第06讲 圆（3大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假八升九数学衔接讲义（浙教版）

第06讲 圆（3大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 圆的基本概念辨析 典型例题二 判断确定圆的条件 典型例题三 判断三角形外接圆的圆心位置 典型例题四 三角形外接圆的概念辨析 典型例题五 判断点与圆的位置关系 典型例题六 利用点与圆的位置关系求半径 典型例题七 圆的周长和面积问题 典型例题八 求三角形外心坐标 典型例题九 求特殊三角形外接圆的半径 典型例题十 确定圆心(尺规作图) 典型例题十一 点与圆上一点的最值问题 知识01 圆的相关概念 （1）圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 点拨：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆 的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 （2）点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 点拨：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 （3）弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重 合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 名称 概念 注意 图示 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦” 直径是圆中最长的弦不一定是直径 直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径” 但弦不一定是直径 弧、 半圆、 劣孤、 优弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中 半圆是弧，但弧不一定 是半圆 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤 长度相等的孤不一定是等孤 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）下列图形为半圆的是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）到点的距离等于2厘米的点的轨迹是 ． 知识点02 确定圆的条件 1．过已知点作圆 条件 类别 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直 线上的三点作圆 理论 依据 经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个 经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个 经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个 圆形 结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 2．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 3．三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接 圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江湖州·课后作业）给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是（    ） A．已知圆心 B．已知半径 C．已知直径 D．不在同一直线上的三个点 【即时训练】 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ． 知识点03 圆的周长 通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定的倍数，我们把这个倍数叫做圆周率，用字母表示，读作“pai”；圆周率是个无限不循环小数，． 圆的周长直径 = 圆周率． 用字母C表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么：或 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江湖州·课后作业）如图，小明沿着大半圆从地到地，小红沿着两个小半圆从地到地，设小明、小红走过的路程分别为a，b，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【即时训练】 2．（24-25九年级上·浙江金华·课后作业）如图，大小两个圆重叠在一起，重叠部分占小圆的，占大圆的，那么小圆面积与大圆面积之比是 ．    【典型例题一 圆的基本概念辨析】 【例1】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，点A，B，C在上，，，则（　　）． A． B． C． D． 【例3】（23-24九年级上·浙江丽水·期末）由所有到已知点O的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形的面积为 ． 【例4】（23-24九年级上·浙江湖州·课后作业）学校有一个圆形花坛，要求将它三等分，以便在上面种植三种不同的花，你认为下列所给图中符合设计要求的图案是 ．（将所有符合设计要求的图案序号填上） 1．（2024九年级上·浙江温州·专题练习）如图，在中，，，若以点为圆心，的长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（ ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，是的直径，点C是上一动点，连接，点D在直径上，，连接并延长交于点E，若，则的最大值是 ． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，某小区修缮了一个圆环的花坛，其内圆半径为，外圆面积为． (1)求该圆环花坛的宽度； (2)求该圆环花坛的面积． 【典型例题二 判断确定圆的条件】 【例1】（24-25九年级上·浙江·阶段练习）下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 【例2】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（    ） A．① B．② C．③ D．都不能 【例3】（24-25九年级上·浙江·单元测试）正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 个不同的圆． 【例4】（24-25九年级上·浙江湖州·课前预习）不在同一条直线上的 个点确定一个圆． 1．（2024·山西·模拟预测）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，从这五个点中随机选择三个点，则经过这三个点能够画出圆的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，点A，B，C均在的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 ． 3．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在的方格中，的顶点均在格点上．请按要求画格点线段EF（端点在格点上），且EF分别交线段AB，AC于点G，H． (1)在图1中作出∠AHG＝∠C． (2)在图2中作出∠AGH＝∠C． 【典型例题三 判断三角形外接圆的圆心位置】 【例1】（23-24九年级上·浙江金华·期中）已知是的外接圆，那么点O一定是的（　　） A．三个顶角的角平分线交点 B．三边高的交点 C．三边中线交点 D．三边的垂直平分线的交点 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【例3】（23-24九年级上·浙江舟山·阶段练习）已知点O是的外心，且，则 ． 【例4】（24-25九年级上·河北保定·期末）如图为5×5的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是 （填字母序号） A． △ACD的外心      B．△ABC的外心       C．△ACD的内心      D．△ABC的内心 1．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图中外接圆的圆心坐标是（　　）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级·浙江温州·阶段练习）如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为 ． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图在5×5的网格中，的顶点都在格点上．    (1)在图1中画出的垂直平分线； (2)在图2中画出的外接圆． 【典型例题四 三角形外接圆的概念辨析】 【例1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列四个命题中，正确的是（    ）． A．平分弦的直径垂直于弦； B．经过同一平面内的三个点一定可以作一个圆； C．长度相等的两条弧是等弧； D．三角形的外心到这个三角形各顶点的距离相等； 【例2】（2025·浙江·模拟预测）如图，是的外接圆，则点O是的（    ） A．三条高线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三角形三内角角平分线的交点 【例3】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）三角形三边垂直平分线的交点叫做三角形的 ． 【例4】（2025·江苏南京·模拟预测）如图，点O是的外心，，垂足分别为D、E，点M、N分别是、的中点，连接，若，则 ． 1．（2025·浙江金华·模拟预测）如图所示，在4×4的网格中，A、B、C、D、O均在格点上，则点O是（   ） A．△ABC的内心 B．△ABC的外心 C．△ACD的外心 D．△ACD的重心 2．（2025·四川成都·模拟预测）已知下列四个图形：①长度为的线段；②斜边为3的直角三角形；③面积为4的菱形；④半径为，圆心角为90°的扇形；其中，能够被半径为1的圆及其内部所覆盖的图形是 ．（填写序号） 3．（24-25九年级上·山西大同·期末）工人师傅后在一个上表面是直角三角形的器具上面安装一块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形状如图所示．    (1)请用尺规作图在图上作出该图； (2)测量直角三角形的两直角边，，如果这个圆是一个正方形板所截，请你帮助师傅计算出所需要正方形板的最小面积是多少? 【典型例题五 判断点与圆的位置关系】 【例1】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如果的半径为3，，则点在（   ） A．外 B．内 C．上 D．不确定 【例2】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，在8×8的正方形网格中，点A，B，C，P，Q，M，N都在格点上(正方形的顶点即格点)，若⊙O是以A，B，C为顶点的三角形的外接圆，则下列各点中，在⊙O上的是（   ） A．点P B．点 Q C．点M D．点N 【例3】（24-25九年级上·浙江金华·期中）的直径为，点P到圆心O的距离为，点P与的位置关系是 ． 【例4】（23-24九年级上·北京西城·期中）杭州亚运会射击项目比赛，中国队取得16金9银4铜的成绩，继续保持着亚洲射击运动霸主的位置．如图，是射击靶的示意图，环靶为圆形，直径，自中心向外共10个等宽的同心圆环区，得分标准如图所示．若最小的圆半径为，最大的圆半径为，某运动员一次训练中，击中了与圆心O的距离为的位置，则该运动员本次射击得分为 分． 1．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，在直角坐标系中，存在三个定点分别为，，，顺次连接，现添加一点，使得，那么的长不可能为（    ） A．4 B．7 C．11 D．15 2．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）已知矩形中， ，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·浙江湖州·课后作业）如图，菱形的对角线相交于点O，四条边的中点分别为．这四个点共圆吗？圆心在哪里？ 【典型例题六 利用点与圆的位置关系求半径】 【例1】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）点到的最近点的距离为，最远点的距离为，则的半径是（    ） A．