　) A．4 B．5 C．24 D．25 解析：∵a2＋b2＝k，∴a2＋(b2＋1)＝k＋1，∴(k＋1)·( eq \f(4,a2)＋ eq \f(9,b2＋1))＝[a2＋(b2＋1)]( eq \f(4,a2)＋ eq \f(9,b2＋1))＝ eq \f(4（b2＋1）,a2)＋ eq \f(9a2,b2＋1)＋13≥2 eq \r(\f(4（b2＋1）,a2)·\f(9a2,b2＋1))＋13＝25，当且仅当 eq \f(4（b2＋1）,a2)＝ eq \f(9a2,b2＋1)，即3a2＝2(b2＋1)＝ eq \f(6,5)(k＋1)时，等号成立，即 eq \f(4,a2)＋ eq \f(9,b2＋1)≥ eq \f(25,k＋1)，由题意可得 eq \f(25,k＋1)≥1，又k>0，解得0<k≤24，故k的最大值为24. 考点二　基本不等式的实际应用 [例2] 当下的电动汽车越来越普及，可以通过固定的充电桩进行充电．某商场计划在地下停车场安装公共充电桩，以满足顾客的需求．据市场分析，公共充电桩的历年总利润y(单位：万元)与运营年数x(x是正整数)成二次函数关系，运营三年时总利润为20万元，运营六年时总利润最大，为110万元． (1)求出y关于x的函数关系式； (2)求运营的年平均总利润的最大值(注：年平均总利润＝历年总利润/运营年数). 解：(1)因为投入运营六年时总利润最大，为110万元，即二次函数的图象开口向下，且顶点坐标为(6，110)， 所以可设函数为y＝a(x－6)2＋110(a<0). 又运营三年时总利润为20万元，即20＝a(3－6)2＋110，解得a＝－10，则y＝－10(x－6)2＋110，即y＝－10x2＋120x－250(x∈N*). (2)由(1)得年平均总利润为 eq \f(y,x)＝－10(x＋ eq \f(25,x))＋120≤－20 eq \r(x·\f(25,x))＋120＝20，当且仅当x＝ eq \f(25,x)，即x＝5时，等号成立， 所以运营的年平均总利润的最大值为20万元． 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)变形函数，创造利用基本不等式的条件，求出函数的最大值或最小值． 训练2 一家物流公司计划建立仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月的土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月的库存货物费y2(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成正比．若在距离车站10 km处建立仓库，则每月的土地占地费和库存货物费分别为4万元和16万元，则要使两项费用之和最小，仓库到车站的距离应为________________km. 答案：5　解析：根据题意，设y1＝ eq \f(k1,x)(x>0，k1>0)，y2＝k2x(x>0，k2>0)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝\f(k1,10)，,16＝10k2，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝40，,k2＝\f(8,5)，))所以y1＝ eq \f(40,x)(x>0)，y2＝ eq \f(8x,5)(x>0)，所以y1＋y2＝ eq \f(40,x)＋ eq \f(8x,5)≥2 eq \r(\f(40,x)·\f(8x,5))＝16，当且仅当 eq \f(40,x)＝ eq \f(8x,5)，即x＝5时，等号成立，故要使两项费用之和最小，仓库到车站的距离应为5 km. 考点三　基本不等式与其他知识交汇的最值问题 [例3] (1)若直线ax－by－2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2－2x＋2y＋1＝0截得的弦长为2，则 eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)的最小值为(　　) A． eq \f(1,4) B．4 C． eq \f(1,2) D．2 (2)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则 eq \f(3,x)＋ eq \f(2,y)的最小值是(　　) A． eq \f(5,3) B． eq \f(8,3) C．8 D．24 解析：(1)由题意，把圆的方程化为标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，可得圆心坐标为(1，－1)，半径r＝1，因为直线ax－by－2＝0被圆截得的弦长为2，所以直线ax－by－2＝0必过圆心(1，－1)，代入可得a＋b＝2，又a>0，b>0，则 eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)＝ eq \f(1,2)·( eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b))·(a＋b)＝ eq \f(1,2)·(2＋ eq \f(b,a)＋ eq \f(a,b))≥ eq \f(1,2)·(2＋2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b)))＝2，当且仅当 eq \f(b,a)＝ eq \f(a,b)，即a＝b＝1时，等号成立，所以 eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)的最小值为2. (2)因为a∥b，所以3(y－1)＝－2x，整理得2x＋3y＝3，所以 eq \f(3,x)＋ eq \f(2,y)＝ eq \f(1,3)(2x＋3y)( eq \f(3,x)＋ eq \f(2,y))＝ eq \f(1,3)(12＋ eq \f(9y,x)＋ eq \f(4x,y))≥ eq \f(1,3)(12＋2 eq \r(\f(9y,x)·\f(4x,y)))＝8，当且仅当 eq \f(9y,x)＝ eq \f(4x,y)，即x＝ eq \f(3,4)，y＝ eq \f(1,2)时，等号成立，所以 eq \f(3,x)＋ eq \f(2,y)的最小值为8. 利用基本不等式解决知识交汇问题的关键点 基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角函数、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，解决问题的关键是发现和或积为定值这一前提条件． 训练3 (1)双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为 eq \f(π,3)，离心率为e，则 eq \f(a2＋e,b)的最小值为(　　) A． eq \f(2\r(6),3) B． eq \f(\r(6),3) C．2 eq \r(6) D． eq \r(6) 解析：因为双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为 eq \f(π,3)，所以 eq \f(b,a)＝tan eq \f(π,3)＝ eq \r(3)，所以b＝ eq \r(3)a，c＝ eq \r(a2＋b2)＝2a.所以 eq \f(a2＋e,b)＝ eq \f(a2＋\f(c,a),\r(3)a)＝ eq \f(a,\r(3))＋ eq \f(2,\r(3)a)≥2 eq \r(\f(a,\r(3))·\f(2,\r(3)a))＝ eq \f(2\r(6),3)，当且仅当 eq \f(a,\r(3))＝ eq \f(2,\r(3)a)，即a＝ eq \r(2)时，等号成立． (2)(2024·揭阳联考)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＝2，a2＝2b2＋c2，则△ABC的面积的最大值是________________． 答案： eq \f(2,3)　解析：由余弦定理，可得b2＋c2－2bc cos A＝2b2＋c2，化简得cos A＝－ eq \f(b,2c)，则sin A＝ eq \f(\r(4c2－b2),2c)，则△ABC的面积S＝ eq \f(1,2)bc·sin A＝ eq \f(b\r(4c2－b2),4)＝ eq \f(3b\r(4c2－b2),12)≤ eq \f(9b2＋4c2－b2,24)＝ eq \f(4a2,24)＝ eq \f(2,3)，当且仅当3b＝ eq \r(4c2－b2)，即c2＝ eq \f(5,2)b2时，等号成立． $$