第2章 第2节 第❶课时 函数的单调性与最值（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

高考总复习 数学 第二章　函　数 第二节　函数的性质 课标解读 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 2．了解函数奇偶性的概念和几何意义． 3．了解函数周期性的概念和几何意义． 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 单调递增 单调递减 必备知识 基础落实 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ∀x∈D，都有________；∃x0∈D，使得__________ ∀x∈D，都有_________；∃x0∈D，使得_________ 结论 M为最大值 M为最小值 f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M f(x0)＝M 必备知识 基础落实   偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D 都有－x∈D，且____________，那么函数f(x)就叫做偶函数 都有－x∈D，且____________，那么函数f(x)就叫做奇函数 图象 特征 关于y轴对称 关于坐标原点对称 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 f(x＋T)＝f(x) 必备知识 基础落实 最小 最小正数 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 一、辨析正误(在括号内画“√”或“×”) × (2)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，那么这个函数在定义域上是增函数．(　　 　　) (3)所有的单调函数都有最值．(　　 　　) × × 必备知识 基础落实 (4)若函数f(x)是奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　 　　) (5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　 　　) (6)若函数y＝f(x＋2)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)中心对称．(　　 　　) × √ √ 必备知识 基础落实 A 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 AC 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 定义法 一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论 图象法 若f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性 导数法 先求导数，再利用导数值的正负确定函数的单调性 关键能力 精准突破 性质法 利用已知函数的单调性 复合法 函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 单调性法 先确定函数的单调性，再由单调性求最值 图象法 先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值 基本不等式法 先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值 换元法 对于比较复杂的函数，可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 A 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 谢谢观看！ 知识点一　函数的单调性 1．增函数与减函数 2．单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上________或________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 知识点二　函数的最值 知识点三　函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 2.奇偶函数的等价形式 若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： (1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1⇔f(x)为偶函数； (2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)为奇函数． 知识点四　函数的周期性 1．周期函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且____________，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____的正数，那么这个________就叫做f(x)的最小正周期． (1)在区间I上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (2)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． (3)函数最值的结论 ①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得． ②开区间上的“单峰”函数一定存在最小值或最大值． (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 对称性的3个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称． 周期函数定义的实质 存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次． 函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量x， (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)； (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)； (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). (1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　 　　) 二、版本互鉴 1．(人教A版必修第一册P79 T3改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．y＝－x B．y＝x2－x C．y＝x＋ D．y＝ex 2．(苏教版必修第一册P111例1改编)函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是________． 答案：[1，＋∞) 3．(北师大版必修第一册P62 T3改编)已知函数f(x)＝x2－2kx＋4在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围是________． 答案：(－∞，5]∪[20，＋∞)　 解析：易知f(x)＝x2－2kx＋4的图象的对称轴为x＝k，由题意可得k≤5或k≥20. 4．(人教A版必修第一册P81例5改编)函数y＝在区间[2，3]上的最大值是________． 答案：2 5．(苏教版必修第一册P126 T7改编)如果函数f(x)＝x2＋2x－3，x∈[0，2]，那么函数f(x)的值域为________． 答案：[－3，5] 6．(苏教版必修第一册P126 T5改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是________． 答案： 7．(人教A版必修第一册P86 T11改编)已知函数f(x)为奇函数，当x＜0时，f(x)＝2x＋2，则f(1)＝________． 答案：－ 8．(北师大版必修第二册P4 T3改编)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2 024)＝________． 答案：1　 解析：由题意知f(2 024)＝f(3×675－1)＝f(－1)，而f(－1)＝2f(10)＋3＝2f(3×3＋1)＋3＝2f(1)＋3＝－2f(－1)＋3，即3f(－1)＝3，解得f(－1)＝1，故f(2 024)＝1. 第❶课时　函数的单调性与最值 考点 求函数的单调区间(自悟通) 1.(多选)下列是函数f(x)＝|x2－6x＋8|的单调递减区间的是(　　) A．(－∞，2) B．