第07讲 图形的旋转（3大知识点+13大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假八升九数学衔接讲义（浙教版）

第07讲 图形的旋转（3大知识点+13大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断生活中的旋转现象 典型例题二 判断由一个图形旋转而成的图案 典型例题三 找旋转中心、旋转角、对应点 典型例题四 旋转的性质及辨析 典型例题五 画旋转图形 典型例题六 根据旋转的性质说明线段或角相等 典型例题七 根据旋转的性质求解 典型例题八 求旋转对称图形的旋转角度 典型例题九 求绕原点旋转90度的点的坐标 典型例题十 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 典型例题十一 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 典型例题十二 坐标与旋转规律问题 典型例题十三 旋转综合应用 知识点01 旋转 1、 定义 把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 2、 性质 （1） 对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，该图形围绕其中心点O按下列角度旋转后，能与其自身重合的是（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，绕顶点顺时针旋转得到．若，，则的度数为 ． 知识点02 坐标系中对称点的特征 1、关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（―x，―y） 2、关于x轴对称的点的特征 两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，―y） 3、关于y轴对称的点的特征 两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（―x，y） 数学学习中常见问题分析 大部分学生在学习中或多或少的'都会积累一些问题，这些问题平时我们可能不是很在意，那么到了初二后就会突显出来。首先新生在学习数学的时候常遇到的就是对于知识点的理解不到位，还停留在一知半解的层次上面。有的学生在解答数学题的时候始终不能把握解题技巧，也就是说学生缺乏对待数学的举一反三能力。 还有的学生在解答数学题时效率太低，无法再规定的时间内完成解题，对于初中的考试节奏还没办法适应。一些学生还没有养成一个总结归纳的习惯，不会归纳知识点，不会归纳错题。这些都是导致学生学不好数学的原因。 常见面积定理 1、一个图形的面积等于它的各部分面积的和； 2、两个全等图形的面积相等； 3、等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等； 4、等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比； 5、相似三角形的面积比等于相似比的平方； 6、等角或补角的三角形面积的比，等于夹等角或补角的两边的乘积的比；等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比； 7、任何一条曲线都可以用一个函数y=f（x）来表示，那么，这条曲线所围成的面积就是对X求积分。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江舟山·期末）如图，在平面直角坐标系中，将点 绕原点O顺时针旋转得到点，则的坐标为（　　） A． B． C． D． QPOQyxQOO 【即时训练】 2．（2025·浙江·模拟预测）如图，在直角坐标系中，已知点，将绕点逆时针方向旋转后得到，则点的坐标是 ． 知识点03 旋转变换 1、概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。 说明： （1）图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度所决定的; （2）旋转过程中旋转中心始终保持不动。 （3）旋转过程中旋转的方向是相同的。 （4）旋转过程静止时，图形上一个点的旋转角度是一样的。⑤旋转不改变图形的大小和形状。 2、性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等; （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; （3）旋转前、后的图形全等。 3、旋转作图的步骤和方法： （1）确定旋转中心及旋转方向、旋转角; （2）找出图形的关键点; （3）将图形的关键点和旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角度数，得到这些关键点的对应点; （4）按原图形顺次连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形。 说明：在旋转作图时，一对对应点与旋转中心的夹角即为旋转角。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的长为（　　）    A．4 B． C．3 D． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·浙江杭州·单元测试）如图所示，绕着点O逆时针旋转后与重合，那么，线段与线段 相等．    【典型例题一 判断生活中的旋转现象】 【例1】（24-25九年级上·浙江丽水·期中）在常见的扑克牌中，“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的（    ） A．旋转 B．平移 C．轴对称 D．以上都对 【例2】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在平面内将风车绕其中心旋转后所得到的图案是（ ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·浙江杭州·课后作业）钟表上的指针随时间的变化而移动，这可以看作是数学上的 . 【例4】（24-25九年级上·浙江杭州·课后作业）图中，甲图怎样变成乙图： ． 1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向（　　） A．顺时针 B．逆时针 C．顺时针或逆时针 D．不能确定 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）在平移现象后面画“△”，在旋转现象后面画“○”． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·课后作业）如图，四边形和四边形都是正方形． (1)正方形旋转后能与正方形重合吗？ (2)在图形所在的平面上，要使两个正方形经过一次旋转后重合，可作旋转中心的点有哪几个？ 【典型例题二 判断由一个图形旋转而成的图案】 【例1】（2025九年级上·浙江杭州·专题练习）下列图案既是轴对称图形又是旋转对称图形的是　　 A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·浙江杭州·课后作业）如图所示，这个图案可以看作是以“基本图案”——原图案的四分之一通过变换形成的，但一定不能通过_________变换得到（    ）    A．旋转 B．轴对称 C．平移 D．轴对称和旋转 【例3】（2024九年级上·浙江·专题练习）与电子显示的四位数不相等，但为全等图形的四位数是 ． 【例4】（2025九年级上·浙江杭州·专题练习）观察如图所示的图案（考虑阴影），它可以看作图案的 通过 （方式）得到的． 1．（2025·浙江·模拟预测）如图，在的正方形网格中有两个阴影四边形，现要将左边的阴影四边形通过次旋转得到右边的阴影四边形，每次旋转都以图中标出的各点为旋转中心，旋转角度为（为整数），则的值（ ） A．可以为，不可以为 B．可以为，不可以为 C．可以为，，不可以为 D．，，均可 2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图所示，图形①经过轴对称变换得到图形②；则图形①经过 变换得到图形③；图形①经过 变换得到图形④．（填平移或旋转）    3．（24-25九年级上·浙江杭州·假期作业）分析左边的树形图案，经过怎样的图形变换就可能得到右边的树形图案． 【典型例题三 找旋转中心、旋转角、对应点】 【例1】（24-25九年级上·浙江丽水·期末）如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转得到，则能作为旋转中心的是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【例2】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，将绕点旋转后得到，则旋转方式是（   ） A．顺时针旋转 B．逆时针旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 【例3】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图所示的四角风车至少旋转 °就可以与原图形重合． 【例4】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，若将△ABD经过旋转后到△ACP位置，则旋转角等于 度． 1．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图，将绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·课后作业）如图，和是等边三角形，绕着点 按 方向旋转 °，就可得到 ． 3．（24-25九年级上·浙江丽水·阶段练习）实践与操作 （1）如图，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形被称为格点三角形，在数学活动课上，老师要求学生在的正方形网格中画出与成轴对称的格点三角形．你也试试． （2）如图，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． ①请在方格纸中画出旋转中心； ②旋转角为______． 【典型例题四 旋转的性质及辨析】 【例1】（2025·浙江衢州·模拟预测）下列图形不能由旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·浙江衢州·期末）下面四幅图都是由线分别按箭头所示方向平移或者绕点旋转，得到相应的平面图形，其中对应错误的是（    ） A． B． C． D． 【例3】 （24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，如果△ABC和△DEF关于点G成中心对称，那么△ABC绕点G旋转 °后能与△DEF重合． 【例4】（24-25九年级上·浙江杭州·单元测试）将一副三角板按如图位置摆放，使得两块三角板的直角边和重合．已知，将绕点逆时针旋转后（图），两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是 （结果精确到，）． 1．（24-25九年级上·浙江丽水·阶段练习）如图所示，在等边中，点是边上一点，连接，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，则下列结论中：①；②；③；④，其中正确的结论的个数是（  ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为，点D坐标为．若线段AB和线段CD间存在某种变换关系，即其中一条线段绕某点旋转一个角度后可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是 3．（23-24九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，在旋转过程中，当点落在的中点处时，求的度数．                【典型例题五 画旋转图形】 【例1】（24-25九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，将线段绕原点按顺时针方向旋转，得线段，若点，点，点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·单元测试）如图，将方格纸中的图形绕点逆时针旋转后得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【例3】（2024九年级上·浙江·专题练习）将图形  绕中心旋转后的图形是 （画出图形）． 【例4】（23-24九年级上·山东东营·阶段练习）在平面直角坐标系中的位置如图所示，将其绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是 ． 1．（2025·山东菏泽·模拟预测）如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上，如果将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是（ ） A．（0，1） B．（0，-1） C．（1，0） D．（-1，0） 2．（24-25九年级上·浙江丽水·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么点，的对应点，的坐标分别是 ． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在正方形网格中，点A、B、C均在格点上． (1)画出，使和关于直线成轴对称； (2)把绕点顺时针旋转，在网格中画出旋转后得到的； (3)作出的图中与的位置关系为___________． 【典型例题六 根据旋转的性质说明线段或角相等】 【例1】（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，把绕点O旋转得到，旋转后点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合，则下列结论中，不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转n度（0<n<180）得到，若，则n的值为（    ） A．65 B．90 C．95 D．110 【例3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图所示，， ，，则可以看作是绕点C按顺时针方向旋转了 度而得到的． 【例4】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，，，将Rt△ABC绕点A旋转得到，且点C落在AB上，则的度数为 °． 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，D，E是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接．则下列结论不正确的是（    ） A． B．为等腰直角三角形 C．平分 D． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）在四边形中，，若，则 ． 3．