第3讲：万有引力与宇宙航行【十大题型】-2025-2026学年新高二物理【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教版2019）

第3讲：万有引力与宇宙航行 【考点归纳】 【知识归纳】 知识点一：开普勒行星运动定律 定律 内容 公式或图示 开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积 开普勒第三定律 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 公式：＝k，k是一个与行星无关的常量 知识点二．万有引力定律 （1）：内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比． (2)公式：F＝G. 3．符号意义 (1)G为引力常量，其数值由英国物理学家卡文迪许测量得出，常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2. (2)r为两个质点间的距离或质量均匀的两个球体的球心间的距离． 知识点三：天体质量与天体的密度 重力加速度法 环绕法 情景 已知天体的半径R和天体表面的重力加速度g 行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动 思路 物体在天体表面的重力近似等于天体与物体间的万有引力：mg＝G 行星或卫星受到的万有引力充当向心力：G＝m()2r(以T为例) 天体 质量 天体质量：M＝ 中心天体质量：M＝ 天体 密度 ρ＝＝ ρ＝＝ 说明 g为天体表面重力加速度，未知星球表面重力加速度通常利用实验测出，例如让小球做自由落体、平抛、上抛等运动 这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量 T为公转周期 r为轨道半径 R为中心天体半径 知识点四：天体运动问题 项目 推导式 关系式 结论 v与r的关系 G＝m v＝ r越大，v越小 ω与r的关系 G＝mrω2 ω＝ r越大，ω越小 T与r的关系 G＝mr2 T＝2π r越大，T越大 a与r的关系 G＝ma a＝ r越大，a越小 由上表可以看出：卫星离地面高度越高，其线速度越小，角速度越小，周期越大，向心加速度越小．可以概括为“高轨低速长周期” 知识点五：宇宙航行 1：宇宙速度 数值 意义 第一宇宙速度 7.9 km/s 卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度 第二宇宙速度 11.2 km/s 使卫星挣脱地球引力束缚的最小地面发射速度 第三宇宙速度 16.7 km/s 使卫星挣脱太阳引力束缚的最小地面发射速度 2．第一宇宙速度的计算 设地球的质量为M，卫星的质量为m，卫星到地心的距离为r，卫星做匀速圆周运动的线速度为v： 方法一：→→ 方法二：→→ 知识点六：双星问题的分析方法 宇宙中往往会有相距较近、质量相当的两颗星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一固定点O做同周期的匀速圆周运动．这种结构叫做双星模型(如图所示)． 双星的特点 1．由于双星和该固定点O总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必然相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必然相等，因此周期也必然相等． 2．由于每颗星球的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，即m1ω2r1＝m2ω2r2，又r1＋r2＝L(L是双星间的距离)，可得r1＝L，r2＝L，即固定点离质量大的星球较近． 【题型归纳】 题型一：开普勒行星运动定律 1．（24-25高一下·安徽·期中）关于天体运动、行星运动的三大定律，下列说法正确的是（　　） A．八大行星中离太阳最近的水星比离太阳最远的海王星围绕太阳转一周的时间长 B．开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动 C．伽利略用“月-地检验”证实了地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力 D．开普勒第三定律中，围绕同一中心天体运行的所有行星或卫星，k值不相等 【答案】B 【详解】A．根据开普勒第三定律，轨道半长轴越大，公转周期越长。水星轨道半径最小，周期最短，故A错误； B．开普勒定律适用于任何中心天体的系统（如卫星绕行星），故B正确； C．“月-地检验”由牛顿完成，用于验证引力统一性，而非伽利略，故C错误； D．同一中心天体的行星或卫星，中的值相同，故D错误。 故选B。 2．（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）天文学家利用万有引力定律计算天王星位置的过程中，出现了一定的误差。他们猜测在天王星的轨道外，肯定有一颗没有发现的行星，该行星的引力不断地影响着天王星的运动。最终，科学家们通过计算“找”到了这颗遥远的行星———海王星。若海王星绕太阳逆时针运行的运动轨迹如图所示，图中AC为长轴，BD为短轴，若只考虑万有引力的作用，下列说法正确的是（　　） A．海王星在A点的速率小于在B点的速率 B．海王星在B点的加速度与在D点的加速度相同 C．海王星从A到B的过程中与太阳的连线在单位时间内扫过的面积比从B到C的大 D．海王星从C到D所用的时间大于从D到A的时间 【答案】D 【详解】AC．根据开普勒第二定律可知，海王星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等，其离太阳越近，转动线速度越大，因为A点到太阳的距离小于B点到太阳的距离，所以其在A点的速率大于在B点的速率，故AC错误； B．由题图可知，海王星在B、D两点与太阳的连线不在同一方向，故加速度的方向不同，故B错误； D．由上述分析可知，海王星在AB段的平均速率大于在BC段的平均速率，故 根据对称性，海王星在CD段的速率小于在DA 段的速率，故 故D正确。 故选D。 3．（24-25高一下·湖北·期中）德国天文学家开普勒用20年的时间研究了丹麦天文学家第谷的行星观测记录，发现了行星的运动规律。关于行星绕太阳运动，下列说法正确的是（　　） A．对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 B．行星绕太阳运动，当行星离太阳较近的时候，运行速度较小。 C．所有行星轨道半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相等。 D．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的中心处。 【答案】A 【详解】A．由开普勒第二定律，可知对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，故A正确； B．由开普勒第二定律，可知当行星离太阳较近的时候，运行速度较大，而离太阳较远时速度较小，故B错误； C．由开普勒第三定律，可知所有行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，故C错误； D．由开普勒第一定律，可知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，故D错误。 故选A。 题型二：万有引力定律理解和计算 4．（24-25高一下·北京西城·期中）下列关于万有引力的说法正确的是（　　） A．万有引力只存在天体之间，地球上的物体之间不存在万有引力 B．两物体质量不变，距离变为原来的2倍，他们之间的万有引力变为原来的一半 C．引力常量G的单位是 D．两物体之间的万有引力总是大小相等、方向相反的一对平衡力 【答案】C 【详解】A．根据万有引力定律可知，自然界任何两个物体都是相互吸引的，天体间万有引力大，常见的普通物体间万有引力太小，对物体影响小，但不是不存在，故A错误； B．根据万有引力定律公式可知，两物体质量不变，距离变为原来2倍，他们之间的万有引力变为原来的，故B错误； C．根据万有引力定律公式，式中引力常量G的单位是，故C正确； D．两物体之间的万有引力总是大小相等、方向相反的一对作用力和反作用力，不是平衡力，故D错误； 故选C。 5．（24-25高一下·江苏连云港·期中）2025年美国当地时间3月14日，马斯克“龙飞船”发射，计划接滞留太空9个月的两名宇航员回家！“龙飞船”在地球表面所受的重力大小为G，当它被发射到距地球表面高度为倍地球半径的轨道上时，所受地球对它的万有引力大小约为（　　） A．16G B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知“龙飞船”在地球表面时有 当“龙飞船”到距地球表面高度为倍地球半径的轨道上时，所受地球对它的万有引力大小约为 6．（24-25高一下·安徽·期中）如图所示，一个质量均匀分布、半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F，如果在球体中央挖去半径为r的球体，且。用密度为原球密度3倍的物质将空心处填满，则新组成的球体对质点P的万有引力变为（　　） A． B．2F C． D．F 【答案】A 【详解】挖去半径为的球体，其质量 设球心与质点P的距离为L，挖去部分对质点P的万有引力 （m为质点P的质量。 用密度为原球密度3倍的物质将空心处填满，新填入物质的质量 新填入物质对质点P的万有引力 新组成的球体对质点P的万有引力 故选A。 题型三：万有引力与重力的关系 7．