第15讲 正多边形和圆 （知识清单+4大题型+好题必刷）核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第15讲 正多边形和圆 （知识清单+4大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 求正多边形的中心角 题型二 已知正多边形的中心角求边数 题型三 正多边形和圆的综合 题型四 尺规作图——正多边形 知识清单 知识点1．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 题型练习 【题型一】求正多边形的中心角 【例1】（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）正六边形的中心角是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）正方形作为一种简单而纯粹的几何形状，蕴含着丰富的美学价值．其独特的美学魅力体现在均衡与和谐上，我国古代许多建筑设计和棋盘设计中均存在正方形要素，正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，点O为正五边形的中心，连接，，则的度数为 ． 3．（2023·河北邯郸·二模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如）始终垂直于水平线l．    (1)________° (2)若，的半径为10，小圆的半径都为1： ①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________； ②当圆心H到l的距离等于时，求的长； ③求证：在旋转过程中，的长为定值，并求出这个定值． 【题型二】已知正多边形的中心角求边数 【例2】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知正多边形的中心角是30度，则这个正多边形的边数是（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【举一反三】 1．（24-25九年级上·云南楚雄·期中）若一个圆内接正多边形的中心角是60°，则这个正多边形是（    ） A．正八边形 B．正七边形 C．正六边形 D．正五边形 2．（24-25九年级上·江西赣州·期末）若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个正多边形是 ． 3．（24-25九年级上·山东·期末）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ． 【题型三】正多边形和圆的综合 【例3】．（24-25九年级上·四川泸州·期末）已知正六边形的周长是，则该正六边形的半径是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，正六边形内接于为的中点，连接，，四边形的面积为，正六边形剩余部分的面积为，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 2．（22-23九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是 ． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【题型四】尺规作图——正多边形 【例4】如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 【举一反三】 1．如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号） 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上 (1)请在图中标出的外接圆的圆心的位置，并填写圆心的坐标：______． (2)尺规作图：画出，并作它的一个内接三角形，要求该三角形为等边三角形． 3．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． （1）如图1，E是平行四边形ABCD边AD上一点，过点A画一条直线，使其与EC平行； （2）如图2，正六边形ABCDEF（六边相等，六角相等的六边形），在图中画一条直线，使其垂直平分AF； （3）如图3，⊙O是四边形ABCD的外接圆，且AB＝BC＝CD，在图中画一条异于BC的直线，使其与AD平行 好题必刷 一、单选题 1．一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 2．已知有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，则此地基的周长为（　　） A．12m B． C．24m D． 3．如图，以点为圆心的两个同心圆把以为半径的大圆的面积三等分，这两个圆的半径分别为，．则的值是（    ） A． B． C． D． 4．如图，点是正六边形的中心，的两边，分别与，相交于点，，当时，下列说法错误的是（ ） A． B． C． D．与相等 5．正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是(    ) A．10 B．8 C．6 D．5 6．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数是（  ） A．72° B．70° C．60° D．45° 7．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC延弦AC翻折交AB于点D，连接CD．若∠BAC＝20度，则∠BDC＝（    ） A．80° B．70° C．60° D．50° 8．如图为正七边形ABCDEFG，以这个正七边形的顶点A和其它六个顶点中的任两个顶点画三角形，所画的三角形中，包含正七边形的中心的三角形个数为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 9．