（23-24九年级上·浙江丽水·阶段练习）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【典型例题七 根据旋转的性质求解】 【例1】 （24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，将绕点O按顺时针方向旋转一定角度后得到，旋转角为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，在中，．将绕点O顺时针旋转，得到，与相交于点D，则的长为（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，将绕点逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是 °． 【例4】（2025九年级上·浙江杭州·专题练习）如图，若最大圆的直径是，则空白部分的面积是 ． 1．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，将含有角的直角三角尺（）绕顶点A逆时针旋转到的位置，使点B的对应点D落在BC边上，连接EB、EC，则下列结论：①；②；③为的垂直平分线；④．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 2．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）如图，四边形中，，E为射线上的动点，将线段绕A点顺时针旋转得到，则最小值 ． 3．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在中，将绕点沿顺时针方向旋转得到，点的对应点为点，连接，点在边上，连接，当四边形是平行四边形时，求的度数． 【典型例题八 求旋转对称图形的旋转角度】 【例1】（23-24九年级上·湖北鄂州·期中）将如图所示的五角星绕其中心旋转后仍与原图形重合，则旋转角的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·福建厦门·期末）某个正六边形螺帽需要拧4圈才能拧紧，小梧用扳手的卡口卡住螺帽，通过转动扳手的手柄来转动螺帽（如图所示）．以此方式把这个螺帽拧紧，他一共需要转动扳手的次数是（　）    A．4 B．16 C．24 D．32 【例3】（2025·吉林松原·模拟预测）如图，这个图案绕着它的中心旋转角α（）后能够与它本身完全重合，则角α可以为 度（写出一个即可）．    【例4】（24-25九年级上·吉林长春·期末）利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案，如图②中的图案是由图①中的基本图形以点O为旋转中心，顺时针旋转4次而生成的，每一次旋转的角度均为α，则α至少为 ．    1．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形顺时针旋转，一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少是 （  　）    A．60° B．72° C．75° D．90° 2．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）如图，在正方形ABCD中，点M是边CD的中点，那么正方形ABCD绕点M至少旋转 度与它本身重合． 3．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，将格点绕某点顺时针旋转（）得到格点，点与点，点与点，点与点是对应点． (1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点； (2)旋转角的度数是______； (3)求的面积． 【典型例题九 求绕原点旋转90度的点的坐标】 【例1】（23-24九年级上·江西吉安·期中）在直角坐标系中，点绕原点O逆时针旋转，得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将绕点按顺时针方向旋转，得，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【例3】 （23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）将点绕原点顺时针旋转后坐标变为 ． 【例4】（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心，把点顺时针旋转 得到点，则的值为 ． 1．（2025·河南·模拟预测）如图是使用扎染工艺制作的手帕图案，将该图案放在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，将该图案绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）如图，在平面直角坐标系中，将点P绕原点O顺时针旋转得到点，则的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·浙江丽水·期末）（1）解方程：； （2）如图，在由小正方形组成的网格图中建立平面直角坐标系，，的顶点均在格点上． ①点绕点逆时针方向旋转后的对应点的坐标为________． ②若和关于原点中心对称，画出． ③求的面积． 【典型例题十 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标】 【例1】 （24-25九年级上·海南海口·阶段练习）如图，点都在方格纸的格点上，若点的坐标为，点的坐标为，现将绕点按顺时针方向旋转后，点的对应点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，将点绕点顺时针旋转得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·江西吉安·期末）在平面直角坐标系中，点绕点顺时针旋转后的点的坐标是 ． 【例4】（24-25九年级上·四川凉山·期末）如图，将△ABC绕点D旋转180°得到△A'B'C'，若点A（-2，3），点A'（0，-1），则点D的坐标是 ． 1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，将绕点旋转得到，设点D的坐标为，则点A的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·山东潍坊·模拟预测）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形绕原点O逆时针旋转，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若绕着点逆时针旋转后得到，直接写出顶点的对应顶点的坐标是______，顶点的对应顶点的坐标是______； (2)若和关于原点成中心对称图形，画出； (3)若为第三象限内一点，以、、、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点坐标______． 【典型例题十一 求绕原点旋转一定角度的点的坐标】 【例1】（24-25九年级上·浙江湖州·期中）以原点为中心，把点逆时针旋转270°，得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，，，三点在正方形网格线的交点处，若将绕点逆时针旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·山东威海·期末）将点绕原点O逆时针旋转后的坐标为 ． 【例4】 （24-25九年级上·广东江门·期中）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为 ． 1．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形纸片ABCD的顶点A的坐标为，在纸片中心挖去边长为的正方形，将该纸片以О为旋转中心进行逆时针旋转，每次旋转45°，则第258次旋转后，点C和点的坐标分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）已知：如图，等边三角形的边长为，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图， 线段 两端点坐标分别为． （1）作出线段绕点逆时针旋转后得到的线段； （2）点的坐标为　　，若线段上有一点， 则在线段上的对应点的 坐标为　　． （3）若将线段绕着某点旋转角 恰好得到线段， 点与点， 点 与点是对应点，已知点． 请通过无刻度的直尺画图找到旋转中心，将其标记为． (保留作图痕迹) 【典型例题十二 坐标与旋转规律问题】 【例1】（23-24九年级上·江西抚州·期中）如图，将边长为1的正三角形沿x轴正方向连续翻转2023次，点P依次落在点，，，…，的位置，则点的横坐标为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D． 【例2】（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第2023秒时叶片尖点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例3】 （23-24九年级上·浙江湖州·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，点，点，将矩形绕点A逆时针旋转，每次旋转，当第2026次旋转结束时，点C对应的坐标是 ． 【例4】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1，处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上．将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（）、B（0，4）．则的坐标为 ． 1．（2024九年级上·河南驻马店·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，点 C的坐标分别为，，将风车绕点O 顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点 D 的坐标为(    ) A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，正方形的对角线的交点与坐标原点重合，将顶点绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点……依此类推，则点的横坐标是 ． 3．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，在下列8×8的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，△ABC的顶点的坐标分别为A（3，0）、B（0，4）、C（4，2）． （1）直接写出△ABC的形状； （2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将△ABC绕点B逆时针旋转角度2α得到△A1BC1，其中α＝∠ABC，A、C的对应点分别为A1、C1，请你完成作图； （3）在网格中找一个格点G，使得C1G⊥AB，并直接写出G点的坐标． 【典型例题十三 旋转综合应用】 【例1】（2025·江苏盐城·模拟预测）O为线段AB上一动点，且AB=2，绕O点将AB旋转半周，则线段AB所扫过的面积的最小值为（     ） A．4π B．3π C．2π D．π 【例2】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，太原方特大摆锤的长度为米，当大摆锤绕点O顺时针旋转到时，点B到的距离是 米．    【例4】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，将绕点逆时针旋转110°，得到，若点落在线段的延长线上，则大小为 ． 1．（2025九年级上·浙江杭州·专题练习）在边长为的正中有一点，连接，求的最小值． 2．（24-25九年级上·浙江丽水·阶段练习）如图① ，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D． (1)S△ABD = ．（直接写出结果） (2)如图②，将△ABD绕点D按顺时针方向旋转得到△A′B′D，设旋转角为α (α<90°)，在旋转过程中： 探究一：四边形APDQ的面积是否随旋转而变化？说明理由； 探究二：当α=________时，四边形APDQ是正方形． 3．（2024·山东济宁·模拟预测）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，把图中的图案，绕着它的中心旋转，要使旋转后的图形与自身重合，旋转角的度数至少为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，以点A为中心，把逆时针旋转，得到（点B、C的对应点分别为点、），连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，的顶点坐标分别为．先将向右平移4个单位，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，则的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）在平面直角坐标系中，边长为2的等边在第二象限，与轴重合，将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，此类推……，则点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x、y轴上，且．将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形，再将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形……以此规律，得到正方形，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）点绕着原点逆时针方向旋转与点重合，则的坐标为 ． 7．（24-25九年级上·北京·期末）如图，绕某点旋转得到，则其旋转中心的坐标是 ． 8．（24-25九年级上·浙江·单元测试）如图，将图形(1)以点O为旋转中心，每次顺时针旋转90°，则第2 019次旋转后的图形是 ．(在下列各图中选填正确图形的序号即可) 9．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，是由绕点按顺时针方向旋转后得到的，点B、C的对应点分别为点，已知，则的长为 ． 10．（2025·安徽池州·模拟预测）已知：如图1，中，，．点是边上一点且，点是边上的动点，线段绕点逆时针旋转至，连接，． （1）如图2，当点与点重合时，线段 ． （2）点运动过程中，线段的最小值是 ． 11．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，求的度数． 12．（2024九年级上·浙江杭州·专题练习）如图所示，是设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作． (1)作出关于直线的轴对称图形； (2)将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转； (3)发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让它变得更加美丽． 13．