（24-25高一下·重庆渝北·期中）某行星的质量约为地球的9倍，半径约为地球的一半，在地球表面附近处，平抛一物体，射程为，则在该星球上，从同样的高度，以同样的初速度平抛同一物体，水平射程应为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在星体表面上的物体，万有引力等于重力由 解得 所以 在地球表面上由， 得 同理在某行星表面上 故选D。 8．（24-25高一下·河南·期中）由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的线速度为v，引力常量为G。假设地球可视为质量分布均匀的球体。下列说法正确的是（　　） A．质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg C．地球的半径为 D．地球的密度为 【答案】C 【详解】A．因地球表面两极处的重力加速度大小为g0，则质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg0，故A错误； B．因在地球的两极，重力与万有引力相等，有 则质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为 故B错误； C．在赤道上，根据向心力公式 解得 故C正确； D．地球的密度为 故D错误。 故C。 9．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）火箭载着宇宙探测器飞向某行星，火箭内平台上还放有测试仪器，如图所示。火箭从地面起飞时，以加速度竖直向上做匀加速直线运动（为地面附近的重力加速度），升到某一高度时，测试仪器对平台的压力刚好是起飞时压力的，已知地球半径为，万有引力常量为G，该处的重力加速度g和火箭离地面的高度力正确的是（　　） A．= B．= C．h= D．h= 【答案】C 【详解】AB．取测试仪为研究对象，由牛顿第二定律有 距离地面高度h时，由牛顿第二定律有 联立解得 故AB错误； CD．距离地面高度h时，有 因为 联立解得 故C正确，D错误。 故选C。 题型四：计算中心天体的质量与密度 10．（24-25高一下·山东德州·期中）我国计划2030年前后实现载人登月。若我国的宇航员登月成功登陆后，将一个小球从距月球表面h高度以水平抛出，测得落地点到抛出点的水平距离为x，月球视为质量分布均匀的球体，月球的半径为R（其中R远大于h），引力常量为G，不考虑月球的自转，下列说法正确的是（    ） A．月球表面的重力加速度为 B．月球的质量为 C．月球的第一宇宙速度为 D．月球的平均密度为 【答案】A 【详解】A．设平抛运动的时间为t，则， 联立解得 故A正确； BD．设月球的质量为M，设其表面有一个质量为m的物体，则 解得 月球的平均密度为 故BD错误； C．根据万有引力提供向心力，有 解得 故C错误。 故选A。 11．（23-24高一下·北京丰台·期末）某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径是r，周期是T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】AB．根据黄金代换，可得 解得 故AB错误； CD．万有引力提供人造卫星的向心力，可得 解得 故C正确；D错误。 故选C。 12．（23-24高一下·河北石家庄·期中）某人在一星球上以速率v竖直上抛一物体，经时间t后，物体以速率v落回手中。已知该星球的半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是（    ） A．该星球表面的重力加速度为 B．该星球的质量 C．该星球的第一宇宙速度 D．该星球的密度 【答案】C 【详解】AB．根据匀变速直线运动的规律可得，该星球表面的重力加速度为 由 得 选项AB错误； CD．该星球的第一宇宙速度即为卫星在其表面附近绕其做匀速圆周运动的线速度大小，由 得该星球的第一宇宙速度为 该星球的密度 可知C正确，D错误。 故选C。 题型五：宇宙三大速度 13．（24-25高一下·河南南阳·期中）关于宇宙速度，下列说法正确的是（　　） A．飞行器在地面附近绕地球做匀速圆周运动时，地表第一宇宙速度也可用（式中g为地面重力加速度，R为地球半径）来算 B．在地面附近发射飞行器时，飞行器达到第二宇宙速度则能够脱离太阳对它引力的束缚 C．在地面附近发射飞行器时，如果要使其挣脱地球引力的束缚，必须使它的速度等于或大于 D．在轨运行的人造地球卫星速度均大于 【答案】A 【详解】A．地表第一宇宙速度等于飞行器在地面附近绕地球做匀速圆周运动时的线速度，则有 又 联立可得地表第一宇宙速度为 故A正确； B．在地面附近发射飞行器时，飞行器达到第二宇宙速度则能够脱离地球对它引力的束缚，飞行器达到第三宇宙速度则能够脱离太阳对它引力的束缚，故B错误； C．在地面附近发射飞行器时，如果要使其挣脱地球引力的束缚，必须使它的速度等于或大于第二宇宙速度，故C错误； D．地表第一宇宙速度等于飞行器在地面附近绕地球做匀速圆周运动时的线速度，根据万有引力提供向心力得 可得 可知绕地球做匀速圆周运动的卫星线速度不可能大于，故D错误。 故选A。 14．（24-25高一下·北京·期中）2017年9月25日，微信启动页“变脸”：由美国卫星拍摄的地球静态图换成了我国“风云四号”卫星拍摄地球的动态图，如图所示。“风云四号”卫星是第二代地球静止轨道遥感气象卫星，下列说法正确的是（　　） A．“风云四号”运行速度大于第一宇宙速度 B．“风云四号”卫星的发射速度大于第二宇宙速度 C．经过一段时间，“风云四号”可以运行到北京正上空 D．“风云四号”做圆周运动的向心加速度小于近地卫星的向心加速度 【答案】D 【详解】A．第一宇宙速度是所有环绕地球做圆周运动卫星的最大速度，则“风云四号”运行速度小于第一宇宙速度，故A错误； B．“风云四号”卫星没有脱离地球的引力范围，则其发射速度大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度，故B错误； C．“风云四号”卫星是地球静止轨道遥感气象卫星，只能定点在赤道上空，则经过一段时间，“风云四号”不可能运行到北京正上空，故C错误； D．由万有引力提供向心力有 解得 由于“风云四号”做圆周运动的轨道半径大于近地卫星的轨道半径，则“风云四号”做圆周运动的向心加速度小于近地卫星的向心加速度，故D正确。 故选D。 15．（24-25高一下·江苏扬州·期中）对于宇宙速度的理解，下列说法正确的是（　　） A．中国空间站“天宫”的发射速度一定大于第二宇宙速度 B．月球探测器“嫦娥五号”的发射速度一定大于第二宇宙速度 C．火星探测器“天问一号”发射速度一定大于第二宇宙速度 D．火星探测器“天问一号”的发射速度一定大于第三宇宙速度 【答案】C 【详解】A. 中国空间站“天宫”因没有脱离地球的引力范围，可知其发射速度一定小于第二宇宙速度，选项A错误； B. 月球探测器“嫦娥五号”因没有脱离地球的引力范围，则其发射速度一定小于第二宇宙速度，选项B错误； CD. 火星探测器“天问一号” 因要脱离地球的引力范围，但是没脱离太阳的引力范围，可知发射速度一定大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，选项C正确，D错误。 故选C。 题型六：宇宙第一速度的计算 16．（2026高三·全国·专题练习）若航天员在月球表面附近高h处以初速度水平抛出一个小球，测出小球运动的水平位移大小为L。若月球可视为均匀的天体球，已知月球半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．月球表面的重力加速度 B．月球的质量 C．月球的第一宇宙速度 D．月球的平均密度 【答案】D 【详解】A．根据平抛运动特点有， 解得月球表面的重力加速度 故A错误； B．在月球表面，万有引力等于重力，则有 将代入上式得月球的质量 故B错误； C．根据万有引力提供向心力 将代入上式得月球的第一宇宙速度 故C错误； D．月球的平均密度 故D正确。 故选D。 17．（24-25高一下·广东·期中）2021年5月，我国天问一号在火星上空的“遥感使命椭圆轨道”运行，最终顺利降落在火星乌托邦平原。已知火星的质量为M，半径为R，火星表面的重力加速度为g，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．天问一号的发射速度小于地球的第二宇宙速度 B．火星的第一宇宙速度为 C．火星的平均密度为 D．天问一号在“遥感使命椭圆轨道”运行的最小速度为 【答案】B 【详解】A．天问一号要脱离地球引力束缚到达火星，发射速度应大于地球第二宇宙速度，故A错误； B．第一宇宙速度是卫星绕星球表面做匀速圆周运动的运行速度，根据 解得火星的第一宇宙速度为 故B正确； C．在火星表面有 因为火星密度 联立解得 故C错误； D．由于第一宇宙速度是卫星最大的环绕速度，故天问一号在“遥感使命椭圆轨道”运行的速度一定小于，故D错误。 故选B。 18．（24-25高一下·河南南阳·期中）若火星探测器绕火星做匀速圆周运动时，其轨道距离火星表面的高度为2R，速度大小为v。已知火星的半径为R，引力常量为G，忽略火星自转的影响。下列选项正确的是（　　） A．火星的第一宇宙速度是 B．火星的质量为 C．火星表面重力加速度大小为 D．火星的密度为 【答案】C 【详解】AB．由解得又 解得故AB错误； C．由解得故C正确； D．由解得故D错误。故选C。 题型七：同步卫星与近地卫星 19．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为在地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c为地球静止卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是（　　） A．b卫星的线速度大于7.9km/s B．c卫星的向心加速度最小 C．a、b做匀速圆周运动的周期相同 D．