第02讲 导数与函数的单调性（专项训练）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第02讲 导数与函数的单调性 目录 01 常考题型过关练 题型01 函数与导函数图象之间的关系 题型02 利用导数求不含参函数的单调性 题型03 利用导数求可分离型含参函数的单调性 题型04 利用导数求不可分离型含参函数的单调性 题型05 根据函数单调性求参数值或范围 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 函数与导函数图象之间的关系 1．已知为的导函数，的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ） A．B．C．D． 2．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ）    A．  B．  C．  D．   3．已知可导函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 4．已知函数与的图象如图所示，则函数（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数 5．函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为 （　　） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 02 利用导数求不含参函数的单调性 7．设函数，若，求函数的单调区间. 8．已知函数（为实数）．当时，求函数的单调区间； 9．已知函数，若，求的单调区间. 10．求函数 的单调区间． 11．已知函数．讨论的单调性． 12．已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间. 13．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求在区间上的值域. 14．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，，讨论函数的单调性. 03 利用导数求可分离型含参函数的单调性 15．已知函数，.讨论函数的单调性. 16．设函数，其中. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 17．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，若函数在上为增函数，求实数的取值范围． 18．已知函数． (1)当，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调区间与极值． 19．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若对于任意的，有，求的取值范围. 20．已知函数. (1)若，求在处的切线方程. (2)讨论的单调性. 21．已知函数，． (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)设，若，求实数的取值范围． 22．已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 04 利用导数求不可分离型含参函数的单调性 23．已知函数．讨论当时，的单调性． 24．已知函数． (1)讨论函敞的单调性； (2)若函数有两个极值点，，求证：． 25．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 26．已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)设函数在区间上是减函数，求a的取值范围． 27．设函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)当时，，求的取值范围． 28．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个极值点，，当时，求的最大值. 05 根据函数单调性求参数值或范围 29．函数的单调递减区间是，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 30．若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 31．若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 33．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 36．若函数存在单调递减区间,则实数b的取值范围为 A． B． C． D． 37．若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．对于一些不太容易比较大小的实数，我们常常用构造函数的方法来进行，如，已知，，，要比较，，的大小，我们就可通过构造函数来进行比较，通过计算，你认为下列关系正确的一项是（    ） A． B． C． D． 2．已知，都是正整数，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则从大到小顺次为（    ）． A． B． C． D． 4．若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，为偶函数，当时，，设，则（   ） A． B． C． D． 6．下列说法中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 8．设,则（    ） A． B． C． D． 9．已知，若，则下列关系式不成立的为（    ） A． B． C． D． 10．已知，求. 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 2．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 5．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 导数与函数的单调性 目录 01 常考题型过关练 题型01 函数与导函数图象之间的关系 题型02 利用导数求不含参函数的单调性 题型03 利用导数求可分离型含参函数的单调性 题型04 利用导数求不可分离型含参函数的单调性 题型05 根据函数单调性求参数值或范围 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 函数与导函数图象之间的关系 1．已知为的导函数，的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】如图所示，由导函数的图象得， 当时，，且是减函数， 所以函数在上单调递增，且增长的速度越来越小，故不符合. 当时，，故函数在上单调递减， 当时，，故函数在上单调递增，B均符合. 故选：B. 2．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ）    A．  B．  C．  D．   【答案】A 【详解】由的图象可知，当时，函数单调递增，则，故排除C、D； 当时，先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于0，再大于0，最后小于0，故排除B． 故选:A． 3．已知可导函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A.由导数的几何意义可知，，由图可知，，所以，故A成立； B.，故B成立； C.由图可知，，，但不确定与的大小关系，故C不一定成立. D.由图可知，函数在上单调递增，且增长速度越来越快，所以，故D成立. 