如图，正五边形内接于，为上一点（点与点、不重合），连接、，，垂足为，的度数为（   ）      A． B． C． D． 10．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ） A． B． C． D．2 二、填空题 11．若正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为 ． 12．已知正六边形的边心距为3，那么它的边长为 ． 13．正五边形绕着它的中心至少旋转 度，能与它本身重合． 14．如图是由中国结和雪花两种元素组成的一个图案，这个图案绕着它的旋转中心旋转角度后能够与它本身重合，则角可以是 度．（写出一个即可）    15．一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为 ． 16．如图①，直六棱柱的底面是正六边形，侧面ABCD中，AB=10cm，BC=20cm，现用一块矩形纸板EFGH制作图①中的直六棱柱，按图②中的方案裁剪，则GF的长是 ． 17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C=130°，则∠BOD的度数是 ．    18．如图1，将一个正三角形绕其中心最少旋转，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转 45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转 ，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为，则所得正八边形的面积为 ． 三、解答题 19．要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少是多少？ 20．在圆内接四边形中，，，的度数比是，求四边各内角的度数. 21．正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 22．如图所示，的底边BC的长为10cm，，，求它外接圆的直径. 23．求半径为的圆内接正四边形的边长、边心距和面积． 24．如图，的半径为R，正方形，正方形分别是的内接正方形和外切正方形．求二者的边长比和面积比． 25．如图，四边形内接于圆，，对角线平分． （1）求证：是等边三角形； （2）过点作交的延长线于点，若，求的面积． 26．教材的课题学习要求同学们用一张正三角形纸片折叠成正六边形，小明同学按照如下步骤折叠： 请你根据小明同学的折叠方法，回答以下问题：如果设正三角形ABC的边长为a，那么 ______ 用含a的式子表示； 根据折叠性质可以知道的形状为______ 三角形； 请同学们利用、的结论，证明六边形KHGFED是一个六边形. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 正多边形和圆 （知识清单+4大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 求正多边形的中心角 题型二 已知正多边形的中心角求边数 题型三 正多边形和圆的综合 题型四 尺规作图——正多边形 知识清单 知识点1．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 题型练习 【题型一】求正多边形的中心角 【例1】（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）正六边形的中心角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】此题考查了正多边形的中心角．据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心角是：，此题比较简单，注意准确掌握定义是关键． 【详解】解：正六边形的中心角是：． 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）正方形作为一种简单而纯粹的几何形状，蕴含着丰富的美学价值．其独特的美学魅力体现在均衡与和谐上，我国古代许多建筑设计和棋盘设计中均存在正方形要素，正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】本题主要考查了正方形的中心角，解决问题的关键是熟练掌握正多边形的中心角的定义及计算方法． 正多边形的中心是正多边形的外接圆的圆心，正多边形的中心角是正多边形每一边所对的外接圆的圆心角，据此即可解答， 【详解】解：如图， 设正方形的中心为点O， 则 故选：B． 2．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，点O为正五边形的中心，连接，，则的度数为 ． 【答案】/72度 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】本题考查正多边形的中心角，根据正n边形的中心角为进行求解即可． 【详解】解：∵点O为正五边形的中心， ∴． 故答案为： 3．（2023·河北邯郸·二模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如）始终垂直于水平线l．    (1)________° (2)若，的半径为10，小圆的半径都为1： ①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________； ②当圆心H到l的距离等于时，求的长； ③求证：在旋转过程中，的长为定值，并求出这个定值． 【答案】(1)60 (2)①25；②；③的长为定值，定值为10． 【知识点】圆的基本概念辨析、求正多边形的中心角、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】（1）将平均分6份即可； （2）①当圆心M在的延长线上时，圆心M与l有最大距离，据此即可求解； ②设的挂点为K，过点H作于点T，先证四边形是矩形，再用勾股定理解即可； ③先证是等边三角形，再证是平行四边形，可得． 