在b、c中，b的线速度大 【答案】D 【详解】A．由 解得 故b卫星转动线速度等于7.9km/s，故A错误； B．对a、c由 其中， 可得 对b、c由万有引力提供向心力 解得 因为，所以 故a卫星的向心加速度最小，故B错误； C．由万有引力提供向心力 因c的半径更大，可知 故 故C错误； D．对b、c由万有引力提供向心力 可得 因为，所以 故在b、c中，b的线速度大，故D正确。 故选D。 20．（24-25高一下·吉林·期中）四颗地球卫星a、b、c、d的排列位置如图所示，a是静止在地球赤道上还未发射的卫星，b是近地轨道卫星，c是地球同步静止卫星，d是高空探测卫星，四颗卫星相比较（　　） A．a的线速度最大 B．c相对于b静止 C．相同时间内b、c、d与球心连线扫过的面积相等 D．d的运行周期最大 【答案】D 【详解】A．静止卫星的周期必须与地球自转周期相同、角速度相同，则知a与c的角速度相同，根据 因c的半径比a的半径大，故c的线速度大于a的线速度； 对围绕地球公转的b、c、d三颗卫星，则有 解得 因b的半径最小，d的半径最大，则有 综上分析，可知b的线速度最大，故A错误； BD．对围绕地球公转的b、c、d三颗卫星，则有 解得 因b的半径比c的半径小，故b的周期小于c的周期，故c不可能相对于b静止；因d的半径最大，故d的周期最大，故B错误，D正确。 C．开普勒第二定律，可知同一卫星在相同时间内与球心连线扫过的面积相等，故C错误。 故选D。 21．（24-25高一下·四川南充·期中）有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，b处于地面附近近地轨道上正常运动，c是地球静止卫星，d是月球，各卫星排列位置如图，则有（　　） A．线速度的大小关系为va > vb > vc > vd B．角速度的大小关系为ωb > ωc = ωa > ωd C．周期的大小关系为Ta > Tb > Tc > Td D．向心加速度的大小关系为aa < ab < ac < ad 【答案】B 【详解】对于b、c、d三颗地球卫星（d是月球），由万有引力提供向心力得 可得，，， 则有，，， 对于静止卫星c和未发射卫星a，两者角速度相等，周期相等，则有， 根据， 可得， 对于卫星c、d，可认为Tc=1天，Td=27天，则有 静止卫星的轨道半径约为地球半径的7倍，则有月球的轨道半径约为rd=63R，则有， 故选B。 题型八：各种卫星变轨问题 22．（24-25高一下·江苏苏州·期中）我国于2018年12月成功发射“嫦娥四号”探测器，实现了人类首次月球背面着陆。假设“嫦娥四号”探测器的发射过程简化如下：探测器从地球表面发射后，进入地月转移轨道，经过M点时变轨进入距离月球表面100km的圆形轨道Ⅰ，在轨道Ⅰ上经过P点时再次变轨进入椭圆轨道Ⅱ，之后将在Q点着陆月球表面。下列说法正确的是（　　） A．“嫦娥四号”探测器的发射速度大于地球的第二宇宙速度 B．“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过M点的速度小于在轨道Ⅱ上经过Q点的速度 C．“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过P点的加速度小于在轨道Ⅱ上经过P点的加速度 D．“嫦娥四号”在M点需要加速才能实现从地月转移轨道转移到Ⅰ轨道 【答案】B 【详解】A．“嫦娥四号”探测器绕月球运行时，并没有脱离地球引力的约束，所以发射速度大于地球的第一宇宙速度，小于地球的第二宇宙速度，故A错误； B．卫星绕月球做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力得 可得 可知“嫦娥四号”在过Q点圆轨道的运行速度大于在轨道Ⅰ上经过M点的速度，而“嫦娥四号”在过Q点圆轨道需要点火加速变轨到椭圆轨道Ⅱ，所以“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过M点的速度小于在轨道Ⅱ上经过Q点的速度，故B正确； C．根据牛顿第二定律可得 可得 可知“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过P点的加速度等于在轨道Ⅱ上经过P点的加速度，故C错误； D．卫星从高轨道变轨到低轨道，需要在变轨处点火减速，所以“嫦娥四号”在M点需要减速才能实现从地月转移轨道转移到Ⅰ轨道，故D错误。 故选B。 23．（24-25高一下·天津滨海新·期末）如图为嫦娥三号登月轨迹示意图。图中M点为环地球运行的近地点，N点为环月球运行的近月点。为环月球运行的圆轨道，为环月球运行的椭圆轨道，下列说法中正确的是（　　） A．嫦娥三号在环地球轨道上的运行速度一定大于 B．嫦娥三号的发射速度必须大于 C．设嫦娥三号在圆轨道上经过N点时的加速度为，在椭圆轨道上经过N点时的加速度为，则 D．嫦娥三号从椭圆轨道进入圆轨道时，必须在N点减速 【答案】D 【详解】A．第一宇宙速度是人造卫星环绕地球运动的最大速度，嫦娥三号在环地球轨道上的运行速度小于或等于，故A错误； B．地球的第二宇宙速度是，达到此值时，卫星将脱离地球的束缚，绕太阳运动，故嫦娥三号在环地球轨道上的运行速度不可能大于，故B错误； C．根据万有引力和牛顿第二定律得 有 由此可知，故C错误； D．嫦娥三号从椭圆轨道进入圆轨道时，做近心运动，必须在点减速，故D正确。 故选D。 24．（24-25高一下·山东枣庄·期中）天舟九号是我国新一代货运飞船，为中国空间站“天和”核心舱常态化运营提供了重要保障。飞船发射后先运行在如图所示的圆轨道I上，空间站运行在圆轨道III上，要实施对接，飞船先在A点变轨到椭圆轨道Ⅱ上，在B点变轨刚好与空间站“天和”核心舱实现对接。已知轨道I、III的半径分别为、，则关于飞船在椭圆轨道II上的运动，下列说法正确的是（　　） A．飞船从A运动到B，飞船与地心连线变长，所以在单位时间内扫过的面积也变大 B．飞船从A运动到B，飞船的速度减小，机械能不断减小 C．飞船在A、B两点的线速度大小之比为 D．飞船在A、B两点的加速度大小之比为 【答案】D 【详解】A．船从A运动到B，飞船在同一椭圆轨道上运动，根据开普勒第二定律可知，飞船与地心连线在单位时间内扫过的面积相等，故A错误： B．飞船从A运动到B，只有万有引力做功，飞船的机械能不变，故B错误： C．飞船在椭圆轨道Ⅱ上的运动，飞船在A、B两点时，在极短的相等时间间隔内，根据开普勒第二定律有解得故C错误； D．根据万有引力提供向心力有，解得故D正确。 故选D。 题型九：双星（多星）问题 25．（24-25高一下·江苏无锡·期中）人类首次发现的引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞互相绕转最后合并的过程。设两个黑洞A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示，黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，两个黑洞中心间的距离为L，则（　　） A．黑洞A的质量一定小于黑洞B的质量 B．黑洞A的线速度一定小于黑洞B的线速度 C．黑洞A的向心力一定小于黑洞B的向心力 D．两个黑洞的总质量M一定，L越大，角速度越大 【答案】A 【详解】BC．两个黑洞A、B组成双星系统，两者的角速度相同，由相互作用的万有引力提供向心力，则黑洞A和B的向心力大小相等，根据，且黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，可知黑洞A的线速度一定大于黑洞B的线速度，故BC错误； AD．设黑洞A、B的轨道半径分别为、，由牛顿第二定律得 又 联立解得， 由于黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，可知黑洞A的质量一定小于黑洞B的质量；两个黑洞的总质量M一定，L越大，角速度越小，故A正确，D错误。 故选A。 26．（24-25高一下·广西南宁·期中）在银河系中，双星的数量非常多，2024年8月12日，中国天眼（FAST）发现了罕见的双中子星系统，研究双星对了解恒星形成和演化过程的多样性有重要意义。如图所示为由星和星组成的某双星系统，该系统仅在彼此的引力作用下绕两者连线上的点做匀速圆周运动。已知（视为质点）之间的距离为，质量分别用、表示，且。则可知（　　） A．、做圆周运动的角速度之比为 B．、做圆周运动的线速度之比为 C．若双星间距离一定，则双星的总质量越大，其转动周期越大 D．若双星的质量一定，则双星之间的距离越大，其转动周期越大 【答案】D 【详解】A．双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，故A错误； B．设角速度为，则有 解得轨道半径之比等于质量的反比，即 根据线速度与角速度关系可知，A、B做圆周运动的线速度之比等于轨道半径之比，即 故B错误； CD．根据角速度与周期的关系可知，借助B选项的公式可得， 则双星的总质量 所以双星间距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越小；双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大，故C错误，D正确。 故选D。 27．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）如图所示，如果将地球与月球视为一个双星系统，两球心距离为，绕连线上的点做匀速圆周运动，周期为。地球、月球质量分别为、，轨道半径分别为、，线速度分别为、，引力常量为，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A．由万有引力提供向心力 可得 故A错误； B．由万有引力提供向心力 可得， 其中 解得 故B正确； C．由万有引力提供向心力 解得 故C错误； D．