第19章 实数（复习讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

第19章 实数（复习讲义） 1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根和立方根。 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根。 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应。了解数的范围由有理数扩大到实数后，一些概念、运算等的变化。 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围，能进行简单的实数运算，了解近似数，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值。 知识点01：平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫作a的平方根，也称为二次方根.a 叫作被开方数. 求一个数a的平方根的运算叫作开平方，例如，求64的平方根，就是要对 64 进行开平方运算，64是被开方数. 正数的两个平方根可以用“”表示，其中+表示的正平方根（即算术平方根），表示的负平方根，读作“负根号”．0的平方根记为“”，=0. 知识点02：平方根的性质 正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根. 当被开方数扩大(或缩小)倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)倍()． 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 知识点03：立方根 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x叫作a的立方根，也称为三次方根.a叫作被开方数 求一个数a的立方根的运算叫作开立方.例如，求64的立方根，就是要对 64 进行开立方运算，64是被开方数. 一个数a的立方根用“”表示。 知识点04：立方根的性质 正数的立方根为正数，的立方根为，负数的立方根为负数。 当被开方数(大于0)扩大(或缩小)倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)倍． 被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位 知识点05： 有理数的小数形式 可以把整数看成小数点后是0的小数，于是任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 有理数必为有限小数或无限循环小数;反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数. 知识点06： 无理数 无限不循环小数又叫无理数. 要点归纳： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点07： 实数与数轴 1.实数的概念与分类 有理数和无理数统称为实数.有理数为有限小数或无限循环小数，无理数为无限不循环小数.不是有理数的实数就是无理数.实数可以这样分类: 实数也可以分为正实数、0、负实数。 2.实数与数轴上的点的关系 我们尝试用数轴上的一个点来表示． 由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1． 这样，就在数轴上确定一个点来表示． 要点归纳：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。 知识点08： 实数的绝对值与大小比较 借助数轴，可以将有理数的绝对值、大小比较推广到实数.有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值，实数a的绝对值记作|a|. 绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数;0的相反数是0.非零实数a的相反数是-a. 一个正实数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，一个负实数的绝对值是它的相反数，设a表示一个实数，则 知识点09：实数的运算 实数的加、减、乘、除、乘方运算的意义，和有理数运算的意义一样，我们学过的有理数的运算法则、运算律以及运算顺序的规定，在实数范围内同样适用. 若a、b、c为实数，则有 加法交换律:a+b=b+a. 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:ab=ba. 乘法结合律:(ab)c=a(bc). 乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac. 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，实数混合运算的顺序为:先乘方和开平(立)方，再乘除，最后加减 对于涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算律对算式进行化简。 对于涉及无理数的实数运算，很多时候需要对结果取近似值.这时，可以先对算式进行适当化简，然后一般用“四舍五人法”，按照所要求的精确度取近似值. 知识点10：科学记数法 把一个数表示成 a×(1≤|a|<10，a 是整数或小数，n 是整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法，当a=1或a=-1时,“1”常省略不写如 0.000 000 001=，-1000 000=- 用科学记数法表示绝对值较大或较小的数给表达和计算带来了方便，对于绝对值较大的数，可以直观地表示这个数的整数的位数，如3.2×有六个整数位.对于绝对值较小的数，可以直观地表示这个数的小数点与左起第一个非零数字之间0的个数，如1.23×的小数点与左起第一个非零数字1之间有三个0. 题型一 平方根及其应用 【例1-1】（22-23七年级下·上海虹口·期末）已知是正整数，则实数的最大值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【例1-2】（23-24七年级下·上海松江·期中）求的值：． 【例1-3】已知，求的值． 【变式1-1】（23-24七年级下·上海金山·期中）下列运算正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【变式1-2】（23-24七年级下·上海黄浦·期中）若，求的平方根． 【变式1-3】若和是同一个数的平方根，求这个数． 题型二 立方根及其应用 【例2】（23-24七年级下·上海徐汇·期末）计算： ． 【变式2-1】（23-24七年级下·上海静安·期中）若，则的值为 ． 【变式2-2】（22-23七年级下·上海静安·期中）已知是正的平方根，是的立方根，求的立方根的值． 【变式2-3】已知一个正方体的棱长是，要再做一个正方体，使它的体积是原正方体的体积的倍，求新做的正方体的棱长． 题型三 实数的概念 【例3-1】（22-23七年级下·上海·期中）在，，，，，，（它的位数无限且相邻两个“”之间“”的个数依次加个）这个数中，无理数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例3-2】（22-23七年级下·上海嘉定·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．