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，（按要求画出图形，并回答） (1)画出关于点成中心对称的，此时点坐标为______； (2)将以点为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后对应的，此时点坐标为______． 14．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，线段绕点顺时针旋转一定的角度得到线段． （1）请用直尺和圆规作出旋转中心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接、、、，根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论． （3）如图，在中，，，点的坐标是，，将旋转到的位置，点在上，则旋转中心的坐标为______． 15．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点． (1)观察猜想：图1中，请判断线段PM与PN的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=3，AB=7，请直接写出△PMN面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 图形的旋转（3大知识点+13大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断生活中的旋转现象 典型例题二 判断由一个图形旋转而成的图案 典型例题三 找旋转中心、旋转角、对应点 典型例题四 旋转的性质及辨析 典型例题五 画旋转图形 典型例题六 根据旋转的性质说明线段或角相等 典型例题七 根据旋转的性质求解 典型例题八 求旋转对称图形的旋转角度 典型例题九 求绕原点旋转90度的点的坐标 典型例题十 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 典型例题十一 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 典型例题十二 坐标与旋转规律问题 典型例题十三 旋转综合应用 知识点01 旋转 1、 定义 把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 2、 性质 （1） 对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，该图形围绕其中心点O按下列角度旋转后，能与其自身重合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍， 就可以与自身重合，因而A、C、D都不是72度的整数倍， 能与其自身重合的是B． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，绕顶点顺时针旋转得到．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得的度数，再求出的度数，由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点02 坐标系中对称点的特征 1、关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（―x，―y） 2、关于x轴对称的点的特征 两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，―y） 3、关于y轴对称的点的特征 两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（―x，y） 数学学习中常见问题分析 大部分学生在学习中或多或少的'都会积累一些问题，这些问题平时我们可能不是很在意，那么到了初二后就会突显出来。首先新生在学习数学的时候常遇到的就是对于知识点的理解不到位，还停留在一知半解的层次上面。有的学生在解答数学题的时候始终不能把握解题技巧，也就是说学生缺乏对待数学的举一反三能力。 还有的学生在解答数学题时效率太低，无法再规定的时间内完成解题，对于初中的考试节奏还没办法适应。一些学生还没有养成一个总结归纳的习惯，不会归纳知识点，不会归纳错题。这些都是导致学生学不好数学的原因。 常见面积定理 1、一个图形的面积等于它的各部分面积的和； 2、两个全等图形的面积相等； 3、等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等； 4、等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比； 5、相似三角形的面积比等于相似比的平方； 6、等角或补角的三角形面积的比，等于夹等角或补角的两边的乘积的比；等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比； 7、任何一条曲线都可以用一个函数y=f（x）来表示，那么，这条曲线所围成的面积就是对X求积分。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江舟山·期末）如图，在平面直角坐标系中，将点 绕原点O顺时针旋转得到点，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴于Q，得到，利用P点坐标求出三角形的两条边长，将绕O点旋转后得到，Q点由y轴旋转到了x轴，根据的位置和的长度得到点坐标． 【详解】解：作轴于Q，如图， ， ，， 点绕原点O顺时针旋转得到点相当于把绕原点O顺时针旋转得到， ，，， 点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标系与图形旋转，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标，本题中旋转是解题的关键． 【即时训练】 2．（2025·浙江·模拟预测）如图，在直角坐标系中，已知点，将绕点逆时针方向旋转后得到，则点的坐标是 ． 【答案】． 【分析】根据中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：由题意关于原点对称， ， ， 故本答案为：． 【点睛】本题考查中心对称，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 知识点03 旋转变换 1、概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。 说明： （1）图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度所决定的; （2）旋转过程中旋转中心始终保持不动。 （3）旋转过程中旋转的方向是相同的。 （4）旋转过程静止时，图形上一个点的旋转角度是一样的。⑤旋转不改变图形的大小和形状。 2、性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等; （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; （3）旋转前、后的图形全等。 3、旋转作图的步骤和方法： （1）确定旋转中心及旋转方向、旋转角; （2）找出图形的关键点; （3）将图形的关键点和旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角度数，得到这些关键点的对应点; （4）按原图形顺次连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形。 说明：在旋转作图时，一对对应点与旋转中心的夹角即为旋转角。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的长为（　　）    A．4 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质可得，，可求，由勾股定理可求解． 【详解】将绕点逆时针旋转，得到， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是本题的关键 【即时训练】 2．（24-25九年级上·浙江杭州·单元测试）如图所示，绕着点O逆时针旋转后与重合，那么，线段与线段 相等．    【答案】/ 【分析】根据旋转的性质可得结论． 【详解】解：由旋转可知：与对应， ∴与为对应边， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等． 【典型例题一 判断生活中的旋转现象】 【例1】（24-25九年级上·浙江丽水·期中）在常见的扑克牌中，“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的（    ） A．旋转 B．平移 C．轴对称 D．以上都对 【答案】A 【分析】本题主要考旋转，根据把图形倒过来放，看它还是和原来一样可判断出是图形是旋转变换即可． 【详解】解：“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的旋转， 故选：A． 【例2】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在平面内将风车绕其中心旋转后所得到的图案是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，找到关键点，分析选项可得答案． 【详解】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，风车图案绕中心旋转180°后，阴影部分的等腰直角三角形的顶点向下，得到的图案是C． 故选：C． 【点睛】本题考查了利用旋转设计图案的知识，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变． 【例3】（24-25九年级上·浙江杭州·课后作业）钟表上的指针随时间的变化而移动，这可以看作是数学上的 . 【答案】旋转 【详解】解：根据钟表的指针绕一点旋转变化得到时间的变化，因此我们可以看作是数学上的旋转． 故答案为旋转． 【例4】（24-25九年级上·浙江杭州·课后作业）图中，甲图怎样变成乙图： ． 【答案】绕点A顺时针旋转 【分析】根据旋转的定义即可求解． 【详解】解：观察可知，甲图绕点A顺时针旋转即可变成乙图． 故答案为：绕点A顺时针旋转． 【点睛】此题主要考查旋转的判断，解题的关键是熟知旋转的特点及定义． 1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向（　　） A．顺时针 B．逆时针 C．顺时针或逆时针 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据图示进行分析解答即可． 【详解】齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮B以顺时针方向旋转，齿轮C以逆时针方向旋转，齿轮D以顺时针方向旋转，齿轮E以逆时针方向旋转， 故选B． 【点睛】此题考查旋转问题，关键是根据图示进行解答． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）在平移现象后面画“△”，在旋转现象后面画“○”． 【答案】 ○ △ 【分析】根据方向盘是旋转，开此窗户是平移，即可解答． 【详解】解：方向盘是旋转，故后面画“○”； 开此窗户是平移，故后面画“△”， 故答案为：○，△． 【点睛】本题考查了旋转与平移现象的识别，熟练掌握和运用旋转与平移现象的识别方法是解决本题的关键． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·课后作业）如图，四边形和四边形都是正方形． (1)正方形旋转后能与正方形重合吗？ (2)在图形所在的平面上，要使两个正方形经过一次旋转后重合，可作旋转中心的点有哪几个？ 【答案】(1)能 (2)3；点，点，线段的中点 【分析】本题考查了旋转的相关知识，熟知旋转的概念和旋转中心的概念是解题的关键． （1）由于两个正方形边长相等，则两个正方形是全等图形，故能通过旋转使得两个图形重合； （2）绕点B逆时针旋转90度或绕点A顺时针旋转90度或或绕的中点顺时针旋转都能使正方形与正方形重合，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵正方形和正方形的边长相等， ∴正方形和正方形是全等图形， ∴正方形旋转后能与正方形重合； （2）观察图形，可知四边形绕点B逆时针旋转90度或绕点A顺时针旋转90度就能与正方形重合，或绕的中点顺时针旋转也能与正方形重合， ∴平面上可以作为旋转中心的点共有三个， 即点A、点B和线段的中点． 【典型例题二 判断由一个图形旋转而成的图案】 【例1】（2025九年级上·浙江杭州·专题练习）下列图案既是轴对称图形又是旋转对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合,以及旋转对称图形的旋转特点进行判断．本题考查了旋转对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键． 【详解】解：A、本选项不是轴对称图形，也不是旋转对称图形，不符合题意； B、本选项是轴对称图形，不是旋转对称图形，不符合题意； C、本选项是轴对称图形，不是旋转对称图形，不符合题意． D、本选项是轴对称图形，也是旋转对称图形，符合题意； 故选：D． 【例2】（23-24九年级上·浙江杭州·课后作业）如图所示，这个图案可以看作是以“基本图案”——原图案的四分之一通过变换形成的，但一定不能通过_________变换得到（    ）    A．旋转 B．轴对称 C．平移 D．轴对称和旋转 【答案】C 【分析】观察图形的特点，根据平移、旋转和轴对称的性质解答即可． 【详解】左上方块（“基本图案”）为原图案的四分之一，将其分别绕原图形的中心顺时针旋转、、后可以得到右上、右下、左下的方块，故“基本图案”可以通过旋转变换形成原图案； 左上方块（“基本图案”）为原图案的四分之一，将其沿自身右边线翻折可以得到右上方块，接着将新方块沿其自身下边线翻折可以得到右下方块，最后在将右下方块沿其自身的左边线翻折可以得到左下方块，故“基本图案”可以通过轴对称变换形成原图案； 平移前后得两个图案可以通过平移重合，原图中的四个方块无法通过平移重合，故“基本图案”无法通过平移变换形成原图案； 故选：C． 【点睛】本题考查了生活中的旋转、平移及轴对称现象，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心；轴对称是两个图形沿某条直线对折后能够完全重合． 【例3】（2024九年级上·浙江·专题练习）与电子显示的四位数不相等，但为全等图形的四位数是 ． 【答案】5269 【分析】本题考查全等图形的概念，根据全等的性质把这四位数旋转所得图形与原来的图形全等，翻转过来所得四位数是5269． 【详解】解：四位数6925旋转得到5269， 与电子显示的四位数6925不相等，但为全等图形的四位数是5269， 故答案为：5269． 【例4】（2025九年级上·浙江杭州·专题练习）观察如图所示的图案（考虑阴影），它可以看作图案的 通过 （方式）得到的． 【答案】 四分之一 旋转 【分析】本题考查了旋转性质，认真观察图形，得出原图形可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的，即可作答． 【详解】解：观察图形可知，它可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的， 故答案为：四分之一，旋转． 1．（2025·浙江·模拟预测）如图，在的正方形网格中有两个阴影四边形，现要将左边的阴影四边形通过次旋转得到右边的阴影四边形，每次旋转都以图中标出的各点为旋转中心，旋转角度为（为整数），则的值（ ） A．