由万有引力提供向心力 可得 其中 解得 故D错误。 故选B。 题型十：万有引力与宇宙航行的综合 28．（24-25高一下·四川遂宁·期中）小明同学在地面上用弹簧测力计测得质量为的物体的重力为，该同学上网查得地球的半径为，万有引力常量为，地球同步通讯卫星的轨道离地面的高度为。试求： (1)地球的质量； (2)地球的第一宇宙速度； (3)地球的自转周期。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由和可解得 （2）根据解得 （3）对同步卫星解得 可知地球自转周期为 29．（24-25高一下·宁夏银川·期中）1916年，爱因斯坦（Albert Einstein）基于广义相对论预言了引力波的存在。2015年9月14日这一天，在激光干涉引力波天文台（LIGO）人类首次探测到了来自两个黑洞合并产生的引力波信号。假定在两个黑洞合并前约秒时，它们两相距约为，绕二者连线上的某点每秒转动20圈，将两黑洞都看作是质量均匀分布的球体，根据以上数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，试估算出这一时刻两个黑洞的 (1)公转周期； (2)质量之和； (3)速率之和。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）每秒转动20圈，两个黑洞做匀速圆周运动的频率 周期 （2）两个黑洞运动到某位置的示意图如图所示 设两个黑洞的质量分别为、公转半径为、，两个黑洞运动时，由万有引力提供向心力得 ， 其中 又有 联立可得 所以 （3）由线速度与角速度的的系 其中， 联立可得速率之和。 30．（24-25高一下·北京·期中）万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。 (1)如图所示，返回式月球软着陆器在完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回到绕月球做圆周运动的轨道舱。已知月球的半径为R，轨道舱到月球表面的距离为h，引力常量为G，月球表面的重力加速度为g，不考虑月球的自转。求： ①月球的质量M； ②月球的第一宇宙速度大小； ③轨道舱绕月飞行的周期T。 (2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为r、太阳的半径为和地球的半径R三者均增大为现在的2倍，而太阳和地球的密度均匀且不变。仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的一年将变为多长？ 【答案】(1)①，②，③ (2)“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同 【详解】（1）①设月球表面上质量为的物体，其在月球表面有 解得，月球质量为 ②根据重力和向心力的关系可知 解得 ③轨道舱绕月球做圆周运动，设轨道舱的质量为m，由牛顿运动定律得 解得 （2）设太阳的质量Ms，地球质量以为，地球绕太阳公转周期为，根据万有引力提供向心力，有 又因为 解得 从上式可知，当r和Rs均增大为现在的2倍时，地球公转周期不变，即“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同。 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高一下·四川遂宁·期中）已知某天体的第一宇宙速度为，则高度为该天体半径四分之一的宇宙飞船绕该天体做匀速圆周运动的运行速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据 解得 宇宙飞船的速度与第一宇宙速度之比 解得 故选B。 2．（24-25高一下·辽宁·期中）2025年3月26日23时55分，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将天链二号04星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。假设天链二号04星在发射过程中某阶段绕地球做椭圆运动，如图所示，P、Q点分别为该椭圆轨道上的近地点、远地点。下列说法正确的是（　　） A．天链二号04星在椭圆轨道上经过P点时的加速度大于经过Q点时的加速度 B．天链二号04星在椭圆轨道上运行时相同时间内与地球中心连线扫过的面积不一定相等 C．天链二号04星在椭圆轨道上从P点运动到Q点的过程中动能逐渐增大 D．天链二号04星的发射速度大于第二宇宙速度 【答案】A 【详解】A．由 得 P点到地心的距离大于Q点到地心的距离，故天链二号04星在椭圆轨道上经过P点时的加速度大于经过Q点时的加速度。 故A正确； B．由开普勒第二定律得，天链二号04星在椭圆轨道上运行时相同时间内与地球中心连线扫过的面积一定相等，故B错误； C．天链二号04星在椭圆轨道上从P点运动到Q点的过程中，万有引力对它做负功，动能逐渐减小，故C错误； D．天链二号04星没有脱离地球的束缚，天链二号04星的发射速度小于第二宇宙速度，故D错误。 故选A。 3．（24-25高一下·四川德阳·期末）北斗三号导航卫星系统由三种不同轨道的卫星组成，即24颗地球中圆轨道卫星（轨道形状为圆形，轨道半径在3万公里与1000公里之间）、3颗地球同步轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星。（同步卫星离地高度约为5.6R地，R地=6.4×103km）则关于地球中圆轨道卫星，下列说法正确的是（    ） A．比地球同步轨道卫星的线速度大 B．比地球同步轨道卫星的角速度小 C．比地球同步轨道卫星的周期大 D．线速度大于第一宇宙速度 【答案】A 【详解】A．由万有引力提供向心力 解得 地球中圆轨道卫星轨道半径小于同步卫星轨道半径，因此比地球同步轨道卫星的线速度大，故A正确； B．同理，可得角速度公式 地球中圆轨道卫星轨道半径小于同步卫星轨道半径，因此比地球同步轨道卫星的角速度大，故B错误； C．由周期公式 地球中圆轨道卫星轨道半径小于同步卫星轨道半径，因此比地球同步轨道卫星的周期小，故C错误； D．第一宇宙速度是近地轨道（）的环绕速度。地球中圆轨道卫星轨道半径大于地球半径，其线速度小于第一宇宙速度，故D错误。 故选A。 4．（24-25高一下·河北保定·期末）2025年4月 30日，神舟十九号飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，体现了我国在载人航天领域的强大实力。若已知神舟十九号飞船与空间站分离前，在太空中距离地球表面约400km，围绕地球做匀速圆周运动，地球半径为6 400 km，π=3.14，地球表面的重力加速度为 9.8m/s²，忽略地球自转，则下列说法正确的是（　　） A．由题干所给条件可以求出地球的质量 B．由题干所给条件可以求出地球的平均密度 C．神舟十九号飞船与空间站在轨运行过程中，由于存在稀薄的大气阻力，若不补充动力，轨道高度将越来越低，速度越来越小 D．神舟十九号飞船返回舱在返回过程中，由于空气阻力的作用，一部分机械能转化为内能 【答案】D 【详解】A．地球表面有 解得重力加速度公式为 需已知引力常量才能计算地球质量，故无法求出地球质量，故A错误； B．地球平均密度公式为 同样需已知才能计算密度，故B错误； C．根据万有引力提供向心力有 解得 稀薄大气阻力使轨道高度降低，速度随轨道半径减小而增大，因此速度会变大而非减小，故C错误； D．返回舱与空气摩擦时，机械能通过克服阻力做功转化为内能，故D正确。 故选D。 5．（24-25高一下·天津南开·期中）“嫦娥四号”被专家称为“四号星”，计划在2017年发射升空，它是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第四颗人造绕月卫星，主要任务是更深层次、更加全面地科学探测月球地貌、资源等方面的信息，完善月球档案资料。已知月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，月球的平均密度为ρ。嫦娥四号离月球中心的距离为r，绕月周期为T。根据以上信息可以判断下列说法正确的是（　　） A．月球的第一宇宙速度为 B．“嫦娥四号”绕月运行的速度为 C．引力常量可表示为 D．假设地球上没有空气阻力，若从地球上发射“嫦娥四号”必须达到第二宇宙速度才有可能发射成功 【答案】C 【详解】A．月球的第一宇宙速度为物体在月球表面附近做圆周运动的速度，星球表面重力等于引力，则有 解得 故A错误； B．嫦娥四号绕月运行时，由万有引力提供向心力 解得 结合月球表面重力加速度 可得 故B错误； C．月球质量 由万有引力提供嫦娥四号的向心力 代入得 故C正确； D．第二宇宙速度是脱离地球引力的最小速度，而嫦娥四号绕月球运行，未脱离地球引力束缚。即使地球无空气阻力，发射嫦娥四号也无需达到第二宇宙速度，故D错误。 故选C。 6．（24-25高一下·河北衡水·期中）如图所示，土星冲日是指土星、地球和太阳几乎排列成一条线，地球位于太阳与土星之间，此时土星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮而易于观察。地球和土星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，地球一年绕太阳一周，土星公转轨道半径约为地球公转轨道半径的9倍，则（　　） A．土星绕太阳的公转周期为54年 B．在相同时间内，土星、地球与太阳中心连线扫过的面积相等 C．土星表面重力加速度的数值比地球表面的小 D．距下一次出现土星冲日现象所需时间约为1.04年 【答案】D 【详解】A．地球绕太阳的公转周期为，设土星绕太阳公转的周期为，根据开普勒第三定律则有 解得，A错误； B．根据开普勒第二定律可知，对同一行星而言，它与中心天体的连线在相等的时间内扫过的面积相等，B错误； C．