第03讲 导数与函数的极值、最值（专项训练）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第03讲 导数与函数的极值、最值 目录 01 常考题型过关练 题型01 求函数的极值或极值点 题型02 根据函数极值求参数值或范围 题型03 根据函数极值点求参数值或范围 题型04 利用导数求函数最值 题型05 由函数最值求参数值或范围 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 求函数的极值或极值点 1．已知是的导函数，则“”是“是函数的一个极值点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 3．函数在其定义域内的极小值点为（     ）. A． B． C． D． 4．设函数，记的极小值点为，极大值点为，则（    ） A．2 B． C． D． 5．已知，是函数两个极值点，则（    ） A． B． C． D． 6．已知是定义在上的奇函数，且可导，若是的极小值点，则下列说法错误的是（   ） A．是函数的极大值点 B．是函数的极小值点 C．是函数的极小值点 D．是函数的极小值点 02 根据函数极值求参数值或范围 7．已知函数有极值，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 8．已知函数在处有极值，则等于（    ） A． B．16 C．或16 D．16或18 9．若函数有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知在处有极值，则（    ） A．或 B．或 C． D． 11．若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（    ） A． B． C． D． 12．若函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 03 根据函数极值点求参数值或范围 13．设为实数，若函数在处取得极小值，则（    ） A．1 B． C．0 D． 14．若函数有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 15．已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．已知函数有3个极值点，则（    ） A． B． C． D． 17．若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．已知函数有两个不同的极值点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 19．已知0为函数的极小值点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．已知函数恰有两个极值点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．若函数有两个极值点，且，则（    ） A． B． C． D． 04 利用导数求函数最值 22．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，求函数在区间上的最大值． 23．已知函数． (1)求的极值； (2)讨论在区间上的最大值． 24．设，函数． (1)若，讨论的单调性； (2)求的最大值． 25．已知函数的图象在点处的切线与直线平行． (1)求； (2)求在区间上的最大值．（参考数据：） 26．已知函数． (1)若，求函数的最小值； (2)若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围． 27．已知函数的图象在点处的切线斜率为． (1)求实数的值； (2)求在区间上的最大值． 28．已知. (1)当存在极小值时，求极小值的最值； (2)若在处的切线与的图象有且仅有一个公共点，求的值. 05 由函数最值求参数值或范围 29．已知函数在区间上的最小值为1，则实数a的值为（    ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 30．已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ． 33．已知函数的最小值为0，则 ． 34．已知实数，函数． (1)若存在零点，求实数a的取值范围； (2)当函数和有相同的最小值时，求a． 35．已知函数，其中 (1)若，求函数的增区间； (2)若在上的最大值为0．求a的取值范围． 36．已知函数，其中． (1)当时，求函数的极值； (2)若，，求a的取值范围． 1．已知数列满足，函数的极值点为，若，则 ． 2．已知. (1)求在上的极值； (2)，当时，证明：. 3．已知函数在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)（i）证明：函数有且仅有一个极小值点，且； （ii）证明：. 参考数据：，，，. 4．设.已知. (1)若，求函数的值域； (2)若关于的方程有且仅有三个实数解，求实数的取值范围； (3)若且函数有最小值，求的取值范围. 5．求解下列问题， (1)若恒成立，求实数k的最小值； (2)已知a，b为正实数，，求函数的极值． 6．已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)①求证：有且仅有一个极值点； ②当时，设的极值点为，若.求证： 7．若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，称为的偶点． (1)证明：为“缺陷偶函数”，且偶点唯一． (2)对任意，函数都满足． ①若是“缺陷偶函数”，证明：函数有2个极值点． ②若，证明：当时，． 参考数据：． 8．已知函数 (1)若曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的值； (2)若函数存在唯一极值点，求的取值范围； (3)若函数存在极大值，记作，求证：. （参考结论：当时，.这里表示从0的右边逼近表示从0的左边逼近0.） 9．已知，函数，. （1）当，时，证明：； （2）若函数有三个不同的极值点，，. ①求的取值范围； ②证明：. 注：. 10．已知函数. (1)求证：. (2)若，，为的最大值， （i）求的极小值； （ii）设，，求证：. 1．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则 2．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 3．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数·证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 导数与函数的极值、最值 目录 01 常考题型过关练 题型01 求函数的极值或极值点 题型02 根据函数极值求参数值或范围 题型03 根据函数极值点求参数值或范围 题型04 利用导数求函数最值 题型05 由函数最值求参数值或范围 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 求函数的极值或极值点 1．