无理数都是带有根号的数 C．、都是分数 D．实数分为正实数，负实数和零 【变式3-1】（22-23八年级上·上海杨浦·期中）下列实数中，是无理数的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23七年级下·上海·单元测试）的相反数是 ；绝对值是 ． 题型四 实数的运算 【例4-1】（24-25六年级上·上海奉贤·期中）计算： ．（化为小数） 【例4-2】（23-24七年级下·上海嘉定·期末）点A和点B是数轴上的两点，点A表示的数为，点B表示的数为，那么A、B两点间的距离为 ． 【例4-3】（23-24七年级下·上海普陀·期末）比较大小： ．（填“＞”，“=”或“＜”） 【例4-4】（23-24七年级下·上海闵行·期中）已知：、分别是的整数部分和小数部分，那么的值为 ． 【例4-5】（23-24七年级下·上海·期中）计算： 【变式4-1】（22-23七年级下·上海青浦·期中）如图，点B和点C关于点A对称，则点C表示的数是 ． 【变式4-2】（23-24七年级下·上海徐汇·期末）比较大小： 10．（填“>”、“=”或“<”） 【变式4-3】（2025七年级下·全国·专题练习）将下列小数化为分数． (1) (2) (3) (4) 【变式4-4】（21-22七年级下·上海闵行·期末）已知的整数部分为，小数部分为，求． 题型五 科学记数法 【例5-1】（2025·上海青浦·二模）据统计，2025年清明假期4月4日至6日，蟠龙天地、和睦村等旅游景区共接待游客万人次．万人次用科学记数法表示为 人次． 【例5-2】一个水分子的直径约米．将用科学记数法表示的结果是 ． 【变式5-1】（22-23七年级上·上海长宁·期中）若正方体的棱长为，那么它的体积为 ．（用科学记数法表示） 【变式5-2】在纺织工业中，“丝”是一个常用的长度单位，通常用来表示非常小的长度，1丝毫米米，0.00001米用科学记数法表示为（　） A． B． C． D． 题型六 有关的规律探索题 【例6-1】已知：，，请根据以上规律得到的结果是（   ） A．0.071 B．0.224 C．0.0017 D．0.0224 【例6-2】观察下表规律： 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 利用规律：如果，，则 ． 【变式6-1】观察表格 a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 0.1 1 10 100 … 按表中规律若已知，，用含m的式子表示n，则 ． 【变式6-2】观察规律，，，则 ． 【变式6-3】按要求填空： （1）填表并观察规律： a 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 4 400 2 20 基础巩固通关测 一、单选题 1．若有一个实数为，则它的相反数为（    ） A． B． C． D． 2.有一个如图的数值转换器，当输出值是时，输入的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·上海宝山·阶段练习）若是实数，且，则下列关系式成立的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4.根据你发现的规律填空：已知，若，则 5.把小数化为分数 ． 6．（23-24七年级下·上海松江·期末）比较大小： （填“＞”，“＝”，“＜”）． 7．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是 ． 8.的算术平方根是 ． 9．（22-23七年级下·上海宝山·期末）已知实数的一个平方根是，则它的另一个平方根是 ． 10.已知，那么 ． 三、解答题 11．（22-23七年级下·上海宝山·阶段练习）解方程： 12．（22-23七年级下·上海宝山·期末）计算：． 13．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）一个正数的两个平方根分别是和，求这个数． 14.一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a＋2 (1)求a和x的值； (2)求3x＋2a的平方根． 15.按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 能力提升进阶练 1．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）写出在与之间的一个有理数，这个数可以是 （只需填写一个）． 2．（22-23七年级下·上海·期中）将数轴沿着点P对折，如果两个点正好重合，把这两个点叫做关于点P的“对称点”，如果表示的点和表示点是一组关于点P的“对称点”，那么表示的点关于点P的对称点所表示的数是 ． 3．（23-24七年级下·上海崇明·期中）已知16的平方根是，，那么 ． 4.已知 那么 ． 5．（23-24七年级下·上海静安·期中）若实数满足等式，则化简 ． 6．（23-24七年级下·上海·期中）若的整数部分为，小数部分为，则的值为 ． 7．（23-24七年级下·上海·阶段练习）已知，，则 （精确到0.01）． 8．（22-23七年级下·上海青浦·期中）已知是连续的正整数，，则 ． 9．（23-24七年级下·上海静安·期中）公园里有一块面积为10平方米的正方形绿化地，现在这块地上划出一个扇形区域举办花展，并在扇形的周边围上低矮的篱笆，如图所示，正方形为绿化地，扇形为所划区域，，求需要多长的篱笆．（，结果精确到十分位） 10.求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们解答以下问题： a … 0.04 4 400 40000 … … 0.2 2 20 200 … (1)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根： ① ；② ； (2)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根．已知，则 (3)知识联系与迁移：请求出下列方程中x的值 ① ② 11.探索与应用． (1)先填写下表，通过观察后再回答问题： ．．． 0.0001 0.01 1 100 10000 ．．． ．．． 0.01 1 100 ．．． ①表格中________；_________； ②从表格中探究与的数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： 已知，若，则___________． 已知，则___________． (2)阅读例题，然后回答问题： 例题：设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得，因为都是有理数，所以也是有理数，由于是无理数，所以，所以，所以． 问题：设都是有理数，且满足，求的值． 12．（2024七年级下·上海·专题练习）皓皓同学在学习了“平方根”这节课后知道了“负数在实数范围内没有平方根”，她对这句话产生了兴趣，她想知道负数在其他范围内是否有平方根，所以她上网查找了以下一些资料． 数的概念是从实践中产生和发展起来的，在学习了实数以后，像这样的方程还是没有实数解的，因为没有一个实数的平方等于，即负数在实数范围内没有平方根，所以为了了解形如这类方程的解，就要引入一个新的数． 