可以为，不可以为 B．可以为，不可以为 C．可以为，，不可以为 D．，，均可 【答案】D 【分析】根据旋转的性质及题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： 当左边的阴影部分绕点E顺时针旋转90°可得右边的阴影部分，此时k=1； 当左边的阴影四边形绕点A逆时针旋转90°，再将得到的四边形绕点C顺时针旋转180°可得右边的阴影四边形，此时k=2； 当把左边的阴影四边形绕点B顺时针旋转90°，再将得到的四边形绕点E顺时针旋转90°，将得到的四边形绕点C逆时针旋转90°可得右边的阴影四边形，此时k=3； 故选D． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握图形绕某点进行旋转的方法是解题的关键． 2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图所示，图形①经过轴对称变换得到图形②；则图形①经过 变换得到图形③；图形①经过 变换得到图形④．（填平移或旋转）    【答案】 旋转 平移 【分析】观察各个图形的特点，根据平移、旋转和轴对称的性质解答即可． 【详解】解：仔细观察各个图的位置关系可知：①和②是轴对称关系，①和③图形的大小一样，但方向发生了变化，是旋转，①和④的形状大小一样，是平移关系． ∴图形①经过旋转变换得到图形③； 图形①经过平移变换得到图形④． 故答案为轴对称；旋转；平移． 【点睛】本题考查了生活中的旋转、平移及轴对称现象，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心；轴对称是两个图形沿某条直线对折后能够完全重合． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·假期作业）分析左边的树形图案，经过怎样的图形变换就可能得到右边的树形图案． 【答案】见解析 【分析】本题考查图形的旋转、轴对称、平移变换，根据图形的位置进行适当的旋转、轴对称、平移变换即可求解． 【详解】解：据左右两图形的位置关系可知，若要由左图得到右图，可以通过以下的途径： （1）把左图绕点A沿顺时针方向旋转一个角度，使左边的树形图案与直线垂直，然后再作轴对称变换（要注意对称轴的正确选择），即可得到右边的树形图案． （2）把左图先做轴对称变换（要注意对称轴的正确选择），使左边的树形图案与直线垂直，然后再作平移变换，即可得到右边的树形图案． 【典型例题三 找旋转中心、旋转角、对应点】 【例1】（24-25九年级上·浙江丽水·期末）如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转得到，则能作为旋转中心的是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，连接，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图：连接，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，将绕点旋转后得到，则旋转方式是（   ） A．顺时针旋转 B．逆时针旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，找到旋转中心、旋转角和旋转方向是解题的关键．观察图形，找到旋转中心、旋转角和旋转方向即可解题． 【详解】解：观察图形可知，旋转角为， ∴将绕点逆时针旋转后得到， 故选：D． 【例3】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图所示的四角风车至少旋转 °就可以与原图形重合． 【答案】90 【分析】如图所示，∠AOB即为所求，由题意得∠AOB=90°，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，∠AOB即为所求， 由题意得，∠AOB=90°， ∴四角风车至少旋转90°就可以与原图形重合， 故答案为：90． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的意义． 【例4】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，若将△ABD经过旋转后到△ACP位置，则旋转角等于 度． 【答案】60 【分析】根据题意由旋转的性质可得∠BAD=∠CAP，即可求∠BAC=∠DAP=60°，即可求解． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∵将△ABD经过一次逆时针旋转后到△ACP的位置， ∴∠BAD=∠CAP， ∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=60°， ∴∠PAC+∠CAD=60°， ∴∠DAP=60°； 故旋转角度60度. 故答案为：60． 【点睛】本题考查旋转的性质，注意掌握变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心． 1．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图，将绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转中心的确定，两组对应点连成的线段的垂直平分线的交点就是旋转中心．分别找到两组对应点A与，C与，然后作线段的垂直平分线，它们的交点即为所求． 【详解】解：如图， 由图可知，点； 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·课后作业）如图，和是等边三角形，绕着点 按 方向旋转 °，就可得到 ． 【答案】 C 逆时针 60 【分析】本题考查了旋转的定义和全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是要熟练掌握旋转的定义． 先根据等边三角形的性质，运用证明，再由旋转的定义即可求解． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴绕点C逆时针方向旋转60度可得到． 故答案为：C；逆时针方向；60；． 3．（24-25九年级上·浙江丽水·阶段练习）实践与操作 （1）如图，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形被称为格点三角形，在数学活动课上，老师要求学生在的正方形网格中画出与成轴对称的格点三角形．你也试试． （2）如图，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． ①请在方格纸中画出旋转中心； ②旋转角为______． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】本题主要考查了轴对称作图和旋转作图，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和轴对称的定义． （1）根据轴对称图形的定义进行作图即可； （2）①根据找旋转中心的方法画图即可； ②根据旋转定义，找出旋转角即可． 【详解】解：（1）如图所示： ． （2）①当与，B与D是对应点时，连接，，分别作和的垂直平分线，则两条垂直平分线交于点E，则点E即为旋转中心，旋转角为； 当与，B与C是对应点时，连接，，分别作和的垂直平分线，则两条垂直平分线交于点F，则点F即为旋转中心，旋转角为； ②根据解析①旋转角为． 【典型例题四 旋转的性质及辨析】 【例1】（2025·浙江衢州·模拟预测）下列图形不能由旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键，据此解答即可． 【详解】解：A、正方体不能由旋转得到，故此选项正确，符合题意； B、圆柱能由旋转得到，故此选项错误，不符合题意； C、圆锥能由旋转得到，故此选项错误，不符合题意； D、球能由旋转得到，故此选项错误，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、性质都不改变． 【例2】（24-25九年级上·浙江衢州·期末）下面四幅图都是由线分别按箭头所示方向平移或者绕点旋转，得到相应的平面图形，其中对应错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的平移和旋转，解题关键在于要有丰富的空间想象能力． 根据平移和旋转的性质逐项求解判断即可． 【详解】解：选项A中图形通过平移可以得到，不符合题意； 选项B中图形通过平移可以得到，不符合题意． 选项C中图形通过平移可以得到，不符合题意； 选项D中图形通过旋转无法得到，故选项符合题意； 故选：D． 【例3】 （24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，如果△ABC和△DEF关于点G成中心对称，那么△ABC绕点G旋转 °后能与△DEF重合． 【答案】180 【分析】根据中心对称的定义进行填空即可. 【详解】根据中心对称的定义可知：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心，据此因为△ABC和△DEF关于点G成中心对称，所以△ABC绕点G旋转180°后能与△DEF重合，故答案为180. 【点睛】本题考查的是中心对称的定义，熟知中心对称的定义是解题的关键. 【例4】（24-25九年级上·浙江杭州·单元测试）将一副三角板按如图位置摆放，使得两块三角板的直角边和重合．已知，将绕点逆时针旋转后（图），两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是 （结果精确到，）． 【答案】 【分析】设BC,AD交于点G,过交点G作GFLAC与AC交于点F,根据AC=8,就可求出GF的长,从而求解. 【详解】解：如图 设BC、AD交于点G,过交点G作GF⊥AC与AC交于点F,设FC=x,则GF=FC=x,旋转角为60,即可得∠FAG=60， AF=GFcot∠FAG=x. 所以x+x=8,则x=. 所以=8()≈20.3cm. 故答案为:20.3. 【点睛】本题考查旋转的性质.旋转变化前后,对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等.要注意旋转的三要素:1定点-旋转中心;2旋转方向;3旋转角度. 1．（24-25九年级上·浙江丽水·阶段练习）如图所示，在等边中，点是边上一点，连接，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，则下列结论中：①；②；③；④，其中正确的结论的个数是（  ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由题意可得∠EAB＝∠ACB＝∠ABC＝60°，BD＝BE，∠DBE＝60°，可判断①②，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和可判断③④． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∠AEB＝∠BDC ∵将△BCD绕着点B逆时针旋转60°，得到△BAE， ∴BE＝BD，∠DBE＝60°，∠EAB＝∠ACB＝60° ∴∠EAB＝∠ABC＝60°，△BED是等边三角形 ∴AE∥BC ∵△BED是等边三角形 ∴∠DEB＝60° 故①②正确 ∵∠AEB＝∠BDC，∠AEB＝∠AED＋∠BED，∠BDC＝∠BAC＋∠ABD ∴∠AED＝∠ABD 故④正确 ∵∠BDC＞60°，∠ADE＜60° ∴∠BDC≠∠ADE 故③错误． 故答案选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，证明△BED是等边三角形是本题的关键． 2．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为，点D坐标为．若线段AB和线段CD间存在某种变换关系，即其中一条线段绕某点旋转一个角度后可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是 【答案】或 【分析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点N，则问题可求解． 【详解】解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图所示： ∵点A坐标为，点B坐标为， ∴点E的坐标为； ②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点N，如图所示： ∵点A坐标为，点B坐标为， ∴点N的坐标为， 综上所述：这个旋转中心的坐标为或； 故答案为或． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 3．（23-24九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，在旋转过程中，当点落在的中点处时，求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，利用旋转的性质结合直角三角形的性质得出是等边三角形，进而得出答案，正确掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，    ∴，， ∵点可以恰好落在的中点处， ∴点是的中点， ∵， ∴，             ∴， 即是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【典型例题五 画旋转图形】 【例1】（24-25九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，将线段绕原点按顺时针方向旋转，得线段，若点，点，点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图旋转变换，根据旋转的性质作图，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，可得， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·单元测试）如图，将方格纸中的图形绕点逆时针旋转后得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知将图形绕点逆时针旋转得出符合题意的图形即可．本题考查了生活中的旋转现象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：如图所示：将方格纸中的图形绕点逆时针旋转后得到的图形是 故选：C． 【例3】（2024九年级上·浙江·专题练习）将图形  绕中心旋转后的图形是 （画出图形）． 【答案】   【分析】本题考查了旋转的性质，旋转前后的图形不发生任何变化，绕中心旋转，即是对应点绕旋转中心旋转，即可得出所要图形，注意矩形图形的旋转变换是解题的关键． 【详解】 解：将图形  ，各对应点绕中心旋转， 可得出相应图形：  ，即是所求答案， 故答案为：． 【例4】（23-24九年级上·山东东营·阶段练习）在平面直角坐标系中的位置如图所示，将其绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转；根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，据此可求解． 【详解】解：点P位置如图所示，则点P的坐标是， 故答案为：． 1．