湖南省天壹名校联盟2025-2026学年高二上学期期末大联考数学试题

2025年上学期高二期末质量检测·数学 参考答案、提示及评分细则 1.【答案】A 【解析】因为集合A={x一1<x<2},B={0,1,2},所以A∩B={0,1}.故选A. 2.【答案】A 【解析】复数z=3十i在复平面上对应的点为(3,1)，在第一象限.故选A. 3.【答案】C 【解析】设向量a与b的夹角为0，，(a一b)⊥a, (a-b)·a=0a-a·b=0,即1-2cos0=0,co0= 2 :0∈[0，∴0=受散选C 4.【答案】D 【解析】因为sin9+co0-,可得（sin0+co)=-1十2ncog 5 41 1 所以sin20=4,故选D. 5.【答案】B 【解析】根据题意，圆锥的底面半径r=2,高h=4√2， 则该圆锥的母线长1=√r2十h产=√2+(4√2)=6， 因为圆锥的侧面展开图为扇形，且扇形的弧长为圆锥底面圆周长2πr, 扇形的半径为圆锥的母线长1，则其侧面积S=号×21=12x,故选B. 6.【答案】C 【解析】因为f(x)=x5十ax3十bx一6，所以f(一x)=一x5一ax8一bx一6， 所以f(x)+f(-x)=-12,所以f(一2)+f(2)=-12,因为f(-2)=10, 所以f(2)=-12-f(-2)=-12-10=-22.故选C. 7.【答案】B 【解析】设t=x一1，则x=1十1，所以(.x十1)i=(t十2)5=a。十a1t十a212+…+ast5. (t+2)5的展开式的通项T,+1=Cs(1)5-r×2=C52t5-',取r=3,得a2=Cg×2=80.故选B. 【高二数学试题参考答案第1页（共7页）】 8【答案】D 【解析】设P为第一象限的交点，|PF,|=m,PF,|=n, 则m十n=2a1,m一n=2a2,解得m=a1十a2,n=a1一a2, 在△PF,F,中，由余弦定理得cos∠F,PF,=m+n2-4C= 2mn 2, m2+n2-mn=4c2,∴.(a1+a2)2+(a1-a2)2-(a1+a2)(a1-a2)=4c2, ai+=4g+=4+=4 (+)≤(+》=8+≤2.当且仅当-要 2时等号成立，此时e,十 2+6 e= 故选D. 9.【答案】ACD 【解析】对于A,4=a+b≥2√ab,得ab≤4，当且a=2,b=2时取等号，故A正确： 对于B,a2十b2=(a十b)”-2ab=16-2ab≥8，当且仅当a=2,b=2时取等号，故B错误； 对于C+言（日+a+6)5+台+0）≥5+2，·)-是 4 8 当且仅当a=3b=兮时取等号，故C正确： 对于D,2+2≥2√2+=8，当且仅当a=2,b=2时取等号，故D正确. 故选ACD. 10.【答案】AC 【解析】对于A,连接B1D1,D1N,因为∠D1A,B,=60°，AA1=A,B1=A1D1=2, 所以△B1C,D1为等边三角形，则D,N⊥B,C1,所以DN⊥BC,故A正确： 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A15.-1.2.C02.0A5,-1.0M51.D.N停22 对于B,平面AA:B,B的一个法向量为m=(1,0,0), A1C=(一√5,3，-2)，设A,C与平面AA1B,B所成角为0， 9 则sind=|cos<m,A,C>| m·A,C ,所以A,C与平面A BL AA,B,B所成角的余弦值为 W13 ,故B错误 【高二数学试题参考答案第2页（共7页）】 对于C△ABD的外接圆半径r=2-2,三棱柱ABD-A,BD,的外接球半径R=F+( 2 25 23 3 写，所以三棱柱ABD-AB,D,的外接球的表面积为：（受）- g放C正确： 对于DAi=02-(-夏号2A-00.2. 设平面AMN的法向量为n=(x,y,x), AM.n=0 2y+z=0 则 ,即 A.n=0 5,5 ,令y=1,则x=-2,x=一3，则n=(一5.1，-2)， 2x+2y+2x=0 点A,到平面AMN的距离d=AA·n三4 n3+1+4 =√2， 故D错误. 故选AC. 11.【答案】BCD 【解析1对于AB.:S.=(0,+）所以当n≥2时，25，=S,-5十s。3.→S-S=1 1 又S=(a,+)-aa,>0.则a=1,所以S=n>S.=万，a,=万-n可，故A错误.B正确： 对于C,b 1 1 S.+S.4:n+n+22(m+2-n). 6,+b:++ba=2丽+厨-E-1D=2丽+7-2e(6,7 ∴.[b1十b2+…+b]=6,故C正确： 2 对于Ds.2元>+G ==2(Wn+1-n), ÷写+++6>E-+-E)++-]=2o-1>18. 