已知是的导函数，则“”是“是函数的一个极值点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】根据极值点的定义，是函数的一个极值点可得， 但是时，不一定是函数的一个极值点， 比如，，满足，但在R上单调递增， 即不是函数的极值点， 故“”是“是函数的一个极值点”的必要不充分条件， 故选：B 2．函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 记，则， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减. 所以，当时，， 因为，且当时，， 所以，当时，，即，在上单调递减； 当时，，即，在上单调递增. 所以，当时，取得极小值. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用二次导数研究导函数的单调性，需要结合变化趋势，并观察出导函数零点，进而可知的单调性，然后可解. 3．函数在其定义域内的极小值点为（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为，， 令，则，令， 函数是增函数，则函数与的单调性相同，， 当时，；当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，由，得， 所以函数在其定义域内的极小值点为. 故选：A 4．设函数，记的极小值点为，极大值点为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知函数的定义域为，， 当时，，当时，， 在和上单调递增，在上单调递减，所以，． 所以． 故选：D． 5．已知，是函数两个极值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，令，解得， 所以，故AB不正确； ，故C正确D错误. 故选：C 6．已知是定义在上的奇函数，且可导，若是的极小值点，则下列说法错误的是（   ） A．是函数的极大值点 B．是函数的极小值点 C．是函数的极小值点 D．是函数的极小值点 【答案】D 【详解】对于A，因为是定义在上的奇函数，图象关于原点对称， 所以是函数的极大值点，正确； 对于B，因为单调递增，又是的极小值点， 即存在区间，，此时单调递减，在上单调递增， 所以在单调递减，在单调递增， 所以是函数的极小值点，正确； 对于D，因为的图象与的图象关于轴对称， 由是的极小值点，是函数的极大值点， 可知是函数的极大值点，是函数的极小值点，D错误； 对于C，由D可知是函数的极小值点，所以存在区间，此时单调递减， 在区间上单调递增， 又单调递增， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增，故是函数的极小值点，C正确； 故选：D 02 根据函数极值求参数值或范围 7．已知函数有极值，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】由题目条件可得：函数的定义域为，. 令，得； 令，得. 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增. 则是函数的极小值点， 故，解得. 故选：B 8．已知函数在处有极值，则等于（    ） A． B．16 C．或16 D．16或18 【答案】A 【详解】， 若函数在处有极值8， 则 且，即 ， 解得：或 ， 当时，，此时不是极值点，故舍去， 当时，， 当或时，，当，故是极值点， 故符合题意， 故， 故， 故选：A 9．若函数有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为，且， 因为函数有极值，所以在上有变号零点， 即在上有解（若有两个解，则两个解不能相等）， 因为二次函数的对称轴为，开口向上， 所以只需，解得，即实数的取值范围是. 故选：C 10．已知在处有极值，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，， 函数在处有极值0， 且， 或， 时恒成立，此时函数无极值点， 当时，， 此时是函数的极值，满足条件， ，. 故选：D 11．若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为， 由，得， 因为函数既有极大值也有极小值， 所以函数在上有两个变号零点，而， 所以方程有两个不等的正根， 所以，所以， 所以，即． 故BCD正确，A错误． 故选：A． 12．若函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 若函数既有极大值也有极小值，则有2个不相等的正根， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 03 根据函数极值点求参数值或范围 13．设为实数，若函数在处取得极小值，则（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【详解】由题可得， 令，解得；或， 因为函数在处取得极小值， 所以，即， 当时，，或， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，满足题意. 故选：B. 14．若函数有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 令，， 若，则或，此时单调，不存在极值点，故不符合题意， 若，则方程有两个实数根， 由于有唯一极值点，故只能有一个正实数根， 若另一个实数根为0，此时，显然满足条件， 若令一个实数根为负根，则，故 ， 结合选项可知，一定成立， 故选：C 15．已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 令，可得或， 当，即时， 令，得或；令，得； 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，满足题意； 当，即时，恒成立， 则在上单调递增，没有极值点，不满足题意； 当，即时， 令，得或；令，得； 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极小值点，不满足题意； 综上，，即的取值范围为. 故选：A. 16．已知函数有3个极值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知有三个变号零点， 且三个零点为，不妨设， ， 因为， 所以函数关于对称， 又，所以， 所以. 故选：D. 17．若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 令，得. 令，则. 