或 B． C． D．或 【例2】（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知点P在⊙O外，且P点到⊙O最大距离是6，最小距离是2，则⊙O的半径为 ． 【例4】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，原点右边7个单位有一点P，数轴上半径为1的从原点O开始以每秒2个单位的速度向右运动，经过 秒，点P在上 1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图是由4个边长为a的正六边形组成的网格图，每个顶点均为格点，若该图中到点A的距离超过3的格点有且仅有6个，则a的取值范围为(　　) A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，则图中圆弧所在圆的圆心坐标是 ． 3．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离SP的定义如下：若点P与圆心O重合，则SP为⊙O的半径长；若点P与圆心O不重合，作射线OP交⊙O于点A，则SP为线段AP的长度． 图1为点P在⊙O外的情形示意图． （1）若点B（1，0），C（1，1），D（0，），则SB= ；SC= ；SD= ； （2）若直线y=x+b上存在点M，使得SM=2，求b的取值范围； （3）已知点P，Q在x轴上，R为线段PQ上任意一点．若线段PQ上存在一点T，满足T在⊙O内且ST≥SR，直接写出满足条件的线段PQ长度的最大值． 【典型例题七 圆的周长和面积问题】 【例1】（24-25九年级上·浙江湖州·单元测试）小丽用圆规画了一个半径为的圆，小杰用的线围成一个圆．下列说法正确的是（     ） A．两个圆一样大 B．小杰围的圆大 C．小丽画的圆大 D．无法确定两个圆的大小 【例2】（2025·浙江温州·模拟预测）设计师想用长的木材做一个花园边界，有如图1、图2、图3三种可能的设计：      其中合理的设计方案有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例3】（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，图中阴影部分的面积可以用字母表示为 ． 【例4】（24-25九年级上·广东湛江·期中）某校计划在校园内修建一座周长为20m的花坛，同学们设计出正三角形，正方形和圆三种图案，通过计算说明使花坛面积最大的图案是 （填图形）． 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图所示，以长方形的各边为直径向外作半圆，若四个半圆的周长之和为，面积之和为，则长方形的面积为(  ) A．10 B．20 C．40 D．80 2．（24-25七年级·浙江湖州·假期作业）把圆分成若干等份，然后把它剪开，照右图的样子拼成一个近似的长方形．已知长方形的周长比原来圆的周长增加了4厘米，这个圆的周长是 厘米，拼成的长方形面积是 平方厘米．     3．（24-25九年级上·河北承德·期中）在推导圆的面积计算公式时，是将一个圆分成若干（偶数）等份，剪开后，用这些近似等腰三角形的小纸片拼成一个近似的长方形，如图2所示．（注：本题中的π取3.14） （1）若圆的半径为3cm，则拼成的近似长方形的周长比圆的周长多多少厘米？ （2）若拼成的近似长方形的周长为33.12cm，则圆的半径为多少？ （3）在（2）的条件下，求此圆的面积．    【典型例题八 求三角形外心坐标】 【例1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知点是的外心，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·浙江衢州·期中）如图，点、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【例3】 （23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）过三点，，的圆的圆心坐标为 ． 【例4】（23-24九年级上·浙江湖州·课后作业）如图，的顶点都在格点上，则外接圆的圆心坐标是 ．    1．（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，，，，，则外心的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，若点的坐标为，则的外心坐标是 ． 3．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)、B(4，4)、C(6，2)． （1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为　　； （2）这个圆的半径为　　； （3）直接判断点D(5，﹣2)与⊙M的位置关系，点D(5，﹣2)在⊙M　　（填内、外、上）． 【典型例题九 求特殊三角形外接圆的半径】 【例1】（23-24九年级上·浙江温州·期中）若一个三角形的三边长为6，8，10，则这个三角形外接圆的半径是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）已知，如图，在中，，，，那么这个三角形的外接圆直径是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【例3】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）在中，，，，则这个三角形的外接圆的半径是 ． 【例4】（24-25九年级上·北京通州·期末）如图，在ABC中，∠C＝90°，AB=10，在同一平面内，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数）．那么常数a的值等于 ． 1．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）△ABC,若°，则此三角形外接圆半径为（    ） A．2 B．3 C．4 D．3.5 2．（2025·内蒙古鄂尔多斯·模拟预测）联想三角形外心的概念，我们可定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．例：如图，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，则PA= ． 3．（24-25九年级上·浙江·期中）如图1，已知点P是线段上一动点（不与A，B重合），且，在线段的同侧作正和，连结和，它们相交于点Q，与交于点M．      （1）求证：，； （2）若和不是等边三角形，如图2，只满足，，（，k为实数），E是中点，F是中点，G是中点，连结，，求的值（用含k的式子表示）； （3）请直接写出在图1中，经过P，C，D三点的圆的半径的最小值． 【典型例题十 确定圆心(尺规作图)】 【例1】（24-25九年级上·北京朝阳·期末）如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（    ） A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断 【例2】（2025·浙江衢州·模拟预测）如图，外接圆的圆心坐标是（    ） A．(5，2) B．(2，3) C．(1，4) D．(0，0) 【例3】（24-25九年级上·浙江金华·期中）有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你找圆心的方法是 【例4】（24-25九年级上·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ． 1．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在8×8正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（    ） A．点E B．点F C．点G D．点H 2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 3．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，是一个圆拱形模型． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆拱形的圆心O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若弦的长为，圆拱形的最大高度为，则圆拱形所在圆的半径为_____． 【典型例题十一 点与圆上一点的最值问题】 【例1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知A为⊙O外一点，若点A到⊙O上的点的最短距离为2，最长离为4，则⊙O半径为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【例2】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是（    ） A．a B． C． D．b 【例3】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）一个点到圆上的点的最小距离为，最大距离为，则圆的半径为 cm． 【例4】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的最短距离为 ．最长距离为 ．    1．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点与动力装置相连（大小可变），点在轨道上滑动，并带动磨盘绕点转动，，．若磨盘转动过程中，则点到的最小距离为 ． 3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）综合与实践 利用正方形纸片的折叠开展数学活动，探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法． 如图①，E 为正方形的 边上的一个动点，，将正方形对折，使点与 点重合，点与 点重合，折痕为 ． 思考探索 （1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为 ， 连接 ， 如图②，请根据以上条件填空． ①点 在以点 为圆心， 的长为半径的圆上（填线段）； ②的长为 ； 拓展延伸 （2）当时，正方形 沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形 的内部或边上． ① 求 面积的最大值； ② 连 接，为的中点，点 在上，连接求的最小值． 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）的半径为6，同一个平面内有一点P，且，则P与的位置关系是（   ） A．P在圆外 B．P在圆上 C．P在圆内 D．无法确定 2．（23-24九年级上·浙江湖州·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 3．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，则O也是下列哪个三角形的外心（   ） A．△AED的外心 B．△AEB的外心 C．△ACD的外心 D．△BCD的外心 4．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）“转化”是一种重要的解决问题策略，在我们数学学习中经常会运用到．例如探索圆的面积计算公式时，许多同学会将圆形纸片剪成16等份，拼成一个近似的平行四边形（如图①），然后推导出圆的面积计算方法．小亮在研究时，将圆形纸片剪成16等份，拼成一个近似的梯形（如图②）．请仔细观察拼成的这个梯形，梯形的上底与下底的和与梯形的高分别是（    ） A．圆周长，圆的半径 B．圆周长，圆的直径 C．圆周长的一半，圆的半径 D．圆周长的一半，圆的直径 5．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，某零件由1个长为8，宽为1的矩形工件和1个边长为6的正方形工件组成一个轴对称图形，则能将其完全覆盖的圆形纸片的最小半径r为（   ） A．5 B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）已知的面积为，点与在同一平面内，若，则点在 （填写“内”、“上”、“外”）． 7．（23-24九年级上·浙江湖州·课后作业）的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 8．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）图中的外心坐标是 ． 9．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，是编号为1、2、3、4的400m跑道，每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每条跑道宽1m，内侧的1号跑道长度为400m，则2号跑道比1号跑道长 m；若在一次200m比赛中（每个跑道都由一个半圆形跑道和部分直跑道组成），要使得每个运动员到达同一终点线，则4号跑道起跑点比2号跑道起跑点应前移 m（π取3.14）． 