【详解】（1）解：， 故答案为：60； （2）解：①当圆心M在的延长线上时，圆心M与l有最大距离， 最大距离为， 故答案为：25； ②如图，设的挂点为K，过点H作于点T，    ∵挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l， ∴K，H，T在同一直线上， ∵圆心H到l的距离等于， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； ③证明：如图所示，连接，，    由（1）知， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵小圆的半径都为1，挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的长为定值． 【点睛】本题考查圆的基本知识，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是根据题意抽象出数学模型． 【题型二】已知正多边形的中心角求边数 【例2】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知正多边形的中心角是30度，则这个正多边形的边数是（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【知识点】已知正多边形的中心角求边数 【分析】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．根据正多边形的中心角的计算公式计算即可，中心角等于（n为边数）． 【详解】解：由题意得，这个正多边形的边数是， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·云南楚雄·期中）若一个圆内接正多边形的中心角是60°，则这个正多边形是（    ） A．正八边形 B．正七边形 C．正六边形 D．正五边形 【答案】C 【知识点】已知正多边形的中心角求边数 【分析】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键． 根据正多边形的中心角的计算公式计算即可． 【详解】解：， 即这个多边形的边数是6，是正六边形． 故选：C． 2．（24-25九年级上·江西赣州·期末）若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个正多边形是 ． 【答案】正八边形 【知识点】已知正多边形的中心角求边数 【分析】本题考查正多边形和圆，根据圆内接正n多边形的中心角为求解即可． 【详解】解：∵圆内接正多边形的中心角是， ∴这个正多边形的边数为， ∴这个正多边形是正八边形， 故答案为：正八边形． 3．（24-25九年级上·山东·期末）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ． 【答案】12 【知识点】圆周角定理、已知正多边形的中心角求边数 【分析】本题考查圆周角定理，正多边形与圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，再根据正多边形的中心角度数的计算公式 进行求解即可． 【详解】解：∵是的内接正n边形的一边，点C在上，， ∴， ∴； 故答案为：12． 【题型三】正多边形和圆的综合 【例3】．（24-25九年级上·四川泸州·期末）已知正六边形的周长是，则该正六边形的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查正六边形的性质，解题的关键是理解正六边形的半径与边长的关系．由于正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，而三角形的边长就是正六边形的半径，由此即可求解． 【详解】解：正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形， 而三角形的边长就是正六边形的半径， 又正六边形的周长为， ∴正六边形边长为， ∴正六边形的半径等于， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，正六边形内接于为的中点，连接，，四边形的面积为，正六边形剩余部分的面积为，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了圆内接正多边形，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵正六边形内接于，为的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设正六边形的面积为，则， ∴ 故选：C． 2．（22-23九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是 ． 【答案】3 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 连接、，根据的周长等于，可得的半径，而六边形是正六边形，即知，是等边三角形，即可得正六边形的边长． 【详解】解：连接、，如图： 的周长等于， 的半径， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， 即正六边形的边长为3， 故答案为：3． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查作图—复杂作图、正多边形和圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．任意作一条直径，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交于点B，F，再分别以点B，F为圆心，的长为半径画弧，分别交于点C，E，顺次连接，，，，，，即可得六边形． 【详解】解：如图，任意作一条直径，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交于点B，F，再分别以点B，F为圆心，的长为半径画弧，分别交于点C，E，顺次连接，，，，，， 则六边形即为所求． 