令，则，即，即. 当时，在单调递增；当时，在单调递减. ， 又当时，；当时，， 当时，方程有两个正根，从而函数有两个极值点. 故选：B 18．已知函数有两个不同的极值点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由（），求导得， 由函数有两个不同的极值点，得方程有两个不相等的正实根， 则，解得， 于是 ， 令（），求导得， 函数在上单调递增，则， 所以的取值范围为. 故选：C 19．已知0为函数的极小值点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，令的导函数为. 若，，在上单调递增，且， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，符合题意. 若，当时，，在上单调递增， 因为，，所以当时，， 时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意. 若，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以，不符合题意. 若，当时，，， 可得时，，时，， 所以在递增，在上单调递减，不符合题意. 综上，的取值范围是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题求解过程中，需要对再次求导，利用的导函数，分类讨论判断正负，得出的增减性，再结合，得出的正负，据此得出函数的单调性，验证0是否为函数极小值点,解题的关键要具备清晰的逻辑关系，把握，，三者关系. 20．已知函数恰有两个极值点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的定义域是，，令， 所以，令，解得；令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 要使恰有两个极值点，则，解得， 此时， 所以在上有唯一的零点， 令，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以， 所以， 所以在上有唯一的零点， 综上，当时，在上有两个不同的零点，且零点两侧的函数异号， 所以a的取值范围是． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：此题考查利用导数解决函数极值点问题，解题的关键是将问题转化为有两个不同的零点，结合零点存在性定理分析，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 21．若函数有两个极值点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题， 因为函数有两个极值点， 所以方程有两个不同的正根， 所以，，，所以①， 所以 ， 又，所以即得， 所以或（舍去）②， 所以由①②得. 故选：A. 【点睛】思路点睛：先由极值点与导数的关系结合韦达定理初步求出的值，再由韦达定理结合不等式计算即可求解. 04 利用导数求函数最值 22．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，求函数在区间上的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）的定义域为 ， 求导数，得 ， 若，则，此时在上单调递增， 若，则由得，当时，，在上单调递减， 当时， ，在上单调递增， 综上，当，的增区间为，无减区间， 若，减区间为，增区间为. （2）由（1）知，当时，在区间上为增函数， 函数的最大值为， 当时，在区间上为减函数， 函数的最大值为， 当时，在区间上为减函数，在上为增函数， 函数的最大值为， 由，得， 若时，函数的最大值为， 若时，函数的最大值为， 综上，当时，函数的最大值为， 当时，函数的最大值为. 23．已知函数． (1)求的极值； (2)讨论在区间上的最大值． 【答案】(1)极小值为，极大值为； (2)答案见解析. 【详解】（1）函数定义域为R，求导得， 当或时，，当时，， 因此函数在处取得极小值，在处取得极大值， 所以函数的极小值为，极大值为. （2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， ①当，即时，在上单调递减，； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 由，得，， 当时，，，； 当时，，，； ③当时，在上单调递增，； ④当时，在上单调递增，在上单调递减，； ⑤当时，在上单调递减，， 所以当或时，函数的最大值为； 当时，函数的最大值为； 当时，函数的最大值为. 24．设，函数． (1)若，讨论的单调性； (2)求的最大值． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【详解】（1）令，且，解得， 可知的定义域为，且， 因为，且，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减. （2）由（1）可知：的定义域为，且， 若，可知在内单调递增，在内单调递减， 所以的最大值为； 若，令，解得或； 令，解得或； 可知在内单调递增，在内单调递减， 且， 所以的最大值为； 综上所述：若，的最大值为； 若，的最大值为. 25．已知函数的图象在点处的切线与直线平行． (1)求； (2)求在区间上的最大值．（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得． 由在点处的切线与直线平行知，即， 所以． （2）由（1）知． 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增． 所以在区间上的最大值为和中的较大者． 因为， 所以，即， 故在区间上的最大值为． 26．已知函数． (1)若，求函数的最小值； (2)若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 且，                                              令，即； ，，                                                 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，函数取最小值为． （2）因为函数在区间上是减函数， 所以在区间上恒成立．      即在上恒成立， 则在上恒成立，                                 令，， 显然在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则，                                         所以，实数的取值范围为. 27．已知函数的图象在点处的切线斜率为． (1)求实数的值； (2)求在区间上的最大值． 【答案】(1)2； (2)2. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 由函数的图象在点处的切线斜率为， 得， 所以. （2）由（1）得， 由，得或， 当或时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而，， 函数在区间上的最大值为2. 28．已知. (1)当存在极小值时，求极小值的最值； (2)若在处的切线与的图象有且仅有一个公共点，求的值. 【答案】(1)极小值的最大值为0，无最小值. (2). 【详解】（1），， ①当时，恒成立，在上单调递增，无极值； ②当时，令，得， 在上单调递减，在上单调递增，无极大值， 极小值为， 令，则， 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， ， 综上所述，极小值的最大值为0，无最小值. （2）由题意知，， 所以在处的切线方程为， 联立方程，得， 当时，方程仅有一解，符合题意； 当时，令，解得， 故. 05 由函数最值求参数值或范围 29．已知函数在区间上的最小值为1，则实数a的值为（    ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【答案】D 【详解】由题意可知：， 所以当时，则在上单调递增， 所以. 故选：D. 30．已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数，求导得， 由在区间上有最小值， 得在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正， 令，则在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 31．函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 则， 令，得或， 当，即时，， 函数在上单调递增，此时在上没有最大值，不符合题意； 当，即时， 令，得或， 令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 又，则在没有最大值，不符合题意； 当，即时， 令，得或， 令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 又， ， 要使在有最大值， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 32．若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 令得，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，有极小值， 因为函数在上存在最小值， 又， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 33．已知函数的最小值为0，则 ． 【答案】 【详解】依题意，对于恒成立，且能取得等号， 即对于恒成立，且能取得等号， 函数在上单调递增，不等式为， 则，即，因此在上恒成立，且能取得等号， 设，于是是函数在上的最小值， 求导得，当时，，当时，， 函数在上递减，在上递增，且， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：同构变形不等式，利用函数单调性转化成求函数的最小值是关键. 34．已知实数，函数． (1)若存在零点，求实数a的取值范围； (2)当函数和有相同的最小值时，求a． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）因为，所以． 由，得，， 此时在上单调递减，在上单调递增， 所以，且，， 若存在零点，则只需要即可，所以， 故实数的取值范围是． （2）由（1）知，，且． 函数的定义域为，， 当时，，故在上为减函数; 当时，，故在上为增函数，故． 因为和有相同的最小值， 所以，整理得到，其中， 设，，则 故为上的减函数，而，故的唯一解为， 故的解为． 综上，． 35．已知函数，其中 (1)若，求函数的增区间； (2)若在上的最大值为0．求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 其定义域为， ， 令，解得， 函数的增区间为． （2）由，得， 若，则，单调递增； 若，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； 当时，在上单调递增， ，满足题意； 当时，即时，在上单调递增， ，满足题意； 当时，即时，在上单调递增，在上单调递减， ， 令，则， 当时，，在上单调递增， ，即，不满足题意， 综上，的取值范围是. 36．已知函数，其中． (1)当时，求函数的极值； (2)若，，求a的取值范围． 【答案】(1)极小值为，极大值为 (2) 【详解】（1）当时，， 则， 令，解得或． 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 函数的极小值为，极大值为； （2）， ①若，即时，，函数单调递减， ，不符合题意． ②若，令函数，则的图象开口向下， 且与x轴有两个交点，令，则，， 注意到且，， 不可能是函数的极大值． ，即． 当，即时， 若，则，函数单调递减； 若，则，函数单调递增． ，符合题意． 当，即时， 若，则，函数单调递减； 若，则，函数单调递增； 若，则，函数单调递减； 又，故只需即可，解得，∴， 综上，a的取值范围为． 【点睛】方法点睛：（1）求函数的极值点个数时，可求导讨论函数的单调性，再判断极值点和极值情况；（2）对于形式较复杂的函数不等式恒成立问题可考虑采用主元变换法，将参数看成未知数，将看成参数求导分析. 1．已知数列满足，函数的极值点为，若，则 ． 【答案】 【详解】由，得， 又是函数的极值点，所以， 设，则， 令， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，所以方程有唯一实根. 即. 由，得，所以， 又，所以，即， 所以也是方程的一个实根，故. 由，得， 所以，得， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题主要考查极值点的概念与利用导数研究方程根的情况等知识点，构造函数，利用导数证明是解决本题的关键. 2．已知. (1)求在上的极值； (2)，当时，证明：. 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)证明见解析 【详解】（1）解：因为，所以，令 ，即在定义域上单调递增，又， ∴时，单调递减； 时，单调递增， ∴有极小值，无极大值. （2）解：记，， ∴在上单调递增，即时 即， 又∵，所以要证明原式即证：. 记 ①时，，， 当时恒成立，单调递增， 又，所以时，当时， 即在上单调递减，在上单调递增，即在处取得极小值即最小值， ，证出时成立. ②时，， ∴在上单调递增， 又，记，则； 当时，∴在上单调递减，所以， 即，即，即， 又，要证即证： 记，显然在上单调递减， 所以，即， ∴，，当时，单调递减， 时，，单调递增， 所以在处取得极小值即最小值， ∴ ∵，∴， 所以 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 3．