第2章 第6节 函数与方程（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

高考总复习 数学 第二章　函　数 第六节　函数与方程 课标解读 1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系． 2．了解函数零点存在定理及用二分法求方程近似解具有一般性． 必备知识 基础落实 f(x)＝0 必备知识 基础落实 有零点 连续不断 f(a)f(b)<0 f(c)＝0 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 f(a)f(b)＜0 必备知识 基础落实 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 与x轴的交点 ______________ ______________ 无 零点个数 __ __ __ (x1，0)，(x2，0) (x1，0)或(x2，0) 2 1 0 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 一、辨析正误(在括号内画“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(　　 　　) (2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)＜0.(　　 　　) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　 　　) × × × 必备知识 基础落实 × √ (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点．(　　 　　) (5)函数f(x)＝lg x的零点是(1，0).(　　 　　) 必备知识 基础落实 B x 1 2 3 4 5 6 y 126.1 15.15 －3.92 16.78 －45.6 －232.64 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 B 必备知识 基础落实 B 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 A 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 谢谢观看！ 知识点一　函数的零点 1．函数的零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2．方程、函数、图象之间的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)______⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． 3．函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条________的曲线，且有_________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得___________，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 函数零点的存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间端点处的函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件． 知识点二　二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且___________的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 知识点三　二次函数的图象与零点的关系 1．若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在(a，b)上只有一个零点． 2．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 3．周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点． 二、版本互鉴 1．(人教A版必修第一册P155 T2改编)函数y＝f(x)的图象是一个连续不断的曲线，部分对应关系如下表所示，则该函数的零点个数至少为(　　) A.2 B．3 C．4 D．5 解析：由表可知，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，所以函数f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点． 2．(苏教版必修第一册P237 T3改编)函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是(　　) A．(1，2) B．(2，3) C．(，1)和(3，4) D．(4，＋∞) 3．(湘教版必修第一册P132 T1改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 4．(人教B版必修第一册P114例5改编)函数f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)的零点为________. 答案：－，，1，2 考点 函数零点所在区间的判定(自悟通) 1.函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析：方法一(利用函数零点存在定理)　因为函数f(x)是增函数，且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，所以由函数零点存在定理得函数f(x)的零点位于区间(2，3)上． 方法二(数形结合)　函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在区间转化为g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋3的图象的交点横坐标所在范围．如图所示，可知f(x)的零点在(2，3)内． 2．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(　　) A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0 解析：在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和函数 y＝的图象，如图所示． 由图象可知函数y＝2x和函数y＝的图象只有一个交点，即函数f(x)＝2x＋只有一个零点x0，且x0>1.因为x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则由函数图象可知，f(x1)<0，f(x2)>0. 3．已知f(x－2)＝ln x－，且f(x0)＝0，则x0所在的区间为(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(4，5) 解析：f(x－2)＝ln x－，则f(x)＝ln (x＋2)－，根据单调性的性质可知f(x)＝ln (x＋2)－是定义域上的增函数，故f(x)在定义域内最多有一个零点．又f(0)＝ln 2－1<0，f(1)＝ln 3－>0，所以存在x0∈(0，1)，使得f(x0)＝0. 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点的存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 考点 函数零点个数的判定问题(精研通) 【例1】已知f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论： ①若k＝0，则f(x)有两个零点； ②∃k＜0，使得f(x)有一个零点； ③∃k＜0，使得f(x)有三个零点； ④∃k＞0，使得f(x)有三个零点． 以上正确结论的序号是____________． 答案：①②④　 解析：f(x)＝|lg x|－kx－2，可转化成两个函数y1＝|lg x|，y2＝kx＋2的图象交点问题．对于①，当k＝0时，|lg x|＝2，有两个交点，如图①所示，①正确；对于②，存在k＜0，使y1＝|lg x|与y2＝kx＋2相切，如图②所示，②正确； 对于③，若k＜0，y1＝|lg x|与y2＝kx＋2最多有两个交点，如图③所示，③错误；对于④，当k＞0时，过点(0，2)存在函数g(x)＝lg x(x＞1)图象的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有三个交点，如图④所示，故④正确． 函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点； (2)应用零点存在定理，要求函数f(x)的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数； (3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数． 已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x>0时，f(x)＝则函数g(x)＝4f(x)－1的零点个数为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：由f(x)为偶函数，只需作出x∈(0，＋∞)上的图象， 再利用对称性作另一半图象即可得f(x)的图象．当x∈(0，2]时， 可以通过对y＝2x的图象变换作出f(x)的图象，当x>2时，f(x) ＝f(x－2)，进而可作出f(x)在(2，4]，(4，6]，…的图象，如图所示，g(x)的零点个数即f(x)＝的根的个数，也即f(x)与y＝的图象的交点个 数，观察图象知，当x>0时，有5个交点，根据图象的对称性可得当x<0时，也有5个交点，共10个交点． 考点 函数零点的应用(精研通) 命题点1　由函数零点个数求参数问题 【例2】已知f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，则实数k的取值范围是________． 答案：(－2，0)∪{2}　 解析：g(x)＝f(x)－k有两个零点，即f(x)＝k有两个实数根，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个交点．如图所示，显然，当k＝2或－2<k<0时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个交点，符合题意． 利用函数零点个数求参数的方法 由函数零点个数求参数问题，先对解析式变形为关于两个初等函数的方程，再在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图象，然后利用数形结合求解． 设函数f(x)＝ (1)若a＝1，则f(x)的最小值为________； (2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________． 答案：(1)－1　(2)[，1)∪[2，＋∞) 解析：(1)若a＝1，则f(x)＝作出函数f(x)的图象，如图所示，由图可得f(x)的最小值为－1. (2)当a≥1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21－a≤0，即a≥2；当a<1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足解得≤a<1.综上，实数a的取值范围为[，1)∪[2，＋∞). 命题点2　由函数零点所在区间求参数问题 【例3】(1)已知函数f(x)满足f(x)＝f(3x)，当x∈[1，3)时，f(x)＝ln x，若在区间[1，9)内，函数g(x)＝f(x)－ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(，) B．(，) C．(，) D．(，) (2)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，3) B．(1，2) C．(0，3) D．(0，2) 解析：(1)函数f(x)满足f(x)＝f(3x)，当x∈[1，3)时，f(x)＝ln x，故f(x)＝ 令g(x)＝f(x)－ax＝0，∴f(x)＝ax，画出函数图象，如图所示． 当直线y＝ax与f(x)＝ln (3≤x＜9)相切时，f′(x)＝，设切点为(x0，y0)，则＝，∴y0＝1，∴ln ＝1，∴x0＝3e，此时a＝k＝，当直线经过点(9，ln 3)时，a＝k＝.综上所述，a∈(，). (2)根据指数函数和反比例函数的性质可知函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)内单调递增．因为函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，所以f(1)<0且f(2)>0，解得0<a<3，故实数a的取值范围是(0，3). 根据零点所在区间求参数问题的解题步骤 若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是________． 答案：(，)　 解析：依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足解得<m<. $$