行星表面物体的重力由万有引力提供，则有 行星表面重力加速度为 土星和地球的质量以及半径未知，无法比较其表面重力加速度的大小，C错误； D．根据题意则有， 整理可得，D正确。 故选D。 7．（24-25高一下·四川凉山·期中）2025年1月16日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球绕太阳运动的周期之比约为，如图所示。根据以上信息可以得出（　　） A．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最小 B．火星与地球的公转轨道半径之比约为 C．火星与地球绕太阳公转的向心加速度大小之比约为4∶9 D．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为4∶9 【答案】C 【详解】A．当火星与地球相距最远时，两者的速度方向相反，此时相对速度最大，选项A错误； B．根据开普勒第三定律 可得火星与地球的公转轨道半径之比约为 选项B错误； C．根据， 火星与地球绕太阳公转的向心加速度大小之比约为 选项C正确； D．火星和地球的质量和半径关系均未知，不能比较火星与地球表面的自由落体加速度大小关系，选项D错误。 故选C。 二、多选题 8．（24-25高一下·天津滨海新·期末）木星和土星都拥有众多的卫星，其中“木卫三”作为太阳系唯一一颗拥有磁场的卫星，在其厚厚的冰层下面可能存在生命，而“土卫二”具有生命诞生所需的全部要素，是最适宜人类居住的星球，经探测它们分别绕木星和土星做圆周运动的轨道半径之比为。若木星和土星的质量之比为，则下列关于“木卫三”和“土卫二”的相关说法正确的是（　　） A．运行周期之比为 B．向心加速度之比为 C．环绕速度之比为 D．表面重力加速度之比为 【答案】AB 【详解】A．根据万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律可得 解得 周期之比，故A正确； BC．同理可得 解得，，故B正确，C错误； D．在星球表面，万有引力等于物体受到的重力，则有 解得 可知，由于不知道两星球的半径之比，故表面重力加速度之比不能求出，故D错误。 故选AB。 9．（24-25高一下·四川·期中）2023年2月24日下午，“逐梦寰宇问苍穹——中国载人航天工程三十年成就展”开幕式在中国国家博物馆西大厅举行，本次展览为期3个月，全面系统回顾工程全线三十年来自信自强、奋斗圆梦的辉煌历程。载人航天进行宇宙探索过程中，经常要对航天器进行变轨。某次发射Z卫星时，先将Z卫星发射至近地圆轨道I，Z卫星到达轨道I的A点时实施变轨进入椭圆轨道II，到达轨道II的远地点B时，再次实施变轨进入轨道半径为4R（R为地球半径）的圆形轨道III绕地球做圆周运动。下列判断正确的是（    ） A．Z卫星在轨道I上运动的角速度与在轨道III上运动的角速度之比是8∶1 B．Z卫星在轨道I上运动的周期大于在轨道II上运动的周期 C．Z卫星在轨道III上经过B点时的速度等于在轨道II上经过B点时的速度 D．Z卫星在圆形轨道III上运行时的加速度小于在圆轨道I上运行时的加速度 【答案】AD 【详解】A．根据牛顿第二定律得， 解得 ，A正确； B．根据开普勒第三定律，半长轴越大周期越大。Z卫星在轨道I上运动的周期小于在轨道II上运动的周期，B错误； C．卫星在B点加速做离心运动才能从Ⅱ轨道进入Ⅲ轨道。所以Z卫星在轨道III上经过B点时的速度大于在轨道II上经过B点时的速度，C错误； D．根据牛顿第二定律得 解得   轨道半径越大，加速度越小，所以Z卫星在圆形轨道III上运行时的加速度小于在圆轨道I上运行时的加速度，D正确。 故选AD。 10．（24-25高一下·天津滨海新·期末）嫦娥六号、低轨通信卫星星座两项航天领域工程入选“2024年全球十大工程成就”。若嫦娥六号在圆形环月轨道上的周期为T，轨道距月球表面的高度为h，月球半径为R，引力常量为G，则（　　） A．月球质量为 B．嫦娥六号减速着月时处于超重状态 C．嫦娥六号在环月轨道上的速率为 D．月球表面重力加速度大小为 【答案】AB 【详解】A．根据万有引力提供向心力 解得月球的质量为，A正确； B．嫦娥六号减速着月时加速度的方向向上，处于超重状态，B正确； C．嫦娥六号在环月轨道上的速率为，C错误； D．在月球表面，有 又因为 解得月球表面重力加速度，D错误。 故选AB。 11．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）2024年5月3日17时27分，长征五号运载火箭在中国文昌航天发射场点火起飞，成功将嫦娥六号探测器送入地月转移轨道。探测器登月前，先进入椭圆轨道II，再进入近月圆轨道I。图中、分别为椭圆轨道的近月点和远月点。已知月球半径为，嫦娥六号在轨道I运行周期为，点离月球表面的高度为，万有引力常量为，则（　　） A．探测器在I轨道上点与II轨道上点的加速度大小相等 B．探测器在II轨道点的速度大于在I轨道上点的速度 C．根据题中所给物理量无法求出月球的密度 D．根据题中所给物理量可以求出探测器从点第一次运动到点的时间 【答案】AD 【详解】A．由万有引力提供向心力可知探测器在I轨道上点与II轨道上点的加速度大小相等，故A正确； B．若在Q点加速到III圆轨道，则II轨道点的速度小于III轨道点的速度，对比I轨道上点和III轨道点由万有引力提供向心力可知I轨道上点的速度大于III轨道点的速度，综上所述探测器在II轨道点的速度小于在I轨道上点的速度，故B错误； C．因为嫦娥六号在轨道I运行周期为，由万有引力提供向心力 可得月球的质量为 其中月球的体积为 根据可知月球的密度为 故C错误； D．根据开普勒第三定律可知 可得探测器从点第一次运动到点的时间为 故D正确。 故选AD。 12．（24-25高一下·湖北·期中）我国天文学家通过“天眼”在武仙座球状星团中发现一个由白矮星A、脉冲星B组成的双星系统。如图所示， A、B绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，忽略其他天体对 A、B的影响。A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，其运动周期为T，则下列说法正确的是（　　） A．A星所受万有引力大于B星所受万有引力 B．A的线速度大于B的线速度 C．L一定，M越大，T越大 D．M一定，L越大，T越大 【答案】BD 【详解】A． 双星系统，彼此间的万有引力提供向心力，故A受到的引力与B受到的引力为相互作用力，大小相等，故A错误； B．  双星系统周期相同，根据 由于A的轨道半径大于B的轨道半径，可知 A的线速度大于B的线速度，故B正确； CD．设A的质量为，B的质量为，由万有引力提供向心力可得， 因为 联立解得 若L一定，M越大，T越小，若总质量M一定，则L越大，T越大，故C错误，D正确。 故选BD。 三、解答题 13．（24-25高一下·浙江台州·期中）我国“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面预选着陆区，月球车“玉兔二号”到达月面开始巡视探测，对研究月球和太阳系早期历史具有重要价值。已知月球半径为R，月球表面的重力加速度大小为g，引力常量为G，着陆前探测器在距月面高度为h的环月轨道上做匀速圆周运动。把月球看作均匀球体。求： (1)月球的质量M； (2)月球的密度ρ； (3)月球的第一宇宙速度v的大小； (4)探测器在环月轨道上做圆周运动的周期T。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）在月球表面有 解得 （2）根据 解得月球的密度为 （3）月球第一宇宙速度等于近月卫星的环绕速度，则有 解得 （4）设探测器的质量为，由万有引力提供向心力可得 解得 14．（24-25高一下·湖北·期中）2020年11月，嫦娥五号探测器成功发射升空，历时23天，圆满完成了“绕、落、回”无人探测计划后返回地球，中国探月工程即将迈入载人登月阶段，一步一步将“上九天揽月”的神话变成现实！未来中国宇航员将会登月成功，假设宇航员在登月前后做了两次实验。 实验一：当宇宙飞船贴着月球表面做匀速圆周运动时，飞船中的宇航员用秒表测量飞船完成 n圈的运动时间为t，引力常量为 G。 实验二：假设宇航员登上月球后，在月面让小球做自由落体运动，从静止开始下落的距离为h时，测得所用时间为。请根据以上条件求解： (1)月球的密度 (2)月球的半径R。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）宇宙飞船贴着月表做匀速圆周运动的周期为 万有引力充当宇宙飞船做匀速圆周运动的向心力，有 月球的质量 月球的密度 （2）设月球表面的重力加速度为， 可得 根据 月球的半径 15．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图所示，质量分别为M和m的两个星球A和B（均视为质点）在它们之间的引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B之间的距离为L。已知星球A和B和O三点始终共线，A和B分别在O点的两侧。引力常量为G。 (1)求星球A的周期T； (2)求星球B的线速度大小v； (3)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在处理近似问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T2。已知地球和月球的质量分别为m地和m月。