10．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 11．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图所示，求证：直径是中最长的弦． 12．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 13．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知：如图，△ABC．    (1)求作：△ABC的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若△ABC是直角三角形，则其外接圆的圆心在 ； (3)若△ABC是边长为6的等边三角形，其外接圆的圆心O到BC边的距离为，求其外接圆的面积． 14．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C． （1）画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹，用水笔描清楚），并连接AD、CD． （2）⊙D的半径为　 　（结果保留根号）； （3）若用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是　 　； 15．（2025九年级·浙江湖州·专题练习）已知：在中，，，将绕点顺时针旋转，点对应点为，点对应点为．设旋转过程中延长线与相交于点． （1）如图所示，当点在边上时，请直接写出线段和线段之间的数量关系； （2）当由图的位置旋转到图的位置时，试判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； （3）如图，若，设点为的中点，连接，将绕点旋转一周，直接写出的最大值与最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 圆（3大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 圆的基本概念辨析 典型例题二 判断确定圆的条件 典型例题三 判断三角形外接圆的圆心位置 典型例题四 三角形外接圆的概念辨析 典型例题五 判断点与圆的位置关系 典型例题六 利用点与圆的位置关系求半径 典型例题七 圆的周长和面积问题 典型例题八 求三角形外心坐标 典型例题九 求特殊三角形外接圆的半径 典型例题十 确定圆心(尺规作图) 典型例题十一 点与圆上一点的最值问题 知识01 圆的相关概念 （1）圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 点拨：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆 的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 （2）点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 点拨：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 （3）弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重 合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 名称 概念 注意 图示 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦” 直径是圆中最长的弦不一定是直径 直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径” 但弦不一定是直径 弧、 半圆、 劣孤、 优弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中 半圆是弧，但弧不一定 是半圆 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤 长度相等的孤不一定是等孤 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）下列图形为半圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查圆的基本性质，解题的根据熟知半圆的定义：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．根据半圆的定义即可判断． 【详解】解：半圆是直径所对的弧，但是不含直径， 故选：C． 【即时训练】 2．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）到点的距离等于2厘米的点的轨迹是 ． 【答案】以点为圆心，2厘米长为半径的圆 【分析】本题考查了轨迹，主要是对圆的轨迹定义的考查，比较简单．根据圆的定义解答． 【详解】解：到点的距离等于2厘米的点的轨迹是：以点为圆心，2厘米长为半径的圆． 故答案为：以点为圆心，2厘米长为半径的圆． 知识点02 确定圆的条件 1．过已知点作圆 条件 类别 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直 线上的三点作圆 理论 依据 经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个 经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个 经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个 圆形 结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 2．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 3．三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接 圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江湖州·课后作业）给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是（    ） A．已知圆心 B．已知半径 C．已知直径 D．不在同一直线上的三个点 【答案】D 【分析】根据确定圆的条件，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】A. 已知圆心，但半径不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意， B. 已知半径，但圆心位置不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意， C. 已知直径，但圆心位置不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意， D. 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查确定圆的条件，掌握不在同一直线上的三个点确定一个圆，是解题的关键． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟知经过线段最小的圆即为以AB为直径的圆是解答此题的关键． 经过线段最小的圆即为以为直径的圆，求出半径即可． 【详解】解：根据题意得：经过线段最小的圆即为以为直径的圆，则此时半径为． 故答案为：2． 知识点03 圆的周长 通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定的倍数，我们把这个倍数叫做圆周率，用字母表示，读作“pai”；圆周率是个无限不循环小数，． 圆的周长直径 = 圆周率． 用字母C表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么：或 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江湖州·课后作业）如图，小明沿着大半圆从地到地，小红沿着两个小半圆从地到地，设小明、小红走过的路程分别为a，b，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【解析】略 【即时训练】 2．（24-25九年级上·浙江金华·课后作业）如图，大小两个圆重叠在一起，重叠部分占小圆的，占大圆的，那么小圆面积与大圆面积之比是 ．    【答案】5：14 【分析】设重叠阴影部分面积为1，根据重叠部分与小圆、大圆的关系占比，可计算小圆、大圆的面积． 【详解】设重叠阴影部分面积为1， 故小圆面积为，大圆面积为：， 那么小圆面积与大圆面积之比是 故答案为： 【点睛】本题考查重叠问题，是基础考点，掌握局部与总体的关系是解题关键． 【典型例题一 圆的基本概念辨析】 【例1】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是圆的认识，根据等圆、等弧和半圆的定义以及确定圆的条件，分别进行判断． 【详解】半径相等的圆是等圆，所以①正确； 同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以②错误； 半圆是弧，但弧不一定是半圆，所以③正确； 平面上不共线的三点能确定一个圆，故④不正确； 故选：B． 【例2】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，点A，B，C在上，，，则（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆的半径相等，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，根据等边对等角得到，然后求出，然后利用等边对等角求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【例3】（23-24九年级上·浙江丽水·期末）由所有到已知点O的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意调查到点的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形是半径为5和半径为所组成的环形面积即可．本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 【详解】解：如图， 到点的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形是图中环形， 所以 ． 故答案为：． 【例4】（23-24九年级上·浙江湖州·课后作业）学校有一个圆形花坛，要求将它三等分，以便在上面种植三种不同的花，你认为下列所给图中符合设计要求的图案是 ．（将所有符合设计要求的图案序号填上） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了圆的基本性质，根据圆的旋转不变性即可解决． 【详解】解：∵要求将它三等分 ∴①是不正确的； ②和③都是首先把圆三等分， 根据圆的旋转不变性，在每一部分内做了相同的图形； ④是把圆六等分，每一种占其中的2份． ∴②③④符合要求． 故答案为：②③④ 1．（2024九年级上·浙江温州·专题练习）如图，在中，，，若以点为圆心，的长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键． 连接，由直角三角形斜边中线定理可得，然后可得是等边三角形，则有，进而根据勾股定理可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点是的中点，，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得， 故选：D． 2．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，是的直径，点C是上一动点，连接，点D在直径上，，连接并延长交于点E，若，则的最大值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，圆的基本概念，连接，根据，当O，D重合时，则有最大值，有． 【详解】解：如图，连接， ∴， 当O，D不重合时，在中，两边之和大于第三边， ∴． 又，即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 即 ∴当O，D重合时，如图，有， 故综上得：， 故答案为：8． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，某小区修缮了一个圆环的花坛，其内圆半径为，外圆面积为． (1)求该圆环花坛的宽度； (2)求该圆环花坛的面积． 