第一章 第3节 不等式及其性质（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第3节　不等式及其性质 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 b<a b>a a>c a<c ac>bc ac<bc 衔接教材 夯基固本 落实 a＋c>b＋d ac>bd 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 D 衔接教材 夯基固本 落实 D 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 BCD 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 C 衔接教材 夯基固本 落实 B 衔接教材 夯基固本 落实 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 A 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 BC 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 请完成：课时训练(3) 温馨提示 谢谢观看！ 1．理解用作差法比较两个实数大小的理论依据． 2．理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用．(重点) 一、比较两个实数大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 a>b a－b>0 eq \f(a,b)>1(a，b>0)或 eq \f(a,b)<1(a，b<0) a＝b a－b＝0 eq \f(a,b)＝1(b≠0) a<b a－b<0 eq \f(a,b)<1(a，b>0)或 eq \f(a,b)>1(a，b<0) 作商比较时，一定要保证a，b同号，且分母不为0. 二、不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔______；a<b⇔______ 可逆 传递性 a>b，b>c⇒______；a<b，b<c⇒______ 同向 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 可乘性 a>b，c>0⇒__________；a>b，c<0⇒__________ c的符号 性质 性质内容 注意 同向可加性 a>b，c>d⇒______________ 同向 同向同正 可乘性 a>b>0，c>d>0⇒__________ 同向 同正 可乘方性 a>b>0⇒an>bn，n∈N，n≥2 同正 可开方性 a>b>0⇒ eq \r(n,a)> eq \r(n,b)，n∈N，n≥2 同正 两个同向不等式可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3，但2×(－1)>(－1)×(－3)不成立． 不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒ eq \f(1,a)< eq \f(1,b)； ②a<b<0⇒ eq \f(1,a)> eq \f(1,b)； ③a>b>0，0<c<d⇒ eq \f(a,c)> eq \f(b,d)； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒ eq \f(1,b)< eq \f(1,x)< eq \f(1,a). (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质： eq \f(b,a)< eq \f(b＋m,a＋m)， eq \f(b,a)> eq \f(b－m,a－m)(b－m>0)； ②假分数的性质： eq \f(a,b)> eq \f(a＋m,b＋m)， eq \f(a,b)< eq \f(a－m,b－m)(b－m>0). 一、教材典题改编 1．(人教A版必修第一册P42例2改编)若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　) A． eq \f(a,c)－ eq \f(b,a)＞0 B． eq \f(a,c)－ eq \f(b,d)＜0 C． eq \f(a,d)＞ eq \f(b,c) D． eq \f(a,d)＜ eq \f(b,c) 2．(人教A版必修第一册P43习题2.1T8改编)已知非零实数a，b满足a<b，则下列不等式中一定成立的是(　　) A． ln a<ln b　B． eq \f(1,a)> eq \f(1,b)　C．a2<b2　D．a3<b3 解析：对于A，当a<b<0时，不等式无意义，故A错误；对于B，当a<0<b时， eq \f(1,a)< eq \f(1,b)，故B错误；对于C，当a<b<0时，a2>b2，故C错误；对于D，当a<b时，a3<b3成立，故D正确． 3．(人教A版必修第一册P43习题2.2T10改编)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示成一个不等式为________________． 答案： eq \f(a,b)< eq \f(a＋m,b＋m)　解析： eq \f(a,b)－ eq \f(a＋m,b＋m)＝ eq \f(a（b＋m）－b（a＋m）,b（b＋m）)＝ eq \f(m（a－b）,b（b＋m）)， ∵b>a>0，m>0，∴a－b<0，∴ eq \f(m（a－b）,b（b＋m）)<0， ∴ eq \f(a,b)< eq \f(a＋m,b＋m). 