【题型四】尺规作图——正多边形 【例4】如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 【答案】D 【知识点】正多边形和圆的综合、尺规作图——正多边形 【分析】甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相等，乙的做法根据等边三角的内角是60°，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相等 【详解】甲： ∵BF是中垂线   ∴四边形OCDE是菱形    ∴△OCD, △OED都是等边三角形， 同理可得△OAB, △OAF也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 乙： ∵AB=AO=BO=AF=OF ∴△OAB, △OAF都是等边三角形， 同理可得△OCD, △OED也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 故选D 【点睛】本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等 【举一反三】 1．如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号） 【答案】 【知识点】尺规作图——正多边形、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】连接AG，由作图可知，OA＝2，H为OF中点，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可． 【详解】解：连接AG，由作图可知，OA＝2，OH＝1，H为OF中点， ∴OH=， 在Rt△OAH中，由勾股定理 ∴AH＝， ∵AH＝HG＝， ∴OG＝GH﹣OH＝﹣1， 在Rt△AOG中，由勾股定理得， ∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2． 故答案为：10﹣2． 【点睛】本题考查尺规作圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧，掌握圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧的方法是解题关键． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上 (1)请在图中标出的外接圆的圆心的位置，并填写圆心的坐标：______． (2)尺规作图：画出，并作它的一个内接三角形，要求该三角形为等边三角形． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【知识点】坐标与图形、尺规作图——正多边形、画圆(尺规作图) 【分析】（1）分别作、的垂直平分线相交于点，则点即为所求； （2）利用半径把圆等分即可作出等边三角形． 【详解】（1）如图所示，点即为所求，， 故答案为：； （2）如图，即为所求． 【点睛】本题考查作图，坐标与图形的性质，垂径定理，三角形外心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． 3．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． （1）如图1，E是平行四边形ABCD边AD上一点，过点A画一条直线，使其与EC平行； （2）如图2，正六边形ABCDEF（六边相等，六角相等的六边形），在图中画一条直线，使其垂直平分AF； （3）如图3，⊙O是四边形ABCD的外接圆，且AB＝BC＝CD，在图中画一条异于BC的直线，使其与AD平行． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【知识点】尺规作图——正多边形 【分析】（1）连接AC，BD交于点O，作直线OE交BC于F，作直线AF即可． （2）连接AE，BF交于点G，连接BD，CE交于点H，作直线GH即可． （3）作直径BE，CF，作直线EF即可． 【详解】解：（1）如图1，直线AF即为所求作． （2）如图2，直线GH即为所求作． （3）如图3，直线EF即为所求作． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，平行四边形的性质，正多边形和圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题. 好题必刷 一、单选题 1．一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得，再根据正多边形的中心角与边数的关系即可得． 【详解】解：如图，由题意得：， 是等边三角形， ， 则这个正多边形的边数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的中心角与边数的关系是解题关键． 2．已知有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，则此地基的周长为（　　） A．12m B． C．24m D． 【答案】C 【分析】连接，则，得是等边三角形，求得的长度，即可得答案． 【详解】解：如下图，连接，则， 正六边形的边长为4m， ， 是等边三角形， ， 地基的周长为， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形，解题的关键是证明是等边三角形，通过正多边形的半径求得正六边形的边长． 3．如图，以点为圆心的两个同心圆把以为半径的大圆的面积三等分，这两个圆的半径分别为，．则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的面积公式得出方程，根据算术平方根求出OA、OB、OC的值，再代入即可得出答案 【详解】解：以OA半径的圆的面积是πr2，则以OB半径的圆的面积是πr2，则以OC半径的圆的面积是πr2 ∴πr2，πr2， ∴OB＝r，OC＝r． ∴OA：OB：OC＝r：r：r＝ ：：1， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，算术平方根，圆的面积的应用，解此题的关键是能根据题意得出关于OA、OB、OC的方程，难度不是很大． 