(－∞，3) C．[3，4] D．(2，3) 解析：因为f(x)＝|x2－6x＋8|＝ 函数图象如图所示．由图可知函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和[3，4]. 2．函数y＝的单调递增区间为________，单调递减区间为________． 答案：[2，＋∞)　(－∞，－3]　 解析：令u＝x2＋x－6，则y＝可以看作是由y＝与u＝x2＋x－6复合而成的函数．令u＝x2＋x－6≥0，解得x≤－3或x≥2.易知u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝在[0，＋∞)上是增函数，所以y＝的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞). 考点 判断函数的单调性(自悟通) 1.(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　　) A．f(x)＝－x B．f(x)＝()x C．f(x)＝x2 D．f(x)＝ 解析：函数f(x)＝－x是一次函数，在R上是减函数；函数f(x)＝()x是指数函数，0<底数<1，所以函数f(x)在R上是减函数；函数f(x)＝x2是二次函数，在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数；函数f(x)＝＝x是幂函数，指数>0，所以函数f(x)在R上是增函数． 2．讨论函数f(x)＝(a>0)在(－1，1)上的单调性． 解：设－1<x1<x2<1，则f(x1)－f(x2)＝－＝ ＝. ∵－1<x1<x2<1， ∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x－1)(x－1)>0. 又a>0，∴f(x1)－f(x2)>0， 故函数f(x)在(－1，1)上为减函数． 又a>0，∴f(x1)－f(x2)>0， 故函数f(x)在(－1，1)上为减函数． 判断函数的单调性的方法 考点 求函数的最值(精研通) 【例1】(1)函数f(x)＝()x－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________． (2)已知函数f(x)＝则f(x)的最小值是________． 答案：(1)3　(2)2－6　 解析：(1)由于y＝()x在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3. (2)因为y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以当x≤1时，f(x)min＝f(0)＝0；当x>1时，y＝x＋≥2，当且仅当x ＝时，等号成立，此时f(x)min＝2－6.又2－6<0，所以f(x)min＝2－6. 求函数最值的4种常用方法 1．函数y＝x＋的最大值为________． 答案：　 解析：由1－x2≥0，可得－1≤x≤1.可令x＝cos θ，θ∈[0，π]，则y＝cos θ＋sin θ＝sin (θ＋)，θ∈[0，π]，所以－1≤y≤，故原函数的最大值为. 2．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________． 答案：1　 解析：在同一坐标系中，作出函数f(x)，g(x)的图象， 依题意，h(x)的图象如图中实线所示．易知点A(2，1)为图 象的最高点，因此h(x)的最大值是h(2)＝1. 3．当－3≤x≤－1时，函数y＝的最小值为________. 答案：　 解析：由y＝，可得y＝－.因为－3≤x≤－1，所以≤－≤，所以≤y≤3.所以所求函数的最小值为. 考点 函数单调性的应用(精研通) 命题点1　比较大小 【例2】已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f(－1)，b＝f(2)，c＝f(e)(其中e＝2.718 28…)，则a，b，c的大小关系为(　　) A. a＞c＞b B．b＞c＞a C. b＞a＞c D．c＞b＞a 解析：由题意可知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．因为函数图象关于直线x＝1对称，所以f(－1)＝f(3).又3＞e＞2＞1，所以f(3)＜f(e)＜f(2)，所以a＜c＜b. 利用函数的单调性比较大小的方法 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解． 设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　) A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3) C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3) 解析：因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).因为当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)，所以f(π)>f(－3)>f(－2). 命题点2　解不等式 【例3】定义在[－2，2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为(　　) A．[－1，2) B．[0，2) C．[0，1) D．[－1，1) 解析：因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，所以函数f(x)在[－2，2]上单调递增，所以解得0≤a<1. 求解与抽象函数有关的不等式时应注意的点 在解决此类问题时，往往是利用函数的单调性将符号“f”脱掉，使其转化为具体的不等式求解． 提醒：此时应特别注意函数的定义域． 1．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝f(3－x)，且∀x1，x2∈[1，＋∞)，x1≠x2，都有>0，f(3)＝3.若∀x∈(1，3)，f(2x－a)－3>0恒成立，则a的取值范围是(　　) A．(－1，9) B．(－∞，－1)∪(9，＋∞) C．[－1，7] D．(－∞，－1]∪[7，＋∞) 解析：由题意可知f(x)在[1，＋∞)上单调递增． ∵f(x－1)＝f(3－x)，∴f(x)图象关于x＝1对称， ∴f(x)在(－∞，1]上单调递减． ∵f(3)＝3，∴f(－1)＝f(3)＝3.由f(2x－a)－3>0知f(2x－a)>f(3)或f(2x－a)>f(－1)，∴2x－a>3或2x－a<－1，∴a<2x－3或a>2x＋1. ∵x∈(1，3)，∴a≤－1或a≥7. 2．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减．若f(5)＝－f(－5)，则满足≥0的x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1]∪(8，＋∞) B．(－∞，8] C．(－∞，－2]∪(－1，＋∞) D．(－∞，－2]∪(－1，8] 解析：因为偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(5)＝f(－5)．又f(5)＝－f(－5)，所以f(5)＝f(－5)＝0. 由≥0，得或解得－1<x≤8或x≤－2. 命题点3　求参数的值或范围 【例4】(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[－1，0] C．[－1，1] D．[0，＋∞) (2)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为(　　) A.－2 B．2 C．－6 D．6 解析：(1)因为函数f(x)在R上单调递增，且当x<0时，f(x)＝－x2－2ax－a，所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f(x)＝ex＋ln (x＋1)，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增．若函数f(x)在R上单调递增，则－a≤f(0)＝1，即a≥－1.综上可得，实数a的取值范围是[－1，0].故选B. (2)由图象易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[－，＋∞).所以－＝3，解得a＝－6. 利用单调性求参数的范围(或值)的方法 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； (2)需注意，若分段函数在R上是单调的，则该函数在每一段上具有相同的单调性，还要注意分界点处的函数值大小． 　已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(0，) C．[，) D．[，1) 解析：由f(x)是减函数，得 解得≤a＜， ∴a的取值范围是[，). $$