求 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意知和有相同的角速度和周期，设、的运行半径分别为、，则对分析由万有引力提供向心力同理对分析有其中解得，， （2）q的线速度带入周期和半径解得星球B的线速度大小 （3）将地月系统看成双星系统，由（1）问得 常常认为月球绕地心做圆周运动，有 解得则 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3讲：万有引力与宇宙航行 【考点归纳】 【知识归纳】 知识点一：开普勒行星运动定律 定律 内容 公式或图示 开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积 开普勒第三定律 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 公式：＝k，k是一个与行星无关的常量 知识点二．万有引力定律 （1）：内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比． (2)公式：F＝G. 3．符号意义 (1)G为引力常量，其数值由英国物理学家卡文迪许测量得出，常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2. (2)r为两个质点间的距离或质量均匀的两个球体的球心间的距离． 知识点三：天体质量与天体的密度 重力加速度法 环绕法 情景 已知天体的半径R和天体表面的重力加速度g 行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动 思路 物体在天体表面的重力近似等于天体与物体间的万有引力：mg＝G 行星或卫星受到的万有引力充当向心力：G＝m()2r(以T为例) 天体 质量 天体质量：M＝ 中心天体质量：M＝ 天体 密度 ρ＝＝ ρ＝＝ 说明 g为天体表面重力加速度，未知星球表面重力加速度通常利用实验测出，例如让小球做自由落体、平抛、上抛等运动 这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量 T为公转周期 r为轨道半径 R为中心天体半径 知识点四：天体运动问题 项目 推导式 关系式 结论 v与r的关系 G＝m v＝ r越大，v越小 ω与r的关系 G＝mrω2 ω＝ r越大，ω越小 T与r的关系 G＝mr2 T＝2π r越大，T越大 a与r的关系 G＝ma a＝ r越大，a越小 由上表可以看出：卫星离地面高度越高，其线速度越小，角速度越小，周期越大，向心加速度越小．可以概括为“高轨低速长周期” 知识点五：宇宙航行 1：宇宙速度 数值 意义 第一宇宙速度 7.9 km/s 卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度 第二宇宙速度 11.2 km/s 使卫星挣脱地球引力束缚的最小地面发射速度 第三宇宙速度 16.7 km/s 使卫星挣脱太阳引力束缚的最小地面发射速度 2．第一宇宙速度的计算 设地球的质量为M，卫星的质量为m，卫星到地心的距离为r，卫星做匀速圆周运动的线速度为v： 方法一：→→ 方法二：→→ 知识点六：双星问题的分析方法 宇宙中往往会有相距较近、质量相当的两颗星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一固定点O做同周期的匀速圆周运动．这种结构叫做双星模型(如图所示)． 双星的特点 1．由于双星和该固定点O总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必然相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必然相等，因此周期也必然相等． 2．由于每颗星球的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，即m1ω2r1＝m2ω2r2，又r1＋r2＝L(L是双星间的距离)，可得r1＝L，r2＝L，即固定点离质量大的星球较近． 【题型归纳】 题型一：开普勒行星运动定律 1．（24-25高一下·安徽·期中）关于天体运动、行星运动的三大定律，下列说法正确的是（　　） A．八大行星中离太阳最近的水星比离太阳最远的海王星围绕太阳转一周的时间长 B．开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动 C．伽利略用“月-地检验”证实了地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力 D．开普勒第三定律中，围绕同一中心天体运行的所有行星或卫星，k值不相等 2．（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）天文学家利用万有引力定律计算天王星位置的过程中，出现了一定的误差。他们猜测在天王星的轨道外，肯定有一颗没有发现的行星，该行星的引力不断地影响着天王星的运动。最终，科学家们通过计算“找”到了这颗遥远的行星———海王星。若海王星绕太阳逆时针运行的运动轨迹如图所示，图中AC为长轴，BD为短轴，若只考虑万有引力的作用，下列说法正确的是（　　） A．海王星在A点的速率小于在B点的速率 B．海王星在B点的加速度与在D点的加速度相同 C．海王星从A到B的过程中与太阳的连线在单位时间内扫过的面积比从B到C的大 D．海王星从C到D所用的时间大于从D到A的时间 3．（24-25高一下·湖北·期中）德国天文学家开普勒用20年的时间研究了丹麦天文学家第谷的行星观测记录，发现了行星的运动规律。关于行星绕太阳运动，下列说法正确的是（　　） A．对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 B．行星绕太阳运动，当行星离太阳较近的时候，运行速度较小。 C．所有行星轨道半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相等。 D．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的中心处。 题型二：万有引力定律理解和计算 4．（24-25高一下·北京西城·期中）下列关于万有引力的说法正确的是（　　） A．万有引力只存在天体之间，地球上的物体之间不存在万有引力 B．两物体质量不变，距离变为原来的2倍，他们之间的万有引力变为原来的一半 C．引力常量G的单位是 D．两物体之间的万有引力总是大小相等、方向相反的一对平衡力 5．（24-25高一下·江苏连云港·期中）2025年美国当地时间3月14日，马斯克“龙飞船”发射，计划接滞留太空9个月的两名宇航员回家！“龙飞船”在地球表面所受的重力大小为G，当它被发射到距地球表面高度为倍地球半径的轨道上时，所受地球对它的万有引力大小约为（　　） A．16G B． C． D． 6．（24-25高一下·安徽·期中）如图所示，一个质量均匀分布、半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F，如果在球体中央挖去半径为r的球体，且。用密度为原球密度3倍的物质将空心处填满，则新组成的球体对质点P的万有引力变为（　　） A． B．2F C． D．F 题型三：万有引力与重力的关系 7．（24-25高一下·重庆渝北·期中）某行星的质量约为地球的9倍，半径约为地球的一半，在地球表面附近处，平抛一物体，射程为，则在该星球上，从同样的高度，以同样的初速度平抛同一物体，水平射程应为（　　） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·河南·期中）由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的线速度为v，引力常量为G。假设地球可视为质量分布均匀的球体。下列说法正确的是（　　） A．质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg C．地球的半径为 D．地球的密度为 9．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）火箭载着宇宙探测器飞向某行星，火箭内平台上还放有测试仪器，如图所示。火箭从地面起飞时，以加速度竖直向上做匀加速直线运动（为地面附近的重力加速度），升到某一高度时，测试仪器对平台的压力刚好是起飞时压力的，已知地球半径为，万有引力常量为G，该处的重力加速度g和火箭离地面的高度力正确的是（　　） A．= B．= C．h= D．h= 题型四：计算中心天体的质量与密度 10．（24-25高一下·山东德州·期中）我国计划2030年前后实现载人登月。若我国的宇航员登月成功登陆后，将一个小球从距月球表面h高度以水平抛出，测得落地点到抛出点的水平距离为x，月球视为质量分布均匀的球体，月球的半径为R（其中R远大于h），引力常量为G，不考虑月球的自转，下列说法正确的是（    ） A．月球表面的重力加速度为 B．月球的质量为 C．月球的第一宇宙速度为 D．月球的平均密度为 11．（23-24高一下·北京丰台·期末）某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径是r，周期是T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． 12．（23-24高一下·河北石家庄·期中）某人在一星球上以速率v竖直上抛一物体，经时间t后，物体以速率v落回手中。已知该星球的半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是（    ） A．该星球表面的重力加速度为 B．该星球的质量 C．该星球的第一宇宙速度 D．该星球的密度 题型五：宇宙三大速度 13．（24-25高一下·河南南阳·期中）关于宇宙速度，下列说法正确的是（　　） A．飞行器在地面附近绕地球做匀速圆周运动时，地表第一宇宙速度也可用（式中g为地面重力加速度，R为地球半径）来算 B．在地面附近发射飞行器时，飞行器达到第二宇宙速度则能够脱离太阳对它引力的束缚 C．