4．如图，点是正六边形的中心，的两边，分别与，相交于点，，当时，下列说法错误的是（ ） A． B． C． D．与相等 【答案】C 【分析】根据正六边形的性质以及全等三角形的判定和性质逐项进行证明即可． 【详解】解：如下图所示，连接． 点O是正六边形的中心， ，，，，． ，． ． ， ，． 故A选项不符合题意． ， ． （AAS）． ，． 故D选项不符合题意． ． 故B选项不符合题意． ． ． 故C选项符合题意． 故选：C 【点睛】此题考查正六边形的性质以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 5．正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是(    ) A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【详解】试题分析：设这个正多边形的边数是n， ∵正多边形的中心角是36°， ∴=36°， 解得n=10． 故选A． 考点：正多边形和圆． 6．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数是（  ） A．72° B．70° C．60° D．45° 【答案】A 【分析】由正五边形的性质可知△ABC是等腰三角形，求出∠B，的度数即可解决问题． 【详解】解：在正五边形ABCDE中， ∠B=∠BCD=×（5-2）×180=108°，AB=BC， ∴∠BCA=∠BAC=（180°-108°）=36°， ∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=108°-36°=72°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单． 7．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC延弦AC翻折交AB于点D，连接CD．若∠BAC＝20度，则∠BDC＝（    ） A．80° B．70° C．60° D．50° 【答案】B 【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，然后根据所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，可得∠ADC＋∠B＝180°，结合∠ADC＋∠BDC＝180°即可得出结论． 【详解】解：如图，连接BC， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝20°， ∴∠B＝90°−∠BAC＝90°−20°＝70°． 根据翻折的性质， 所对的圆周角为∠B， 所对的圆周角为∠ADC， ∴∠ADC＋∠B＝180°， ∵∠ADC＋∠BDC＝180°， ∴∠B＝∠CDB＝70°． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理的应用，掌握圆周角性质定理及翻折的性质是解题的关键． 8．如图为正七边形ABCDEFG，以这个正七边形的顶点A和其它六个顶点中的任两个顶点画三角形，所画的三角形中，包含正七边形的中心的三角形个数为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【详解】分析：由题意可知分别以顶点A和其它六个顶点中的任两个顶点画三角形，要包含正七边形的中心，只能与顶点相对应的两个顶点构成. 详解：如图： 故答案：B. 点睛：本题考查了多边形的对角线. 9．如图，正五边形内接于，为上一点（点与点、不重合），连接、，，垂足为，的度数为（   ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的性质，圆周角定理等知识，连接．求出正五边形的中心角，再利用圆周角定理可得结论． 【详解】解：连接．      在正五边形中，， ， ， ， 故选：B． 10．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】设的半径是，则，根据是的平分线，求出，进而得出，再根据相似比求出，从而得到的值． 【详解】解：连接、、，如图所示： 设的半径是，则， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即的值是， 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形与圆的关系．解答本题的关键是熟练掌握正多边形的有关概念，并准确运用他们求线段长． 二、填空题 11．若正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】根据正多边形的中心角的度数，进行计算即可． 【详解】解：由题意得：，解得：； ∴正多边形的边数为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形的中心角．熟练掌握中心角的度数，是解题的关键． 12．已知正六边形的边心距为3，那么它的边长为 ． 【答案】 【分析】连接，作于C，由正六边形的性质得出，，得出，由勾股定理求出，得出即可． 【详解】解：如图所示： 连接、，作于C， 则，，， ∴， ∴设，则， 由勾股定理可得，， 解得：， ∴， 即它的边长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正六边形的性质，运用勾股定理求出AC是解决问题的关键． 13．正五边形绕着它的中心至少旋转 度，能与它本身重合． 【答案】72 【分析】如图（见解析），先根据正五边形的性质可得，正五边ABCDE至少旋转的度数为的度数，再根据正五边形的性质求解即可得． 【详解】如图，由题意可知，所求的问题为的度数 由正五边形的性质得： 又 故答案为：72．    【点睛】本题考查了图形的旋转、正五边形的性质，理解题意，掌握正五边形的性质是解题关键． 14．如图是由中国结和雪花两种元素组成的一个图案，这个图案绕着它的旋转中心旋转角度后能够与它本身重合，则角可以是 度．