第二章 第2节 函数的单调性与最值（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第2节　函数的单调性与最值 第二章　函　数 衔接教材 夯基固本 落实 增(减)函数 衔接教材 夯基固本 落实 ⊆ f(x1)＜f(x2) 单调递增 f(x1)＞f(x2) 单调递减 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 单调区间 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 ≤ ＝ ≥ ＝ 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 A 衔接教材 夯基固本 落实 A 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 BD 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 谢谢观看！ 1．借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解它的作用和实际意义．(重点) 2．掌握函数单调性的判断及简单应用．(热点) 一、函数的单调性 1．单调函数的定义 对比 增函数 减函数 定义 当函数f(x)在它的定义域上单调递增(递减)时，我们就称它是____________ 对比 增函数 减函数 单调性 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I__D，如果∀x1，x2∈I 结论 当x1＜x2时，都有__________，那么就称函数f(x)在区间I上________ 当x1＜x2时，都有________________，那么就称函数f(x)在区间I上________ 对比 增函数 减函数 图示 特点 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2.单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的________． 关于函数单调区间需注意： (1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示． (2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域． (3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. 二、函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M 满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)__M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)__M (1)∀x∈D，都有f(x)__M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)__M 结论 M为最大值 M为最小值 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取得． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最小值或最大值． 1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有 eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减). 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝ eq \f(1,f（x）)的单调性相反． 4．复合函数的单调性：同增异减． 一、“教考衔接”例证 高考 真题 (2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－2ax－a，x<0，,ex＋ln （x＋1），x≥0))在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A． (－∞，0]　　　　　　B．[－1，0] C． [－1，1]　 D．[0，＋∞) 追根 溯源 (人教A版必修第一册P100复习参考题3T4)已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，求实数k的取值范围 发现 感悟 高考题考查由分段函数的单调性求参数范围，与教材习题相比较，高考题不但考查二次函数单调性，还考查指、对函数的单调性，综合性进一步加强 二、教材典题改编 1．(人教A版必修第一册P79练习T3改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．y＝ eq \f(1,x)－x B．y＝x2－x C．y＝x＋ eq \f(1,x) D．y＝ex 2．(苏教版必修第一册P121T2改编)函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是(　　) A．(1，＋∞) B．(－∞，1) C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1) 3．(人教A版必修第一册P81例5改编)函数f(x)＝ eq \f(2,x－1)(x∈[2，6])，则f(x)的最小值为____________，最大值为________________． 答案： eq \f(2,5)　2 4．(人教B版必修第一册P107练习BT1改编)函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)＜f(2a)，则实数a的取值范围是________________. 答案：[－1，1)　解析：由条件知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2≤a＋1≤2，,－2≤2a≤2，,a＋1＞2a，))解得－1≤a＜1. 三、易误易混澄清 1.(易忽略两个区间不能用“∪”连接)设定义在[－1，7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________________． 答案：[－1，1]，[5，7] 2．