第7章 第1节 第❶课时 空间几何体的结构特征、表面积与体积（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

高考总复习 数学 第七章　立体几何 第一节　空间几何体 课标解读 1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 2．能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图． 3．知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 必备知识 基础落实 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 ______________ ______ 互相平行且相似 互相平行且全等 多边形 必备知识 基础落实 名称 棱柱 棱锥 棱台 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点，但不一定相等 侧面形状 __________ ______ ____ 平行四边形 三角形 梯形 必备知识 基础落实 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，____于底面 相交于____ 延长线交于____ － 垂直 点 一点 必备知识 基础落实 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 轴截面 全等的____ 全等的__________ 全等的________ __ 侧面 展开图 ____ ____ ____ － 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 矩形 扇形 扇环 必备知识 基础落实 一半 必备知识 基础落实   圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面积 公式 S圆柱侧＝______ S圆锥侧＝_____ S圆台侧＝ π(r1＋r2)l 2πrl πrl 必备知识 基础落实 Sh 必备知识 基础落实 4πR2 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 一、辨析正误(在括号内画“√”或“×”) 　(1)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　　 　　) (2)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分．(　　 　　) (3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱．(　　 　　) (4)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台．(　　 　　) × × √ × 必备知识 基础落实 C 必备知识 基础落实 B 必备知识 基础落实 B 必备知识 基础落实 B 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 A 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 定义法 紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定 反例法 通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 A 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 请完成：分级练（41） 温馨提示 谢谢观看！ 知识点一　空间几何体的结构特征 1．多面体的结构特征 2.旋转体的结构特征 知识点二　空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： (1)“斜”：直观图中，x′轴与y′轴的夹角为45°或135°. (2)“二测”：图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的____. 知识点三　圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 知识点四　柱、锥、台、球的表面积和体积 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝____ 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝______ Sh 几何体 表面积 体积 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝________ V＝________ πR3 (1)要掌握棱柱、棱锥各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决． (2)台体可以看成是由锥体截得的，但一定要知道截面与底面平行． 斜二测画法中的“三变”与“三不变” “三变”： 坐标轴的夹角改变； 与y轴平行的线段的长度变为原来的一半； 图形改变． “三不变”： 平行性不改变； 与x轴和z轴平行的线段的长度不改变； 相对位置不改变． 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图． 几何体的表面积和侧面积的注意点 (1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和． (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理． 圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素间的关系． 柱体、锥体、台体体积间的关系如图所示： 几个与球有关的切、接常用结论 1．正方体的棱长为a，球的半径为R. (1)若球为正方体的外接球，则 2R＝a； (2)若球为正方体的内切球，则 2R＝a； (3)若球与正方体的各棱相切，则 2R＝a. 2．若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. 3．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 二、版本互鉴 1．(人教A版必修第二册P111 T2改编)如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是(　　) 解析：根据斜二测画法可知，此直观图的平面图形可能是C. 2．(人教B版必修第四册P90 T5改编)下列命题正确的是(　　) A．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥 B．棱锥的高线可能在几何体之外 C.仅有一组相对的面平行的六面体一定是棱台 D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 3.(苏教版必修第二册P147 T2改编)如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为(　　) A．一个球体 B．一个球体中间挖出一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球体中间挖去一个长方体 4．(人教B版必修第四册P82 T4改编)已知圆柱O′O的底面半径为r，母线长是底面直径的2倍，则圆柱O′O的表面积是(　　) A．4πr2 B．10πr2 C．8πr2 D．6πr2 解析：∵母线l＝2×2r＝4r，∴S侧＝2πrl＝2πr·4r＝8πr2，∴S表＝2πr2＋8πr2＝10πr2. 5．(北师大版必修第二册P257 T5改编)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　) A．4π B．6π C．π D．4π 解析：由已知，得球的半径为＝，所以球的体积为×()3＝4π. 6．(苏教版必修第二册P187例5改编)已知四面体ABCD的各面均为等边三角形，且棱长为2，则该四面体的表面积为________． 答案：4　 解析：因为四面体ABCD的各面均为等边三角形，且棱长为2，所以S△BCD＝×2×2×＝，所以该四面体的表面积S＝4S△BCD＝4. 7．(北师大版必修第二册P256 T2改编)某小区修建一个圆台形的花台，它的两底面半径分别为1 m和2 m，高为1 m，则需要________m3的土才能把花台填满． 答案： 8．(苏教版必修第二册P188 T6改编)已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则它的侧面积为________cm2. 答案：468 第❶课时　空间几何体的结构特征、表面积与体积 考点 空间几何体的结构特征与直观图(自悟通) 1．下列说法正确的是(　　) A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．