（写出一个即可）    【答案】（答案不唯一） 【分析】先求出正六边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可． 【详解】解：， 则这个图案绕着它的中心旋转或的倍数后能够与它本身重合， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了旋转对称图形、正多边形的性质，掌握正六边形的中心角是关键． 15．一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为 ． 【答案】1800° 【详解】解：根据题意得：这个正多边形的边数为=12， 所以这个正多边形的内角和为（12﹣2）×180°=1800°． 故答案为1800°． 16．如图①，直六棱柱的底面是正六边形，侧面ABCD中，AB=10cm，BC=20cm，现用一块矩形纸板EFGH制作图①中的直六棱柱，按图②中的方案裁剪，则GF的长是 ． 【答案】（20+20）cm． 【分析】直接利用正六边形的性质结合六棱柱侧面展开图的性质分析得出答案． 【详解】如图所示：可得MN=BC=20cm， △OWM是等边三角形，边长为10cm， 则它的高为：（cm）， 故FG=20+4×5=（20+20）cm， 故答案为（20+20）cm． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键． 17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C=130°，则∠BOD的度数是 ．    【答案】100°． 【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，再根据圆周角定理进行求解即可. 【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠C=130°， ∴∠A=50°， ∴∠BOD=2∠A=100°， 故答案为100°． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键. 18．如图1，将一个正三角形绕其中心最少旋转，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转 45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转 ，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为，则所得正八边形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意，可以发现正n边形绕其中心最少旋转，所得图形与原图的重叠部分是正2n边形；旋转后的正八变形相当于将正方形剪掉了的4个全等的等腰直角三角形，设等腰直角三角形的边长为x，则正八边形的边长为x；然后根据x+x+x=4求得x；最后用正方形的面积减去这八个等腰直角三角形的面积即可． 【详解】解：由题意得：正n边形绕其中心最少旋转，所得图形与原图的重叠部分是正2n边形；则将一个正七边形绕其中心最少旋转所得图形与原图的重叠部分是正多边形； 由题意得：旋转后的正八变形相当于将正方形剪掉了的4个全等的等腰直角三角形， 设等腰直角三角形的边长为x，则正八边形的边长为x ∴x+x+x=4，解得x=4-2 ∴减去的每个等腰直角三角形的面积为： ∴正八边形的面积为：正方形的面积-4×等腰直角三角形的面积 =4×4-4（） =． 故答案为，． 【点睛】本题考查了旋转变换、图形规律以及勾股定理等知识，根据题意找到旋转规律是解答本题的关键． 三、解答题 19．要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少是多少？ 【答案】半径至少为a． 【分析】画出正方形外接圆，连接AC，求出正方形外接圆半径即可． 【详解】解：如图所示，连接AC， ∵∠D＝90°， ∴AC为直径， 在 Rt△ACD中，AC＝＝a， ∴半径至少为a． 【点睛】本题考查了正多边形和圆的计算，解题关键是画出图形，准确进行计算． 20．在圆内接四边形中，，，的度数比是，求四边各内角的度数. 【答案】四边形各内角的度数分别是，，，. 【分析】设，，，由圆内接四边形的性质可得，得到x，再由圆周角定理得到答案. 【详解】依题意，设，，， ∴，∴. ∴，，. ∴. ∴四边形各内角的度数分别是，，，. 【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质. 21．正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 【答案】周长，面积 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，根据正多边形的性质，得出为等边三角形，即可解答．解题的关键是掌握正多边形每条边相等，以及中心角的求法． 【详解】解：正六边形的周长； 连接，过点O作于点G， ∵该六边形为正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， 正六边形的面积． 22．如图所示，的底边BC的长为10cm，，，求它外接圆的直径. 【答案】 【分析】连接OA交BC于D，根据三线合一定理得出BD=DC，∠OAC=∠BAC，得出等边三角形OAC，推出∠AOC=60°，在△ODC中根据勾股定理求出即可半径，进而求得直径． 【详解】解：如图所示，是的外接圆，连接OA交BC于D， ∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC， ∴∠AOC=∠BOA， ∵OB=OC， ∴BD=DC，OA⊥BC， ∴由垂径定理得：BD=DC=5cm， ∠OAC=∠BAC=×120°=60°， ∵OA=OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠AOC=60°， ∴∠DCO=90°-60°=30° ∴OC=2OD， 设OD=a，OC=2a，由勾股定理得：a2+52=（2a）2， a=， ∴OC=2a=， ∴外接圆的直径=2OC=（cm）． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外接圆和外心，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，此题有一定的难度，注意：此等腰三角形的外心在三角形外部． 23．求半径为的圆内接正四边形的边长、边心距和面积． 【答案】，， 【分析】根据题意画出图形，连接OB、OC，过点O作OG⊥BC于点G，可得，根据勾股定理，可得到正方形的边长，从得到正方形的面积，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：根据题意如图， 的内接正方形为ABCD，连接OB、OC，过点O作OG⊥BC于点G， ∵四边形ABCD是正方形， ∴ ， ∵的半径为， ∴OB=OC=6cm， 在 中，由勾股定理得： ， ∴正方形为ABCD的面积为 ， ∵OB=OC，OG⊥BC， ∴点G为BC的中点，即OG是 的中点， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了圆内接多边形的定义，正多边形的定义，正多边形的边心距的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 24．如图，的半径为R，正方形，正方形分别是的内接正方形和外切正方形．求二者的边长比和面积比． 【答案】， 【分析】连接OA，过点O作OM⊥AD于D，根据圆内接正方形的性质证得△OAM是等腰直角三角形，，由此求出AB及的长，求出两者的比值即可求出面积的比． 【详解】解：连接OA，过点O作OM⊥AD于D， ∵的半径为R， ∴OA=R， ∵正方形是的内接正方形， ∴， ∴△OAM是等腰直角三角形，， ∴，， ∴ =， ∴=． ． 【点睛】此题考查圆内接正方形及外切正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，图形面积比的计算，熟记圆内接正多边形的性质及外切正多边形的性质是解题的关键． 25．如图，四边形内接于圆，，对角线平分． （1）求证：是等边三角形； （2）过点作交的延长线于点，若，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）； 【分析】（1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断； （2）过点A作AE⊥CD，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F．根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，分别求出△ABC，△ACD的面积，即可求得四边形ABCD的面积，然后通过证得△EAB≌△DCB（AAS），即可求得△BDE的面积=四边形ABCD的面积=. 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O． ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵∠ABC=60°， ∴∠ADC=120°， ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB=∠CDB=60°， ∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BAC=∠CDB=60°， ∴∠ABC=∠BCA=∠BAC， ∴△ABC是等边三角形； （2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N． ∴∠AMD=90° ∵∠ADC=120°， ∴∠ADM=60°， ∴∠DAM=30°， ∴DM=AD=1，AM=， ∵CD=3， ∴CM=CD+DE=1+3=4， ∴S△ACD=CD-AM=×3×=， 在Rt△AMC中，∠AMD=90°， ∴AC=， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=， ∴BN=， ∴S△ABC=××=， ∴四边形ABCD的面积=+=， ∵BE∥CD， ∴∠E+∠ADC=180°， ∵∠ADC=120°， ∴∠E=60°， ∴∠E=BDC， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠EAB=∠BCD， 在△EAB和△DCB中， ， ∴△EAB≌△DCB（AAS）， ∴△BDE的面积=四边形ABCD的面积=. 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 26．教材的课题学习要求同学们用一张正三角形纸片折叠成正六边形，小明同学按照如下步骤折叠： 请你根据小明同学的折叠方法，回答以下问题：如果设正三角形ABC的边长为a，那么 ______ 用含a的式子表示； 根据折叠性质可以知道的形状为______ 三角形； 请同学们利用、的结论，证明六边形KHGFED是一个六边形． 【答案】 等边 【详解】试题分析：（1）根据折叠的性质即可得到结论； （2）根据折叠的性质即可得到结论； （3）由（2）知△CDE为等边三角形，根据等边三角形的性质得到CD=CE=DE=CO÷cos30°=a，求得∠ADE=∠BED=120°，同理可得，AH=AK=KH=a，BG=BF=GF=a，∠CKH=∠BHK=120°，由于AB=BC=AC=a，于是得到结论． 试题解析：（1）∵正三角形ABC的边长为a， 由折叠的性质可知，点O是三角形的重心， ∴CO=a； 故答案为a； （2）△CDE为等边三角形； 故答案为等边； （3）由（2）知△CDE为等边三角形， ∴CD=CE=DE=CO÷cos30°=a， ∠ADE=∠BED=120°， 同理可得，AH=AK=KH=a，BG=BF=GF=a，∠CKH=∠BHK=120°， ∵AB=BC=AC=a， ∴DE=DK=KH=HG=GF=FE=a，∠ADE=∠BED=∠CKH=∠BHK=∠CFG=∠AGF=120°， ∴六边形KHGFED是一个正六边形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$