【答案】(1)圆环的宽度为 (2)圆环花坛的面积 【分析】本题考查二次根式的应用、圆的面积等知识点，明确圆的面积和半径的求法是解答本题的关键． （1）先求出外圆的半径，然后用外圆半径内圆半径，即可得到该圆环花坛的宽度； （2）先求出内圆的面价，然后用外圆面积内圆面积，即可得到该圆环花坛的面积． 【详解】（1）解：设外圆半径为， 根据题意得：，即：， ， ， 圆环的宽度为． 答：圆环的宽度为． （2）解： ． 答：圆环花坛的面积． 【典型例题二 判断确定圆的条件】 【例1】（24-25九年级上·浙江·阶段练习）下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 【答案】D 【分析】本题考查了确定圆的条件，掌握相关知识点是解题关键．根据定点和定长与圆的关系，逐项分析即可． 【详解】解：A、经过一个定点，以定长为半径，由于圆心不确定，即可以作无数个圆，原说法错误，不符合题意； B、经过两个定点，以定长为半径，圆心在两个定点所连线段的垂直平分线上，即能作0个或1个或2个圆，原说法错误，不符合题意； C、经过不在同一条直线上的三个定点，只能作一个圆，原说法错误，不符合题意； D、经过三角形的三个顶点，只能作一个圆，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（    ） A．① B．② C．③ D．都不能 【答案】B 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小． 【详解】解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 【例3】（24-25九年级上·浙江·单元测试）正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 个不同的圆． 【答案】5 【分析】根据不在同一条直线上的三点可以确定一个圆分析得出． 【详解】解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆． 故答案为5． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟记不在同一条直线上的三点可以确定一个圆． 【例4】（24-25九年级上·浙江湖州·课前预习）不在同一条直线上的 个点确定一个圆． 【答案】三 【解析】略 1．（2024·山西·模拟预测）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，从这五个点中随机选择三个点，则经过这三个点能够画出圆的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用列举法求概率以及圆确定的条件，根据题意可得出所有等可能的结果以及经过这三个点能够画出圆的结果，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：从这五个点中随机选择三个点，所有等可能的结果有：，，，，，，，，，共10种， 其中经过这三个点能够画出圆的结果有： ，，，，，， 共6种， ∴经过这三个点能够画出圆的概率为． 故选：D 2．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，点A，B，C均在的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 ． 【答案】5 【分析】根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案． 【详解】如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O， 以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆， 由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点， 故答案为：5 3．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在的方格中，的顶点均在格点上．请按要求画格点线段EF（端点在格点上），且EF分别交线段AB，AC于点G，H． (1)在图1中作出∠AHG＝∠C． (2)在图2中作出∠AGH＝∠C． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）将BC向上平移，使点B，点C 均在格点上即可； （2）作 交AB于G，交AC于H，可得线段EF，此时 【详解】（1）如图，线段EF，∠AHG即为所作， （2）如图，线段EF，即为所作， 【点睛】本题主要考查了作图----应用与设计作图，熟练掌握平移是解答本题的关键． 【典型例题三 判断三角形外接圆的圆心位置】 【例1】（23-24九年级上·浙江金华·期中）已知是的外接圆，那么点O一定是的（　　） A．三个顶角的角平分线交点 B．三边高的交点 C．三边中线交点 D．三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查三角形外接圆圆心的确定，掌握三角形外接圆圆心的确定方法，结合垂直平分线的性质，是解决问题的关键． 【详解】解：已知是的外接圆，那么点O一定是的三边的垂直平分线的交点， 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边中垂线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可． 【详解】解：根据图形可知，直线是的边上的中垂线，点D在的边上的中垂线上， ∴点D是外心． 故选：A． 【例3】（23-24九年级上·浙江舟山·阶段练习）已知点O是的外心，且，则 ． 【答案】3 【分析】根据三角形的外心的性质解答即可； 【详解】∵点 为 的外心， 故答案为3 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等是解题的关键 【例4】（24-25九年级上·河北保定·期末）如图为5×5的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是 （填字母序号） A． △ACD的外心      B．△ABC的外心       C．△ACD的内心      D．△ABC的内心 【答案】B 【分析】结合图形、根据外心、内心的概念和性质进行判断即可． 【详解】解：如图所示， 点O在线段AC的垂直平分线上，点O也在线段BC的垂直平分线上， ∴点O是△ABC的外心， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外心是一个三角形的两条边的垂直平分线的交点是解题的关键． 1．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图中外接圆的圆心坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点，分别作垂直平分线，交点为外心，再过外心分别向轴，轴的垂线，确定坐标． 【详解】解：外接圆圆心的坐标为．    故选C． 【点睛】本题考查三角形的外接圆的定义．本题解题的关键是作图找出三角形的外心． 2．（24-25九年级·浙江温州·阶段练习）如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为 ． 【答案】（6，2） 【详解】试题分析：本题可先设圆心坐标为（x，y），再根据“三角形外接圆的圆心到三角形三顶点的距离相等”列出等式，化简即可得出圆心的坐标． 解：设圆心坐标为（x，y）； 依题意得， A（4，6），B（2，4），C（2，0） 则有 ==， 即（4﹣x）2+（6﹣y）2=（2﹣x）2+（4﹣y）2=（2﹣x）2+y2， 化简后得x=6，y=2， 因此圆心坐标为（6，2）． 点评：本题考查了三角形外接圆的性质和两点之间的距离公式．解此类题目时要注意运用三角形的外接圆圆心到三角形三点的距离相等这一性质． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图在5×5的网格中，的顶点都在格点上．    (1)在图1中画出的垂直平分线； (2)在图2中画出的外接圆． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的外心等知识，理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点、，作直线即可； （2）线段、的垂直平分线的交点即为的外接圆的圆心，连接，作圆即可． 【详解】（1）如图，直线即为所求；    （2）如图，即为所求．    【典型例题四 三角形外接圆的概念辨析】 【例1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列四个命题中，正确的是（    ）． A．平分弦的直径垂直于弦； B．经过同一平面内的三个点一定可以作一个圆； C．长度相等的两条弧是等弧； D．三角形的外心到这个三角形各顶点的距离相等； 【答案】D 【分析】利用垂径定理、确定圆的条件、等弧的定义及三角形外心的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原命题错误，不符合题意； B、经过同一平面内的不在同一直线上的三个点一定可以作一个圆，原命题错误，不符合题意； C、能够完全重合的两条弧是等弧，原命题错误，不符合题意； D、三角形的外心到这个三角形各顶点的距离相等，正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解垂径定理、确定圆的条件、等弧的定义及三角形的外心的性质，难度不大． 【例2】（2025·浙江·模拟预测）如图，是的外接圆，则点O是的（    ） A．三条高线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三角形三内角角平分线的交点 【答案】B 【分析】根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而得出答案． 【详解】是的外接圆， 点O是的三条边的垂直平分线的交点， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的外接圆和外心，正确把握外心的定义是解题的关键． 【例3】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）三角形三边垂直平分线的交点叫做三角形的 ． 【答案】外心 【分析】根据外心的定义判断即可； 【详解】根据定义可知，三角形三边垂直平分线的交点叫做三角形的外心； 故答案是外心； 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，准确判断是解题的关键． 【例4】（2025·江苏南京·模拟预测）如图，点O是的外心，，垂足分别为D、E，点M、N分别是、的中点，连接，若，则 ． 【答案】8 【分析】连接DE，由点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC得到DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理即可求得BC． 【详解】解：连接DE， ∵O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴AD=BD，AE=CE， ∴DE=BC， ∴BC=2DE， ∵M、N分别是OD、OE的中点， ∴MN=DE， ∴DE=2MN， ∴BC=4MN， ∵MN=2， ∴BC=8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆与圆心，三角形中位线定理，正确作出辅助线并熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键． 1．（2025·浙江金华·模拟预测）如图所示，在4×4的网格中，A、B、C、D、O均在格点上，则点O是（   ） A．△ABC的内心 B．△ABC的外心 C．△ACD的外心 D．△ACD的重心 【答案】B 【分析】如图（见解析），先利用勾股定理分别求出的长，再根据三角形外心、重心、内心的定义即可得． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得：，， 点在的垂直平分线上， 点是的外心， ， 点既不是的外心，也不是的重心， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外心、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形的外心定义是解题关键． 2．（2025·四川成都·模拟预测）已知下列四个图形：①长度为的线段；②斜边为3的直角三角形；③面积为4的菱形；④半径为，圆心角为90°的扇形；其中，能够被半径为1的圆及其内部所覆盖的图形是 ．（填写序号） 【答案】④ 【分析】根据图形中最长的线段与圆的直径相比较即可判断． 【详解】解：半径为1的圆的直径为2， ①∵＞2， ∴长度为线段不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖； ②∵3＞2， ∴斜边为3的直角三角形不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖； ③∵面积为4的菱形的长的对角线＞2， ∴面积为4的菱形不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖； ④∵半径为，圆心角为90°的扇形的弦为2， ∴半径为，圆心角为90°的扇形能够被半径为1的圆及其内部所覆盖； 故答案为：④． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆，菱形的性质，求得图形中最长的线段是解题的关键． 3．（24-25九年级上·山西大同·期末）工人师傅后在一个上表面是直角三角形的器具上面安装一块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形状如图所示．    (1)请用尺规作图在图上作出该图； (2)测量直角三角形的两直角边，，如果这个圆是一个正方形板所截，请你帮助师傅计算出所需要正方形板的最小面积是多少? 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）分别作线段,的垂直平分线，交于点O，以O为圆心， 长为半径画圆即可； （2）利用勾股定理求出，即为所需正方形的版的最小边长，即而求出面积； 【详解】（1）即为所作    （2）∵，， ∴ ∴所需要正方形板的最小面积是 【点睛】此题主要考查了外接圆的作法和勾股定理等知识，作垂直平分线和得出是解题关键． 【典型例题五 判断点与圆的位置关系】 【例1】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如果的半径为3，，则点在（   ） A．外 B．内 C．上 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离为d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为3，，且， ∴点A在内， 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，在8×8的正方形网格中，点A，B，C，P，Q，M，N都在格点上(正方形的顶点即格点)，若⊙O是以A，B，C为顶点的三角形的外接圆，则下列各点中，在⊙O上的是（   ） A．点P B．点 Q C．点M D．点N 【答案】D 【分析】本题主要考查了外接圆的圆心，勾股定理， 先确定圆心的位置，再求出半径，即可判断答案． 【详解】解：如图所示，点O是的外接圆的圆心， 小正方形的边长为1，根据勾股定理可知，， ∴上的是点N． 故选：D． 【例3】（24-25九年级上·浙江金华·期中）的直径为，点P到圆心O的距离为，点P与的位置关系是 ． 【答案】点P在外 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系．若点与圆心的距离d，圆的半径为r，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， ∵点P到圆心O的距离为，， ∴点P与的位置关系是点P在外． 故答案为：点P在外． 【例4】（23-24九年级上·北京西城·期中）杭州亚运会射击项目比赛，中国队取得16金9银4铜的成绩，继续保持着亚洲射击运动霸主的位置．如图，是射击靶的示意图，环靶为圆形，直径，自中心向外共10个等宽的同心圆环区，得分标准如图所示．若最小的圆半径为，最大的圆半径为，某运动员一次训练中，击中了与圆心O的距离为的位置，则该运动员本次射击得分为 分． 【答案】8 【分析】先求得9分小圆和8分小圆的半径即可求解． 【详解】解：∵最小的圆半径为，最大的圆半径为， ∴9分小圆的半径为，8分小圆的半径为， ∴该运动员本次射击得分为8分． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，能求出各个圆的半径是解题的关键． 1．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，在直角坐标系中，存在三个定点分别为，，，顺次连接，现添加一点，使得，那么的长不可能为（    ） A．4 B．7 C．11 D．15 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，确定点所处的位置是解题关键．首先根据点的坐标，确定，由题意可知点在以点为圆心，以5为半径的圆上，然后确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵，，， ∴，，， ∴， 由题意可知，， 则点在以点为圆心，以5为半径的圆上， ∴当点在线段上时，取最小值， 此时， 当点在线段的延长线上时，取最大值， 此时， ∴的取值范围为， ∴的长不可能是4，选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）已知矩形中， ，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围是 ． 【答案】 【分析】连接，，利用勾股定理求出的长，抓住已知以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，就可求出的半径r的取值范围． 【详解】解：连接，， ∵矩形中，，， ∴，，， ∵以点B为圆心作圆，与边有唯一公共点， ∴的半径r的取值范围是：； 故答案为：． 【点睛】此题考查了点与圆的位置关系以及矩形的性质，勾股定理．注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 3．（24-25九年级上·浙江湖州·课后作业）如图，菱形的对角线相交于点O，四条边的中点分别为．这四个点共圆吗？圆心在哪里？ 【答案】共圆，圆心在点O处 【分析】根据三角形中位线的性质，证出四边形EFGH是平行四边形，根据菱形性质证出四边形EFGH是矩形，根据矩形性质可得E，F，G，H到矩形中心的距离相等，从而得出结论． 【详解】解：点E，F，G，H四点共圆，圆心在点O处． 理由如下： 连接HE，EF，FG，GH，OH，OE，OF，OG． ∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点， ∴EF平行且等于AC, HG平行且等于AC， ∴EF平行且等于GH ∴四边形EFGH是平行四边形， 又∵四边形ABCD是菱形 ∴ ∴∠AOB＝90° ∠HEF＝90°， ∴四边形EFGH是矩形， ∴E，F，G，H到矩形中心的距离相等 ∴这个矩形的四个顶点在同一个圆上，圆心即为点O． 【点睛】考核知识点：点和圆的位置关系．理解矩形、菱形的判定和性质和点和圆的位置关系是解题关键． 【典型例题六 利用点与圆的位置关系求半径】 【例1】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）点到的最近点的距离为，最远点的距离为，则的半径是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，分为两种情况来讨论，当点在内时，直径最近点的距离最远点的距离；当点在外时，直径最远点的距离最近点的距离． 【详解】解：点应分为位于圆的内部和外部两种情况讨论： ①当点在圆内时，最近点的距离为，最远点的距离为，则直径是，因而半径是； ②当点在圆外时，最近点的距离为，最远点的距离为，则直径是，因而半径是． 故选：A． 【例2】（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先利用勾股定理可得，再根据“点在内且点在外”可得，由此即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， ， 点在内且点在外， ，即， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键． 【例3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知点P在⊙O外，且P点到⊙O最大距离是6，最小距离是2，则⊙O的半径为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平面内一点与圆上各点的距离问题，应先将最大距离与最小距离的点的位置确定下来，再来求解 ． 【详解】解：如图所示，连接，与圆交于、两点， 则， 设圆的半径为， ∴， ∴， 故答案为：2 ． 【例4】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，原点右边7个单位有一点P，数轴上半径为1的从原点O开始以每秒2个单位的速度向右运动，经过 秒，点P在上 【答案】或 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分两种情况，列式计算即可得解，解题的关键是能够分类讨论． 【详解】解：当第一次点在圆上时，秒， 当第二次点在圆上时，秒， 综上所述，经过或秒，点P在上， 故答案为：或． 1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图是由4个边长为a的正六边形组成的网格图，每个顶点均为格点，若该图中到点A的距离超过3的格点有且仅有6个，则a的取值范围为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过以点A为圆心作圆，找到图中到点A的距离较远的6个点，并用a表示它们到点A的距离，根据题意“图中到点A的距离超过3的格点有且仅有6个”，这些点到点A的距离大于3，其他的点到点A的距离小于等于3，,即可列出关于a的不等式组，解出即可. 【详解】解：通过以点A为圆心，作如下三个半径分别为：a、、2a的圆， 发现半径为2a的圆上有三个点，圆外由3个点，共6个点， 又∵该图中到点A的距离超过3的格点有且仅有6个， ∴解得， 故选：A. 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆心的距离与半径r的大小关系来判断，本题的关键是读懂题意，作出相关的圆，准确列出不等式. 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，则图中圆弧所在圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】先根据点，确定平面直角坐标系的位置，然后根据圆弧过点，，三点可知，圆心横坐标一定为，然后通过圆心到圆上的点的距离为半径，列方程确定圆心的纵坐标． 【详解】根据，可确定平面直角坐标系如图所示， 则由图象可知，圆过点，，三点，由圆的性质可知圆心的横坐标一定为，设圆心坐标为， 则由圆心到点和的距离相等且为半径得： ，解得：， 故圆心坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查根据圆弧确定圆心位置及圆心的坐标，解答时一定要注意圆心一定在圆的弦的中垂线上，且圆心到圆上任意一点的距离都为半径，只需要找到圆弧上几个特殊点便可以确定圆心的位置及坐标． 3．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离SP的定义如下：若点P与圆心O重合，则SP为⊙O的半径长；若点P与圆心O不重合，作射线OP交⊙O于点A，则SP为线段AP的长度． 图1为点P在⊙O外的情形示意图． （1）若点B（1，0），C（1，1），D（0，），则SB= ；SC= ；SD= ； （2）若直线y=x+b上存在点M，使得SM=2，求b的取值范围； （3）已知点P，Q在x轴上，R为线段PQ上任意一点．若线段PQ上存在一点T，满足T在⊙O内且ST≥SR，直接写出满足条件的线段PQ长度的最大值． 【答案】（1）0；﹣1；； （2）b的取值范围是﹣3≤b≤3； （3）线段PQ长度的最大值为1+2+1=4． 【分析】（1）根据点的坐标和新定义解答即可； （2）根据直线y=x+b的特点，结合SM=2，根据等腰直角三角形的性质解答； （3）根据T在⊙O内，确定ST的范围，根据给出的条件、结合图形求出满足条件的线段PQ长度的最大值． 【详解】解：（1）∵点B（1，0）， ∴SB=0， ∵C（1，1）， ∴SC=﹣1， ∵， ∴SD=， 故答案为0；﹣1；； （2）设直线y=x+b与分别与x轴、y轴交于F、E， 作OG⊥EF于G， ∵∠FEO=45°， ∴OG=GE， 当OG=3时，GE=3， 由勾股定理得，OE=3， 此时直线的解析式为：y=x+3， ∴直线y=x+b上存在点M，使得SM=2，b的取值范围是﹣3≤b≤3； （3）∵T在⊙O内， ∴ST≤1， ∵ST≥SR， ∴SR≤1， ∴线段PQ长度的最大值为1+2+1=4． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、新定义、点与圆的位置关系，正确理解点P到⊙O的距离SP的定义、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 【典型例题七 圆的周长和面积问题】 【例1】（24-25九年级上·浙江湖州·单元测试）小丽用圆规画了一个半径为的圆，小杰用的线围成一个圆．下列说法正确的是（     ） A．两个圆一样大 B．小杰围的圆大 C．小丽画的圆大 D．无法确定两个圆的大小 【答案】A 【分析】首先求得小丽用圆规画的圆的周长，再与相比较，即可判定． 【详解】解：小丽用圆规画的圆的半径为， 小丽用圆规画的圆的周长为：， 小丽与小杰所得的圆一样大， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的周长公式，熟练掌握和运用圆的周长公式是解决本题的关键． 