(混淆“单调区间”与“在区间上单调”)若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________． 答案：(－∞，2]　解析：函数f(x)＝x2－2mx＋1的对称轴为直线x＝m，由题意知[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，所以m≤2. 3．(忽略单调区间与定义域的关系)函数f(x)＝lg (9－x2)的定义域为________________；其单调递增区间为________________． 答案：(－3，3)　(－3，0]　解析：对于函数f(x)＝lg (9－x2)，令9－x2＞0，解得－3＜x＜3，可得函数的定义域为(－3，3).令g(x)＝9－x2，则函数f(x)＝lg (g(x))，又函数g(x)在定义域内的增区间为(－3，0]，所以函数f(x)＝lg (9－x2)在定义域内的单调递增区间为(－3，0]. 4．(易忽视x2的范围导致值域变大)函数y＝ eq \f(x2－1,x2＋1)的值域为______． 答案：[－1，1)　解析：由y＝ eq \f(x2－1,x2＋1)＝ eq \f(x2＋1－2,x2＋1)＝1＋ eq \f(－2,x2＋1)，令t＝x2＋1，则t≥1，∴ eq \f(－2,t)∈[－2，0)，∴y＝1＋ eq \f(－2,t)∈[－1，1)，∴所求函数的值域为[－1，1). 考点一　确定函数的单调性 考向1　求具体函数的单调区间 [例1] (1)设函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递增区间是________________． (2)函数y＝－ eq \r(x2＋2x)的单调增区间为______________． 答案：(1)(－∞，0]，[1，＋∞)　(2)(－∞，－2] 解析：(1)由题意知g(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，x>1，,0，x＝1，,－x2，x<1，))该函数图象如图所示， 其单调递增区间是(－∞，0]，[1，＋∞). (2)由x2＋2x≥0，得x≤－2或x≥0，则函数的定义域为(－∞，－2]∪[0，＋∞)，令t＝x2＋2x，则y＝－ eq \r(t)，因为t＝x2＋2x在(－∞，－2]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，y＝－ eq \r(t)在定义域内为减函数，所以y＝－ eq \r(x2＋2x)在(－∞，－2]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减，所以y＝－ eq \r(x2＋2x)的单调增区间为(－∞，－2]. 求函数的单调区间的方法 (1)图象法：如果f(x)是以图象给出的，或者f(x)的图象易作出，可由函数图象直观地写出它的单调区间． (2)复合函数法：①求函数的定义域；②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”． 考向2　判断函数的单调性 [例2] 试讨论函数f(x)＝ eq \f(ax,x－1)(a≠0)在(－1，1)上的单调性． 解：方法一(定义法)　设∀x1，x2∈(－1，1)且x1<x2， f(x)＝a( eq \f(x－1＋1,x－1))＝a(1＋ eq \f(1,x－1))， 则f(x1)－f(x2)＝a(1＋ eq \f(1,x1－1))－a(1＋ eq \f(1,x2－1))＝ eq \f(a（x2－x1）,（x1－1）（x2－1）). 因为－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0. 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 方法二(导数法)　f′(x)＝ eq \f(a（x－1）－ax,（x－1）2)＝－ eq \f(a,（x－1）2). 当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 判断函数单调性常用的方法 (1)定义法：一般步骤为取值→作差→变形→判断符号→得出结论． (2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性． (3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性(或单调区间). 训练1 (多选)下列函数在其定义域内是增函数的为(　　) A．y＝|x2－2x| B．y＝ex－e－x C．y＝log0.5(x＋1) D．y＝x＋cos x 解析：对于A，作出函数y＝|x2－2x|的图象如图所示， 易知函数y＝|x2－2x|在其定义域内不是增函数，故A错误；对于B，因为函数y＝ex是增函数，y＝e－x是减函数，所以y＝ex－e－x是R上的增函数，故B正确；对于C，函数y＝log0.5x是减函数，而y＝x＋1为增函数，所以函数y＝log0.5(x＋1)在定义域(－1，＋∞)上为减函数，故C错误；对于D，y＝x＋cos x的定义域为R，y′＝1－sin x≥0在R上恒成立，故y＝x＋cos x是R上的增函数，故D正确． 考点二　函数单调性的应用 考向1　比较大小问题 [例3] 已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f(－ eq \f(1,2))，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c 解析：因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(－ eq \f(1,2))＝f( eq \f(5,2)).当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2< eq \f(5,2)<e，所以f(2)>f( eq \f(5,2))>f(e)，即b>a>c. 考向2　求函数的最值 [例4] (2025·临沂模拟)函数f(x)＝x－ eq \f(2,x)＋1在[1，4]上的值域为(　　) A．[1， eq \f(9,2)] B．[0，1] C．[0， eq \f(9,2)] D．[ eq \r(2)， eq \f(9,2)] 解析：由y＝x在[1，4]上单调递增，且y＝ eq \f(2,x)在[1，4]上单调递减，可得f(x)＝x－ eq \f(2,x)＋1在[1，4]上单调递增，又f(1)＝0，f(4)＝ eq \f(9,2)，故值域为[0， eq \f(9,2)]. $$