122 :当n≥2时·52n+n可 =2(Vn-n-1), ++51+2[2-)+(3-2)+…+(w100-√9门 =1+2(W100-1)=19, =18,故D正确： 故选BCD. 【高二数学试题参考答案第3页（共7页）】 12.【答案】83 【解析】将该组数据从小到大排列为：75,77,79,80,82,82,84,86， 因为8×75%=6，所以这组数据的75%分位数为82十84=83，故答案为83， 2 13.【答案】[2√5,213] 【解析】依题意，圆C:(x一2)+(y十3)2=13，圆心C(2,-3),半径为√13， 直线1过定点A(1,0),AC1=√10<√13，故A点在圆C内， 当直线1过圆心时，弦长最大，为直径2I3,当直线I与CA垂直时，弦长最小， |MN|的最小值为2×√13-10=2W3,故MN引的取值范围为[2√3,2/13]. 故答案为[23,2√13]. 14,【答案1名+∞) 【解析】由题知f(x)的定义域为(0，十o). 由f(x)≤e,可得x十2lnx≤er+a.x,即er十lnx2≤er十ax 令g(x)=e十x,易知g(x)为增函数. 由e+lr<c+a,可得gr)≤gax).则lx长a,即≤受 =则'()当r>e时，(x)单调递减，当0<x<e时，(x)单西 所以h(r)=A(e)=。所以号>。，则a的取值范周为[总十∞). 2 15【解折1因为A-经B=C.所以B=C-合 里sinA sinc,可得c=2. 由正弦定理a 6分 (2)因为△ABC的面积为25，所以2 be sinA=25, c=2,所以受6=25，解得6=4 因为A=2, 由余弦定理可得a2=16十4一2X4×2c0s行=28，即1=2万。…13分 16【解析】(1)证明：，四边形AEFB为矩形，∴.BF∥AE. 又BF中平面ADE,AEC平面ADE,.BF∥平面ADE. 又BC∥AD,BC￠平面ADE,ADC平面ADE,.BC∥平面ADE. 【高二数学试题参考答案第4页（共7页）】 又BF∩BC=B,BF,BCC平面BCF,∴.平面BCF∥平面ADE. 又CFC平面BCF,.CF∥平面ADE.… ……6分 (2)如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A一xyx, 则A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),F(2,0,4), AD=(04,0).CD=(-2,2,0).CF=(0,-2,4)…8分 A 设n=(x,y,z)是平面CDF的一个法向量，则 n·CD=0,x-y=0 1x=2 即 令y=2,解得 n.C示=0，y-2x=0 2=1 所以平面CDF的一个法向量n=(2,2,1) 又AD是平面AEFB的一个法向量， 12分 cos<n,Ai>=n·Ai 1(2,2,1)·(0,4,0) 2 3 14分 n·lAD 4×√4+4+1 ∴平面CDF与平面AEFB所成角的正弦值为，-() /5 15分 17.【解析11)y2=2px的焦点在x轴上，为(？0： 直线2.x十3y一2=0与x轴的交点坐标为(1,0)，………2分 则号-1，即力=2. 所以抛物线C的方程为y之=4x,………5分 (2)由题意可知AB所在直线斜率不为0， 设A(x1,y1),B(xgy2),AB所在直线方程为x=my十n,联立y2=4x,化简可得： y2-4my-4n=0, 则y1y2=一4n,… …9分 △=16m+16n>0, 义k·ke=兰.兰=y·y。16 16 13分 x1xgy·y2y:·y2一4n 16 则n=2,即直线AB恒过点(2,0). 15分 18.【解析】1)因为f(x)在(0，）上单调递增，所以f'(x)=ae+sinx≥0在(0，牙)恒成立， 即a≥(- ,设g(x)= sin.r e ……2分 【高二数学试题参考答案第5页（共7页）】 则g'(.x)=in.x-cosx ……3分 e 在(0，）上，sinr<cosx,所以g'(x)<0,g(x)单调递减. 则g(x）<g(0)=0,所以a≥0.…6分 (2)由f(0)=0得a十b=1,由f'(0)=1得a=1,则b=0.…9分 要证x>0时，e-cosx>lnx十1. 先证e'-cosx>x.设h(x)=e-cosx-x,则h'(x)=e'+sin.x-l, 令m(x)=h'(x),则m'(x)=e十cosx. 当x>0时，e>1,-1≤cosx≤1，m'(x)>0,h'(x)递增，h'(x)>h'(0)=0,h(x)递增，h(x)>h(0)=0,所 以e2-c0s.x>x.