第二章 第6节 微点突破4 幂、对数的大小比较问题（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第6节　指数函数、对数函数 微点突破4　幂、对数的大小比较问题 第二章　函　数 衔接教材 夯基固本 落实 C A D C A A A C B D B 请完成：课时训练(14) 温馨提示 谢谢观看！ 指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现． 类型一　直接利用单调性比较大小 [例1] (1)已知a＝log47，b＝log930，，则a，b，c的大小关系为(　　) A． a<b<c B．c<a<b C． a<c<b D．c<b<a (2)(2025·天津模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，若a＝f(log20.2)，b＝f(20.2)，c＝f(0.20.3)，则a，b，c大小关系为(　　) A． a＜b＜c B．c＜a＜b C． a＜c＜b D．b＜a＜c 解析：(1)由题可得，a＝log47＝log2 eq \r(7)<log2 eq \r(8)＝＝ eq \f(3,2)＝c，b＝log930＝log3 eq \r(30)>log3 eq \r(27)＝＝c，则a<c<b. (2)log20.2＝log2 eq \f(1,5)＝－log25，因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以a＝f(log20.2)＝f(－log25)＝f(log25).因为log25＞log24＝2，1＝20＜20.2＜21＝2，0＜0.20.3＜0.20＝1，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(log25)＜f(20.2)＜f(0.20.3)，即a＜b＜c. 当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较大小． 训练1 (2025·岳阳模拟)已知a＝30.5，b＝log30.5，c＝0.53，则a，b，c的大小关系是(　　) A． a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a 解析：根据指数函数y＝3x在R上单调递增可得，a＝30.5＞30＝1；根据对数函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增可得，b＝log30.5＜log31＝0；根据指数函数y＝0.5x在R上单调递减和值域可得，0＜c＝0.53＜0.50＝1，∴b＜c＜a. 类型二　引入中间值比较大小 [例2] (2025·上饶模拟)已知a＝log53，，c＝7－0.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A． a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a 解析：因为1＝log55＞log53＞log5 eq \r(5)＝＝ eq \f(1,2)，所以 eq \f(1,2)＜a＜1.因为7－0.5＝＝ eq \f(1,2)，所以0＜c＜ eq \f(1,2).又b＝＞20＝1，所以b＞a＞c. 在指数、对数中通常可优先选择“－1，0， eq \f(1,2)，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较． 训练2 已知a＝ eq \f(4,3)，b＝log34，c＝3－0.1，则a，b，c的大小关系为(　　) A． a>b>c B．c>b>a C． b>a>c D．a>c>b 解析：因为a＝ eq \f(4,3)＝，＝34＝81>43＝64，且函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，所以>log34，即a>b.又b＝log34>log33＝1，c＝3－0.1<30＝1，即b>c，所以a>b>c. 类型三　作差(商)法比较大小 [例3] 若a＝sin 4，b＝log53，c＝lg 6，d＝e0.01，则(　　) A． a＜b＜c＜d B．a＜c＜b＜d C． b＜c＜d＜a D．a＜d＜b＜c 解析：由题意，a＝sin 4＜0，d＝e0.01＞1，0＜b＝log53＜1，0＜c＝lg 6＜1，只需比较b，c的大小，而log53－lg 6＝ eq \f(lg 3,lg 5)－lg 6＝ eq \f(lg 3－lg 5·lg 6,lg 5)＝ eq \f(lg 3－（1－lg 2）（lg 2＋lg 3）,lg 5)＝ eq \f(lg 2·（－1＋lg 6）,lg 5)＜0，∴b＜c，综上可得，a＜b＜c＜d. (1)一般情况下，作差或者作商可处理底数不一样的对数比较大小问题． (2)作差或者作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法． 训练3 (2025·沈阳月考)已知正实数x，y满足x<y，设a＝xex＋y，b＝yey＋x，c＝yex＋x，则a，b，c的大小关系是(　　) A． a<c<b B．c<a<b C． c<b<a D．b<c<a 解析：因为a＝xex＋y，b＝yey＋x，c＝yex＋x，所以b－c＝y(ey－ex)，又y>x>0，e>1，所以ey>ex，所以b>c.因为c－a＝(x－y)＋(y－x)ex＝(x－y)(1－ex)，又y>x>0，ex>1，所以c－a>0，得c>a.综上可得，a<c<b. 类型四　构造函数比较大小 [例4] 已知ex－2y>ln y－x＋ln 2，则(　　) A． x>2y B．x<2y C． x>ln (2y) D．x<ln (2y) 解析：由ex－2y>ln y－x＋ln 2，得ex＋x>2y＋ln (2y)，即ex＋x>eln (2y)＋ln (2y).令f(x)＝ex＋x，易知f(x)在R上单调递增，所以x>ln (2y). 某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小． 训练4 已知a＝ eq \f(2（2－ln 2）,e2)，b＝ eq \f(ln 2,2)，c＝ eq \f(1,e)，则a，b，c的大小关系为(　　) A． a<b<c B．b<a<c C． a<c<b D．b<c<a 解析：a＝ eq \f(2－ln 2,\f(e2,2))＝ eq \f(ln \f(e2,2),\f(e2,2))，c＝ eq \f(1,e)＝ eq \f(ln e,e)，令f(x)＝ eq \f(ln x,x)(x>0)，∴a＝f( eq \f(e2,2))，b＝f(2)，c＝f(e).∵f′(x)＝ eq \f(1－ln x,x2)，∴当x∈(0，e)时，f′(x)>0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴f(x)max＝f(e)＝ eq \f(ln e,e)＝c，∴a<c，b<c.又b＝ eq \f(ln 2,2)＝ eq \f(2ln 2,4)＝ eq \f(ln 4,4)＝f(4)，且4> eq \f(e2,2)，∴f(4)<f( eq \f(e2,2))，∴b<a，∴b<a<c. 类型五　利用函数图象比较大小 [例5] 若log3x＝log4y＝log5z<－1，则(　　) A． 3x<4y<5z B．4y<3x<5z C． 4y<5z<3x D．5z<4y<3x 解析：令log3x＝log4y＝log5z＝m<－1，则x＝3m，y＝4m，z＝5m，3x＝3m＋1，4y＝4m＋1，5z＝5m＋1，其中m＋1<0，在同一坐标系内画出y＝3x，y＝4x，y＝5x的图象，如图所示，由图可知5m＋1<4m＋1<3m＋1，故5z<4y<3x. 涉及某些由指数式、对数式给出的几个数的大小比较问题，可以把这几个数视为对应的指数函数、对数函数与另外某个函数图象交点的横坐标，利用图象的直观性解决． 训练5 已知a，b，c均大于1，满足 eq \f(2a－1,a－1)＝2＋log2a， eq \f(3b－2,b－1)＝3＋log3b， eq \f(4c－3,c－1)＝4＋log4c，则下列不等式成立的是(　　) A． c<b<a B．a<b<c C． a<c<b D．c<a<b 解析：由 eq \f(2a－1,a－1)＝2＋log2a，得 eq \f(1,a－1)＝log2a，由 eq \f(3b－2,b－1)＝3＋log3b，得 eq \f(1,b－1)＝log3b，由 eq \f(4c－3,c－1)＝4＋log4c，得 eq \f(1,c－1)＝log4c，所以考虑y＝ eq \f(1,x－1)(x>1)和y＝logmx(m＝2，3，4)的图象相交时，交点的横坐标的大小．在同一平面直角坐标系中，画出y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x与y＝ eq \f(1,x－1)(x>1)的图象，如图所示，根据图象可知a<b<c. $$