二、易误易混澄清 1．(多选)(忽视字母符号)下列命题为真命题的是(　 　) A． 若a>b>0，则ac2>bc2 B． 若a<b<0，则a2>ab>b2 C． 若a>b>0且c<0，则 eq \f(c,a2)> eq \f(c,b2) D． 若a>b且 eq \f(1,a)> eq \f(1,b)，则ab<0 解析：当c＝0时，不等式不成立，∴A中命题是假命题； eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<b，,a<0，))⇒a2>ab， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<b，,b<0，))⇒ab>b2，∴a2>ab>b2，∴B中命题是真命题；a>b>0⇒a2>b2>0⇒0< eq \f(1,a2)< eq \f(1,b2)，∵c<0，∴ eq \f(c,a2)> eq \f(c,b2)，∴C中命题是真命题； eq \f(1,a)> eq \f(1,b)⇒ eq \f(1,a)－ eq \f(1,b)>0⇒ eq \f(b－a,ab)>0，∵a>b，∴b－a<0，则ab<0，∴D中命题是真命题． 2．(多次运用不等式性质扩大范围)已知1<a＋2b<2，－2<2a－b<1，则8a＋b的取值范围是(　　) A． (－5， eq \f(38,5)) B．(－5， eq \f(36,5)) C． (－4，7) D．(－4， eq \f(36,5)) 解析：因为8a＋b＝2(a＋2b)＋3(2a－b)，1<a＋2b<2，－2<2a－b<1，所以2<2(a＋2b)<4，－6<3(2a－b)<3，则－4<8a＋b<7. 3．(乘法运算忽视符号)已知实数a∈(－3，1)，b∈( eq \f(1,8)， eq \f(1,4))，则 eq \f(a,b)的取值范围是(　　) A． (－12，8) B．(－24，8) C． (－24，4) D．(－12，4) 解析：当－3<a≤0时， eq \f(a,b)∈(－24，0]；当0<a<1时， eq \f(a,b)∈(0，8).故 eq \f(a,b)∈(－24，8). 考点一　比较两数(式)的大小 [例1] (1)若a＝ eq \f(ln 3,3)，b＝ eq \f(ln 4,4)，c＝ eq \f(ln 5,5)，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c (2)(2025·石嘴山模拟)设M＝ab－b2，N＝a2－ab，则M，N的大小关系是________________． 答案：(1)B　(2)N≥M　解析：(1)方法一　构造函数f(x)＝ eq \f(ln x,x)(x>0)，则f′(x)＝ eq \f(1－ln x,x2).令f′(x)>0，得0<x<e；令f′(x)<0，得x>e.∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴f(3)>f(4)>f(5)，即a>b>c. 方法二　易知a，b，c都是正数．∵ eq \f(b,a)＝ eq \f(3ln 4,4ln 3)＝log8164<1，∴a>b， ∵ eq \f(b,c)＝ eq \f(5ln 4,4ln 5)＝log6251 024>1，∴b>c，∴c<b<a. (2)因为M＝ab－b2，N＝a2－ab，所以N－M＝(a2－ab)－(ab－b2)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，所以N≥M. 比较两个数(式)大小的常用方法 作差法 作差；变形；定号；得出结论 作商法 作商；变形；判断商与1的大小关系；得出结论 构造函数 利用函数的单调性比较大小 训练1 (1)若P＝ eq \r(a＋7)＋ eq \r(a)，Q＝ eq \r(a＋3)＋ eq \r(a＋4)(a≥0)，则P，Q的大小关系为(　　) A． P>Q B．P≥Q C． P≤Q D．P<Q 解析：依题意可知P>0，Q>0，a≥0，P2＝2a＋7＋2 eq \r(a2＋7a)，Q2＝2a＋7＋2 eq \r(a2＋7a＋12)，所以P2<Q2，所以P<Q. (2)若正实数a，b，c满足c<cb<ca<1，则(　　) A． aa<ab<ba B．aa<ba<ab C． ab<aa<ba D．ab<ba<aa 解析：∵c是正实数，且c<1，∴0<c<1，由c<cb<ca<1，得0<a<b<1，∵ eq \f(aa,ab)＝aa－b>1，∴ab<aa，∵ eq \f(aa,ba)＝( eq \f(a,b))a，0< eq \f(a,b)<1，a>0，∴( eq \f(a,b))a<1，即aa<ba.综上可知，ab<aa<ba. 考点二　利用不等式的性质比较大小 [例2] (1)(2025·济南模拟)若a>0>b，则(　　) A． a3>b3 B．|a|>|b| C． eq \f(1,a)< eq \f(1,b) D．ln (a－b)>0 (2)(2025·合肥模拟)已知a>b>c>d>0，且a＋d＝b＋c，则下列不等式中不成立的是(　　) A． a＋c>b＋d B．ac>bd C． ad<bc D． eq \f(a,b)> eq \f(c,d) 解析：(1)∵a>0>b，∴a3>0，b3<0，即a3>b3，故A正确；取a＝1，b＝－2，则|a|>|b|不成立， eq \f(1,a)< eq \f(1,b)也不成立，故B，C错误；取a＝ eq \f(1,2)，b＝－ eq \f(1,2)，则ln (a－b)＝ln 1＝0，故D错误． (2)∵a>b>c>d>0，∴a＋c>b＋d，ac>bd，故A，B中不等式成立；∵a>b>c>d>0，∴a－d>b－c>0，∴(a－d)2>(b－c)2，即(a＋d)2－4ad>(b＋c)2－4bc，又a＋d＝b＋c，∴ad<bc，故C中不等式成立；∵a>b>c>d>0，ad<bc，∴ eq \f(a,b)< eq \f(c,d)，故D中不等式不成立． 