5.7 切线长定理 课件2024-2025学年鲁教版(五四制)九年级数学下册

5.7 切线长定理 1 . 理解切线长的概念； 2 . 掌握切线长定理，运用切线长定理进行计算与证明. 学习目标 O. P A B 问题1 通过前面的学习，我们了解到如何过圆上一点作已知圆的切线（如左图所示），如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢? 直径所对的圆周角是直角. 复习引入 问题2 过圆外一点P作圆的切线，可以作几条？ 你会画圆的切线吗？ P O 请过圆外的一点P画圆O的切线。 · 在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 O P A 思考： 切线和切线长这两个概念有何区别？ · O P A B （2）PA、PB有怎样的数量关系？ 思考： （1）从圆外一点P可以作圆O的几条切线？ · O P A B 猜想： ① PA=PB ② PO平分∠APB 1 2 PA、PB分别切⊙O于A、B PA = PB ∠1=∠2 · O A B 1 2 从圆外一点引圆的切线： （1）可以引两条切线 （2）它们的切线长相等 （3）这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 几何语言： 知识点一：切线长定理 B P O A 尝试练习： 1.PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点， ⊙O的半径为3. （1）若PA=4，则切线长PB= ； （2）若∠BPA=60°，则∠APO=_______， ∠BPO=________;OP= . 4 30° 30° 6 问题：如图，要求画△ABC的内切圆，如何画？ 已知：△ABC 求作：和△ABC的各边都相切的圆 B C A I D 作法：1、作∠B、∠C的平分BM、CN， 　　　　 交点为I 2、过点I作ID⊥BC，垂足为D 3、以I为圆心、ID为半径作⊙I ⊙I就是所求的圆 N M 知识点二：三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆 叫做三角形的内切圆 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心 这个三角形叫做圆的外切三角形 定义：三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点 结论：三角形的内心到三角形的三边的距离相等 三角形的外接圆：三角形三边垂直平分线的交点 三角形的内切圆：三角形三内角角平分线的交点 A B C O A B C I D 尝试练习1：△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F。 ①你能找出图中相等的线段吗？ ②若AF=4，BD=5，CE=7，则AB=_______;BC=_______;AC=_______; ③若AB=9，BC=14，CA=13，求AF、BD、CE的长. A C B E D F O 9 12 11 设AF=x，则AE=x. ∴CE=CD=AC-AE=13-x， BF=BD=AB-AF=9-x. 由 BD+CD=BC，可得 (13-x)+(9-x)=14， 解得 x=4. ∴ AF=4，BD=5，CE=9. AF=AE,BF=BD,CD=CE 若连接两切点A，B，AB交OP于点E,OP交圆O于M。 （1）写出图中相等的线段、相等的角（直角除外）、相等的弧； （2）写出图中所有的垂直关系； （3）写出图中所有的等腰三角形； （4）写出图中所有的全等三角形； （5）写出图中所有的相似三角形； 精讲点拨： 相等的线段 相等的角 相等的弧 垂直关系 等腰三角形 全等三角形 轴对称图形 拓展结论：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C. AP=BP，OA=OB，AC=BC ∠1=∠2=∠3=∠4,∠CAP=∠CBP，∠AOP=∠BOP △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP △ABP，△AOB OA⊥PA，OB ⊥PB，OP⊥AB (OP垂直平分AB) 反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。 （3）连结圆心和圆外一点—角平分线—三线合一 （2）连结两切点—弦—垂径定理 （1）分别连结圆心和切点—半径—相等 。 P B A O  切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。 B P O A 2.PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点， ⊙O的半径为3 （1）若OP=5，则切线长PA= ； （2）若∠BPA=60°，则∠OPA= OP= . AB= . 1.判断： （1）过任意一点总可以做圆的两条切线。（ ） （2）从圆外一点引圆的两条切线，他们的长相等。（ ） 随堂练习： 1.飞盘问题中可以通过测量贴窗棱的飞盘边缘与窗角的距离知道飞盘直径吗？这里可以转化成什么数学问题？ 2.飞盘问题如何用数学语言表达？ O P A B 已知：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PA ⊥PB, 垂足为P,PB=12cm，求⊙O直径 数学思考与表达： 已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C. （1）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的全等三角形. （3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长. A O C D P B E 解： (1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB (2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB , △ACP≌△BCP. (3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm) 在 Rt△OAP 中，由勾股定理，得 PA 2 + OA 2 = OP 2 即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2 解得 x = 3 cm 所以，半径 OA 的长为 3 cm. 综合应用： 课堂小结： $$