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位． 在这种情况下，可以与实数相乘再同实数相加从而得到形如“” 、为实数）的数，人们把这种数叫作复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 比如： （1） （2） （3） 这样数的范围就由实数扩充到了复数，在这种规定下，负数在复数范围内就有平方根．比如：就是的平方根． 根据上面的材料解答以下问题： (1)计算： ①___________②___________③___________ (2)在复数范围内的平方根是___________ (3)在复数范围内分解因式___________． 13．（22-23七年级下·上海奉贤·期中）在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”，请模仿这种方法，说明是无理数． 阅读材料： “无理数”的由来 为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． 假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则a是2的倍数． 再设，其中m是整数，就有：， 也就是：， 所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数． 解：假设是一个有理数． 则（a、b是整数且a、b互素且）， 则， 两边同时平方得：_____________， 所以：，可得：， 所以：______________， 因为：______________， 所以：是一个无理数． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19章 实数（复习讲义） 1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根和立方根。 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根。 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应。了解数的范围由有理数扩大到实数后，一些概念、运算等的变化。 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围，能进行简单的实数运算，了解近似数，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值。 知识点01：平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫作a的平方根，也称为二次方根.a 叫作被开方数. 求一个数a的平方根的运算叫作开平方，例如，求64的平方根，就是要对 64 进行开平方运算，64是被开方数. 正数的两个平方根可以用“”表示，其中+表示的正平方根（即算术平方根），表示的负平方根，读作“负根号”．0的平方根记为“”，=0. 知识点02：平方根的性质 正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根. 当被开方数扩大(或缩小)倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)倍()． 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 知识点03：立方根 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x叫作a的立方根，也称为三次方根.a叫作被开方数 求一个数a的立方根的运算叫作开立方.例如，求64的立方根，就是要对 64 进行开立方运算，64是被开方数. 一个数a的立方根用“”表示。 知识点04：立方根的性质 正数的立方根为正数，的立方根为，负数的立方根为负数。 当被开方数(大于0)扩大(或缩小)倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)倍． 被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位 知识点05： 有理数的小数形式 可以把整数看成小数点后是0的小数，于是任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 有理数必为有限小数或无限循环小数;反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数. 知识点06： 无理数 无限不循环小数又叫无理数. 要点归纳： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点07： 实数与数轴 1.实数的概念与分类 有理数和无理数统称为实数.有理数为有限小数或无限循环小数，无理数为无限不循环小数.不是有理数的实数就是无理数.实数可以这样分类: 实数也可以分为正实数、0、负实数。 2.实数与数轴上的点的关系 我们尝试用数轴上的一个点来表示． 由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1． 这样，就在数轴上确定一个点来表示． 要点归纳：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。 知识点08： 实数的绝对值与大小比较 借助数轴，可以将有理数的绝对值、大小比较推广到实数.有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值，实数a的绝对值记作|a|. 绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数;0的相反数是0.非零实数a的相反数是-a. 一个正实数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，一个负实数的绝对值是它的相反数，设a表示一个实数，则 知识点09：实数的运算 实数的加、减、乘、除、乘方运算的意义，和有理数运算的意义一样，我们学过的有理数的运算法则、运算律以及运算顺序的规定，在实数范围内同样适用. 若a、b、c为实数，则有 加法交换律:a+b=b+a. 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:ab=ba. 乘法结合律:(ab)c=a(bc). 乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac. 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，实数混合运算的顺序为:先乘方和开平(立)方，再乘除，最后加减 对于涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算律对算式进行化简。 对于涉及无理数的实数运算，很多时候需要对结果取近似值.这时，可以先对算式进行适当化简，然后一般用“四舍五人法”，按照所要求的精确度取近似值. 知识点10：科学记数法 把一个数表示成 a×(1≤|a|<10，a 是整数或小数，n 是整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法，当a=1或a=-1时,“1”常省略不写如 0.000 000 001=，-1000 000=- 用科学记数法表示绝对值较大或较小的数给表达和计算带来了方便，对于绝对值较大的数，可以直观地表示这个数的整数的位数，如3.2×有六个整数位.