【例2】（2025·浙江温州·模拟预测）设计师想用长的木材做一个花园边界，有如图1、图2、图3三种可能的设计：      其中合理的设计方案有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】分别计算出3个图形的周长进行判断即可． 【详解】解：图1的周长为：，所以这个设计是合理的； 图2的周长为：，所以这个设计是合理的； 图3的周长为：，所以这个设计是合理的； ∴合理的设计方案有3个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了图形的周长计算，正确掌握计算方法是解答本题的关键． 【例3】（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，图中阴影部分的面积可以用字母表示为 ． 【答案】 【分析】先计算出圆的面积，再计算出三角形的面积，阴影部分的面积等于圆的面积减去三角形的面积． 【详解】解：圆的面积为， 由题意得三角形为等腰直角三角形， ∴三角形的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆和等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握圆和等腰直角三角形的相关知识． 【例4】（24-25九年级上·广东湛江·期中）某校计划在校园内修建一座周长为20m的花坛，同学们设计出正三角形，正方形和圆三种图案，通过计算说明使花坛面积最大的图案是 （填图形）． 【答案】圆 【分析】分别求出正三角形，正方形和圆三种图案的面积，即可求解． 【详解】解：当设计成正三角形，则边长是，则面积是； 当设计成正方形时，边长是5m，则面积是； 当设计成圆时，半径是，则面积是． ∵这三个数中最大， ∴使花坛面积最大的图案是圆． 故答案为：圆． 【点睛】本题考查了正三角形，正方形，圆的有关计算，关键是掌握周长一定的所有平面图形中，圆的面积最大． 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图所示，以长方形的各边为直径向外作半圆，若四个半圆的周长之和为，面积之和为，则长方形的面积为(  ) A．10 B．20 C．40 D．80 【答案】C 【分析】设长方形的长为a，宽为b，根据四个半圆的周长之和为14π，可得a+b=14，根据面积之和为29π，可得a2+b2=116，进而求出ab的值即可． 【详解】解：设长方形的长为a，宽为b，由题意得， πa+πb=14π，即：a+b=14， π×（）2+π×（）2=29π，即：a2+b2=116， ∴ab=[（a+b）2（a2+b2）]= （196116）=40， 故选：C． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义，将公式进行适当的变形是解决问题的关键． 2．（24-25七年级·浙江湖州·假期作业）把圆分成若干等份，然后把它剪开，照右图的样子拼成一个近似的长方形．已知长方形的周长比原来圆的周长增加了4厘米，这个圆的周长是 厘米，拼成的长方形面积是 平方厘米．     【答案】 4π； 4π． 【分析】设圆的半径是，然后表示出拼成的长方形的长与宽，再根据长方形的周长公式与圆的周长公式列式即可求出圆的半径，再根据圆的周长公式和长方形的面积公式即可求解． 【详解】解：设圆的半径是， 则长方形的长为，宽为， ， 解得， 这个圆的周长是厘米； 拼成的长方形面积是平方厘米． 故答案为：，． 【点睛】本题是主要考查了圆的周长与面积的考查，设出圆的半径并熟记圆的周长与面积公式是解题的关键． 3．（24-25九年级上·河北承德·期中）在推导圆的面积计算公式时，是将一个圆分成若干（偶数）等份，剪开后，用这些近似等腰三角形的小纸片拼成一个近似的长方形，如图2所示．（注：本题中的π取3.14） （1）若圆的半径为3cm，则拼成的近似长方形的周长比圆的周长多多少厘米？ （2）若拼成的近似长方形的周长为33.12cm，则圆的半径为多少？ （3）在（2）的条件下，求此圆的面积．    【答案】（1）6cm；（2）4cm；（3）50.24（cm2）． 【分析】（1）根据圆和矩形的周长公式即可得到即可； （2）设圆的半径为r，根据题意列方程即可得到结论； （3）根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）拼成的近似长方形的周长比圆的周长多3×2＝6cm； （2）设圆的半径为r， 由题意得，2πr+2r＝33.12， 解得：r＝4， 答：圆的半径为4cm； （3）此圆的面积＝3.14×42＝50.24（cm2）． 【点睛】本题考查了认识平面图形，图形的拼组及圆的面积公式的推导过程． 【典型例题八 求三角形外心坐标】 【例1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知点是的外心，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用外心的概念，转换为求等腰三角形的顶角即可． 【详解】方法一、如图，连接，    ∵点是的外心， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 方法二、如图，    ∵点是的外心， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形的外心，内角和，等腰三角形的性质，解题的关键是熟记以上知识及其应用． 【例2】（23-24九年级上·浙江衢州·期中）如图，点、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆的外心，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心， 由图可知，点的坐标是：， 故选：B． 【例3】 （23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）过三点，，的圆的圆心坐标为 ． 【答案】 【分析】根据直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点的确定方法解答． 【详解】解：如图，    ∵，，， ∴是直角三角形， ∴的中点D的坐标为， ∴过三点，，的圆的圆心坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，解决本题的关键是掌握直角三角形的外心． 【例4】（23-24九年级上·浙江湖州·课后作业）如图，的顶点都在格点上，则外接圆的圆心坐标是 ．    【答案】 【分析】根据网格结构，作出边、的垂直平分线，交点即为所求的外接圆的圆心，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：∵三角形的外接圆圆心为三角形三条边的垂直平分线的交点， ∴作出边、的垂直平分线，如图所示，点为的外接圆的圆心，    ∴外接圆的圆心坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆及圆心的确定，三角形的垂直平分线，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置，正确作图是是解题的关键． 1．（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，，，，，则外心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，取格点，，，，且直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形，则可得，的交点为为的外心，再分别求解，的解析式即可得到答案． 【详解】解：如图，取格点，，，，则直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形， ∴直线是线段的垂直平分线， 记，的交点为，则为的外心， ∵，，， ∴直线为，，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，， ∴，即的外心坐标为：． 故选C． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，正方形的性质，三角形的外心的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握“三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点”是解本题的关键． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，若点的坐标为，则的外心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外心，线段垂直平分线的性质，两点之间距离公式，确定外心的性质是解题的关键． 先根据点坐标建立平面直角坐标系，由外心的性质得到点为与垂直平分线的交点，设，通过两点之间距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴建立如图所示平面直角坐标系， 则， 设外心为，连接， ∴点为与垂直平分线的交点， ∴点在直线上，， 设， 由得，， 解得：， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)、B(4，4)、C(6，2)． （1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为　　； （2）这个圆的半径为　　； （3）直接判断点D(5，﹣2)与⊙M的位置关系，点D(5，﹣2)在⊙M　　（填内、外、上）． 【答案】（1）（2，0）；（2）；（3）内 【分析】（1）利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点，从而得到点的坐标； （2）利用两点间的距离公式计算出即可； （3）先计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系． 【详解】解：（1）如图，圆心的坐标为； （2），， ， 即的半径为； （3），， ， ， 点在内． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和点与圆的位置关系． 【典型例题九 求特殊三角形外接圆的半径】 【例1】（23-24九年级上·浙江温州·期中）若一个三角形的三边长为6，8，10，则这个三角形外接圆的半径是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，由直角三角形的圆心为斜边中点，半径等于斜边的一半即可得出结果． 【详解】解：， 这个三角形是直角三角形，10是斜边长， 直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点， 三角形外接圆的半径斜边的一半， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理的逆定理，熟记直角三角形的圆心为斜边中点，半径等于斜边的一半是解决问题的关键． 【例2】（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）已知，如图，在中，，，，那么这个三角形的外接圆直径是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的外接圆半径，根据勾股定理求得斜边的长，进而即可求解，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆． 【详解】解：在中，，，， ∴ ∴这个三角形的外接圆直径是 故选：D． 【例3】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）在中，，，，则这个三角形的外接圆的半径是 ． 【答案】5 【分析】先根据勾股定理求得斜边长为10，再根据直角三角形外接圆半径等于斜边的一半求出即可． 【详解】解：在中，，，， ， 其外接圆的直径为10，半径为5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识，解题关键是熟记直角三角形的斜边就是外接圆直径． 【例4】（24-25九年级上·北京通州·期末）如图，在ABC中，∠C＝90°，AB=10，在同一平面内，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数）．那么常数a的值等于 ． 【答案】5 【分析】直接利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 即可知道点到点A，B，C的距离相等， 如下图： ， ， 故答案是：5． 【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆的外心，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 1．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）△ABC,若°，则此三角形外接圆半径为（    ） A．2 B．3 C．