（2025·山东菏泽·模拟预测）如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上，如果将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是（ ） A．（0，1） B．（0，-1） C．（1，0） D．（-1，0） 【答案】C 【分析】先画出旋转后的图形，然后写成点的坐标. 【详解】如图，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是（1,0）， 故选：C. 【点睛】此题考查直角坐标系中点的坐标，图形旋转的性质，正确画出△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°的图形是解题的关键. 2．（24-25九年级上·浙江丽水·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么点，的对应点，的坐标分别是 ． 【答案】， 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，根据题意画出旋转后的三角形即可解决问题，能根据题意画出旋转后的图形是解题的关键． 【详解】解：的绕点逆时针旋转后所得图形如图所示， 所以点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：，． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在正方形网格中，点A、B、C均在格点上． (1)画出，使和关于直线成轴对称； (2)把绕点顺时针旋转，在网格中画出旋转后得到的； (3)作出的图中与的位置关系为___________． 【答案】(1)具体答案见解析 (2)具体答案见解析 (3)平行 【分析】本题主要考查了画轴对称图形和画旋转图形，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据轴对称图形的特点找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据旋转方式找到A、B对应点的位置，然后顺次连接即可； （3）根据作出的图形观察与，即可得出它们的位置关系． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：作出的图中与的位置关系为平行，故答案为：平行． 【典型例题六 根据旋转的性质说明线段或角相等】 【例1】（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，把绕点O旋转得到，旋转后点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合，则下列结论中，不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转后得到的图形与原图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心组成的夹角为旋转角，进行判断即可． 【详解】解：∵把绕点O旋转得到， ∴，，，， 故只有选项C不一定成立； 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转n度（0<n<180）得到，若，则n的值为（    ） A．65 B．90 C．95 D．110 【答案】D 【分析】由三角形的内角和定理求出，再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是要熟练掌握平行线的性质． 【例3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图所示，， ，，则可以看作是绕点C按顺时针方向旋转了 度而得到的． 【答案】 【分析】由图可知， ，，，因此证得和全等，进而即可求解． 【详解】解： ，， ． 因此将 绕点按顺时针方向选择 即可得到． 故答案为：90． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段，对应角分别相等，图像大小，形状不发生改变． 【例4】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，，，将Rt△ABC绕点A旋转得到，且点C落在AB上，则的度数为 °． 【答案】120 【分析】先根据余角的性质求出∠ABC的度数，然后根据旋转的性质得出 ，，则可根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出 的度数，最后根据角的和差求的度数即可． 【详解】解：∵∠C=90°，∠BAC=40°， ∴∠ABC=90°-∠BAC=50°， ∵旋转， ∴ ，， ∴， ∴ ， ∴． 故答案为：120． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理和等腰三角形的性质，解题的关键是要熟练掌握旋转的性质． 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，D，E是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接．则下列结论不正确的是（    ） A． B．为等腰直角三角形 C．平分 D． 【答案】B 【分析】由已知和旋转的性质可判断A项，进一步可判断C项；利用可证明，可得，根据三角形三边关系和等量代换即可判断D选项，容易证明是直角三角形，但是、不一定相等，所以、不一定相等，由此可判断B项，于是可得答案． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转后，得到， ∴，，，， ∵， ∴，所以A正确，不符合题意； ∴， ∴平分，所以C正确，不符合题意； ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 所以D正确，不符合题意； 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为直角三角形， 但是、不一定相等，所以、不一定相等，所以B不正确，符合题意 故选：B 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，注意旋转前后的对应关系是解题的关键． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）在四边形中，，若，则 ． 【答案】 【分析】连接，易知是等边三角形，把绕点顺时针旋转，即与重合，得，连接，可知，得，进而可证明，利用勾股定理可求，即可解决问题． 【详解】解：连接，由，可知是等边三角形， 把绕点顺时针旋转，即与重合，得，连接， 由旋转可知，即：，，， 则， ∴也为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， 则由勾股定理可得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，旋转变换，等边三角形的性质．全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用旋转变换添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型． 3．（23-24九年级上·浙江丽水·阶段练习）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理， （1）先根据旋转的性质得到，，再利用等腰三角形的性质得到，即可得证； （2）先根据三角形内角和定理计算出，，再根据旋转的性质得到，，，再等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，即可得出结论． 解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． 【详解】（1）证明：∵绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴的度数为． 【典型例题七 根据旋转的性质求解】 【例1】 （24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，将绕点O按顺时针方向旋转一定角度后得到，旋转角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握基本知识是解题的关键．由旋转的性质可直接求解． 【详解】解∶∵将绕点O按顺时针方向旋转一定角度后得到， 旋转角为或． 故选∶C． 【例2】（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，在中，．将绕点O顺时针旋转，得到，与相交于点D，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理化，掌握旋转的性质是解题关键．由等边对等角可得，再结合旋转的性质，得到，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，， ， 由旋转的性质可知，，，， ，， ， ， 故选：C． 【例3】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，将绕点逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是 °． 【答案】 【分析】本题考查了利用旋转的性质求角度，解题关键是弄清旋转角及旋转方向． 根据和旋转角可求得的度数． 【详解】解：∵将绕点逆时针方向旋转后得到， ∴， 又，， ∴，解得：， 故答案为：． 【例4】（2025九年级上·浙江杭州·专题练习）如图，若最大圆的直径是，则空白部分的面积是 ． 【答案】48 【分析】本题考查求阴影部分是不规则图形，正方形的面积．求阴影面积时，关键在于观察阴影部分的图形，若阴影部分是特殊图形，利用面积公式即可解答，若阴影部分是不规则图形，考虑把不规则图形转化为可计算的规则图形． 【详解】解∶观察图中阴影部分，可以发现四个阴影部分加起来是大圆外切正方形的四分之一， ∴， ∴ ． 故答案为48． 1．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，将含有角的直角三角尺（）绕顶点A逆时针旋转到的位置，使点B的对应点D落在BC边上，连接EB、EC，则下列结论：①；②；③为的垂直平分线；④．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，中垂线的判定，含30度角的直角三角形的性质，根据旋转得到，，推出为等边三角形，进而推出，得到，推出为等边三角形，进而得到，推出为的垂直平分线，三线合一推出，得到，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵旋转， ∴，，，故①正确； ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴为的垂直平分线，故③正确； ∴， ∵， ∴；故④正确； 故选A． 2．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）如图，四边形中，，E为射线上的动点，将线段绕A点顺时针旋转得到，则最小值 ． 【答案】 【分析】将绕点顺时针旋转至，连接，可证得，从而得出，可得出，，从而得出，从而，故当点在处时，最小，从而，从而得出的最小值． 【详解】解：将绕点顺时针旋转至，连接，过点A作于点F，   ， ， ，， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 当点在处时，最小，即的长度， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 3．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在中，将绕点沿顺时针方向旋转得到，点的对应点为点，连接，点在边上，连接，当四边形是平行四边形时，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，先由旋转的性质得：，，再根据平行四边形的性质推出，再由得，进而求出，再由可得答案． 【详解】解：由旋转的性质得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 【典型例题八 求旋转对称图形的旋转角度】 【例1】（23-24九年级上·湖北鄂州·期中）将如图所示的五角星绕其中心旋转后仍与原图形重合，则旋转角的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转对称图形，熟知正多边形的对称性是解题的关键． 根据五角星的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题知， 若将五角星的五个外面的顶点连接起来， 则将得到一个正五边形． 因为， 所以当五角星绕其中心旋转整数倍的度数后，会与原图形重合． ， 故选：A． 【例2】（23-24九年级上·福建厦门·期末）某个正六边形螺帽需要拧4圈才能拧紧，小梧用扳手的卡口卡住螺帽，通过转动扳手的手柄来转动螺帽（如图所示）．以此方式把这个螺帽拧紧，他一共需要转动扳手的次数是（　）    A．4 B．16 C．24 D．32 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转对称图形的概念，理解相关概念是解题的关键．根据旋转的性质和周角是360°求解即可． 【详解】解：正六边形被平分成六部分，因而每部分被分成的圆心角是60°，因而旋转一圈需要转动扳手次，旋转4圈需要转动扳手次． 故选：C． 【例3】（2025·吉林松原·模拟预测）如图，这个图案绕着它的中心旋转角α（）后能够与它本身完全重合，则角α可以为 度（写出一个即可）．    【答案】90(答案不唯一) 【分析】把此图案绕看作正方形，然后根据正方形的性质求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴此图案绕旋转中心旋转的整数倍时能够与自身重合， ∴α可以为 ． 故答案为：90 （答案不唯一）． 【点睛】本题考查图形的旋转，解题的关键是判断图形，找到正确的旋转角度． 【例4】（24-25九年级上·吉林长春·期末）利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案，如图②中的图案是由图①中的基本图形以点O为旋转中心，顺时针旋转4次而生成的，每一次旋转的角度均为α，则α至少为 ．    【答案】/72度 【分析】根据图形可得这个图形可以由一个基本图形绕中心依次旋转四次旋转而得到，即可求解． 【详解】解：根据题意，顺时针（或逆时针）旋转角度α，依次旋转四次而组成， 每次旋转的度数为即旋转角是的倍数， 故旋转角α的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用旋转设计图案，解题的关键是观察图形，得出旋转度数． 1．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形顺时针旋转，一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少是 （  　）    A．60° B．72° C．75° D．90° 【答案】B 【分析】用圆周角除5得到每个顶点之间的角度，即为旋转后重合的角度 【详解】360°÷5=72° 故至少旋转72°后能够重合 故选：B 【点睛】本题是旋转的考查，解题关键是求解出顶点间的夹角 2．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）如图，在正方形ABCD中，点M是边CD的中点，那么正方形ABCD绕点M至少旋转 度与它本身重合． 