第1章 第5节 一元二次方程和一元二次不等式（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

高考总复习 数学 第一章　集合与常用 逻辑用语、不等式 第五节　一元二次方程和一元二次不等式 课标解读 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义． 2．结合二次函数的图象，会判断一元二次方程根的个数，以及二次函数的零点与方程根的关系． 3．掌握利用二次函数的图象解一元二次不等式． 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 {x|x＞x2或x＜x1} R {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 必备知识 基础落实 f(x)·g(x)＞0(＜0) f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 一、辨析正误(在括号内画“√”或“×”) (1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　 　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　 　　) (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　 　　) √ × √ 必备知识 基础落实 × √ (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　 　　) (5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　 　　) 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 ABC 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 请完成：分级练（5） 温馨提示 谢谢观看！ 知识点一　一元二次不等式 1．一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝ b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2 (x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ______________ ____________ __ ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 ____________ __ __ {x|x≠－} 知识点二　分式不等式与整式不等式 1.＞0(＜0)⇔ ________________． 2.≥0(≤0)⇔ ___________________________． 不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定． (1)不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔或 二、版本互鉴 1．(苏教版必修第一册P62 T5改编)已知集合A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A∪B＝________． 答案：R 2．(湘教版必修第一册P54例6改编)已知不等式x2＋ax＋b＜0的解集为(－3，－1)，则实数a＝________，b＝________． 答案：4　3 3．(人教A版必修第一册P58 T6改编)若关于x的不等式x2－2ax＋18>0恒成立，则实数a的取值范围为________． 答案：(－3，3)　 解析：由题意得Δ＝4a2－4×18<0，可得－3<a<3. 考点 不含参数的一元二次不等式的解法(自悟通) 1．已知集合M＝{x|x2＋5x－6≤0，x∈Z}，N＝{y|y2＋5y＋4≤0}，则M∩N＝(　　) A．[－6，1] B．{－4，－3，－2，－1} C．[－4，－1] D．{－6，－4，－3，－2，－1，0，1} 解析：由x2＋5x－6≤0得(x－1)(x＋6)≤0，所以－6≤x≤1.又x∈Z，所以M＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1，0，1}．由y2＋5y＋4≤0得(y＋4)(y＋1)≤0，所以－4≤y≤－1，所以N＝[－4，－1]，所以M∩N＝{－4，－3，－2，－1}． 2．若集合M＝{x|x(3－x)>0}，N＝，则M∩N＝(　　) A．[－3，2] B．(0，3] C．[－3，2) D．(0，2] 解析：由x(3－x)>0，可得x(x－3)<0，解得0<x<3，所以M＝{x|0<x<3}． 由≤0，可得 解得－3<x≤2， 所以N＝{x|－3<x≤2}，所以M∩N＝(0，2]. 3．(2024·上海卷)不等式x2－2x－3<0的解集为________． 答案：(－1，3)　 解析：由x2－2x－3＝(x－3)·(x＋1)<0，得－1<x<3. 解一元二次不等式的四个步骤 考点 含参数的一元二次不等式的解法(自悟通) 【例1】解不等式x2－(a＋1)x＋a<0. 解：原不等式可化为(x－a)(x－1)<0. 当a>1时，原不等式的解集为{x|1<x<a}； 当a＝1时，原不等式的解集为∅； 当a<1时，原不等式的解集为{x|a<x<1}． 将本例中的不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)，求此不等式的解集． 解：不等式可化为(ax－1)(x－1)<0. 因为a>0，所以a(x－)(x－1)<0. 当a>1时，解得<x<1；当a＝1时，解集为∅； 当0<a<1时，解得1<x<. 综上，当0<a<1时，此不等式的解集为；当a＝1时，此不等式的解集为∅；当a>1时，此不等式的解集为. 解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； (2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； (3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集． 设m∈R，解关于x的不等式m2x2＋2mx－3<0. 解：①当m＝0时，－3<0恒成立； ②当m>0时，不等式可化为(mx＋3)(mx－1)<0， 即(x＋)(x－)<0，而－<， 此时不等式的解集为； ③当m<0时，不等式可化为(mx＋3)(mx－1)<0， 即(x＋)(x－)<0，而－>， 此时不等式的解集为. 综上，当m<0时，不等式的解集为；当m＝0时，不等式的解集为R；当m>0时，不等式的解集为. 等式的解集为R；当m>0时，不等式的解集为. 考点 三个“二次”间的关系(精研通) 【例2】(多选)已知不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－1或x>3}，则下列结论正确的是(　　) A．a<0 B．a＋b＋c>0 C．c>0 D．cx2－bx＋a<0的解集为{x|x<－或x>1} 解析：根据二次函数开口与二次不等式之间的关系可知a<0，故A正确；ax2＋bx＋c＝0的根为－1，3，则即 ∴a＋b＋c＝－4a>0，故B正确；c＝－3a>0，故C正确；cx2－bx＋a<0，即－3ax2＋2ax＋a<0，则3x2－2x－1<0，解得－<x<1，∴cx2－bx＋a<0的解集为，故D错误． (1)一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值． (2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数． 1．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是[－，－]，则不等式x2－bx－a＜0的解集为________. 答案：(2，3)　 解析：由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两根，所以由根与系数的关系得 解得不等式x2－bx－a＜0即为x2－5x＋6＜0，其解集为 (2，3). 2．已知函数f(x)＝，若f(x)>m的解集为(，6)，则m的值为________． 答案：2　 解析：因为f(x)>m，所以>m，所以mx2－15x＋9m<0.因为该不等式的解集为(，6)，所以mx2－15x＋9m＝0的两个根为和6，所以＋6＝，解得m＝2. $$