4 D．3.5 【答案】B 【分析】连接OA，OB，利用O、A都在BC中垂线上可得OA垂直平分BC，再利用等腰三角形的三线合一，可求出∠BAO的度数，从而证出△AOB是等边三角形，即可求出OB. 【详解】解：连接OA，OB ∵ ∴点A在BC的中垂线上 ∵点O也在BC的中垂线上，根据两点确定一条直线 ∴OA垂直平分BC ∴AO平分∠BAC ∴∠BAO= 又∵OA=OB ∴△AOB为等边三角形 ∴OA=OB=AB=3 故选B. 【点睛】此题考查了三角形的外接圆的性质、垂直平分线的判定及性质以及等边三角形的判定与性质．掌握数形结合思想、垂直平分线的性质和等边三角形的判定是解决此题的关键． 2．（2025·内蒙古鄂尔多斯·模拟预测）联想三角形外心的概念，我们可定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．例：如图，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，则PA= ． 【答案】或2 【分析】运用勾股定理求出AC的长度，且根据准外心的定义，一共有两种情况：①PA=PC，②PB=PC，设PA=x，解一元一次方程，即可求得答案． 【详解】解：在直角三角形ABC中，斜边BC=5，AB=3，根据勾股定理，可得：， 且准外心P在AC上，即PA=PC或PB=PC， ①当PA=PC时，设PA=x，则PC=AC-PA=4-x，即x=4-x，解得：x=2； ②当PB=PC，设PA=x，则PC=AC-PA=4-x，且ABP也是直角三角形，故，即，解得：； 故答案为：或2． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、解一元一次方程，解题的关键在于考虑到两种情况的可能，且需要理解准外心的定义． 3．（24-25九年级上·浙江·期中）如图1，已知点P是线段上一动点（不与A，B重合），且，在线段的同侧作正和，连结和，它们相交于点Q，与交于点M．      （1）求证：，； （2）若和不是等边三角形，如图2，只满足，，（，k为实数），E是中点，F是中点，G是中点，连结，，求的值（用含k的式子表示）； （3）请直接写出在图1中，经过P，C，D三点的圆的半径的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）. 【分析】（1）根据SAS即可证明△APD≌△CPB，推出∠PAD＝∠PCB，由∠AMP＝∠CMQ，推出∠AQC＝∠APC＝60°，由∠CAB＝60°，推出∠AQC＝∠CAB，即可证明△ACQ∽△BCA； （2）由∠APC＝∠DPB，推出∠APD＝∠CPB，由，推出△APD∽△CPB，推出，由EF＝BC，EG＝AD，即可推出； （3）观察图象可知，当△PCD是等边三角形时，△PCD外接圆的半径最小，然后解直角三角形求出直径即可． 【详解】解：（1）∵△APC，△DPB都是等边三角形， ∴PA＝PC，PD＝PB，∠APC＝∠DPB＝60°， 在△APD和△CPB中，， ∴△APD≌△CPB， ∴∠PAD＝∠PCB，∵∠AMP＝∠CMQ， ∴∠AQC＝∠APC＝60°， ∵∠CAB＝60°， ∴∠AQC＝∠CAB， ∵∠ACQ＝∠ACB， ∴△ACQ∽△BCA； （2）∵∠APC＝∠DPB， ∴∠APD＝∠CPB， ∵， ∴△APD∽△CPB， ∴， ∵AF＝FC，AE＝BE， ∴EF＝BC， ∵BG＝GD，BE＝EA， ∴EG＝AD， ∴； （3）如图， ∵∠APC＝∠DPB＝60°， ∴∠CPD＝60°， 观察图形可知，当△PCD是等边三角形时，△PCD的外接圆的半径最小， ∴PC=PD=CD=5， 过点P作直径PM，则∠MPD=30°，∠MDP=90°， ∴， ∴半径的最小值为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、圆周角定理以及解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【典型例题十 确定圆心(尺规作图)】 【例1】（24-25九年级上·北京朝阳·期末）如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（    ） A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断． 【详解】解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心． 故选：B． 【点睛】本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键． 【例2】（2025·浙江衢州·模拟预测）如图，外接圆的圆心坐标是（    ） A．(5，2) B．(2，3) C．(1，4) D．(0，0) 【答案】A 【分析】根据三角形各边的中垂线的交点为三角形外接圆的圆心，作出外接圆的圆心，进而即可得到坐标． 【详解】如图，作AB，BC的中垂线，交于点D，点D即为外接圆的圆心，坐标为（5，2）． 故选A． 【点睛】 本题主要考查三角形外接圆的圆心，熟练掌握三角形外接圆的圆心是各边中垂线的交点，是解题的关键． 【例3】（24-25九年级上·浙江金华·期中）有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你找圆心的方法是 【答案】在圆形纸片的边缘上任取三点则线段的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心. 【分析】如图，在圆形纸片的边缘上任取三点 连接 再作的垂直平分线得到两条垂直平分线的交点即可. 【详解】解：如图，在圆形纸片的边缘上任取三点 连接 则的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心. 故答案为：在圆形纸片的边缘上任取三点则线段的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心. 【点睛】本题考查的是确定圆的圆心，掌握“作三角形的外接圆的圆心”是解本题的关键. 【例4】（24-25九年级上·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ． 【答案】（2，1） 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是（2，1）． 故答案为（2，1）． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 1．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在8×8正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（    ） A．点E B．点F C．点G D．点H 【答案】D 【详解】如图，连接AB，BC，分别作弦AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点H即为圆心． 故选D. 2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查确定圆的圆心，由题意可知，，，取的中点，连接，，，由勾股定理可得，可知点为、、三点所作圆的圆心，进而可得答案． 【详解】解：由题意可知，，， 取的中点，则，， 连接，，， 由勾股定理可得：，， ∴， 即：点为、、三点所作圆的圆心， 则该圆的半径为， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，是一个圆拱形模型． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆拱形的圆心O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若弦的长为，圆拱形的最大高度为，则圆拱形所在圆的半径为_____． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查确定圆心的画法、线段垂直平分线的画法及其性质、勾股定理，正确确定圆心位置是解答的关键． （1）作线段的垂直平分线交圆拱形于点C，连接，作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O即为所求作； （2）连接，设圆的半径为，根据题意和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求作： （2）解：连接，设圆的半径为， 由题意，，，， 在中，由勾股定理得， 则，解得， 即圆拱形所在圆的半径为， 故答案为：5． 【典型例题十一 点与圆上一点的最值问题】 【例1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知A为⊙O外一点，若点A到⊙O上的点的最短距离为2，最长离为4，则⊙O半径为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】画出图形，根据图形和题意得出AC的长是A到⊙O的最长距离，AB的长是A到⊙O的最短距离，据此可求出⊙O的直径，即可求出圆的半径． 【详解】解：如下图，AB为点A与⊙O上的点的最短距离，AC为点A与⊙O上的点的最长距离， ∵点A在⊙O外，点A与⊙O上的点的最短距离为2，最长距离为4， ∴⊙O的直径＝4﹣2＝2， ∴圆的半径是1． 故选：D． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，能根据题意画出图形，得出点A到⊙O的最长距离与最短距离的差即为⊙O的直径是解决此题的关键. 【例2】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是（    ） A．a B． C． D．b 【答案】B 【分析】此题主要考查线段长度的最值， 只有空间站A与星球B、飞船C在同一直线上，且点C在之间时，S取到最小值，据此求解即可． 【详解】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最小值． 故选：B． 【例3】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）一个点到圆上的点的最小距离为，最大距离为，则圆的半径为 cm． 【答案】8或2/2或8 【分析】由于点与圆的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：分为两种情况：    ①当点在圆内时，如图1， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， ∴半径； ②当点在圆外时，如图2， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， ∴半径， 综上所述，圆的半径为或， 故答案为：8或2． 【点睛】考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键． 【例4】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的最短距离为 ．最长距离为 ．    【答案】 / / 【分析】连接，与圆交于点，根据题干中的概念得到点到圆的距离即为，再求出，结合圆半径可得结果． 【详解】解：根据题意可得： 点到圆的距离为：该点与圆上各点的连线中，最短的线段长度， 连接，与圆交于点， 可知：点和圆上点之间的连线最短， ，， ， 圆的半径为， ， 点到以原点为圆心，以为半径的圆的最短距离为，最长距离为 故答案为：；．    【点睛】本题考查了圆的新定义问题，坐标系中两点之间的距离，勾股定理，解题的关键是理解题意，利用类比思想解决问题． 1．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理的应用及圆的最值问题等，作出对称图形是本题的关键．以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值；根据勾股定理求得的长，即可求得最大值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最大值； ∵矩形中，，圆A的半径为1， ∴， ∴， ∴， 即的最大值为6， 故选C． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点与动力装置相连（大小可变），点在轨道上滑动，并带动磨盘绕点转动，，．若磨盘转动过程中，则点到的最小距离为 ． 【答案】/60厘米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由当点运动到时，点到的距离最小，结合勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，当点运动到时，点到的距离最小， ， 由题意得：，，， ∴， 由勾股定理可得：， 故答案为：． 3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）综合与实践 利用正方形纸片的折叠开展数学活动，探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法． 如图①，E 为正方形的 边上的一个动点，，将正方形对折，使点与 点重合，点与 点重合，折痕为 ． 