【答案】360 【分析】根据旋转对称图形的定义即可得． 【详解】点M是边CD的中点，不是正方形ABCD的中心， 正方形ABCD绕点M至少旋转360度才能与它本身重合， 故答案为：360． 【点睛】本题考查了旋转对称图形，掌握理解定义是解题关键． 3．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，将格点绕某点顺时针旋转（）得到格点，点与点，点与点，点与点是对应点． (1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点； (2)旋转角的度数是______； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)90° (3) 【分析】（1）连接CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点即为所求； （2）连接CO、C1O，结合网格特点可得旋转角∠COC1=α=90°； （3）利用割补法即可求面积． 【详解】（1）如图所示，连接CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点O即为所求； （2）如图所示，连接CO、C1O，结合网格特点可得∠COC1=α=90°， 故答案为； （3） ． 【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质． 【典型例题九 求绕原点旋转90度的点的坐标】 【例1】（23-24九年级上·江西吉安·期中）在直角坐标系中，点绕原点O逆时针旋转，得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是正确作出图形解决问题．把点绕原点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，画出图形可解决问题． 【详解】解：过A点作轴，过B点作轴，垂足分别为D、E，    ∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 故选：B． 【例2】（2025·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将绕点按顺时针方向旋转，得，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化，由旋转变换的性质画出．的对应点，即可． 【详解】解：由旋转变换的性质可知，．    故选：C． 【例3】 （23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）将点绕原点顺时针旋转后坐标变为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转；建立平面直角坐标系，然后根据旋转的性质找出点的对应位置，再写出坐标即可． 【详解】解：如图，点绕原点顺时针旋转后坐标变为． 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心，把点顺时针旋转 得到点，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据旋转的性质，旋转后图形大小形状未发生改变，只是位置发生改变即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，旋转后如图所示， ∵四边形是由四边形绕O旋转得到， ∴四边形≌四边形， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查旋转的性质：旋转后图形大小形状未发生改变，只是位置发生改变． 1．（2025·河南·模拟预测）如图是使用扎染工艺制作的手帕图案，将该图案放在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，将该图案绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形全等以及点的坐标特征，根据旋转的性质可知4次旋转为1个循环，再判断第次旋转相当于逆时针旋转，过点A作轴于点H，过点作轴于点G，连接，，易得，进而即可求出答案． 【详解】根据题意，，， 即点A绕点O逆时针旋转次相当于逆时针旋转， 如解图，过点A作轴于点H，过点作轴于点G，连接，， 根据旋转的性质可知，, ， ∵， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）如图，在平面直角坐标系中，将点P绕原点O顺时针旋转得到点，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据题意作轴，轴，证即可求解． 【详解】解：如图所示：作轴，轴， 由题意得： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的坐标为 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江丽水·期末）（1）解方程：； （2）如图，在由小正方形组成的网格图中建立平面直角坐标系，，的顶点均在格点上． ①点绕点逆时针方向旋转后的对应点的坐标为________． ②若和关于原点中心对称，画出． ③求的面积． 【答案】（1），； （2）①；②见解析；③． 【分析】本题考查的知识点是因式分解法解一元二次方程、求绕原点旋转的点的坐标、在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形、利用网格求三角形面积，解题关键是熟练掌握相关作图方法． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）①利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点，从而得到点的坐标； ②利用关于原点中心对称的点的坐标特征找到对应点，然后描点即可； ③根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：原方程可变为， ，； （2）解：①如图，，的坐标为． 故答案为：． ②如图，为所作． ③依图得：的面积为． 【典型例题十 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标】 【例1】 （24-25九年级上·海南海口·阶段练习）如图，点都在方格纸的格点上，若点的坐标为，点的坐标为，现将绕点按顺时针方向旋转后，点的对应点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心旋转的定义即可解决问题． 【详解】解：建立直角坐标系如图所示，则， 将绕点按顺时针方向旋转后，点的对应点的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查旋转变换、学会画中心旋转的图形是解决问题的关键，理解顺时针旋转、逆时针旋转的区别，属于中考常考题型． 【例2】（24-25九年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，将点绕点顺时针旋转得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，画出旋转后的点坐标，结合坐标系即可求解． 【详解】解：如图，依题意，． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，数形结合是解题的关键． 【例3】（24-25九年级上·江西吉安·期末）在平面直角坐标系中，点绕点顺时针旋转后的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转：利用旋转的性质得到旋转变化后的线段长度，然后根据点的坐标的表示方法确定图形中特殊点的坐标． 根据旋转的性质求解即可． 【详解】如图所示， 由图可得，点绕点顺时针旋转后的点的坐标是． 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·四川凉山·期末）如图，将△ABC绕点D旋转180°得到△A'B'C'，若点A（-2，3），点A'（0，-1），则点D的坐标是 ． 【答案】（-1，1） 【分析】设D（m，n），利用中点坐标公式，构建方程求解即可． 【详解】解：设D（m，n）， ∵AD=DA′，A（-2，3），点A'（0，-1）， ∴m==-1，n==1， ∴D（-1，1）， 故答案为：（-1，1）． 【点睛】本题考查中心对称，坐标与图形变化-旋转等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，将绕点旋转得到，设点D的坐标为，则点A的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点A的坐标是，根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解即可． 【详解】解：根据题意，点A、点D关于点C对称， 点C是线段AD的中点， 设点A的坐标是， ，， ，， 解得，， 点的坐标是 故选D． 【点睛】本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化，根据旋转的性质得出点D、点A关于点C成中心对称是解题的关键，还需注意中点公式的利用，也是容易出错的地方． 2．（2025·山东潍坊·模拟预测）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形绕原点O逆时针旋转，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】连接OB，由题意可得∠=75°，可得出∠=30°，可求出的坐标，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图：连接OB，，作⊥y轴 ∵是正方形，OA=2 ∴∠COB=45°，OB= ∵绕原点O逆时针旋转 ∴∠=75° ∴∠=30° ∵=OB= ∴， ∴ ∵沿y轴方向向上平移1个单位长度 ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握网格结构，准确确定出对应点的位置是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若绕着点逆时针旋转后得到，直接写出顶点的对应顶点的坐标是______，顶点的对应顶点的坐标是______； (2)若和关于原点成中心对称图形，画出； (3)若为第三象限内一点，以、、、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点坐标______． 【答案】(1)， (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查坐标与图形变换，熟练掌握旋转的性质，中心对称的性质，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，画出，写出点的坐标即可； （2）根据中心对称的性质，画出即可； （3）根据平移思想画出平行四边形，得到点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图： 由图可知：，； （2）如图，即为所求； （3）如上图，当为第三象限内一点，以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，． 【典型例题十一 求绕原点旋转一定角度的点的坐标】 【例1】（24-25九年级上·浙江湖州·期中）以原点为中心，把点逆时针旋转270°，得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点B的坐标即可． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， 由旋转可知，点B的横坐标与点A的纵坐标互为相反数，点B的纵坐标与点A的横坐标互为相反数， 所以，点B的坐标为（6，-3）． 故选：C 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观． 【例2】（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，，，三点在正方形网格线的交点处，若将绕点逆时针旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质可得AC=AC′，求出AC的长，得到C′的纵坐标，再根据点A的横坐标可得结果. 【详解】解：如图，AC=， 由于旋转， ∴AC′=， ∵A（1，1）， ∴C′（1，+1）， 故选C. 【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是根据旋转的性质得到AC=AC′. 【例3】（24-25九年级上·山东威海·期末）将点绕原点O逆时针旋转后的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，利用点绕原点旋转得出两点关于原点对称是解题关键，注意关于原点对称的横坐标互为相反数，关于原点对称的纵坐标互为相反数． 根据点绕原点旋转，可得两点关于原点对称，根据关于原点对称的横坐标互为相反数，关于原点对称的纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点绕原点O逆时针旋转后对应点与A点关于原点对称， ∴对应点的坐标是． 故答案为：． 【例4】 （24-25九年级上·广东江门·期中）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，先由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理推出，由旋转的性质可得，再求出，进而得到点在y轴上，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴点在y轴上， ∴点的坐标为， 故答案为． 1．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形纸片ABCD的顶点A的坐标为，在纸片中心挖去边长为的正方形，将该纸片以О为旋转中心进行逆时针旋转，每次旋转45°，则第258次旋转后，点C和点的坐标分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由该纸片以О为旋转中心进行逆时针旋转，每次旋转45°，可得旋转一周360°÷45°=8次，由258=32×8+2，可得第258次旋转后，实际是将纸片逆时针旋转32周后再转90°，由正方形纸片ABCD对角中点位于原点，可求点C（1，-3）由A1B1=，根据勾股定理，求出B1（-1,0），连结OD与OC，过D作ED⊥x轴于E，CF⊥y轴于F，可证△FOC≌△EOD（AAS），可求点D（3，1），与点C1（0，-1）即可． 【详解】解：∵该纸片以О为旋转中心进行逆时针旋转，每次旋转45°， ∴旋转一周360°÷45°=8次， ∵258=32×8+2， ∴第258次旋转后，实际是将纸片逆时针旋转32周后再转90°， ∵正方形纸片ABCD对角中点位于原点， ∴点A与点C关于点O成中心对称， ∵点A（-1，3）， ∴点C（1，-3）， ∵A1B1=， ∵OA1=OB1， 根据勾股定理，， ∴， ∴B1（-1,0）， 连结OD与OC，过D作ED⊥x轴于E，CF⊥y轴于F， 绕点O逆时针旋转90°后点C位置转到点D位置， ∵四边形ABCD为正方形，OD=OC，∠FOE=∠COD=90°， ∴∠FOC+∠COE=∠COE+∠EOD=90°， ∴∠FOC=∠EOD， 在△FOC和△EOD中， ， ∴△FOC≌△EOD（AAS）， ∴CF=DE=1，OF=OE=3， ∴点D（3，1）， ∴点B1转到C1位置，点C1（0，-1）， ∴第258次旋转后，点C和点的坐标分别为（3，1）与（0，-1）． 