对于绝对值较小的数，可以直观地表示这个数的小数点与左起第一个非零数字之间0的个数，如1.23×的小数点与左起第一个非零数字1之间有三个0. 题型一 平方根及其应用 【例1-1】（22-23七年级下·上海虹口·期末）已知是正整数，则实数的最大值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】由题意可得，要使要使是正整数，即可得出当n最大取2022时，是正整数． 【详解】解：∵， ∴， 要使是正整数， 即当时，． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键． 【例1-2】（23-24七年级下·上海松江·期中）求的值：． 【答案】，． 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题考查了利用平方根解方程，方程两边除以，得到，再根据平方根的定义解答即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即，， ∴，． 【例1-3】已知，求的值． 【答案】 【知识点】加减消元法、负整数指数幂、利用算术平方根的非负性解题 【分析】根据算术平方根及偶次幂的非负性可进行求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查负指数幂、算术平方根的非负性及二元一次方程组的解法，熟练掌握各个运算是解题的关键． 【变式1-1】（23-24七年级下·上海金山·期中）下列运算正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，先分别求解每个选项中的算术平方根，再判断即可． 【详解】解：没有意义，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，正确，故C符合题意；D不符合题意 故选C 【变式1-2】（23-24七年级下·上海黄浦·期中）若，求的平方根． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根 【分析】本题考查了代数式求值、绝对值和算术平方根的非负性．根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出x、y的值，再代入可得，即可求解． 【详解】解：由题意得： 解得：，      ∴， 即的平方根是． 【变式1-3】若和是同一个数的平方根，求这个数． 【答案】或． 【知识点】平方根的应用 【分析】由于一个正数的两个平方根应该互为相反数，由此即可列方程解出，然后可求得这个数． 【详解】解：当时， 解得：， ， 则这个数为． 当时，解得， 故， 则这个数为 综上所述，这个数为：或． 【点睛】本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 题型二 立方根及其应用 【例2】（23-24七年级下·上海徐汇·期末）计算： ． 【答案】0 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查立方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据立方根的定义进行解题即可． 【详解】解：． 故答案为：0 【变式2-1】（23-24七年级下·上海静安·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查了利用立方根的定义解方程，先将系数化为1，再利用立方根的定义解方程即可，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式2-2】（22-23七年级下·上海静安·期中）已知是正的平方根，是的立方根，求的立方根的值． 【答案】1 【知识点】加减消元法、求一个数的立方根、立方根概念理解、平方根概念理解 【分析】根据算术平方根和立方根的表示列出方程组，求出x，y的值，从而得到A，B，再求的立方根． 【详解】解：由题意可得： ，，     解得：， ∴，， ∴， ∴的立方根的值为1． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，解题的关键是根据相应的表示方法得到关于x，y的方程组． 【变式2-3】已知一个正方体的棱长是，要再做一个正方体，使它的体积是原正方体的体积的倍，求新做的正方体的棱长． 【答案】新正方体的棱长为 【知识点】立方根的实际应用 【分析】根据正方体体积的计算方法，求一个数的立方根的方法即可求解． 【详解】解：正方体的棱长是， ∴该正方体的体积为， ∵新做的正方体的体积是原正方体的体积的倍， ∴新正方体的体积为， ∴设新正方体的棱长为， ∴， ∴，即， ∴新正方体的棱长为． 【点睛】本题主要考查求一个数的立方根，掌握正方体的体积的计算方法，求一个数的立方根的运算方法是解题的关键． 题型三 实数的概念 【例3-1】（22-23七年级下·上海·期中）在，，，，，，（它的位数无限且相邻两个“”之间“”的个数依次加个）这个数中，无理数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是掌握无理数的定义：无限不循环的小数． 【详解】∵，， ∴无理数为：（它的位数无限且相邻两个“”之间“”的个数依次加个）． 故选：A． 【例3-2】（22-23七年级下·上海嘉定·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．无理数都是带有根号的数 C．、都是分数 D．实数分为正实数，负实数和零 【答案】D 【知识点】无理数、实数概念理解、实数的分类 【分析】直接利用相关实数的性质分析得出答案． 【详解】解：A、无限不循环小数都是无理数，原说法错误，本选项不符合题意； B、无理数不一定是带有根号的数，原说法错误，本选项不符合题意； C、、都是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意； D、实数分为正实数．负实数和零，正确，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了实数的性质，属于基础知识的考查，掌握相关概念或性质解答即可． 【变式3-1】（22-23八年级上·上海杨浦·期中）下列实数中，是无理数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】无理数 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A．，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．是循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．是无理数，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查无理数的定义，会判断无理数．解题的关键是了解它的三种形式：①开方开不尽的数，如：；②无限不循环小数，如：0．2020020002…（相邻两个2中间依次多1个0）；③含有的数，如：． 【变式3-2】（22-23七年级下·上海·单元测试）的相反数是 ；绝对值是 ． 【答案】 【知识点】实数的性质、求一个数的绝对值、相反数的定义 【分析】根据相反数的定义和绝对值的性质解答即可． 