集合与元素，集合关系 -知识点训练卷 湖南省2026年对口招生《数学考纲百套卷》第1卷（原卷版+解析版）

编写说明：湖南省2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及湖南历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照考试纲要编写的70份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、函数、三角函数等12个章节的20份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是湖南省2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第1卷，是知识点训练卷，主要考查集合与元素，集合关系的掌握情况。 湖南省2026年对口招生《数学考纲百套卷》 第1卷 集合与元素，集合关系 知识点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 2．给出以下集合，其中是相等集合的有（ ） A．， B．， C．， D．， 3．已知集合，则集合真子集的个数（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 4．下列表示正确的个数为（    ） ①；②；③；④中. A．0 B．1 C．2 D．3 5．下列结论正确的是（   ） A．任何集合都有子集B．任何集合都有真子集C． D． 6．与集合相等的集合是（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 8．已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 9．已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．若集合中只有一个元素，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．已知集合，若，则 ． 12．已知集合，，且，则实数的值为 . 13．下列表达式中正确的序号是： （写出所有正确的序号） ①；②；③；④． 14．若集合，A的子集个数是 个． 15．已知集合，，若，则的取值范围为 . 三、解答题（本题共4小题，每小题10分，共40分） 16．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； 17．已知集合 (1)若，求实数k的取值范围； (2)若集合A中的元素至少有一个，求实数k的取值范围. 18．指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)，． 19．已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：湖南省2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及湖南历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照考试纲要编写的70份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、函数、三角函数等12个章节的20份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是湖南省2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第1卷，是知识点训练卷，主要考查集合与元素，集合关系的掌握情况。 湖南省2026年对口招生《数学考纲百套卷》 第1卷 集合与元素，集合关系 知识点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【答案】B 【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 【详解】对于A：其中元素不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：其中元素不具有确定性，故选项C错误； 对于D：其中元素不具有确定性，故选项D错误. 故选：B． 2．给出以下集合，其中是相等集合的有（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用相等集合的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，集合中有一个元素， 集合中有两个元素，故不是相等集合，故A错误； 对于B，集合是空集，集合有一个元素，故不是相等集合，故B错误； 对于C，集合都只有一个元素，但元素不相等，故不是相等集合，故C错误； 对于D.，，， 所以集合中元素完全相同，故是相等集合，故D正确. 故选：D. 3．已知集合，则集合真子集的个数（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】根据真子集个数计算公式即可得到答案. 【详解】由题意得集合真子集的个数为. 故选：C. 4．下列表示正确的个数为（    ） ①；②；③；④中. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据空集的含义，结合元素和集合的关系以及集合间的关系判断即可. 【详解】对于①，是单元素集合，其元素为0，为空集，无元素，二者不相等，错误； 对于②，由于是单元素集合，其元素为0，是一个集合，不是的元素，错误； 对于③，空集是任何集合的子集，正确； 对于④，为空集，它没有任何元素，错误. 故选：B. 5．下列结论正确的是（   ） A．任何集合都有子集 B．任何集合都有真子集 C． D． 【答案】A 【分析】根据集合、子集的含义及集合间的关系判断. 【详解】对于A，任何集合都有子集，A正确； 对于B，没有真子集，B错误； 对于C，表示没有任何元素的集合，表示集合中有这一元素，C错误； 对于D，集合有一元素0，不为空集，故，D错误. 故选：A 6．与集合相等的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合描述法的定义，求出集合中的元素. 【详解】12的所以正因数有，所以. 故选：B. 7．已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，结合得的值即可求解. 【详解】由得，，即， 又，∴ 故. 故选：C. 8．已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由集合子集，真子集的运算，集合中必有，且为集合{1,2,3,4,5}的子集. 【详解】因为集合满足， 所以，，， 又集合满足， 所以集合有：，，，，共有4个， 故选：A. 9．已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解. 【详解】集合，，由，得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 10．若集合中只有一个元素，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合元素个数，结合方程的解求出. 【详解】当时，方程只有一个解，集合只有一个元素，因此， 当时，由集合只有一个元素，得有相等的两个实根， ，解得， 所以或. 故选：C 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．已知集合，若，则 ． 【答案】3或 【分析】 根据，所以，然后根据集合的性质分别进行讨论验证即可． 【详解】 因为，所以，解得或，符合题意． 故答案为：3或． 12．已知集合，，且，则实数的值为 . 【答案】 【分析】由集合包含关系得到即可求解； 【详解】由题意可知， 解得：， 故答案为： 13．下列表达式中正确的序号是： （写出所有正确的序号） ①；②；③；④． 【答案】② 【分析】利用元素与集合，集合与集合之间的关系判断即可. 【详解】，故①错误；空集为任何非空集合的真子集，故②正确； 为无理数，故③错误；是的子集，所以，故④错误； 故答案为：② 14．若集合，A的子集个数是 个． 【答案】16 【分析】根据题意可知集合A有4个元素，进而可得子集个数. 【详解】因为集合A有4个元素，所以A的子集个数是个. 故答案为：16. 15．已知集合，，若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据集合的关系得出端点间的不等关系，即得实数的取值范围.； 【详解】因为，，， 所以. 故答案为： 三、解答题（本题共4小题，每小题10分，共40分） 16．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； 【答案】(1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}． (2)． (3){a|a是梯形}或{梯形}． (4)． 【分析】（1）（2）利用列举法表示集合. （3）利用描述法或列举法表示集合. （4）利用描述法表示集合. 【详解】（1）一年中有31天的月份的全体为：{1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}. （2）大于小于12.8的整数的全体为：. （3）梯形的全体构成的集合为：{a|a是梯形}或{梯形}. （4）所有能被3整除的数的集合为：. 17．已知集合 (1)若，求实数k的取值范围； (2)若集合A中的元素至少有一个，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由空集定义结合一元二次方程根的判别式计算即可得； （2）由集合A中的元素至少有一个结合一元二次方程根的判别式计算即可得. 【详解】（1）若，则有，解得； （2）若集合A中的元素至少有一个， 则有，解得. 18．指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)A与B之间无包含关系． (2)． (3)． 【分析】（1）利用集合的元素类型判断集合的包含关系. （2）利用不等式解集判断集合的包含关系. （3）利用列举法判断集合的包含关系. 【详解】（1）集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，所以A与B之间无包含关系. （2）集合，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图知． （3）由列举法，，，所以．． 19．已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【详解】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$