故选择D． 【点睛】本题考查正方形旋转性质，中心对称性质，勾股定理应用，三角形全等判定与性质，掌握正方形旋转性质，中心对称性质，勾股定理应用，三角形全等判定与性质，根据旋转一周8次，确定旋转32周再转90°是解题关键． 2．（2025·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）已知：如图，等边三角形的边长为，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，根据图形的旋转寻找规律，总结规律是解决本题的关键． 过点B和点O分别作于点C，于点D，根据是等边三角形，可得G点坐标，等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，旋转6次为一个循环，分别求出等边三角形中心G旋转后的坐标，进而可得第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标． 【详解】如图所示： 过点B和点O分别作于点C，于点D， ∵是等边三角形， ∴平分， ∴， ∵， ∴，， ∵等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∴旋转6次为一个循环， ∵等边三角形中心G坐标为， 第一次旋转后到y轴正半轴，坐标为：； 第二次旋转后到第二象限，坐标为：； 第三次旋转后到第三象限，坐标为：； 第四次旋转后到y轴负半轴，坐标为：； 第五次旋转后到第四象限，坐标为：； 第六次旋转后回到第一象限，坐标为：， ∵， ∴第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为：． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图， 线段 两端点坐标分别为． （1）作出线段绕点逆时针旋转后得到的线段； （2）点的坐标为　　，若线段上有一点， 则在线段上的对应点的 坐标为　　． （3）若将线段绕着某点旋转角 恰好得到线段， 点与点， 点 与点是对应点，已知点． 请通过无刻度的直尺画图找到旋转中心，将其标记为． (保留作图痕迹) 【答案】（1）图形见详解；（2）（-3，-2），（-n，m）；（3）见详解． 【分析】（1）根据．绕点逆时针旋转，横纵坐标换位，根据象限确定符号，求出点C（-3，-2），点D（0，-3），然后在平面直角坐标系中描点C、D，连结线段CD即可； （2）点A（-2，3）绕点逆时针旋转，横纵坐标换位，点C在第三象限，可得点C（-3，-2），点P（m，n），在第二象限，m＜0，n＞0，绕点O逆时针旋转90°点Q在第三象限，点Q（-n，m）即可； （3）根据旋转中心是对应边的垂直平分线的交点，连结CE与DF，作CE的垂直平分线与DF的垂直平分线，两直线的交点为N即可． 【详解】解：（1）∵．绕点逆时针旋转，横纵坐标换位，根据象限确定符号， ∴点C（-3，-2），点D（0，-3） 在平面直角坐标系中描点C、D，连结线段CD， 则CD为线段AB绕点逆时针旋转后得到的线段； （2）点A（-2，3）绕点逆时针旋转，横纵坐标换位，点C在第三象限，可得点C（-3，-2），点P（m，n），在第二象限，m＜0，n＞0，绕点O逆时针旋转90°点Q在第三象限， 点Q（-n，m）； 故答案为（-3，-2），（-n，m）； （3）根据旋转中心，是对应边的垂直平分线的交点 连结CE与DF， ∵线段CE过坐标原点O，OC=OE， ∴CE的垂直平分线为OA并反向延长， ∵DF是边长为2的正方形的对角线， ∴正方形另一条对角线是DF的垂直平分线， ∴CE的垂直平分线与DF的垂直平分线两直线的交点为N． 【点睛】本题考查图形旋转，用描点法画线段，找旋转中心，掌握图形旋转，用描点法画线段，找旋转中心是解题关键． 【典型例题十二 坐标与旋转规律问题】 【例1】（23-24九年级上·江西抚州·期中）如图，将边长为1的正三角形沿x轴正方向连续翻转2023次，点P依次落在点，，，…，的位置，则点的横坐标为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是等边三角形的性质及坐标与图形性质，根据图形的翻转，分别得出、、…的横坐标，再根据规律即可得出各个点的横坐标． 【详解】解：如图，过P作轴，垂足为Q， ∵正三角形的边长为1， ∴， 可知、的横坐标是1，的横坐标是， 、的横坐标是4，的横坐标是， 依此类推下去，， 则的横坐标是2023， 故选B． 【例2】（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第2023秒时叶片尖点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，点的坐标，根据旋转的性质分别求出第1、2、3、4s时，点A的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点A的对应点的坐标． 【详解】解：∵， ∴A在第一象限的角平分线上， ∵叶片每秒绕原点顺时针转动， ∴第1、2、3、的坐标为：，，，（与重合）， 如图， ∴点A的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ∵， ∴第时，点A的对应点的坐标与相同，为． 故选：B． 【例3】 （23-24九年级上·浙江湖州·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，点，点，将矩形绕点A逆时针旋转，每次旋转，当第2026次旋转结束时，点C对应的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的知识，点坐标规律问题，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解题的关键． 根据矩形的性质作出旋转后的图形，找到C点的坐标规律即可． 【详解】解：将矩形绕点A逆时针旋转，如图    可知：，，，…， 则：每旋转4次则回到原位置， ∵， 即：第2026次旋转结束时，完成了506次循环，又旋转了2次， ∴当第2026次旋转结束时，点C对应的坐标是． 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1，处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上．将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（）、B（0，4）．则的坐标为 ． 【答案】(10090，4) 【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每两个偶数之间的B的横坐标相差10个单位长度，根据这个规律可以求得B2018的坐标． 【详解】解：∵AO=，BO=4， ∴AB=， ∴OA+AB1+B1C2=++4=10， ∴B2的横坐标为：10，且B2C2=4， ∴B4的横坐标为：2×10=20， 发现规律：B、B2、B4…每两个偶数之间的B的横坐标相差10个单位长度， ∵2018÷2=1009， ∴点B2018的横坐标为：1009×10=10090． ∴点B2018的坐标为：(10090，4) ． 故答案为：(10090，4)． 【点睛】本题考查了点的坐标规律变换，通过图形旋转，找到所有B点之间的关系是本题的关键．题目难易程度适中，可以考查学生观察、发现问题的能力． 1．（2024九年级上·河南驻马店·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，点 C的坐标分别为，，将风车绕点O 顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点 D 的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查规律探索求点坐标．根据风车绕点O顺时针旋转，每次旋转，可知旋转次为一个循环，得到经过第次旋转后，点D的坐标与第次旋转结束时点D的坐标相同，进行求解即可． 【详解】解：在正方形中，点的坐标为， ∴点． ∵， ∴． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 由题意，可得风车第次旋转结束时，点D的坐标为； 第次旋转结束时，点D的坐标为； 第次旋转结束时，点D的坐标为； 第次旋转结束时，点D的坐标为． ∵将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴旋转次为一个循环． ∵， ∴经过第次旋转后，点D的坐标与第次旋转结束时点D的坐标相同，为； 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，正方形的对角线的交点与坐标原点重合，将顶点绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点……依此类推，则点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化—旋转，等腰直角三角形的性质等，根据题意找到规律并利用规律求解是解答本题的关键．根据题意，求出、、、、、的坐标，可得出规律：每四个点一个循环，，由，即可推出． 【详解】解：∵将顶点绕点逆时针旋转得点， ∴， ∵再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点…… ∴，，，，，…… 观察发现，每四个点一个循环，其中， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，在下列8×8的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，△ABC的顶点的坐标分别为A（3，0）、B（0，4）、C（4，2）． （1）直接写出△ABC的形状； （2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将△ABC绕点B逆时针旋转角度2α得到△A1BC1，其中α＝∠ABC，A、C的对应点分别为A1、C1，请你完成作图； （3）在网格中找一个格点G，使得C1G⊥AB，并直接写出G点的坐标． 【答案】（1）证明见解析；（2）画△A1BC1见解析；（3）点G（0， 3）． 【分析】（1）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理解决问题． （2）利用数形结合的思想解决问题． （3）利用数形结合的思想解决问题． 【详解】解：（1）∵A（3，0）、B（0，4）、C（4，2）， ∴， AC＝，， ∴， ∴， ∴△ABC是直角三角形． （2）根据题目已知条件，将△ABC绕点B逆时针旋转角度2∠ABC得到△A1BC1，则△A1BC1如图所示． （3）如图示，过C1点，作直线C1G使得C1G⊥AB交y轴于点G， 由图可知，点G坐标为：（0，3）． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，． 【典型例题十三 旋转综合应用】 【例1】（2025·江苏盐城·模拟预测）O为线段AB上一动点，且AB=2，绕O点将AB旋转半周，则线段AB所扫过的面积的最小值为（     ） A．4π B．3π C．2π D．π 【答案】D 【分析】当O是AB中点时，线段AB所扫过的面积的最小，根据公式求解即可． 【详解】解：当O是AB中点时，线段AB所扫过的面积的最小， 最小面积=π•12=π， 故选D． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、旋转变换的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【例2】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，求角度的问题，由题意可知，旋转角，结合的度数可得的度数即可，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在同一条直线上，， ∴， 故选：C． 【例3】（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，太原方特大摆锤的长度为米，当大摆锤绕点O顺时针旋转到时，点B到的距离是 米．    【答案】 【分析】过B点作于点D，利用含角的直角三角形的性质求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】过B点作于点D，如图，    根据题意有：，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴（米）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，掌握含角的直角三角形的性质，是解答本题的关键． 【例4】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，将绕点逆时针旋转110°，得到，若点落在线段的延长线上，则大小为 ． 【答案】/35度 【分析】根据旋转的性质可得出，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】解：根据旋转的性质，可得：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求解是解题的关键． 1．（2025九年级上·浙江杭州·专题练习）在边长为的正中有一点，连接，求的最小值． 【答案】 【分析】如图所示，绕点逆时针旋转得到，取的中点，连接，由勾股定理得到，由中位线的性质得到，则，当点共线时，取得最小，最小为的值，如图所示，过点作延长线于点，在中，由勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，绕点逆时针旋转得到，取的中点，连接， ∴，， 在中，，， ∴， 在中，点是的中点， ∴，且， ∴， ∴， 当点共线时，取得最小，最小为的值， 如图所示，过点作延长线于点， ∵点是的中点， ∴， ∵是等边三角形，绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，中位线的判定和性质等知识的综合，掌握等边三角形，旋转的性质，费马点求最短线段的方法是解题的关键． 2．（24-25九年级上·浙江丽水·阶段练习）如图① ，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D． (1)S△ABD = ．（直接写出结果） (2)如图②，将△ABD绕点D按顺时针方向旋转得到△A′B′D，设旋转角为α (α<90°)，在旋转过程中： 探究一：四边形APDQ的面积是否随旋转而变化？说明理由； 探究二：当α=________时，四边形APDQ是正方形． 【答案】(1)4 (2)四边形APDQ的面积不会随旋转而变化，理由见详解；当时，四边形APDQ是正方形． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，由得，则； （2）①在中，根据等腰直角三角形的性质得，易得，，再利用等角的余角相等得到，于是可判断，所以，即可判断四边形的面积不会随旋转而变化； ②由于，则当时，四边形为矩形，加上，于是可判断四边形是正方形，此时，即． 【详解】（1）解：，，， ， ； 故答案为4； （2）解：①四边形的面积不会随旋转而变化．理由如下： 在中，，， ， ， ， ，， 又，， ， 在和中， ， （ASA）， ； ②时，四边形是正方形．