第二章 第1节 函数的概念与表示（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第1节　函数的概念与表示 第二章　函　数 衔接教材 夯基固本 落实 非空实数集 任意 唯一确定 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 定义域 对应关系 列表法 图象法 定义域 对应关系 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 D 衔接教材 夯基固本 落实 B 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 C 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 请完成：课时训练(7) 温馨提示 谢谢观看！ 1．能用集合语言和对应关系刻画函数，了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．(重点) 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并会简单的应用．(热点) 一、函数及其要素 非空性 两个__________A，B 唯一性 对于集合A中的____一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有________的数y和它对应，即f：A→B 记法 y＝f(x)，x∈A 三要素 对应法则 f 定义域 自变量x的取值范围，即x∈A 值域 函数值的集合{f(x)|x∈A}，其中与x的值相对应的y值叫做函数值 在函数的概念中集合B不一定是函数的值域，它包含了函数的值域，即值域是集合B的子集． 二、同一个函数 两个函数______相同，且________完全一致． 三、函数的表示法 常用方法：解析法、______、______． 四、分段函数 两个不同：在______的不同子集上，函数的________不同． 1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2．在函数的定义中，非空实数集A，B中，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 一、教材典题改编 1．(苏教版必修第一册P115练习T4改编)在下列图形中，能表示函数关系y＝f(x)的是(　　) 2．(人教A版必修第一册P66例3改编)下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是(　　) A．y＝( eq \r(x))2 B．u＝ eq \r(3,v3) C．y＝ eq \r(x2) D．m＝ eq \f(n2,n) 解析：函数y＝( eq \r(x))2与函数m＝ eq \f(n2,n)和y＝x的定义域不同，不是同一个函数，函数y＝ eq \r(x2)＝|x|与y＝x的解析式不同，也不是同一个函数． 3．[人教A版必修第一册P67练习T1(2)改编]函数f(x)＝ eq \r(1－x)＋ eq \r(x＋3)－1的定义域为________________． 答案：[－3，1]　解析：由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x≥0，,x＋3≥0，))解得－3≤x≤1，所以f(x)的定义域为[－3，1]. 4．(人教A版必修第一册P65例2改编)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(x＋3)，－3≤x≤－2，,\f(1,x＋2)，－2<x≤4，))则f(f(－3))＝________________． 答案： eq \f(1,2)　解析：因为f(－3)＝ eq \r(－3＋3)＝0，所以f(f(－3))＝f(0)＝ eq \f(1,2). 二、易误易混澄清 1．(忽视新元范围)已知f( eq \r(x))＝x－1，则f(x)＝________________. 答案：x2－1(x≥0)　解析：因为f( eq \r(x))＝x－1，所以f( eq \r(x))＝( eq \r(x))2－1，即f(x)＝x2－1，x≥0. 2．(忽视自变量的范围)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤0，,－x＋3，x>0，))则使f(x)≥2的x的取值范围为________________________． 答案：(－∞，－1]∪(0，1]　解析：当x≤0时，f(x)≥2即为x2＋1≥2，解得x≤－1或x≥1，所以x≤－1；当x>0时，f(x)≥2即为－x＋3≥2，解得x≤1，所以0<x≤1.综上所述，x的取值范围为(－∞，－1]∪(0，1]. 考点一　函数的定义域 1．(2025·广州模拟)若函数f(x)＝ eq \r(1－x2)＋lg (2x－1)，则f(x)的定义域为(　　) A．{x|x>0} B．{x|x≤1} C．{x|0<x≤1} D．{x|－1≤x≤1} 解析：由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2≥0，,2x－1>0，))⇒ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1，,x>0，))⇒0<x≤1. 2．已知函数y＝f(x)的定义域是[－2，3]，则函数y＝f(2x－1)的定义域是(　　) A．[－5，5] B．[－ eq \f(1,2)，2] C．[－2，3] D．[ eq \f(1,2)，2] 解析：函数y＝f(x)的定义域是[－2，3]，由－2≤2x－1≤3，解得－ eq \f(1,2)≤x≤2，所以函数y＝f(2x－1)的定义域是[－ eq \f(1,2)，2]. 3．(2025·武汉模拟)已知函数f(2x＋1)的定义域为[－1，1)，则函数f(1－x)的定义域为________________． 答案：(－2，2]　解析：由函数f(2x＋1)的定义域为[－1，1)，则有2x＋1∈[－1，3)，所以函数f(x)的定义域是[－1，3)，令－1≤1－x<3，解得－2<x≤2.故函数f(1－x)的定义域为(－2，2]. 1．求具体函数的定义域的思路 根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可． 2．求抽象函数的定义域的策略 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 考点二　函数的解析式 [例1] (1)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)＝____________________． (2)已知f( eq \r(x)＋1)＝x－2 eq \r(x)，则f(x)＝____________． (3)已知f(x)满足2f(x)＋f( eq \f(1,x))＝3x－1，则f(x)＝________________． 答案：(1)－2x－8或2x＋ eq \f(8,3)　(2)x2－4x＋3(x≥1)　(3)2x－ eq \f(1,x)－ eq \f(1,3)(x≠0)　解析：(1)设函数f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋(a＋1)b，又f(f(x))＝4x＋8，所以a2x＋(a＋1)b＝4x＋8，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,（a＋1）b＝8，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－8))或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\f(8,3)，))所以f(x)＝－2x－8或f(x)＝2x＋ eq \f(8,3). (2)方法一(换元法)　令t＝ eq \r(x)＋1(t≥1)，则x＝(t－1)2，则f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1). 