……………13分 再证x≥nx十1，设(x)=x-lnx-1,则'(x)=-」 x>1时，s'(x)>0:0<x<1时，s'(x)<0,x(x)在(0,1)递减，(1，十∞)递增，s(x)n=s(1)=0,所以x≥ Inx+1. 由上述两个结论可得e2一cosx>ln.x十1，原命题得证， …17分 19.【解析】(1)记第一球比赛甲运动员获胜的事件为A,第二球比赛甲运动员获胜的事件为B, 由题意知：P(B|A)=0.8,且P(A)=0.6, .P(AB)=P(A)P(B|A)=0.48. 即甲以12：10的比分赢得比赛的概率为0.48.…4分 (2)记甲运动员在第n球比赛中获胜的概率为P。,则 P+1=0.8P。十p(1-Pn）=(0.8-p)P。十p,…………6分 则Pb208-pP.b2小 可知数列P,o是首项为06- p+0.2公比为0.8-p的等比数列， 则有卫.=08-p)o.6-po2}十p2n∈N… …8分 ①当0<b<0.3时0.8-p>0,又0<0.6p十0.2<0.6，故(P,)是-个递诚数列， 当1+e时，P.b十02依题需使，2≥0.6即1>p≥0.3与条件矛盾，含去： p ②当p=0.3时，P.=0.6,不合题意； 【高二数学试题参考答案第6页（共7页）】 ③当0.3<p<0.8时，0<0.8-p<0.5,又-0.2<0.6- p十0.2<0，故(P.}是一个递增数列， p 依题意，只需P2>0.6,即P2=(0.8一p)×0.6十p>0.6,解得p>0.3,故0,3<p<0.8: ④当p=0.8时，P。=0.8,符合题意： ⑤当0.8<<1时，0.8-p<0,又0.6b十0.2<0，因此(P.是-个摆动数列， 若n为锅数则08-p(Q6-2>0,P.p2>0.6: 若n为奇数，则{P。}是一个递增数列，只需Pa>0.6,而P,=(0.8-p)P2十p, 因P2=(0.8-p)×0.6+p=0.48+0.4p,于是Px=-0.4p2+0.84p十0.384>0.6， 得p2-2.1p十0.54<0，解得0.3<p<1.8,故0.8<p<1. 综上，当0.3<p<1时，甲运动员以后每球比赛获胜的概率都大于0.6.…11分 (3)当p=0.55时，由(2)可得，P.=一 ()+品 32 5p-1一4=44，……………… 6=44-4_1.4+1-41 b4+2-4=4‘4*1-i<4 .bb:+b+…+ 4………15分 可 治会会+2片引+中动片号京 故号会会会十叶公气<…1分 【高二数学试题参考答案第7页（共7页）】机密★启用前 2025年上学期高二期末质量检测 数学 本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 1.已知集合A={x|一1<x<2},B={0,1,2},则A∩B= A.{0,1} B.{0,1,2} C.{1,2} D.{0,2 2.复数x=3十i在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D第四象限 3.若向量a,b满足a|=1,b|=2,且(a一b)⊥a,则向量a与b的夹角为 A B瞬 c π p. 4.已知sin0+cos0=5 ,则sin20= A、1 8 4 5.已知圆锥的底面半径为2，高为4√2，则该圆锥的侧面积为 2 A.4π B.12元 C.16π 6.已知函数f(x)=x5十ax3+bx-6,且f(-2)=10,那么f(2)= A.10 B.-10 C.-22 D.-16 7.已知(x十1)5=a0十a1(x-1)十a2(x-1)2十…十a5(x-1)5,则a2= A.1080 B.80 C.-10 D.-80 【高二数学试题第1页（共4页）】 x2 y2 x2 y2 8.已知椭圆C:+=1a:>b:>0)与双曲线C:看 b号 1(a2>0,b2>0)有相同的焦点F1,F2,椭圆C1的离心率为e1,双曲线 C2的离心率为e2,点P为椭圆C1与双曲线C2的交点，且 ∠F,PF:=子则当+取最大值时，6十e:的值为 el e2 A.3 B4+3 C.22 D.②+6 3 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9.已知正实数a,b满足a十b=4,则 A.ab的最大值为4 B.a2+b2的最大值为8 +的最小值为号 D.2十2的最小值为8 a b 10.如图，在底面为平行四边形的直四棱柱ABCD一A1B1C1D1中，∠D1A1B1=60°，AA:=A1B: =A1D1=2,M,N分别为棱BB1,B1C1的中点，则 A.D1N⊥BC D B.AC与平面AA,BB所成角的余弦值为 B C.