思考探索 （1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为 ， 连接 ， 如图②，请根据以上条件填空． ①点 在以点 为圆心， 的长为半径的圆上（填线段）； ②的长为 ； 拓展延伸 （2）当时，正方形 沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形 的内部或边上． ① 求 面积的最大值； ② 连 接，为的中点，点 在上，连接求的最小值． 【答案】（1）①；② （2）①；② 【分析】本题考查了圆的性质，矩形的性质、图形的折叠、等腰三角形的性质等， （1）①利用圆的基本性质，即可求解； ②根据折叠的性质，利用勾股定理，即可求解； （）①由题意知点在以点为圆心，半径长为的圆上，的面积要最大，只要以为底的高最长即可，此时当时，的面积最大； ②当、、三点共线时，取得最小值，即取得最小值，且最小值为的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）根据折叠的性质知：，，， ， ①点在以点为圆心，的长为半径的圆上； ② ； 故答案为：①，②， （）①，， ， 故点在以点为圆心，半径长为的圆上， 的面积要最大，只要以为底的高最长即可， 当时，的面积最大，如图： 的面积最大值； ②， ， 为的中点， 为的中点， 为的中位线， ，即， ， 当三点共线时，取得最小值，即取得最小值， 且最小值为的长， ， 的最小值为． 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）的半径为6，同一个平面内有一点P，且，则P与的位置关系是（   ） A．P在圆外 B．P在圆上 C．P在圆内 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小即可判断． 【详解】解：∵的半径为6，且， ∴点P到圆心的距离大于圆的半径， 因此，点P在圆外． 故选：A． 2．（23-24九年级上·浙江湖州·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 3．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，则O也是下列哪个三角形的外心（   ） A．△AED的外心 B．△AEB的外心 C．△ACD的外心 D．△BCD的外心 【答案】B 【分析】根据三角形的外心得出OA=OC=OA，根据正方形的性质得出OA=OC＜OD，求出OA=OB=OC=OE≠OD，再逐个判断即可． 【详解】解： 连接OB、OD、OA， ∵O为锐角三角形ABC的外心， ∴OA＝OC＝OA， ∵四边形OCDE为正方形， ∴OA＝OC＜OD， ∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD， A、OA＝OE≠OD，即O不是△AED的外心，故本选项不符合题意； B、OA＝OE＝OB，即O是△AEB的外心，故本选项符合题意； C、OA＝OC≠OD，即O不是△ACD的外心，故本选项不符合题意； D、OB＝OC≠OD，即O不是△BCD的外心，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质和三角形的外心与外接圆，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：三角形的外心到三个顶点的距离相等，正方形的四边都相等． 4．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）“转化”是一种重要的解决问题策略，在我们数学学习中经常会运用到．例如探索圆的面积计算公式时，许多同学会将圆形纸片剪成16等份，拼成一个近似的平行四边形（如图①），然后推导出圆的面积计算方法．小亮在研究时，将圆形纸片剪成16等份，拼成一个近似的梯形（如图②）．请仔细观察拼成的这个梯形，梯形的上底与下底的和与梯形的高分别是（    ） A．圆周长，圆的半径 B．圆周长，圆的直径 C．圆周长的一半，圆的半径 D．圆周长的一半，圆的直径 【答案】D 【分析】本题考查圆的面积的推算，观察图形可知梯形的上底与下底的和为圆周长的一半，梯形的高为圆的直径，据此解答． 【详解】解：由图可得梯形的上底与下底的和为圆周长的一半，梯形的高为圆的直径， 故选：D． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，某零件由1个长为8，宽为1的矩形工件和1个边长为6的正方形工件组成一个轴对称图形，则能将其完全覆盖的圆形纸片的最小半径r为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】作的垂直平分线交于，交于，作的垂直平分线交于，连接、，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：作的垂直平分线交于，交于，作的垂直平分线交于，连接、， 则，， 设，则， 在中，，即， 在中，，即， ， 解得：， 则， 刚能将其完全覆盖的圆形纸片的最小半径为5， 故选：A． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 6．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）已知的面积为，点与在同一平面内，若，则点在 （填写“内”、“上”、“外”）． 【答案】内 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．根据面积求半径，比较半径与点到圆心的距离的大小，然后作答即可． 【详解】解：∵的面积为， ∴的半径为5， ∵， ∴点P在内， 故答案为：内． 7．（23-24九年级上·浙江湖州·课后作业）的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 【答案】7 【分析】本题主要考查了圆的弦的概念．熟练掌握圆的弦的定义和性质，是解决问题的关键．圆的弦的定义：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．最大弦是直径． 根据的半径为，得到直径，根据，得到在半圆上，有3个，另一侧也有3个，加上长度为的是与B点重合，一共有7个． 【详解】如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 8．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）图中的外心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义，根据三角形外心的定义作三角形两边的垂直平分线，根据网格的特点，很容易作出与的垂直平分线，则它们交点的坐标为所求． 【详解】解：作，的垂直平分线交点P，如图， 则点P为的外心， P点坐标为． 故答案为∶． 9．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，是编号为1、2、3、4的400m跑道，每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每条跑道宽1m，内侧的1号跑道长度为400m，则2号跑道比1号跑道长 m；若在一次200m比赛中（每个跑道都由一个半圆形跑道和部分直跑道组成），要使得每个运动员到达同一终点线，则4号跑道起跑点比2号跑道起跑点应前移 m（π取3.14）． 【答案】 6.28 6.28 【分析】利用各跑道直线跑道相等，每条跑道宽1m，两个半圆相加得一个整圆列出式子对比即可． 【详解】解：设直线部分长为l米 1号： 2号： 3号： 4号： 2号比1号长： 4号起点比2号起点前移： 故答案为：6.28，6.28 【点睛】本题考查了列代数式，圆的周长公式，整式的加减等知识点，熟练掌握是解题的关键． 10．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆，勾股定理．根据题意可得能够完全覆盖这个三角形的最小圆为外接圆，圆心位于和的垂直平分线的交点处，求出，即可求解． 【详解】解：如图，均为网格的对角线长，，故点为外接圆的圆心，则为半径，    故能完全覆盖该三角形的最小圆面的半径是． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图所示，求证：直径是中最长的弦． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆的概念，在中，由三角形任意两边之和大于第三边有，结合，故大于，即可得出结论． 【详解】证明：如图，是中的任一直径，是圆内任意一条弦， 连接， 则， ∵， ∴， ∴直径是圆中最长的弦． 12．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 【答案】(1)点在内，点在外，点在上 (2) 【分析】（1）根据点到圆的位置关系，比较与圆的半径之间的大小关系，即可得解； （2）根据题意，和点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，即可得解． 【详解】（1）解：连接， ，， ， 的半径为8， 点在内，点在外，点在上； （2）解：，，， 又以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， 的半径的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，判断点与圆的位置关系，是解题的关键． 13．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知：如图，△ABC．    (1)求作：△ABC的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若△ABC是直角三角形，则其外接圆的圆心在 ； (3)若△ABC是边长为6的等边三角形，其外接圆的圆心O到BC边的距离为，求其外接圆的面积． 【答案】(1)见解析 (2)斜边中点 (3) 【分析】（1）作AB、AC的垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA为半径画圆即可； （2）根据直角三角形外心为斜边中点作答即可； （3）连接OB，利用勾股定理求出半径即可． 【详解】（1）解：如图所示，圆O即是△ABC的外接圆． （2）解：如图，直角三角形ABC，作斜边AB上的中线CD，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可知，CD= AD= BD，即D为直角三角形ABC的外接圆圆心， 故答案为：斜边中点． （3）解：如图，△ABC是边长为6的等边三角形，OD⊥BC于D，OD=， 连接OB， ∵OD⊥BC， ∴， ∴， 其外接圆的面积为． 【点睛】本题考查了三角形外接圆、垂径定理和圆的面积计算，解题关键是熟练掌握三角形外接圆的作法，能够熟练运用垂径定理求出半径长． 14．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C． （1）画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹，用水笔描清楚），并连接AD、CD． （2）⊙D的半径为　 　（结果保留根号）； （3）若用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是　 　； 【答案】（1）图见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据垂进定理，作出AB、BC的垂直平分线交点为圆心D． （2）根据正方形网格长度，运用勾股定理求出半径． （3）根据圆锥特点，先求出的弧长，利用圆锥的底面圆周长等于弧长的长度，便可解答． 【详解】解：（1） （2）⊙D的半径AD （3）根据图上信息，可知道 的长度l= = 扇形ADC围成一个圆锥的侧面,则圆锥的底面圆周长等于弧长的长度． 圆锥的底面圆半径 【点睛】本题考查了垂径定理，弧长公式得计算，属于基础题． 15．（2025九年级·浙江湖州·专题练习）已知：在中，，，将绕点顺时针旋转，点对应点为，点对应点为．设旋转过程中延长线与相交于点． （1）如图所示，当点在边上时，请直接写出线段和线段之间的数量关系； （2）当由图的位置旋转到图的位置时，试判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； （3）如图，若，设点为的中点，连接，将绕点旋转一周，直接写出的最大值与最小值． 【答案】（1）；（2）依然成立，见解析；（3）的最大值为，最小值为． 【详解】解：（1）； 由旋转性质可得，． ∵， ∴和都是等边三角形． ∴． ∵，， ∴． ∵，∴． ∴，． ∴，． ∴． （2）依然成立； 理由如下：如解图，在上截取，连接， 由题意可得：，， ∴， ∵， ∴，． ∴．∴． ∴，． ∴． ∴，∴； （3）的最大值为，最小值为． 根据题意，点在以为圆心，长为半径的圆| 上，如解图， 当，，三点在一条直线上时，时，有最小值． 当时，有最大值； ∵在中，，，， ∴．∴．∴． ∴的最大值为，的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$