【详解】解：的相反数是；绝对值是． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了实数的性质，主要利用了相反数的定义和绝对值的性质，熟记概念与性质是解题的关键． 题型四 实数的运算 【例4-1】（24-25六年级上·上海奉贤·期中）计算： ．（化为小数） 【答案】 【知识点】 分数化小数 【分析】本题考查了有理数的除法运算，先把带分数化为假分数，再运算除法，即可作答． 【详解】解：依题意 故答案为： 【例4-2】（23-24七年级下·上海嘉定·期末）点A和点B是数轴上的两点，点A表示的数为，点B表示的数为，那么A、B两点间的距离为 ． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，根据两点间的距离计算方法求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【例4-3】（23-24七年级下·上海普陀·期末）比较大小： ．（填“＞”，“=”或“＜”） 【答案】> 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键． 先将写成，将写成，可得，再根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”比较它们的相反数即可得解． 【详解】，， ， ， ． 故答案为：>． 【例4-4】（23-24七年级下·上海闵行·期中）已知：、分别是的整数部分和小数部分，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知字母的值 ，求代数式的值、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查的知识点是无理数整数部分的有关计算、已知字母的值求代数式的值、运用平方差公式进行运算，解题关键是通过比较大小的方法判断无理数的整数部分． 先找出的整数部分和小数部分，分别代入后运用平方差公式即可求解． 【详解】解：， ， ， 即， 的整数部分为，小数部分为， 即，， ， ， ， ． 故答案为：． 【例4-5】（23-24七年级下·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】实数的混合运算、零指数幂 【分析】本题考查了实数的混合运算，先进行乘方、零次幂、去绝对值、算术平方根，再进行加减运算，即可求解；掌握， （），，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【变式4-1】（22-23七年级下·上海青浦·期中）如图，点B和点C关于点A对称，则点C表示的数是 ． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，体现了数形结合思想，熟练掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键．根据点B和点C关于点A对称，即可求得，再根据两点间距离计算即可． 【详解】解：∵点B和点C关于点A对称， ∴， ∴点C表示的数是：． 故答案为：． 【变式4-2】（23-24七年级下·上海徐汇·期末）比较大小： 10．（填“>”、“=”或“<”） 【答案】< 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查的是实数大小比较，先对两个数进行平方计算，然后再进行大小比较即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：＜． 【变式4-3】（2025七年级下·全国·专题练习）将下列小数化为分数． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】 分数化小数 【分析】本题主要考查了小数化分数，熟知小数化分数的方法是解题的关键． （1）设，则，可得，解方程即可得到答案； （2）设，则，可得，解方程即可得到答案； （3）设，则，，可得，解方程即可得到答案； （4）设设，则，，可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-4】（21-22七年级下·上海闵行·期末）已知的整数部分为，小数部分为，求． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、已知字母的值 ，求代数式的值、无理数整数部分的有关计算 【分析】根据无理数估算，表示出的整数部分为，小数部分为，代值求解即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 的整数部分，小数部分， ， 将，代入，原式 ． 【点睛】本题考查分式化简求值，涉及无理数估算，熟练掌握分式的混合运算是解决问题的关键． 题型五 科学记数法 【例5-1】（2025·上海青浦·二模）据统计，2025年清明假期4月4日至6日，蟠龙天地、和睦村等旅游景区共接待游客万人次．万人次用科学记数法表示为 人次． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法进行解答即可． 【详解】解：万用科学记数法表示为． 故答案为：． 【例5-2】一个水分子的直径约米．将用科学记数法表示的结果是 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的个数所决定．确定a与n的值是解题的关键．这里的． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式5-1】（22-23七年级上·上海长宁·期中）若正方体的棱长为，那么它的体积为 ．（用科学记数法表示） 【答案】 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数、用科学记数法表示绝对值大于1的数、多个有理数的乘法运算 【分析】根据正方体的体积公式进行求解即可． 【详解】解：， 由题意得，该正方体体积为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了科学记数法和有理数乘法计算，熟知正方体体积公式是解题的关键． 【变式5-2】在纺织工业中，“丝”是一个常用的长度单位，通常用来表示非常小的长度，1丝毫米米，0.00001米用科学记数法表示为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可． 【详解】解：A：，符合规则但指数为正，故错误，本选项不符合题意； B：，虽然数值等于0.00001，但不满足，故错误，本选项不符合题意； C：，符合规则且数值正确，故本选项符合题意； D：，数值为0.000001，与原数不符，故错误，本选项不符合题意； 故选：C． 题型六 有关的规律探索题 【例6-1】已知：，，请根据以上规律得到的结果是（   ） A．0.071 B．0.224 C．0.0017 D．0.0224 【答案】A 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查算术平方根有关的规律探索，将化成是解题的关键． 根据，再把代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴． 故选：A． 【例6-2】观察下表规律： 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 利用规律：如果，，则 ． 