方法二(配凑法)　因为f( eq \r(x)＋1)＝( eq \r(x)＋1)2－4( eq \r(x)＋1)＋3，且 eq \r(x)＋1≥1，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1). (3)在2f(x)＋f( eq \f(1,x))＝3x－1中，将x(x≠0)换成 eq \f(1,x)，得2f( eq \f(1,x))＋f(x)＝ eq \f(3,x)－1，由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2f（x）＋f（\f(1,x)）＝3x－1，,2f（\f(1,x)）＋f（x）＝\f(3,x)－1，))消去f( eq \f(1,x))得f(x)＝2x－ eq \f(1,x)－ eq \f(1,3)(x≠0). 函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，得f(x)的表达式． (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法． (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (4)方程思想：根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 训练1 若f( eq \f(1,x))＝ eq \f(x,1－x)，则f(x)＝________________． 答案： eq \f(1,x－1)(x≠0且x≠1)　解析：f(x)＝ eq \f(\f(1,x),1－\f(1,x))＝ eq \f(1,x－1)(x≠0且x≠1). 考点三　分段函数 考向1　分段函数求值问题 [例2] (1)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2，x≤1，,（x＋2）（x－1），x>1，))则f( eq \f(1,f（2）))的值为(　　) A． eq \f(8,9) B． eq \f(15,16) C．－15 D．18 (2)(2025·武汉模拟)已知f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(x)，0≤x≤1，,2f（x－1），x>1，))则f( eq \f(5,4))＝(　　) A．2 B． eq \f(\r(5),2) C． eq \f(3,2) D．1 解析：(1)f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2，x≤1，,（x＋2）（x－1），x>1，)) ∴f(2)＝(2＋2)×(2－1)＝4，∴f( eq \f(1,f（2）))＝f( eq \f(1,4))＝1－( eq \f(1,4))2＝ eq \f(15,16). (2)函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(x)，0≤x≤1，,2f（x－1），x>1，))所以f( eq \f(5,4))＝2f( eq \f(1,4))＝2 eq \r(\f(1,4))＝1. [变式探究] 本例变为：已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3，x≥0，,－2x，x<0，))若f(m)＝－1，则实数m的值为________________. 答案：1　解析：因为函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3，x≥0，,－2x，x<0，))f(m)＝－1，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m－3＝－1，,m≥0))或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2m＝－1，,m<0，))解得m＝1. 考向2　分段函数与不等式(方程) [例3] (2025·嘉兴模拟)设函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x≤0，,lg （x2＋1），x>0，))若f(a)≥0，则实数a的取值范围是________________． 答案：(－∞，－2]∪[0，＋∞)　解析：当a≤0时，f(a)＝a2＋2a，由f(a)≥0得a2＋2a≥0，解得a≥0或a≤－2，又a≤0，所以得a＝0或a≤－2；当a>0时，f(a)＝lg (a2＋1)，由f(a)≥0得lg (a2＋1)≥0，解得a∈R.又a>0，所以得a>0.综上可得，实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[0，＋∞). 分段函数问题的求解 (1)求值问题：先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入对应的解析式求解． (2)与方程、不等式的交汇问题： 要对不同定义区间进行分类讨论，最后注意检验结果是否适合相应的分段区间． 训练2 (1)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x<0，,a＋3x，x≥0，))若f(f(1))＝f(－1)，则实数a的值为(　　) A．－ eq \f(17,8) B．－4或－ eq \f(17,8) C．－4 D．不存在 解析：由题意知，f(1)＝a＋3，f(－1)＝ eq \f(1,2)，即f(a＋3)＝ eq \f(1,2).当a＋3≥0，即a≥－3时，f(a＋3)＝a＋3(a＋3)＝4a＋9＝ eq \f(1,2)，解得a＝－ eq \f(17,8)，满足题意；当a＋3<0，即a<－3时，f(a＋3)＝2a＋3＝ eq \f(1,2)，解得a＝－4，满足题意．所以a＝－4或a＝－ eq \f(17,8). (2)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x≥0，,－3x，x<0.))若f(a)－f(－a)>0，则实数a的取值范围为________________________． 答案：(－2，0)∪(2，＋∞)　解析：当a＝0时，显然不成立．当a>0时，不等式f(a)－f(－a)>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2.当a<0时，不等式f(a)－f(－a)>0可化为－a2－2a>0，解得－2<a<0.综上所述，实数a的取值范围为(－2，0)∪(2，＋∞). (3)(2024·北京东城二模)设函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，|x|<1，,x2，|x|≥1，))则f(f( eq \f(1,2)))＝________________，不等式f(x)<f(2x)的解集是________________． 答案：1　(－∞，－ eq \f(1,2))∪( eq \f(1,2)，＋∞)　解析：由题意可知：f(f( eq \f(1,2)))＝f(1)＝1；因为f(x)<f(2x)，当|2x|<1，即－ eq \f(1,2)<x< eq \f(1,2)时，则|x|< eq \f(1,2)<1，可得1<1，不合题意；当 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|2x|≥1，,|x|<1))即x∈(－1，－ eq \f(1,2)]∪[ eq \f(1,2)，1)时，可得1<(2x)2，解得x> eq \f(1,2)或x<－ eq \f(1,2)，所以x∈(－1，－ eq \f(1,2))∪( eq \f(1,2)，1)；当|x|≥1，即x≥1或x≤－1时，则|2x|＝2|x|≥2>1，可得x2<(2x)2＝4x2，符合题意；综上所述，不等式f(x)<f(2x)的解集是(－∞，－ eq \f(1,2))∪( eq \f(1,2)，＋∞). $$