在地面附近发射飞行器时，如果要使其挣脱地球引力的束缚，必须使它的速度等于或大于 D．在轨运行的人造地球卫星速度均大于 14．（24-25高一下·北京·期中）2017年9月25日，微信启动页“变脸”：由美国卫星拍摄的地球静态图换成了我国“风云四号”卫星拍摄地球的动态图，如图所示。“风云四号”卫星是第二代地球静止轨道遥感气象卫星，下列说法正确的是（　　） A．“风云四号”运行速度大于第一宇宙速度 B．“风云四号”卫星的发射速度大于第二宇宙速度 C．经过一段时间，“风云四号”可以运行到北京正上空 D．“风云四号”做圆周运动的向心加速度小于近地卫星的向心加速度 15．（24-25高一下·江苏扬州·期中）对于宇宙速度的理解，下列说法正确的是（　　） A．中国空间站“天宫”的发射速度一定大于第二宇宙速度 B．月球探测器“嫦娥五号”的发射速度一定大于第二宇宙速度 C．火星探测器“天问一号”发射速度一定大于第二宇宙速度 D．火星探测器“天问一号”的发射速度一定大于第三宇宙速度 题型六：宇宙第一速度的计算 16．（2026高三·全国·专题练习）若航天员在月球表面附近高h处以初速度水平抛出一个小球，测出小球运动的水平位移大小为L。若月球可视为均匀的天体球，已知月球半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．月球表面的重力加速度 B．月球的质量 C．月球的第一宇宙速度 D．月球的平均密度 17．（24-25高一下·广东·期中）2021年5月，我国天问一号在火星上空的“遥感使命椭圆轨道”运行，最终顺利降落在火星乌托邦平原。已知火星的质量为M，半径为R，火星表面的重力加速度为g，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．天问一号的发射速度小于地球的第二宇宙速度 B．火星的第一宇宙速度为 C．火星的平均密度为 D．天问一号在“遥感使命椭圆轨道”运行的最小速度为 18．（24-25高一下·河南南阳·期中）若火星探测器绕火星做匀速圆周运动时，其轨道距离火星表面的高度为2R，速度大小为v。已知火星的半径为R，引力常量为G，忽略火星自转的影响。下列选项正确的是（　　） A．火星的第一宇宙速度是 B．火星的质量为 C．火星表面重力加速度大小为 D．火星的密度为 题型七：同步卫星与近地卫星 19．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为在地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c为地球静止卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是（　　） A．b卫星的线速度大于7.9km/s B．c卫星的向心加速度最小 C．a、b做匀速圆周运动的周期相同 D．在b、c中，b的线速度大 20．（24-25高一下·吉林·期中）四颗地球卫星a、b、c、d的排列位置如图所示，a是静止在地球赤道上还未发射的卫星，b是近地轨道卫星，c是地球同步静止卫星，d是高空探测卫星，四颗卫星相比较（　　） A．a的线速度最大 B．c相对于b静止 C．相同时间内b、c、d与球心连线扫过的面积相等 D．d的运行周期最大 21．（24-25高一下·四川南充·期中）有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，b处于地面附近近地轨道上正常运动，c是地球静止卫星，d是月球，各卫星排列位置如图，则有（　　） A．线速度的大小关系为va > vb > vc > vd B．角速度的大小关系为ωb > ωc = ωa > ωd C．周期的大小关系为Ta > Tb > Tc > Td D．向心加速度的大小关系为aa < ab < ac < ad 题型八：各种卫星变轨问题 22．（24-25高一下·江苏苏州·期中）我国于2018年12月成功发射“嫦娥四号”探测器，实现了人类首次月球背面着陆。假设“嫦娥四号”探测器的发射过程简化如下：探测器从地球表面发射后，进入地月转移轨道，经过M点时变轨进入距离月球表面100km的圆形轨道Ⅰ，在轨道Ⅰ上经过P点时再次变轨进入椭圆轨道Ⅱ，之后将在Q点着陆月球表面。下列说法正确的是（　　） A．“嫦娥四号”探测器的发射速度大于地球的第二宇宙速度 B．“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过M点的速度小于在轨道Ⅱ上经过Q点的速度 C．“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过P点的加速度小于在轨道Ⅱ上经过P点的加速度 D．“嫦娥四号”在M点需要加速才能实现从地月转移轨道转移到Ⅰ轨道 23．（24-25高一下·天津滨海新·期末）如图为嫦娥三号登月轨迹示意图。图中M点为环地球运行的近地点，N点为环月球运行的近月点。为环月球运行的圆轨道，为环月球运行的椭圆轨道，下列说法中正确的是（　　） A．嫦娥三号在环地球轨道上的运行速度一定大于 B．嫦娥三号的发射速度必须大于 C．设嫦娥三号在圆轨道上经过N点时的加速度为，在椭圆轨道上经过N点时的加速度为，则 D．嫦娥三号从椭圆轨道进入圆轨道时，必须在N点减速 24．（24-25高一下·山东枣庄·期中）天舟九号是我国新一代货运飞船，为中国空间站“天和”核心舱常态化运营提供了重要保障。飞船发射后先运行在如图所示的圆轨道I上，空间站运行在圆轨道III上，要实施对接，飞船先在A点变轨到椭圆轨道Ⅱ上，在B点变轨刚好与空间站“天和”核心舱实现对接。已知轨道I、III的半径分别为、，则关于飞船在椭圆轨道II上的运动，下列说法正确的是（　　） A．飞船从A运动到B，飞船与地心连线变长，所以在单位时间内扫过的面积也变大 B．飞船从A运动到B，飞船的速度减小，机械能不断减小 C．飞船在A、B两点的线速度大小之比为 D．飞船在A、B两点的加速度大小之比为 题型九：双星（多星）问题 25．（24-25高一下·江苏无锡·期中）人类首次发现的引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞互相绕转最后合并的过程。设两个黑洞A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示，黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，两个黑洞中心间的距离为L，则（　　） A．黑洞A的质量一定小于黑洞B的质量 B．黑洞A的线速度一定小于黑洞B的线速度 C．黑洞A的向心力一定小于黑洞B的向心力 D．两个黑洞的总质量M一定，L越大，角速度越大 26．（24-25高一下·广西南宁·期中）在银河系中，双星的数量非常多，2024年8月12日，中国天眼（FAST）发现了罕见的双中子星系统，研究双星对了解恒星形成和演化过程的多样性有重要意义。如图所示为由星和星组成的某双星系统，该系统仅在彼此的引力作用下绕两者连线上的点做匀速圆周运动。已知（视为质点）之间的距离为，质量分别用、表示，且。则可知（　　） A．、做圆周运动的角速度之比为 B．、做圆周运动的线速度之比为 C．若双星间距离一定，则双星的总质量越大，其转动周期越大 D．若双星的质量一定，则双星之间的距离越大，其转动周期越大 27．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）如图所示，如果将地球与月球视为一个双星系统，两球心距离为，绕连线上的点做匀速圆周运动，周期为。地球、月球质量分别为、，轨道半径分别为、，线速度分别为、，引力常量为，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 题型十：万有引力与宇宙航行的综合 28．（24-25高一下·四川遂宁·期中）小明同学在地面上用弹簧测力计测得质量为的物体的重力为，该同学上网查得地球的半径为，万有引力常量为，地球同步通讯卫星的轨道离地面的高度为。试求： (1)地球的质量； (2)地球的第一宇宙速度； (3)地球的自转周期。 29．（24-25高一下·宁夏银川·期中）1916年，爱因斯坦（Albert Einstein）基于广义相对论预言了引力波的存在。2015年9月14日这一天，在激光干涉引力波天文台（LIGO）人类首次探测到了来自两个黑洞合并产生的引力波信号。假定在两个黑洞合并前约秒时，它们两相距约为，绕二者连线上的某点每秒转动20圈，将两黑洞都看作是质量均匀分布的球体，根据以上数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，试估算出这一时刻两个黑洞的 (1)公转周期； (2)质量之和； (3)速率之和。 30．（24-25高一下·北京·期中）万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。 (1)如图所示，返回式月球软着陆器在完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回到绕月球做圆周运动的轨道舱。已知月球的半径为R，轨道舱到月球表面的距离为h，引力常量为G，月球表面的重力加速度为g，不考虑月球的自转。求： ①月球的质量M； ②月球的第一宇宙速度大小； ③轨道舱绕月飞行的周期T。 (2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为r、太阳的半径为和地球的半径R三者均增大为现在的2倍，而太阳和地球的密度均匀且不变。仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的一年将变为多长？ 