理由如下： ， 当时， 而， 四边形为矩形， ， ， 四边形是正方形，此时，即． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和正方形的判定． 3．（2024·山东济宁·模拟预测）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)①；；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，角度的计算； （1）①根据旋转的性质，角度的计算即可求解； ②根据旋转的性质，角度的计算，即可求解； （2）根据旋转的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵，四边形是正方形， ∴， ； ②∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，把图中的图案，绕着它的中心旋转，要使旋转后的图形与自身重合，旋转角的度数至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 根据旋转对称图形的概念作答即可． 【详解】解：由题意可知把图中的图案，绕着它的中心旋转，要使旋转后的图形与自身重合，旋转角的度数至少为， 故选：B． 2．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，以点A为中心，把逆时针旋转，得到（点B、C的对应点分别为点、），连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质． 先根据旋转的性质得到，；根据等腰三角形的性质易得，再根据平行线的性质由得，然后利用进行计算． 【详解】解：∵以点A为中心，把逆时针旋转，得到 ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 3．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，的顶点坐标分别为．先将向右平移4个单位，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，则的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，先根据平移方式确定点的位置，再根据旋转方式确定的位置，结合坐标系即可得到答案． 【详解】解：如图，和所在位置如下： ∴． 故选：C 4．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）在平面直角坐标系中，边长为2的等边在第二象限，与轴重合，将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，此类推……，则点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标的规律，图形的旋转与翻折，等边三角形的性质；利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点P的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】解：∵边长为2的等边在第二象限， ∴． 将绕点顺时针旋转，得到， ∴与点P关于y轴对称， ∴． 再作关于原点的中心对称图形，得到， ∴与点关于原点对称， ∴． 再将绕点顺时针旋转，得到， 此时点落在x轴的负半轴上， ∴． 再作关于原点的中心对称图形，得到， 此时点落在x轴的正半轴上， ∴． 以此类推， 则， ∴与点P重合， ∴对应的点 (n大于1的整数)的坐标以为规律循环， ∵余3， ∴与的坐标相同， ∴． 故选：D． 5．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x、y轴上，且．将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形，再将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形……以此规律，得到正方形，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查点的坐标变化规律，得出B点坐标变化规律是解题关键．根据题意得出B点坐标变化规律，进而得出点所在的象限，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∴， 将正方形绕原点O顺时针旋转，且，得到正方形， 再将正方绕原点O顺时针旋转，且，得到正方形…以此规律， ∴每4次循环一周，， ∵， ∴点与同在一个象限内， ∴点， 故选：A． 6．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）点绕着原点逆时针方向旋转与点重合，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．过点作于，过点作于，利用证明，得出，，即可得答案． 【详解】解：如下图，过点作于，过点作于， ∵， ∴，， ∵点绕着原点逆时针方向旋转与点重合， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴的坐标为， 故答案为： 7．（24-25九年级上·北京·期末）如图，绕某点旋转得到，则其旋转中心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、找旋转中心，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． 先根据旋转的性质得出点的对应点为点，点的对应点为点，连接、，作线段、的垂直平分线，它们的交点为，即可得到答案． 【详解】解：绕某点旋转，得到， 点的对应点为点，点的对应点为点， 如图，连接、，作线段、的垂直平分线，它们的交点为， ，旋转中心的坐标是， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·浙江·单元测试）如图，将图形(1)以点O为旋转中心，每次顺时针旋转90°，则第2 019次旋转后的图形是 ．(在下列各图中选填正确图形的序号即可) 【答案】(4) 【分析】观察图形变化，图形（1）以点O为旋转中心，每次顺时针旋转90°，且每4次一个循环，找到规律，根据所得规律求解即可． 【详解】观察图形，将图形（1）以点O为旋转中心，每次顺时针旋转90°， 第1次旋转的得到的图形为：， 第2次旋转的得到的图形为：， 第3次旋转的得到的图形为：， 第4次旋转的得到的图形为：， 第5次旋转的得到的图形为：， ······ 由此可得，每4次一个循环， ∵2019=504×4+3， 所以第2019次旋转后的图形与（4）一样． 故答案为（4）． 【点睛】本题考查了生活中的旋转现象：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．可以通过旋转得到很大美丽的图案．观察图象，得到规律每4次一个循环是解决问题的管家n. 9．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，是由绕点按顺时针方向旋转后得到的，点B、C的对应点分别为点，已知，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，含度角的直角三角形的性质，根据题意得出，进而根据旋转的性质，即可求解． 【详解】在中，， ∴． 又因为是绕点旋转后得到的， 所以，且，，三点共线， 所以． 故答案为：． 10．（2025·安徽池州·模拟预测）已知：如图1，中，，．点是边上一点且，点是边上的动点，线段绕点逆时针旋转至，连接，． （1）如图2，当点与点重合时，线段 ． （2）点运动过程中，线段的最小值是 ． 【答案】 / 【分析】（1）由直角三角形的性质可求，的长，即可求解； （2）先确定点在过点且垂直的直线上运动，由矩形的性质可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∵线段绕点逆时针旋转至，点与点重合， ∴，， ∴， ∴点在线段上， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，过点作于，过点作，交于，连接， ∵，，， ∴，   ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转至， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点在过点且垂直的直线上运动， ∴当时，有最小值，   ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴线段的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，确定点的运动轨迹是解题的关键． 11．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定和性质；解题的关键是掌握旋转的性质．根据旋转的性质证明为等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：∵绕点A顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 12．（2024九年级上·浙江杭州·专题练习）如图所示，是设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作． (1)作出关于直线的轴对称图形； (2)将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转； (3)发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让它变得更加美丽． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形，画旋转图形； （1）根据轴对称的性质找出对应点位置，顺次连接即可； （2）根据旋转的性质找出对应点位置，顺次连接即可； （3）根据图形适当涂色即可． 【详解】（1）解：如图1所示： （2）如图2所示： （3）如图3所示： 13．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，（按要求画出图形，并回答） (1)画出关于点成中心对称的，此时点坐标为______； (2)将以点为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后对应的，此时点坐标为______． 【答案】(1)图见解析，； (2)图见解析，． 【分析】本题考查了作图旋转变换，解题的关键是根据旋转变换的定义作出变换后的对应点． （1）延长到点，使，延长到点，使，依次连接，则即为所求； （2）作出点，，以点为旋转中心逆时针旋转的对应点，，，依次连接、、，则即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由图可知，点坐标为， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求； 由图可知，点的坐标为， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，线段绕点顺时针旋转一定的角度得到线段． （1）请用直尺和圆规作出旋转中心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接、、、，根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论． （3）如图，在中，，，点的坐标是，，将旋转到的位置，点在上，则旋转中心的坐标为______． 【答案】（1）见解析；（2）①，；②；（3） 【分析】（1）分别连接AA1，BB1，分别作其垂直平分线，交点即为旋转中心O； （2）根据图形写出2条不同类型的结论； （3）与的垂直平分线的交点即为旋转中心，连接，过作轴于F，求出BD和PD，知道求出，得到和点D，算出OF，最后用勾股定理即可求解． 【详解】（1）如图，点即为所求． （2）如图； ①， ② （3）解：如图，与的垂直平分线的交点即为旋转中心，连接，过作轴于， ∵点在上， ∴点到、的距离相等，都是， 即， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标是， ∴， 由勾股定理得，， ∴旋转中心的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了作图-旋转变换以及勾股定理的应用，解答本题的关键是找出旋转中心． 15．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点． (1)观察猜想：图1中，请判断线段PM与PN的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=3，AB=7，请直接写出△PMN面积的最大值． 【答案】(1)PM=PN，PM⊥PN．理由见解析 (2)△PMN是等腰直角三角形．理由见解析 (3)S△PMN最大= 【分析】（1）利用三角形的中位线得出由可得出再根据三角形的中位线知得到 由从而得出即可得到结论． （2）先判断出得出同（1）类似方法即可得出结论． （3）先判断出BD最大时，的面积最大，而BD最大是即可得出结论． 【详解】（1）理由： ∵点P，N是BC，CD的中点， ∵点P，M是CD，DE的中点， ∵AB=AC，AD=AE， ∴BD=CE， ∴PM=PN， ∴∠DPN=∠ADC， ∴∠DPM=∠DCA， ∵∠BAC=90°， ∴∠ADC+∠ACD=90°， ∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°， 故答案为： （2）△PMN是等腰直角三角形． 理由如下： 由旋转知，∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE，BD=CE， 利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE， ∴PM=PN， ∴△PMN是等腰三角形， 同（1）的方法得，PM∥CE， ∴∠DPM=∠DCE， 同（1）的方法得，PN∥BD， ∴∠PNC=∠DBC， ∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC， ∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC =∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC =∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC， ∵∠BAC=90°， ∴∠ACB+∠ABC=90°， ∴∠MPN=90°， ∴△PMN是等腰直角三角形； （3）把绕点A旋转到如图所示的位置时， 由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD， ∴PM最大时，△PMN面积最大， ∴点D在BA的延长线上， ∴BD=AB+AD=10， ∴PM=5， ∴S△PMN最大=PM2=×52= 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和质，属于几何变换综合题，熟练掌握这些性质和判定是解此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 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