判断不等式成立常用的3种方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． (2)利用特殊值法排除错误答案． (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断． 训练2 (1)已知a，b∈R，满足ab<0，a＋b>0，a>b，则(　　) A． eq \f(1,a)< eq \f(1,b) B． eq \f(b,a)＋ eq \f(a,b)>0 C． a2>b2 D．a<|b| 解析：因为ab<0，a>b，所以a>0，b<0， eq \f(1,a)>0， eq \f(1,b)<0，故A错误； eq \f(b,a)<0， eq \f(a,b)<0，则 eq \f(b,a)＋ eq \f(a,b)<0，故B错误；又a＋b>0，即a>－b>0，则a2>(－b)2，a2>b2，故C正确；由a>－b>0得a>|b|，故D错误． (2)(多选)(2025·邵阳模拟)已知0<a<b<1，则下列不等式中成立的是(　　) A． ( eq \f(1,2))a<( eq \f(1,2))b B．ln a<ln b C． a3<b3 D．sin a>sin b 解析：对于A，因为y＝( eq \f(1,2))x在R上为减函数，且0<a<b<1，所以( eq \f(1,2))a>( eq \f(1,2))b，所以A错误；对于B，因为y＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，0<a<b<1，所以ln a<ln b，所以B正确；对于C，因为0<a<b<1，所以由不等式的性质可得a3<b3，所以C正确；对于D，因为0<a<b<1< eq \f(π,2)，且函数y＝sin x在(0， eq \f(π,2))上单调递增，所以sin a<sin b，所以D错误． 考点三　利用不等式的性质求代数式的取值范围 [例3] (1)(多选)已知3<a<6，1<b<5，则(　　) A． eq \f(a,b)∈( eq \f(6,5)，3) B． eq \f(a,b)∈( eq \f(3,5)，6) C． a－2b∈(－4，1) D．a－2b∈(－7，4) (2)设x，y为实数，满足2≤xy2≤3，3≤ eq \f(x2,y)≤4，则 eq \f(x5,y5)的最大值是________________． 答案：(1)BD　(2)32　解析：(1)∵1<b<5， ∴－10<－2b<－2， eq \f(1,5)< eq \f(1,b)<1，又3<a<6， ∴－7<a－2b<4， eq \f(3,5)< eq \f(a,b)<6，即 eq \f(a,b)∈( eq \f(3,5)，6)，a－2b∈(－7，4)，∴B，D正确． (2) eq \f(x5,y5)＝( eq \f(x2,y))3 eq \f(1,xy2)，∵3≤ eq \f(x2,y)≤4，∴27≤( eq \f(x2,y))3≤64，∵2≤xy2≤3，∴ eq \f(1,3)≤ eq \f(1,xy2)≤ eq \f(1,2)，根据不等式的性质得9≤( eq \f(x2,y))3· eq \f(1,xy2)≤32，则 eq \f(x5,y5)的最大值为32，当且仅当 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,y)＝4，,xy2＝2，))即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1))时，等号成立． 利用不等式的性质求代数式取值范围的注意点 (1)必须严格运用不等式的性质，特别关注性质的条件． (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． 训练3 (1)已知α∈(0， eq \f(1,2))，β∈[0， eq \f(1,2)]，则2α－ eq \f(β,3)的取值范围是(　　) A． (0， eq \f(5,6)) B．(－ eq \f(1,6)， eq \f(5,6)) C． (0，1) D．(－ eq \f(1,6)，1) 解析：因为α∈(0， eq \f(1,2))，所以0<2α<1，又β∈[0， eq \f(1,2)]，所以0≤ eq \f(β,3)≤ eq \f(1,6)，所以－ eq \f(1,6)≤－ eq \f(β,3)≤0，所以－ eq \f(1,6)<2α－ eq \f(β,3)<1. (2)(2025·郑州模拟)已知2<x<4，－3<y<－1，则 eq \f(x,x－2y)的取值范围是(　　) A． ( eq \f(1,10)， eq \f(1,4)) B．( eq \f(1,4)， eq \f(2,3)) C． ( eq \f(1,5)，1) D．( eq \f(2,3)，2) 解析：由题意，2<x<4，原式分子和分母同时除以x，得 eq \f(x,x－2y)＝ eq \f(1,1－\f(2y,x))，由条件得2<－2y<6，所以 eq \f(1,2)<－ eq \f(2y,x)<3，所以 eq \f(3,2)<1－ eq \f(2y,x)<4，所以 eq \f(1,4)< eq \f(1,1－\f(2y,x))< eq \f(2,3). $$