【答案】0.2872 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】此题考查了立方根，如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：0.2872． 【变式6-1】观察表格 a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 0.1 1 10 100 … 按表中规律若已知，，用含m的式子表示n，则 ． 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查算术平方根的规律探究，通过表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位， ∵，， ∴； 故答案为：． 【变式6-2】观察规律，，，则 ． 【答案】 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了立方根，根据已知等式确定出所求式子的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】按要求填空： （1）填表并观察规律： a 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 4 400 2 20 【答案】（1）见解析 （2），68 （3）求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据（1）可得规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，由此即可得； （3）根据（1）解题过程找出规律即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，，， 填表如下： a 0.0004 0.04 4 400 0.02 0.2 2 20 （2）解：由（1）可知，求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位， ∵， ∴被开方数的小数点向右移动2位得到580，则它的算术平方根的小数点向右移动1位，即； ∵，， ∴将被开方数的小数点向右移动4位即可得到， ∴； 故答案为：，68． （3）解：从以上问题的解决过程中，发现的规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位． 基础巩固通关测 一、单选题 1．若有一个实数为，则它的相反数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数概念理解、相反数的定义 【分析】根据相反数的定义化简即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴的相反数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了实数，相反数，掌握一个数a的相反数是是解题的关键． 2.有一个如图的数值转换器，当输出值是时，输入的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】设输入的数为，根据输出值是4即可求出答案． 【详解】解：设输入的数为， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是算术平方根的概念和性质，解题的关键是掌握一个正数的正的平方根是这个数的算术平方根是解题的关键，注意有理数的概念． 3．（22-23七年级下·上海宝山·阶段练习）若是实数，且，则下列关系式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质、实数的大小比较、立方根概念理解、利用算术平方根的非负性解题 【分析】根据算术平方根，立方根，不等式的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵是实数，且， A. 当时，，故该选项不正确，不符合题意； B. 当时，，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. 当时，，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，不等式的性质，实数的大小比较，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题 4.根据你发现的规律填空：已知，若，则 【答案】 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． 依据被开方数小数点向左或向右移动3位，对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 5.把小数化为分数 ． 【答案】 【知识点】 分数化小数 【分析】本题考查了小数化为分数，根据再约分，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 6．（23-24七年级下·上海松江·期末）比较大小： （填“＞”，“＝”，“＜”）． 【答案】< 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较被开方数的大小，然后根据两个负数的大小比较即可求解． 【详解】解：∵，， ∵ ∴，即， 故答案为：<． 7．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、程序设计与实数运算 【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的性质和应用．根据立方根、算术平方根的含义和求法，以及有理数、无理数的含义和求法，求出当输入的为36时，输出的值是多少即可． 【详解】解：当输入x为36时，， 是有理数，， 是无理数， ∴当输入的为36时，输出的值是． 故答案为：． 8.的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】首先将化为假分数；然后根据算术平方根的含义求解即可． 【详解】， ∴的算术平方根是：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 9．（22-23七年级下·上海宝山·期末）已知实数的一个平方根是，则它的另一个平方根是 ． 【答案】 【知识点】平方根的应用 【分析】因为一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数的关系即可求出另一个平方根． 【详解】解：∵实数的一个平方根是， ∴它的另一个平方根是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平方根的应用，解决本题的关键是要熟练掌握平方根的意义． 10.已知，那么 ． 【答案】0 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的算术平方根 【分析】首先利用偶次方以及算术平方根的非负性得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】∵ ∴， ∴， ∴． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了偶次方以及算术平方根的非负性，掌握非负数的性质是解题的关键． 