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高一下·四川遂宁·期中）已知某天体的第一宇宙速度为，则高度为该天体半径四分之一的宇宙飞船绕该天体做匀速圆周运动的运行速度大小为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁·期中）2025年3月26日23时55分，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将天链二号04星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。假设天链二号04星在发射过程中某阶段绕地球做椭圆运动，如图所示，P、Q点分别为该椭圆轨道上的近地点、远地点。下列说法正确的是（　　） A．天链二号04星在椭圆轨道上经过P点时的加速度大于经过Q点时的加速度 B．天链二号04星在椭圆轨道上运行时相同时间内与地球中心连线扫过的面积不一定相等 C．天链二号04星在椭圆轨道上从P点运动到Q点的过程中动能逐渐增大 D．天链二号04星的发射速度大于第二宇宙速度 3．（24-25高一下·四川德阳·期末）北斗三号导航卫星系统由三种不同轨道的卫星组成，即24颗地球中圆轨道卫星（轨道形状为圆形，轨道半径在3万公里与1000公里之间）、3颗地球同步轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星。（同步卫星离地高度约为5.6R地，R地=6.4×103km）则关于地球中圆轨道卫星，下列说法正确的是（    ） A．比地球同步轨道卫星的线速度大 B．比地球同步轨道卫星的角速度小 C．比地球同步轨道卫星的周期大 D．线速度大于第一宇宙速度 4．（24-25高一下·河北保定·期末）2025年4月 30日，神舟十九号飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，体现了我国在载人航天领域的强大实力。若已知神舟十九号飞船与空间站分离前，在太空中距离地球表面约400km，围绕地球做匀速圆周运动，地球半径为6 400 km，π=3.14，地球表面的重力加速度为 9.8m/s²，忽略地球自转，则下列说法正确的是（　　） A．由题干所给条件可以求出地球的质量 B．由题干所给条件可以求出地球的平均密度 C．神舟十九号飞船与空间站在轨运行过程中，由于存在稀薄的大气阻力，若不补充动力，轨道高度将越来越低，速度越来越小 D．神舟十九号飞船返回舱在返回过程中，由于空气阻力的作用，一部分机械能转化为内能 5．（24-25高一下·天津南开·期中）“嫦娥四号”被专家称为“四号星”，计划在2017年发射升空，它是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第四颗人造绕月卫星，主要任务是更深层次、更加全面地科学探测月球地貌、资源等方面的信息，完善月球档案资料。已知月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，月球的平均密度为ρ。嫦娥四号离月球中心的距离为r，绕月周期为T。根据以上信息可以判断下列说法正确的是（　　） A．月球的第一宇宙速度为 B．“嫦娥四号”绕月运行的速度为 C．引力常量可表示为 D．假设地球上没有空气阻力，若从地球上发射“嫦娥四号”必须达到第二宇宙速度才有可能发射成功 6．（24-25高一下·河北衡水·期中）如图所示，土星冲日是指土星、地球和太阳几乎排列成一条线，地球位于太阳与土星之间，此时土星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮而易于观察。地球和土星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，地球一年绕太阳一周，土星公转轨道半径约为地球公转轨道半径的9倍，则（　　） A．土星绕太阳的公转周期为54年 B．在相同时间内，土星、地球与太阳中心连线扫过的面积相等 C．土星表面重力加速度的数值比地球表面的小 D．距下一次出现土星冲日现象所需时间约为1.04年 7．（24-25高一下·四川凉山·期中）2025年1月16日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球绕太阳运动的周期之比约为，如图所示。根据以上信息可以得出（　　） A．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最小 B．火星与地球的公转轨道半径之比约为 C．火星与地球绕太阳公转的向心加速度大小之比约为4∶9 D．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为4∶9 二、多选题 8．（24-25高一下·天津滨海新·期末）木星和土星都拥有众多的卫星，其中“木卫三”作为太阳系唯一一颗拥有磁场的卫星，在其厚厚的冰层下面可能存在生命，而“土卫二”具有生命诞生所需的全部要素，是最适宜人类居住的星球，经探测它们分别绕木星和土星做圆周运动的轨道半径之比为。若木星和土星的质量之比为，则下列关于“木卫三”和“土卫二”的相关说法正确的是（　　） A．运行周期之比为 B．向心加速度之比为 C．环绕速度之比为 D．表面重力加速度之比为 9．（24-25高一下·四川·期中）2023年2月24日下午，“逐梦寰宇问苍穹——中国载人航天工程三十年成就展”开幕式在中国国家博物馆西大厅举行，本次展览为期3个月，全面系统回顾工程全线三十年来自信自强、奋斗圆梦的辉煌历程。载人航天进行宇宙探索过程中，经常要对航天器进行变轨。某次发射Z卫星时，先将Z卫星发射至近地圆轨道I，Z卫星到达轨道I的A点时实施变轨进入椭圆轨道II，到达轨道II的远地点B时，再次实施变轨进入轨道半径为4R（R为地球半径）的圆形轨道III绕地球做圆周运动。下列判断正确的是（    ） A．Z卫星在轨道I上运动的角速度与在轨道III上运动的角速度之比是8∶1 B．Z卫星在轨道I上运动的周期大于在轨道II上运动的周期 C．Z卫星在轨道III上经过B点时的速度等于在轨道II上经过B点时的速度 D．Z卫星在圆形轨道III上运行时的加速度小于在圆轨道I上运行时的加速度 10．（24-25高一下·天津滨海新·期末）嫦娥六号、低轨通信卫星星座两项航天领域工程入选“2024年全球十大工程成就”。若嫦娥六号在圆形环月轨道上的周期为T，轨道距月球表面的高度为h，月球半径为R，引力常量为G，则（　　） A．月球质量为 B．嫦娥六号减速着月时处于超重状态 C．嫦娥六号在环月轨道上的速率为 D．月球表面重力加速度大小为 11．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）2024年5月3日17时27分，长征五号运载火箭在中国文昌航天发射场点火起飞，成功将嫦娥六号探测器送入地月转移轨道。探测器登月前，先进入椭圆轨道II，再进入近月圆轨道I。图中、分别为椭圆轨道的近月点和远月点。已知月球半径为，嫦娥六号在轨道I运行周期为，点离月球表面的高度为，万有引力常量为，则（　　） A．探测器在I轨道上点与II轨道上点的加速度大小相等 B．探测器在II轨道点的速度大于在I轨道上点的速度 C．根据题中所给物理量无法求出月球的密度 D．根据题中所给物理量可以求出探测器从点第一次运动到点的时间 12．（24-25高一下·湖北·期中）我国天文学家通过“天眼”在武仙座球状星团中发现一个由白矮星A、脉冲星B组成的双星系统。如图所示， A、B绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，忽略其他天体对 A、B的影响。A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，其运动周期为T，则下列说法正确的是（　　） A．A星所受万有引力大于B星所受万有引力 B．A的线速度大于B的线速度 C．L一定，M越大，T越大 D．M一定，L越大，T越大 三、解答题 13．（24-25高一下·浙江台州·期中）我国“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面预选着陆区，月球车“玉兔二号”到达月面开始巡视探测，对研究月球和太阳系早期历史具有重要价值。已知月球半径为R，月球表面的重力加速度大小为g，引力常量为G，着陆前探测器在距月面高度为h的环月轨道上做匀速圆周运动。把月球看作均匀球体。求： (1)月球的质量M； (2)月球的密度ρ； (3)月球的第一宇宙速度v的大小； (4)探测器在环月轨道上做圆周运动的周期T。 14．（24-25高一下·湖北·期中）2020年11月，嫦娥五号探测器成功发射升空，历时23天，圆满完成了“绕、落、回”无人探测计划后返回地球，中国探月工程即将迈入载人登月阶段，一步一步将“上九天揽月”的神话变成现实！未来中国宇航员将会登月成功，假设宇航员在登月前后做了两次实验。 实验一：当宇宙飞船贴着月球表面做匀速圆周运动时，飞船中的宇航员用秒表测量飞船完成 n圈的运动时间为t，引力常量为 G。 实验二：假设宇航员登上月球后，在月面让小球做自由落体运动，从静止开始下落的距离为h时，测得所用时间为。请根据以上条件求解： (1)月球的密度 (2)月球的半径R。 15．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图所示，质量分别为M和m的两个星球A和B（均视为质点）在它们之间的引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B之间的距离为L。已知星球A和B和O三点始终共线，A和B分别在O点的两侧。引力常量为G。 (1)求星球A的周期T； (2)求星球B的线速度大小v； (3)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在处理近似问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T2。已知地球和月球的质量分别为m地和m月。求 2 学科网（北京）股份有限公司 $$