已知函数在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)（i）证明：函数有且仅有一个极小值点，且； （ii）证明：. 参考数据：，，，. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）定义域为， 由题意知，解得. （2）（i）由（1）知， 令，则，从而即单调递增 又，故存在唯一的使得 0 极小值 从而有且仅有一个极小值点，且 （ii），的极小值 令，则，从而在上单调递减，，故 下证，即证 一方面令 ，则，则在上单调递增，从而 另一方面，令， 令有 0 极大值 从而 从而即成立，故. 【点睛】导数的应用主要有： （1）利用导函数几何意义求切线方程； （2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围； （4）利用导数证明不等式. 4．设.已知. (1)若，求函数的值域； (2)若关于的方程有且仅有三个实数解，求实数的取值范围； (3)若且函数有最小值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）若，，则 所以在单调递减，， . （2）关于的方程有且仅有三个实数解 ，化简得， 设 ， 令，即，解得， 令，即，解得， 所以在单调递增，在单调递减； 所以在处取得极小值为，在处取得极大值为 当时，，所以. （3） ， 令， 则，可知， 因为，可得， 当时，，单调递增，，所以在单调增，所以无最小值，不符题意； 当时，，且单调递增，时，；先单调递减后单调递增，，必有. 又当时，， 先单调递减后单调递增；，且，取值先负后正，先减小后增大，所以有最小值；符合条件. 综上所述：. 5．求解下列问题， (1)若恒成立，求实数k的最小值； (2)已知a，b为正实数，，求函数的极值． 【答案】(1)1 (2)答案见解析 【详解】（1）记，则需使恒成立， ， 当时，恒成立，则在上单调递减， 且在时，，不符合题意，舍去； 当时．令，解得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使恒成立，只要即可， 解得，所以k的最小值为1； （2），，，，易知， 当时，，此时函数无极值； 当，时，， 取，，，，，，， 则，当时，由得，由（1）知， 当时，， 因为，所以，所以，即，当时，， 所以，则，所以， 即在上单调递增，在单调递减． 所以函数，，， 当时，同理有， 由得，即在上单调递增，在上单调递减． 所以函数，，， 综上可知，当时，函数没有极值；当时，函数有唯一的极大值，其中，没有极小值． 【点睛】关键点点睛：取，将两个参数的问题转化为一个参数的问题，进而求导解答问题. 6．已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)①求证：有且仅有一个极值点； ②当时，设的极值点为，若.求证： 【答案】(1) (2)①证明见解析 ②证明见解析 【详解】（1），令， 当时，，， ，故在上单调递增，又， 在上单调递减， 在上单调递增， 的最小值为. （2）由（1）知，， ，故在上单调递增，即在上单调递增， 又， ， 存在唯一的变号零点， 即有且仅有一个极值点. ②由①知：有且仅有一个极值点且，则 当时，， 由①知：，要证， 只需证：， 而，那么 ， 令，则， 设，则，又， 所以，在上单调递增，即在上单调递增， 又，，在上单调递增， 即在上单调递增，又，， 在上单调递增，， 综上所述，时， 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问，首先需要对要证结论变形，再构造函数，利用，转化为证明，本题第二个关键点在于需要多次求导，利用函数的单调性，证明函数值不小于0，直到得出单调递增，再由单调性得出结论，过程繁杂，极易出错. 7．若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，称为的偶点． (1)证明：为“缺陷偶函数”，且偶点唯一． (2)对任意，函数都满足． ①若是“缺陷偶函数”，证明：函数有2个极值点． ②若，证明：当时，． 参考数据：． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【详解】（1）由可得， 由可得，解得， 所以为“缺陷偶函数”，且偶点唯一，且为0， （2）由可得对任意，恒成立， 所以存在常数，使得， 令，则，且， 解得， ①，则， 由于是“缺陷偶函数”，由， 即，即， 则，得， ， 由于，所以有两个不相等的实数根，不妨设， 当或时，单调递增， 当时，单调递减， 所以有两个极值点． ②若，即，则，故， 当时，要证，只需要证， 因为，故， 只需证， 令， 当单调递减，当单调递增， 故 ， 所以，从而，故， 即时，. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤: （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式. 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 8．已知函数 (1)若曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的值； (2)若函数存在唯一极值点，求的取值范围； (3)若函数存在极大值，记作，求证：. （参考结论：当时，.这里表示从0的右边逼近表示从0的左边逼近0.） 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）且， 则，所以切线方程为， 令，则， 由题意得，解得； （2）存在唯一极值点等价于方程在上有唯一解. 设， 则，由， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，当时，， 所以在上的值域为，在上的值域为， 故只需，解得，即实数的取值范围为； （3）设， 当时，， 由零点的存在性定理知，存在使得， 即当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以存在极大值为，极小值为，不符合题意； 当时，由（2）知，存在唯一的零点， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以存在极小值为. 故若存在极大值，则，且 ， 有，得，即，即， 则， 令，则， 所以在上单调递增，且， 所以，即. 【点睛】难点点睛：本题考查了导数的综合应用，难度较大，特别是第三问证明不等式时难点所在，解答时要结合函数极值以及构造函数，利用函数单调性进行证明. 9．已知，函数，. （1）当，时，证明：； （2）若函数有三个不同的极值点，，. ①求的取值范围； ②证明：. 注：. 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②证明见解析. 