三棱柱ABD一A,B,D1的外接球的表面积为28m M 3 D D.点A,到平面AMN的距离为号 11.高斯被誉为“数学王子”，是伟大的数学家.用他名字定义的函数f(x)=[x]([x]表示不超过x 的最大整数)称为高斯函数已知正项数列口，的前m项和为S.,且S,(0,十)，令6， 1 S.十S。则下列结论正确的有 A.am=n(n∈N') B.Sn=√n(n∈N) C.[b1+b2+…+b63]=6 D+++}8 【高二数学试题第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.一组统计数据为84,79,80,82,77,82,86,75，则这组数据的75%分位数为 13.已知直线l:x-my-1=0,圆C:x2+y2-4x十6y=0,若直线1与圆C交于M,N两点，则 |MN|的取值范围为 14.已知函数f(x)=x2-ax+2lnx,若a>0,f(x)≤cr恒成立，则a的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边，A=2 3 (1)若B=C,a=23,求c; (2)若△ABC的面积为2√3，c=2,求a. 16.(15分)如图，几何体ABCDEF中，AE⊥平面ABCD,四边形AEFB为矩形，BC∥AD,BA⊥ AD,AE=AD=2AB=2BC=4. (1)求证：CF∥平面ADE: (2)求平面CDF与平面AEFB夹角的正弦值. 17.(15分)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F,点F在直线2x十3y一2=0上，A,B是抛物线C 上两个不同的点， (1)求抛物线C的方程； (2)设直线OA,OB的斜率分别为koA,koB,若koA·kos=一2，证明：直线AB过定点，并求出 定点坐标 【高二数学试题第3页（共4页）】 18.(17分)已知函数f(x)=ae一cosx十b. (1)若f(x)在(0，)上单调递增，求a的取值范围； (2)若曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=x,求a,b的值，并证明x>0 时，f(x)>lnx+l. 19.(17分)在某场乒乓球比赛中，甲、乙两运动员进入到了比赛决胜局，且在该局中的比分为 10：10,接下来比赛规则如下：两人轮流各发一个球，谁赢此球谁就获得1分，直到有一方得分 超过对方2分时即可获得该局的胜利.已知甲先发球，且甲此球获胜的概率为06.比赛既是实 力的较量，也是心态的比拼，以后每球比赛，若上一球甲获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率 为0.8；若上一球乙获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为p(0<p<1). (1)求甲以12：10的比分赢得比赛的概率； (2)若要使甲运动员以后每球比赛获胜的概率都大于0,6，求p的取值范围； 32 (3)若p=0.55,设甲运动员在第n球比赛中获胜的概率为P,数列6.}满足6.=15P,.-1I一4， 求证片-会+会+会+…叶品<号 b+14 【高二数学试题第4页（共4页）】2025年上学期高二期末质量检测 数学答题卡 名 贴条形码区 号 考生转新暖考老生有面老域局多和民清传出想笔维修有的触天每足 1青世编，香生然g诗是量韩已纳时名，准军证可销同在能消营，传准方 注 西格鞋在线的位道 等 事 选择题（请用2汩如笔演涂】 1[A】.LsJG1L0] 5[AJt】IG][O 4[A】N】LG,LD1 2[A】s1《a101 nIAI [B][CI [D) 10A][B1 [C][D] 3[A)[e](cl [D] 7[A][a1G1p iI【A1tn]【e)[D] 4[A】I8]IG1ID 8a」[B时ICID 非道保题（清使用0.5毫米的黑色字凌苔字笔书写1 25分1 民(3分) 45分) 离在香国的溶面夏碱内作香，指正规制也想带定区城的所南无数 15(本小题分1违分 高二数学第1面（共2面1 速在有程目香国调内清活，用国辆达座■夏域的答南克烟 6本小避清分5分1 17.(本小题确分15分1 店车森得销满越国健内作青，燃出银料的口能面据速的满室光站 1风.（本园满分7分 结存务箱目的等粗道道内作高，植出量制味想健定道域的需率光置 二数单第2面（共2面1 收（木小题清分7分） 地存务端目的常组组域内作活，维出架触山健量市或国的苦率光量