故选：C 4．已知函数与的图象如图所示，则函数（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数 【答案】B 【详解】由得， 由题中图象可知，当时，，所以，则函数单调递增； 当时，，所以，则函数单调递减； 当时，，所以，则函数单调递增； 当时，，所以，则函数单调递减； 故ACD都错，B正确， 故选：B 5．函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，， 又因为，由图可当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以①当时，且， ②当时，且； 综上，; 故选：D. 6．已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 【答案】C 【详解】根据的图象可得： 当时，，时，，时，，时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处取得极小值，在处取得极大值. 故选：C. 02 利用导数求不含参函数的单调性 7．设函数，若，求函数的单调区间. 【答案】函数的单调增区间为，函数的单调减区间为 【详解】由，得， 又，令，得，或，令，得， 故若时，函数的单调增区间为，函数的单调减区间为. 8．已知函数（为实数）．当时，求函数的单调区间； 【答案】单调递减区间为，递增区间为. 【详解】函数的定义域为，． 当时，，所以当时，， 当时，，所以的单调递减区间为，递增区间为. 9．已知函数，若，求的单调区间. 【答案】的单调递增区间为，单调递减区间为 【详解】若,则的定义域为,且 令,解得;令,解得; 所以的单调递增区间为,单调递减区间为. 10．求函数 的单调区间． 【答案】单调递增区间为；单调递减区间为. 【详解】由题可得：的定义域为， 则 由，得，解得或， 由，得，解得， 单调递增区间为，单调递减区间为. 11．已知函数．讨论的单调性． 【答案】在区间上单调递减，在上单调递增 【详解】由可得且，即函数的定义域为， 因， 取，则， 设，则. ①当时，，则在上单调递减， 则，即，则在上单调递增， 则，即，故在上单调递减； ②当时，，则在上单调递增， 则，即，则在上单调递增， 则，即，故在上单调递增. 综上所述，在区间上单调递减，在上单调递增. 12．已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)增区间为，减区间为. 【详解】（1）当时，， 则，即， 又， 则切线方程为，即； （2）当时，，， 则，， 令，解得或（舍），         则 极大值 的增区间为，减区间为. 13．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求在区间上的值域. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为. (2). 【详解】（1）函数的定义域是， . 令，解得或. 当x变化时，，的变化情况如下表： 1 2 + 0 0 + 极大值 极小值 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）由（1）可知在区间内， 当时，取得极小值. 由，，， 得， 所以在区间上的值域为. 14．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，，讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1），，则， 则，即切线斜率， 故切线方程为，即； （2）函数的定义域为，， ， 当时，，由，可得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 当时，， ①当时，，当或时，， 即函数在和上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减； ②当时，则对任意的，即函数在上单调递增； ③当时，， 当或时，，即函数在和上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 03 利用导数求可分离型含参函数的单调性 15．已知函数，.讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【详解】函数的定义域为， 所以. 当时，，所以在上单调递增； 当时，令得，令得， 所以在上单调递减：在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 16．设函数，其中. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)函数在上单调递减，在上单调递增 【详解】（1）当时，，故， 此时函数在处的切线方程为：. （2）由题意，的定义域为， ， 则当时，单调递增；当时，单调递减. 故函数在上单调递减，在上单调递增. 17．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，若函数在上为增函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由题意得，， ①当时，，函数在上单调递增； ②当时，令，解得， ，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减， 在上单调递增， （2）因为函数在上为增函数， 所以，在上恒成立． 即在上恒成立． 令，当时，， 所以，在上单调递增，． 所以，，解得， 所以，实数的取值范围为． 18．已知函数． (1)当，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调区间与极值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，则， 则切点为，且， 曲线在处的切线方程为， 即． （2）因为，则， ①当时，恒成立， 函数的递增区间为，无递减区间，无极值； ②当时，令，解得或得 ，，的变化情况如下表： 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 函数的递增区间，，递减区间为， ∴极小值， 极大值， 综上，①当时, 函数的递增区间为，无递减区间，无极值， ②当时，函数的递增区间，，递减区间为， 极大值，极小值. 19．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若对于任意的，有，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）由，知. 所以当时，有，. 故曲线在处的切线经过，且斜率为，所以其方程为，即. （2）当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减； 当时，对有，故在上递增； 当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减. 综上，当时，在和上递增，在上递减； 当时，在上递增； 当时，在和上递增，在上递减. （3）我们有. 当时，由于，，故根据（2）的结果知在上递增. 故对任意的，都有，满足条件； 当时，由于，故. 所以原结论对不成立，不满足条件. 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对进行恰当的分类讨论，方可得到所求的结果. 20．已知函数. (1)若，求在处的切线方程. (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题设，则， 所以，，故切线方程为，         整理得. （2）由题设，且， 当时，当时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，时，或时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，恒成立，即在上单调递减；. 