第一章 第1节 微点突破1 集合的新定义问题（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第1节　集　合 微点突破1　集合的新定义问题 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 衔接教材 夯基固本 落实 CD BD C ABC 请完成：课时训练(1) 温馨提示 谢谢观看！ [例] (多选)群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“·”是G上的一个代数运算，即对所有的a，b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：①∀a，b，c∈G，有(a·b)·c＝a·(b·c)；②∃e∈G，使得∀a∈G，有e·a＝a·e＝a；③∀a∈G，∃b∈G，使a·b＝b·a＝e，则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有(　　) A．G＝{－1，0，1}关于数的乘法构成群 B．G＝{x|x＝ eq \f(1,k)，k∈Z，k≠0}∪{x|x＝m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群 C．实数集关于数的加法构成群 D．G＝{m＋ eq \r(2)n|m，n∈Z}关于数的加法构成群 解析：对于A，若G＝{－1，0，1}，则对所有的a，b∈G，有a·b∈{1，0，－1}＝G，满足乘法结合律，即①成立，满足②的e为1，但当a＝0时，不存在b∈G，使得a·b＝b·a＝e＝1，即③不成立，故A错误；对于B，因为a＝ eq \f(1,2)∈G，且b＝3∈G，但a·b＝ eq \f(1,2)×3＝ eq \f(3,2)∉G，故B错误；对于C，若G＝R，则对所有的a，b∈R，有a＋b∈R，满足加法结合律，即①成立，满足②的e为0，∀a∈R，∃b＝－a∈R，使a＋b＝b＋a＝0，即③成立，故C正确；对于D，若G＝{m＋ eq \r(2)n|m，n∈Z}， 则对所有的a＝m1＋ eq \r(2)n1，b＝m2＋ eq \r(2)n2∈G，有a＋b＝(m1＋m2)＋ eq \r(2)(n1＋n2)∈G，∀a，b，c∈G，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)成立，即①成立，当a＝b＝0时，a＋ eq \r(2)b＝0，满足②的e＝0，即②成立，∀a＝m＋ eq \r(2)n∈G，∃b＝－m－ eq \r(2)n∈G，使a＋b＝b＋a＝0，即③成立，故D正确． 集合新定义问题的“三定” (1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素． (2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集或补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题． (3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素． 训练1 (多选)设A为非空实数集，若对任意x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集．下列叙述中，正确的为(　　) A．集合A＝{－2，－1，0，1，2}为封闭集 B．集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集 C．封闭集一定是无限集 D．若A为封闭集，则一定有0∈A 解析：对于A，在集合A＝{－2，－1，0，1，2}中，－2－2＝－4不在集合A中，∴集合A不是封闭集，故A错误；对于B，集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}，设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z，∴x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy＝4k1k2∈A，∴集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集，故B正确；对于C，封闭集不一定是无限集，如：{0}为封闭集，故C错误；对于D，若A为封闭集，则取x＝y，得x－y＝0∈A，故D正确． 训练2 设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，且U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2，4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000.对于任意两集合A，B，我们定义集合运算A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，若A＝{2，3，4，5}，B＝{3，5，6}，则A*B表示的6位字符串是(　　) A．101010 B．011001 C．010101 D．000111 解析：由题意可得，若A＝{2，3，4，5}，B＝{3，5，6}，则A*B＝{2，4，6}，即A*B表示的6位字符串是010101. 训练3 (多选)大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合A和B，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作A与B的笛卡儿积，又称直积，记为A×B． 即A×B＝{(x，y)|x∈A且y∈B}．关于任意非空集合M，N，T，下列说法错误的是(　 　) A．M×N＝N×M B．(M×N)×T＝M×(N×T) C．M×(N∪T)(M×N)∪(M×T) D．M×(N∩T)＝(M×N)∩(M×T) 解析：对于A，若M＝{1}，N＝{1，2}，则 M×N＝{(1，1)，(1，2)}，N×M＝{(1，1)，(2，1)}，M×N≠N×M，A错误； 对于B，若M＝{1}，N＝{2}，T＝{3}，则M×N＝{(1，2)}，(M×N)×T＝{((1，2)，3)}， 而M×(N×T)＝{(1，(2，3))}，(M×N)×T≠M×(N×T)，B错误； 对于C，若M＝{1}，N＝{2}，T＝{3}，则M×(N∪T)＝{(1，2)，(1，3)}， M×N＝{(1，2)}，M×T＝{(1，3)}，M×(N∪T)＝(M×N)∪(M×T)，C错误； 对于D，任取元素(x，y)∈M×(N∩T)，则x∈M且y∈N∩T，则y∈N且y∈T， 于是(x，y)∈M×N且(x，y)∈M×T，即(x，y)∈(M×N)∩(M×T)， 反之若任取元素(x，y)∈(M×N)∩(M×T)，则(x，y)∈M×N且(x，y)∈M×T， 因此x∈M，y∈N且y∈T，即x∈M且y∈N∩T， 所以(x，y)∈M×(N∩T)，即M×(N∩T)＝(M×N)∩(M×T)，D正确． 训练4 若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆．若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是________________． 答案：27　解析：不妨令A＝{1，2，3}，因为A1∪A2＝A，所以当A1＝∅时，A2＝{1，2，3}；当A1＝{1}时，A2可以为{2，3}，{1，2，3}共2种；同理，当A1＝{2}，{3}时，A2各有2种；当A1＝{1，2}时，A2可以为{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共4种；同理，当A1＝{1，3}，{2，3}时，A2各有4种；当A1＝{1，2，3}时，A2可以为A1的子集，共8种．故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27种不同的分拆． $$