湖南省长沙市望城区第一中学2024-2025学年高二下学期期末调研数学试卷

保密★启用前 望城一中高二年级期末调研试卷 科目：数学 望城一中高二数学组 2025.7.3 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2.回答选择题时，选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合，则（ ） A． B． C． D． 2．已知是虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 3．已知非常数函数满足，则下列函数中，不是奇函数的为（ ） A． B． C． D． 4．两枚骰子，设出现的点数之和分别为9，10，11的概率分别为p1，p2，p3，则（ ） A．p1＜p2＝p3 B．p1＞p2＞p3 C．p1＝p2＞p3 D．p1＞p2＝p3 5．在中，，若，则的最大值是 A． B． C． D． 6．记等差数列的前n项和为，若成等差数列，成等比数列，则（ ） A．900 B．600 C．450 D．300 7．已知，则（ ） A． B． C． D． 8．已知点是椭圆上的动点，过点作圆的切线，为其中一个切点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分。 9．下列说法正确的有（ ） A．数据的第75百分位数是40 B．若，则 C．4名学生选报3门校本选修课，每人只能选其中一门，则总选法数为种 D．展开式中项的二项式系数为56 10．已知在数列中，，，其前项和为，则（ ） A．当时， B．当时，数列是递增数列 C． D．对任意，存在，使得数列成等比数列 11．已知正方体棱长为4，M为棱上的动点，平面，则下列说法正确的是（ ） A．若N为中点，当最小时， B．当点M与点重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大 C．直线AB与平面所成角的余弦值的取值范围为 D．当点M与点C重合时，四面体内切球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数的图象在点处的切线斜率为，则实数 ． 13．已知且，则 . 14．如图所示，二面角为，是棱上的两点，分别在半平面内，且，，，，，则的长 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否回答正确互不影响． (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率． 16．（15分） △ABC中，内角的对边分别是，已知成等比数列，且． （1）求的值； （2）设，求的值． 17．（15分） 如图，在四棱锥上，底面为直角梯形，，，平面平面， 为的中点，是棱上的点，，，. (1)求证: 平面平面 (2)若二面角大小为，求的值 18． （17分） 已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线上的点到其两条渐近线的距离分别为，求的值； (3)已知点，求证：. 19． （17分） 已知函数，其中常数. (1)若在上是增函数，求实数的取值范围； (2)若，设，求证：函数在上有两个极值点. ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 望城一中高二年级期末调研试卷 数学科目参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D B B A A B ABD CD 题号 11 答案 ACD 5．B【详解】由得，故为钝角，且，.由余弦定理得，即，所以的最大值为，故选B. 6．A【详解】等差数列的公差为，因为成等差数列， 所以，所以， 所以，所以，， 又因为成等比数列，所以， 所以，解得，解得， 所以. 7．A【详解】 ， ， 因为， 所以， 所以， 即，即， 所以或，， 所以，故， 所以. 8．B【详解】. 因为，所以. 10．CD【详解】A选项，当时，， 由于，所以，……， 以此类推，可知此时数列的奇数项为，偶数项为，，所以A选项错误. C选项，，，， ，所以C选项正确. B选项，不妨设，根据C选项的分析可知， 此时数列不是递增数列，所以B选项错误. D选项，当时，由得， ， 要使数列成等比数列，则， 即任意，存在，使数列成首项为， 公比为的等比数列，所以D选项正确. 11．ACD【详解】对于A，矩形与正方形展开成一个平面，如图所示， 若最小，则A、M、N三点共线，因为， 所以，则有 ， 即，故A正确； 对于B，当点M与点重合时，连接、、、、，如图所示， 在正方体中，平面ABCD，平面ABCD，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 又平面，所以，同理可证， 因为，平面，所以平面， 易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为； 设E、F、Q、N，G，H分别为，、，，，的中点，易知六边形EFQNGH是边长为的正六边形，且平面平面， 正六边形 EFQNGH的周长为，面积为， 则的面积小于正六边形EFQNGH的面积，它们的周长相等，即B错误； 对于C，以点D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，设， 因为平面，所以是平面的一个法向量，且，，故， 所以直线AB与平面所成角的正弦值的取值范围为，则直线AB与平面所成角的余弦值的取值范围为，故C正确； 对于D，当点M与点C重合时，四面体即为为正四面体，棱长， 由正四面体的性质可得，其内切球半径， 所以表面积为，故D正确． 12．【详解】由，则，解得， 13．9【详解】由，则，即有，故，则或，又，故. 14．【详解】二面角为，是棱上的两点，分别在半平面、内，且 所以, 所以， ，的长． 15．（1）记表示该选手能正确回答第个问题，则 ． 该选手进入第四轮才被淘汰就是前三轮答题成功，第四轮没有成功， 各轮问题能否回答正确互不影响， 所以所求概率是. （2）该选手至多进入第三轮考核，即可能第一轮被淘汰，可能第二轮被淘汰， 可能第三轮被淘汰，这三种情况又是互斥的， 所以所求概率为 ． 16．（1）成等比数列，， ，或， ，； ， 由正弦定理知：，或. （2），，即， 由余弦定理得：， 解得：. 17．（1）证明：∵，，为的中点， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵， ∴，即. 又∵平面平面，且平面平面，平面， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）∵，为的中点，∴， ∵平面平面，且平面平面，平面， ∴平面. 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 易知平面的法向量为， 又，， ∴设，， ， 又，设平面的法向量为， ，取， ∵二面角为， ∴，解得，即 ∴ 18．（1）因为双曲线的渐近线方程为， 所以设双曲线方程为， 又双曲线过点， 则，所以双曲线的方程为， 即. （2）因为在曲线上， 则， 渐近线方程：， 所以： （3）由（1）可知的斜率存在且不为0，设的方程为， 联立，消去得， 设，由题意得， 则， 所以 ， 所以得证. 【点睛】关键点点睛：由，求证； 19．（1）因为在上是增函数， 所以在上恒成立， 即恒成立，只需， 设，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以的最小值为， 所以，解得. 故实数的取值范围是； （2）要证函数在上有两个极值点， 只需证在上有两个不等实根， 由题意，当时，，则， 令，则， 由，得，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，，， 所以存在，，使得，， 所以是函数的两个极值点， 即在上有两个极值点. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行： （1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立； （2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立； （3）函数在区间上不单调在区间上存在异号零点； （4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立； （5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$