当时，时，或时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 21．已知函数，． (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)设，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）， 当时，，， 当时，，， 函数在处的切线方程为； （2）函数的定义域为，， ①当时，恒成立，令，则， 若，则；若，则， 所以在单调递减，在单调递增； ②当时，， 令，则或， （ⅰ）当，即时， 若，则或；若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）当，即时，恒成立，在上递增； （ⅲ）当，即时， 若，则或，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； （3）的定义域为， 由得恒成立，即恒成立， 设，，则， 因为，同构可得， 令，因为，所以， 下面证． 设，，于是， 令，则，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，当且仅当时等号成立． 所以，即， 所以， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 22．已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)函数的极小值为，无极大值 (2)见解析 【详解】（1）当时，，定义域为 ， 令，即， （舍去）， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，函数取到极小值为,无极大值. （2）的定义域为， ． ①当时， 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． ②当时，令，得或． （i）当时，． 当时，，当时，． 所以在和上单调递增，在上单调递减． （ii）当时，对恒成立， 所以在上单调递增． （iii）当时，， 当时，；当时，． 所以在和上单调递增，在上单调递减， 综上：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，所以在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 【点睛】解题的关键点是掌握导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减． 04 利用导数求不可分离型含参函数的单调性 23．已知函数．讨论当时，的单调性． 【答案】答案见解析 【详解】由题意，则， 当时，对于 ，则恒成立，在上单调递减． 当时，对于有2个大于0的零点，分别是， 当时，在上单调递增； 当时，，在和上单调递减． 综上， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减． 24．已知函数． (1)讨论函敞的单调性； (2)若函数有两个极值点，，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为． 若，则在恒成立，在单调递增． 若，则． 当时，在恒成立，在单调递增． 若，则有两个正实数根， 从而在递增，在递减， 在递增． 综上，当时，在单调递增； 当时，在递增，在递减，在递增． （2）由（1）知是方程的两个正实根，从而， ，即证． 25．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）函数的定义域为，导函数为， 若，则，此时在单调递减； 若，令， 解得，其中， 由，得， 由，得， 所以在单调递减，在单调递增， 综上，当时，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增. （2）由，得，则， 即， 令，则， 因为在上单调递减， 所以，即，则， 令，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以， 所以，即的取值范围是. 26．已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)设函数在区间上是减函数，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由题意得，，. 当，即时，恒成立，在R上为增函数； 当，即或时，由得，， 由得，或，由得，， 所以在上为增函数，在上为减函数. 综上得，当时，的单调增区间为，无单调减区间； 当或时，的单调增区间为，单调减区间为. （2）由（1）得，当或时，在上为减函数， 故， 所以，解得， 所以a的取值范围是． 27．设函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)当时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）当时，，则， 则，又， 故在处的切线方程为． （2）因为，则， 若，即时，恒成立，故在R上单调递增； 若，即或时， ． 0 0 递增 递减 递增 则在和上为增函数； 在上为减函数． 综上所述，当时，在R上单调递增； 当或时，在和上为增函数； 在上为减函数． （3）因为时，，即， 当时，上式成立， 而当时，即恒成立，记， 则． 记，则， 则在为减函数，则，即恒成立， 则当时，则在上递减， 当时，，则在上递增， ，则，所以的取值范围为． 28．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个极值点，，当时，求的最大值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由求导得，. 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，方程的， 所以，在上单调递增； 当时，， 由，解得，， 当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在和上单调递增. 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 在和上单调递增. （2）若有两个极值点，， 则，由方程知，. ， 令()， 则， 所以在上单调递减，所以. 所以的最大值是. 05 根据函数单调性求参数值或范围 29．函数的单调递减区间是，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【详解】由可得， 由于的单调递减区间是，故和是的两个根，故，故， 故选：A 30．若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，在区间上能成立， 即在区间上能成立， 设，则，故只需求在上的最小值， 而在时，取得最小值，故得. 故选：B. 31．若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 【答案】B 【详解】首先求出的定义域和极值点，由题意得极值点在区间内，且，得出关于的不等式组，求解即可． 【详解】由题意得函数的定义域为，， 要使函数恰有三个单调区间， 则有两个不相等的实数根，∴，解得且， 故实数a的取值范围为， 故选：C. 33．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数，则， 因为在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立，即，即， 设，，， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 故选：D. 34．