【详解】（1）当，时，， 则. 设， 易知单调递增，且，则 － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 所以. （2）（ⅰ）由于， 设，， 则有两个变号零点，. 记，则， 所以 － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 因此，. 此时 ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 将代入，得 ，. 设，则， 所以 ＋ 0 － 单调递增 极大值 单调递增 由解得. （ⅱ）由题意得，即， 将代入得. 设，则. 设 ，则， 结合及得. 又，故. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是多次构造函数，通过导函数判断函数的单调性，从而找出函数的最值求解该题. 10．已知函数. (1)求证：. (2)若，，为的最大值， （i）求的极小值； （ii）设，，求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）0；（ii）证明见解析. 【详解】（1）令，定义域为， 则， 因为，所以， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，恒成立，在上单调递减， 故的最大值为， 所以，所以. （2）（i），定义域为， ， 因为， 所以当时，恒成立，在上单调递增， 当时，恒成立，在上单调递减， 故的最大值为， 所以， 因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以当时，恒成立，在上单调递减， 当时，恒成立，在上单调递增， 故的极小值为. （ii）即证， 下证：当时，总有， 证明：设，则， 当时，，当时，， 故在为减函数，在上为增函数， 故即成立, 当且仅当时等号成立. 由此不等式有， ， ， 而， 故， 所以. 1．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则 【答案】 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 2．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】(1) (2)且. 【详解】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 3．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数·证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii），证明见解析. 【详解】（1）由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意 ， 所以. 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2) 【详解】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类. 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2)存在满足题意，理由见解析. (3). 【详解】（1）当时，， 则， 据此可得， 函数在处的切线方程为， 即. （2）令， 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 定义域关于直线对称，由题意可得， 由对称性可知， 取可得， 即，则，解得， 经检验满足题意，故. 即存在满足题意. （3）由函数的解析式可得， 由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点; 令， 则， 令， 在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点， 当时，，在区间上单调递减， 此时，在区间上无零点，不合题意; 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，， 所以在区间上无零点，不符合题意； 当时，由可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的最小值为， 令，则， 函数在定义域内单调递增，， 据此可得恒成立， 则， 由一次函数与对数函数的性质可得，当时， ， 且注意到， 根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点. 当时，，单调减， 当时，，单调递增， 所以. 令，则， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以 ， 所以函数在区间上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知:实数得取值范围是. 【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. (2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证. 7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 【答案】（1）证明见详解（2） 【详解】（1）构建，则对恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以； 构建， 则， 构建，则对恒成立， 则在上单调递增，可得， 即对恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以； 综上所述：. （2）令，解得，即函数的定义域为， 若，则， 因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递减，在上单调递增， 故是的极小值点，不合题意，所以. 当时，令 因为， 且， 所以函数在定义域内为偶函数， 由题意可得：， （i）当时，取，，则， 由（1）可得， 且， 所以， 即当时，，则在上单调递增， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递减， 所以是的极小值点，不合题意； （ⅱ）当时，取，则， 由（1）可得， 构建， 则， 且，则对恒成立， 可知在上单调递增，且， 所以在内存在唯一的零点， 当时，则，且， 则， 即当时，，则在上单调递减， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递增， 所以是的极大值点，符合题意； 综上所述：，即，解得或， 故a的取值范围为. 【点睛】关键点睛： 1.当时，利用，换元放缩； 2.当时，利用，换元放缩. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$