四棱锥的四个侧面可以都是直角三角形 C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 解析：A错误，如图①；B正确，如图②，其中底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，可证明∠PAB，∠PCB，∠PDA，∠PDC都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错误，如图③；D错误，由棱台的定义知，其侧棱的延长线必相交于同一点． 2．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是(　　) A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．一般的平行四边形 解析：如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2 cm.所以OC＝＝＝6(cm)，所以OA＝OC，所以四边形OABC是菱形． 3．已知圆台上、下两底面与侧面都与球O相切，圆台的侧面积为16π，则该圆台上、下两底面圆的周长之和为(　　) A．4π B．6π C．8π D．10π 解析：圆台的轴截面如图所示，因为圆台的侧面积S侧＝π(R＋r)2＝16π， 所以R＋r＝4，所以该圆台上、下两底面圆的周长之和为2(R＋r)π＝8π. 空间几何体结构特征的判定方法 考点 空间几何体的表面积(精研通) 【例1】(1)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 (2)如图，某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的．若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则制作这样一个粮仓的用料面积为(　　) A．(＋4)π B．(2＋4)π C．(3＋4)π D．(4＋4)π (3)在三棱锥A­BCD中，△ABC和△BCD都是边长为2的等边三角形，则当此三棱锥的表面积最大时，AD＝________． 2 解析：(1)由题意知圆锥的底面周长为2π.设圆锥的母线长为l，则πl＝2π，解得l＝2. (2)设圆锥的底面半径为r，高为h，则4πr＝4π，解得r＝1，所以h＝＝.圆柱的侧面积为2πr·2h＝2π×2＝4π，所以制作这样一个粮仓的用料面积为(4＋4)π. (3)如图，△ABC和△BCD都是边长为2的等边三角形， 所以S△ABC＋S△BCD＝2××2×2×＝2，S△ACD＋S△ABD ＝2××2×2×sin ∠ABD，所以三棱锥A­BCD的表面积为S＝2＋4sin ∠ABD，故当∠ABD＝90°，即AB⊥BD时表面积最大，最大值为4＋2，在Rt△ABD中，AB＝BD＝2，所以AD＝＝2. 空间几何体表面积的求解方法 (1)求多面体的表面积时，把各个面的面积相加即可． (2)求简单旋转体的表面积时，代入公式直接求解． (3)求组合体的表面积时，注意重合部分的处理． 1．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________． 答案：12　 解析：设六棱锥的高为h，斜高为h′，则由体积V＝×(×2×2×sin 60°×6)×h＝2，得h＝1， h′＝＝2.所以S侧＝×2×2×6＝12. 2．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为__________． 答案：4＋4　 解析：如图，连接A1B.因为AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC.又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，AA1，AB⊂平面AA1B1B，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2，BC＝.又AB⊥BC，则AB＝，故该三棱柱的侧面积为2×2＋2×2＝4＋4. 考点 空间几何体的体积(精研通) 命题点1　直接利用公式求体积 【例2】(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　) A．2π B．3π C．6π D．9π 解析：设圆柱和圆锥的底面半径均为r，因为它们的高均为，且侧面积相等，所以2πr×＝πr，得r2＝9，所以圆锥的体积V＝πr2×＝3π，故选B. 当所给几何体是常见的柱、锥、台等规则的几何体时，可以直接利用公式进行求解． (2023·新课标Ⅰ卷)在正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为________． 答案：　 解析：方法一　如图所示，设点O1，O分别为正四棱台ABCD­A1B1C1D1上、下底面的中心，连接B1D1，BD，则点O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O即正四棱台ABCD­A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，则B1E＝O1O.因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝，O1B1＝，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝.又AA1＝，所以BB1＝，B1E＝＝＝，所以O1O＝，所以V正四棱台ABCD­A1B1C1D1＝×(22＋12＋)×＝. ＝，所以BB1＝，B1E＝＝＝，所以O1O＝，所以V正四棱台ABCD­A1B1C1D1＝×(22＋12＋)×＝. 方法二　如图，将正四棱台ABCD­A1B1C1D1补形成正四棱锥P­ABCD.因为AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分别为PA，PB，PC，PD的中点．又A1A＝，所以PA＝2，即PB＝2.连接BD，设BD的中点为O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，易知BO＝，所以PO＝＝，所以正四棱台ABCD­A1B1C1D1的高为，所以V正四棱台ABCD­A1B1C1D1＝×(22＋12＋)×＝(或者V四棱锥P­ABCD＝×22×＝，V四棱锥P­A1B1C1D1＝V四棱锥P­ABCD，所以V正四棱台ABCD­A1B1C1D1＝V四棱锥P­ABCD－V四棱锥P­A1B1C1D1＝V四棱锥P­ABCD＝×＝). 以V正四棱台ABCD­A1B1C1D1＝×(22＋12＋)×＝(或者V四棱锥P­ABCD＝×22×＝，V四棱锥P­A1B1C1D1＝V四棱锥P­ABCD，所以V正四棱台ABCD­A1B1C1D1＝V四棱锥P­ABCD－V四棱锥P­A1B1C1D1＝V四棱锥P­ABCD＝×＝). 命题点2　割补法求体积 【例3】 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形 ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三 角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________． 答案：　 解析：如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为 G，H，连接DG，CH，易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH ＝HC＝，则△BHC中BC边上的高h＝.∴S△AGD＝S△BHC ＝×1×＝，∴V多面体＝VE­ADG＋VF­BHC＋VAGD­BHC＝2VE­ADG＋ VAGD­BHC＝2×××＋×1＝. 把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算，或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积． 命题点3　等体积法求体积 【例4】如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为(　　) A． B． C． D． 解析：易知三棱锥B1­ABC1的体积等于三棱锥A­B1BC1的体积．又三棱锥A­B1BC1的高为，底面积为，故所求体积为××＝. 一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化法或等积变形法，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积． 如图，在棱长为4的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱AB，B1C1的中点，过C，M，N三点作正方体的截面，则以B点为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为(　　) A． B．8 C． D． 解析：如图，延长BB1，CN交于点P，连接PM交A1B1于点Q，则平面CMQN为所得截面，故VB­CMQN＝VP­MBC－VB­PQN＝VP­MBC－VQ­PBN＝××2×4×8－××2×8×1＝8. $$