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】法一： 令，则在上单调递减， 且在上恒成立， 所以解得. 法二：，则， 则在区间上恒成立， 则或，解之得. 故选：A. 35．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递减， 所以恒成立， 即恒成立， 而（当且仅当时，等号成立）， 所以只需，解得.经检验，当时，仅有使，符合题意. 故选：B. 36．若函数存在单调递减区间,则实数b的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求出的导数，由其存在单调递减区间可得b的取值范围. 【详解】解：由，可得， 由题意可得存在，使得， 即存在，使得，等价于，由对勾函数性质易得， 故选B. 【点睛】本题主要考查利用导数及利用函数的单调性求参数，属于中档题. 37．若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的定义域为， 所以，即， ， 令，得或（舍去）， 因为在定义域的一个子区间内不是单调函数， 所以，得， 综上，， 故选：A 1．对于一些不太容易比较大小的实数，我们常常用构造函数的方法来进行，如，已知，，，要比较，，的大小，我们就可通过构造函数来进行比较，通过计算，你认为下列关系正确的一项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， 则， 当，即，，， 所以，在上单调递增， 因为, 所以有 ， 即， 所以有， 即， 所以有． 故选：A． 2．已知，都是正整数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，令， 所以，故在上单调递增，由已知得， 故，因为，都是正整数，即. 故选：A. 3．已知函数，则从大到小顺次为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的定义域为，得． 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 在区间上当时取得最大值． 得，且． 又因为， 所以，． 故选：C． 4．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不等式， 令函数，求导得，令，求导得， 当时，，当时，，函数在上递减，在上递增， ，即，因此函数在R上递增， 原不等式等价于，于是， 对于AB，取，有，AB错误； 对于CD，，即，C错误，D正确. 故选：D 【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用. 5．已知，为偶函数，当时，，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，是在上递增的奇函数， 当时，，是偶函数，且单调递减， 且，， ， C不成立，D不成立；， A不成立，B成立； 故选：B． 6．下列说法中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为 ，所以A正确; 对于B，因为 所以，所以B正确; 对于C，，所以C不正确; 对于D，构造函数, 则, 故单调递增，则, 则，所以D正确. 故选：C. 7．已知函数，则下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得函数的定义域为， 由题意知， 令函数，且， 则，即在单调递增，所以， 故在区间上恒成立，则在上单调递减， 所以，由函数的单调性可知. 故选：B 8．设,则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解:由题因为, 不妨设, 当时,, 所以单调递减, 当时,, 单调递增, 所以, 所以, 即, 故; 因为, 即, 两边同时取对数有, 即, 即, 所以; 因为, 不妨设, 则, 所以单调递增, 所以, 故; 因为, 不妨设, 则, 所以单调递增, 所以, 故. 综上,. 故选:D 【点睛】思路点睛:该题是函数与导数综合应用题,考查构造函数比较两个数的大小,主要思路有: (1)根据题目条件,找到都有联系的关键数,令其为x, (2)构造两个式子差的函数, (3)求导求单调性,关键数的范围即为定义域, (4)根据单调性将关键数代入,再取另一离关键数近的函数值比较大小即可. 9．已知，若，则下列关系式不成立的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当，等式成立，故D成立. 若，则， 设，则，， 令，则， 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即恒成立， 所以单调递增，则， 当时，，故B成立，A不成立； 当时，，故C成立. 故选：A 10．已知，求. 【答案】 【详解】令，则，显然且， 若，则，此时不成立， 所以，则，且，， 所以，即， 对于且，则， 所以在上单调递增，又， 所以，故，则. 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 2．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）当时，， 则， 据此可得， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）由函数的解析式可得， 满足题意时在区间上恒成立. 令，则， 令，原问题等价于在区间上恒成立， 则， 当时，由于，故，在区间上单调递减， 此时，不合题意; 令，则， 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 即在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，，满足题意. 当时，由可得， 当时，在区间上单调递减，即单调递减， 注意到，故当时，，单调递减， 由于，故当时，，不合题意. 综上可知：实数得取值范围是. 【点睛】方法点睛： （1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. （2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法 ①函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立． ②函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集． 5．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减 (2) 【详解】（1）因为，所以， 则 ， 令，由于，所以， 所以 ， 因为，，， 所以在上恒成立， 所以在上单调递减. （2）法一： 构建， 则， 若，且， 则，解得， 当时，因为， 又，所以，，则， 所以，满足题意； 当时，由于，显然， 所以，满足题意； 综上所述：若，等价于， 所以的取值范围为. 法二： 因为， 因为，所以，， 故在上恒成立， 所以当时，，满足题意； 当时，由于，显然， 所以，满足题意； 当时，因为， 令，则， 注意到， 若，，则在上单调递增， 注意到，所以，即，不满足题意； 若，，则， 所以在上最靠近处必存在零点，使得， 此时在上有，所以在上单调递增， 则在上有，即，不满足题意； 综上：. 【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论这种情况的关键是，注意到，从而分类讨论在上的正负情况，得到总存在靠近处的一个区间，使得，从而推得存在，由此得解. 6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$