三、解答题 11．（22-23七年级下·上海宝山·阶段练习）解方程： 【答案】 【知识点】求一个数的立方根 【分析】两边同时除以，然后根据立方根的定义解方程即可求解． 【详解】 即 ∴ 解得： 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 12．（22-23七年级下·上海宝山·期末）计算：． 【答案】6 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】根据立方根定义，算术平方根定义进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了算术平方根和立方根定义，解题的关键是熟练掌握相关定义，准确计算． 13．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）一个正数的两个平方根分别是和，求这个数． 【答案】49 【知识点】相反数的应用、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了已知一个数的平方根求这个数、平方根的性质，根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得 ∴ ∴ ∴这一个正数为． 14.一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a＋2 (1)求a和x的值； (2)求3x＋2a的平方根． 【答案】(1)a＝﹣1，x＝9 (2)±5 【知识点】平方根的应用、求一个数的平方根、平方根概念理解、相反数的应用 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求出a的值，再将a的值代入2a﹣1即可求出x的值； （2）将（1）中的结果代入求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴2a﹣1+（﹣a+2）＝0， 解得a＝﹣1， ∴x＝（2a﹣1）2＝（﹣3）2＝9． （2）解：∵3x+2a＝3×9﹣2＝25， 又∵25的平方根为±5， ∴3x+2a的平方根为±5． 【点睛】本题考查了平方根的知识，解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数． 15.按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】(1)见解析 (2)，68 (3)求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据（1）可得规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，由此即可得； （3）根据（1）解题过程找出规律即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，，， 填表如下： 4 400 2 20 （2）解：由（1）可知，求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位， ∵， ∴被开方数的小数点向右移动2位得到580，则它的算术平方根的小数点向右移动1位，即； ∵，， ∴将被开方数的小数点向右移动4位即可得到， ∴； 故答案为：，68． （3）解：从以上问题的解决过程中，发现的规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位． 能力提升进阶练 1．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）写出在与之间的一个有理数，这个数可以是 （只需填写一个）． 【答案】答案不唯一，3 【知识点】无理数的大小估算 【分析】根据无理数的估算，实数大小比较解答即可．本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算思想是解题的关键． 【详解】∵，， ∴在与之间的一个有理数，可以是3， 故答案为：3． 2．（22-23七年级下·上海·期中）将数轴沿着点P对折，如果两个点正好重合，把这两个点叫做关于点P的“对称点”，如果表示的点和表示点是一组关于点P的“对称点”，那么表示的点关于点P的对称点所表示的数是 ． 【答案】 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查的是实数与数轴．先根据表示的点和表示 点是一组关于点的“对称点”，计算出点表示的数为，然后设表示的点关于点的对称点所表示的数为，则：，求解即可． 【详解】解：表示的点和表示 点是一组关于点的“对称点”， 点表示为：， 设表示的点关于点的对称点所表示的数为， 则：， 解得：， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·上海崇明·期中）已知16的平方根是，，那么 ． 【答案】或/或 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查平方根，立方根．如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，由此即可计算． 【详解】解：的平方根是， ， ， ， 当，时， ； 当，时， ． 故答案为：或． 4.已知 那么 ． 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、求一个数的算术平方根 【分析】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的性质是解题关键．直接利用算术平方根的性质化简得出答案． 【详解】解：， ， ， ∴， ； 故答案为： 5．（23-24七年级下·上海静安·期中）若实数满足等式，则化简 ． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、利用算术平方根的非负性解题、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，化简绝对值，先根据算术平方根的非负性得出，从而得出，，由题意得出，结合，，得出，再根据绝对值的性质化简绝对值即可． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， ，， ， ， ，， ， ． 6．（23-24七年级下·上海·期中）若的整数部分为，小数部分为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查无理数的估算的运算，掌握无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分并理解其表示形式是解题的关键．无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即 ∴, ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·上海·阶段练习）已知，，则 （精确到0.01）． 【答案】 【知识点】求一个数的近似数、无理数的大小估算 【分析】本题考查了近似数、实数的运算，取、近似值，然后计算． 【详解】 ； 故答案为：． 8．（22-23七年级下·上海青浦·期中）已知是连续的正整数，，则 ． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，根据，可得，，代入代数式计算即可求解，由夹逼法求出的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是连续的正整数，， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·上海静安·期中）公园里有一块面积为10平方米的正方形绿化地，现在这块地上划出一个扇形区域举办花展，并在扇形的周边围上低矮的篱笆，如图所示，正方形为绿化地，扇形为所划区域，，求需要多长的篱笆．（，结果精确到十分位） 【答案】需要米的篱笆 【知识点】算术平方根的实际应用、扇形的周长和面积 【分析】本题考查了算术平方根的应用、求扇形的周长，由算术平方根的定义得出，结合得出，求出扇形的周长，即可得出答案． 【详解】解：公园里有一块面积为10平方米的正方形绿化地， （米）， ，， （米）， 扇形为所划区域， （米），扇形的周长（米）， 需要的篱笆长度（米）， 需要米的篱笆． 10.求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们解答以下问题： a … 0.04 4 400 40000 … … 0.2 2 20 200 … (1)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根： ① ；② ； (2)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根．已知，则 (3)知识联系与迁移：请求出下列方程中x的值 ① ② 【答案】(1)0.1435，14.35 (2)12.60 (3)①或；② 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题、求一个数的立方根 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，解题的关键在于从小数点的移动位数找出规律来解题． （1）依据从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答； （2）根据（1）中的规律进行类比解答即可； （3）①先移项，再运用求一个数的平方根进行解方程，即可作答． ②先移项，再运用求一个数的立方根进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：0.1435，14.35； （2）解：类比算术平方根中被开方数的小数点变化规律，可得：被开方数扩大或缩小倍，立方根就相应的扩大或缩小倍；或者说成被开方数的小数点向左或向右移动位，则立方根的小数点就向左或向右移动位．即有： ， ． 故答案为： （3）解：移项得 即 得或； ②原方程移项得， 即， 解得． 11.探索与应用． (1)先填写下表，通过观察后再回答问题： ．．． 0.0001 0.01 1 100 10000 ．．． ．．． 0.01 1 100 ．．． ①表格中________；_________； ②从表格中探究与的数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： 已知，若，则___________． 已知，则___________． (2)阅读例题，然后回答问题： 例题：设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得，因为都是有理数，所以也是有理数，由于是无理数，所以，所以，所以． 问题：设都是有理数，且满足，求的值． 【答案】(1)①，；②；； (2) 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、利用平方根解方程 【分析】本题考查算术平方根的规律探究，实数的运算，利用平方根的含义解方程，解题的关键是弄清题中给出的解答方法，然后运用类比的思想进行解答． （1）①根据表格信息可得：算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，从而可得答案； ②根据①中规律解答即可； （2）把化为，可得，，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：①由题意可得：表格中；； ②∵，， ∴； ∵， ∴． （2）解： 移项得：， 是无理数， ，， 解得：，　　 ； ∴或． 12．（2024七年级下·上海·专题练习）皓皓同学在学习了“平方根”这节课后知道了“负数在实数范围内没有平方根”，她对这句话产生了兴趣，她想知道负数在其他范围内是否有平方根，所以她上网查找了以下一些资料． 数的概念是从实践中产生和发展起来的，在学习了实数以后，像这样的方程还是没有实数解的，因为没有一个实数的平方等于，即负数在实数范围内没有平方根，所以为了了解形如这类方程的解，就要引入一个新的数． 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位． 在这种情况下，可以与实数相乘再同实数相加从而得到形如“” 、为实数）的数，人们把这种数叫作复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 比如： （1） （2） （3） 这样数的范围就由实数扩充到了复数，在这种规定下，负数在复数范围内就有平方根．比如：就是的平方根． 根据上面的材料解答以下问题： (1)计算： ①___________②___________③___________ (2)在复数范围内的平方根是___________ (3)在复数范围内分解因式___________． 【答案】(1)①②③ (2) (3) 【知识点】新定义下的实数运算、因式分解的应用 【分析】本题考查的是实数的运算和因式分解的应用，理解新定义、正确运用因式分解的方法是解题的关键． （1）①根据合并同类项法则计算即可； ②根据积的乘方进行运算，③根据完全平方公式计算； （2）根据平方根的概念计算； （3）根据因式分解的方法进行计算即可． 【详解】（1）①， ②， ③； （2）； （3） ． 13．（22-23七年级下·上海奉贤·期中）在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”，请模仿这种方法，说明是无理数． 阅读材料： “无理数”的由来 为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． 假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则a是2的倍数． 再设，其中m是整数，就有：， 也就是：， 所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数． 解：假设是一个有理数． 则（a、b是整数且a、b互素且）， 则， 两边同时平方得：_____________， 所以：，可得：， 所以：______________， 因为：______________， 所以：是一个无理数． 【答案】；；为有理数，必为有理数，而为无理数，与前面所设矛盾 【知识点】无理数 【分析】仿照题干方法进行证明即可． 【详解】假设是一个有理数． 则（a、b是整数且a、b互素且）， 则， 两边同时平方得：， 所以：，可得：， 所以：， 因为：为有理数，必为有理数，而为无理数，与前面所设矛盾， 所以：是一个无理数． 【点睛】本题考查了无理数的证明，能够理解并运用题干的反证法是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$