21.3 实际问题与一元二次方程 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.3 实际问题与一元二次方程 暑期预习讲义 思维导图 知识梳理 一、列一元二次方程解应用题的一般步骤 知识点： 1.审题：认真阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题，找出题目中的关键信息和等量关系。 2.设未知数：根据题目要求，合理设出未知数。一般可直接设所求的量为未知数，也可间接设与所求量相关的其他量为未知数。 3.列方程：根据找出的等量关系，将已知数和未知数代入，列出一元二次方程。 4.解方程：运用所学的一元二次方程的解法（如因式分解法、配方法、公式法等）求出方程的解。 5.检验： （1）检验所求得的解是否是原方程的解，将解代入原方程看等式是否成立。 （2）检验解是否符合实际问题的题意，例如在涉及人数、物品个数等实际情况时，解必须是正整数，若得到负数或小数解，可能就不符合实际情况，需要舍去。 6.答：写出答案，回答题目所问的问题，答案要完整、准确且符合实际情况。 易错点提示： 1.审题不清：没有仔细理解题目中的条件和关系，导致错误地找出等量关系或遗漏重要信息。例如在关于面积问题的题目中，没看清是长方形还是正方形，或者没注意到边长的限制条件等。 2.设未知数不合理：设未知数时没有考虑后续列方程和解方程的便利性，使得方程过于复杂难以求解。比如在一些有多个相关量的问题中，没有选择最合适的量设为未知数，导致后续计算繁琐。 3.忘记检验：只求出方程的解就直接作答，没有进行检验步骤，可能会出现所得解不符合原方程或者不符合实际情况的错误，导致答案错误。 二、常见的实际问题类型及解法 1.面积问题 知识点： （1）常见的有长方形、正方形、三角形、圆形等图形的面积相关问题。例如，已知长方形的长比宽多若干，且面积为一定值，求长和宽。一般设其中一个边长为未知数（如设宽为），根据长与宽的关系表示出另一个边长（如长为，为长比宽多的值），再根据面积公式（长方形面积 = 长×宽）列出一元二次方程求解。 （2）对于不规则图形的面积问题，通常需要通过割补法等将其转化为规则图形的组合，然后根据相应规则图形的面积公式来列方程。 易错点提示： 1.面积公式记错：在列方程时，错误地使用了图形的面积公式，导致方程错误。比如把三角形面积公式记错成（正确的应该是）。 2.单位换算问题：如果题目中给出的长度单位不一致，在计算面积前没有进行正确的单位换算，会使计算结果错误。例如，长的单位是米，宽的单位是厘米，计算面积时需先将单位统一。 2.增长率问题 知识点：若设原来的量为，平均增长率为，增长后的量为，经过次增长，则有公式。例如，某工厂去年的产量为件，预计今年和明年的产量平均每年比上一年增长，那么明年的产量就可以表示为，若已知明年的产量为件，就可据此列出一元二次方程求解增长率。 易错点提示： 1.公式应用错误：没有正确理解增长率公式的含义，在列方程时可能会错误地写成等错误形式，导致方程错误，无法正确求出增长率。 2.对增长次数判断错误：在实际问题中，没有准确判断出增长的次数，比如在涉及两年增长的问题中，应该用，但误写成，使得方程不符合实际情况。 3.利润问题 知识点：利润 = 售价 - 成本。通常会涉及到售价的调整对利润的影响等情况。例如，某商品的成本为元，原售价为元，销售量为件，现在售价降低了元，销售量随之增加了件，那么此时的利润可以表示为：。若已知利润的目标值，就可列出一元二次方程求解相关的变量（如售价降低的金额等）。 易错点提示： 1.利润公式理解错误：把利润公式记错，比如认为利润 = 售价 + 成本，这会导致在列方程时出现严重错误。 2.销售量与售价调整关系处理不当：在一些问题中，销售量会随着售价的调整而变化，没有正确处理好这种关系，使得列出的方程不能准确反映实际情况。例如，没有根据题目给定的销售量随售价变化的规律来准确表示出调整售价后的销售量。 4.传播问题 知识点：类似于传染病的传播模型等。假设一种传染病最初有个人患病，每轮传染中平均一个病人能传染给个人，经过轮传染后，患病总人数可以用公式来表示。比如最初有个人患流感，每轮平均一个病人能传染给个人，经过轮传染后，患病总人数为人。若已知经过一定轮数后的患病总人数，就可列出一元二次方程求解每轮的传染人数。 易错点提示： 1.传染模型理解错误：没有正确理解传播问题的模型，在列方程时可能会错误地认为每轮传染人数是固定不变的，而忽略了是由患病总人数不断增加而导致每轮传染人数实际上是动态变化的，从而列出错误的方程。 2.对轮数的界定模糊：在实际问题中，没有清晰界定传染的轮数，比如把第一轮传染后的情况当成第二轮传染后的情况来列方程，导致方程不符合实际情况。 巩固练习 一、选择题 1．一个学习小组有人，春节期间，每两人互送贺卡一张，若全组共送出贺卡张，则（　　） A． B． C． D． 2．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元，设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，那么x满足的方程是（　　） A． B． C． D． 4．有人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（　　） A． B． C． D． 5．“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（　　） A． B． C． D． 6．怡福中学体育组计划组织一场篮球邀请赛，参赛队伍由同学们自由组合，参赛的每两个队伍之间都要比赛两场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排10天，每天安排3场比赛，则可以邀请的队伍有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 7．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割比例．后来在设计人体雕像时，多采用黄金分割比例增加美感．即雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比．按此比例，如果雕像高，设雕像的下部高为，可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数的平方恰好等于这个两位数，这个两位数是　 　. 10．在一次聚会中，每两个参加聚会的人都互相握一次手，一共握手28次，问这次参加聚会的人数是多少？若设这次参加聚会的人数为x人，则可列出的方程是　 　． 11．某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，则　 　． 12．某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压，连续两次降价打折处理，最后价格调整为每套128元．若两次降价折扣率相同，则每次降价率为　 　． 三、解答题 13．某航空公司有若干个飞机场．每两个飞机场之间都开辟一条航线，若共有36条航线，则这个航空公司共有飞机场多少个？ 14．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 15． 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 16．某楼盘7月份的均价为10000元/m2．受新型冠状病毒肺炎疫情的影响，开发商连续两次下调房价.9月份的均价为8100元/m2． （1）求该楼盘7月到9月期间均价的月平均下降率； （2）林叔叔决定等到均价低于7000元/m2时买房子，按这样的月平均下降末，林叔叔能在10月份买房子吗？ 17．现有可建筑60m围墙的材料，准备依靠原有旧墙围成如图所示的矩形仓库，墙长为a m. （1）设AD边的长为xm，则AB边的长为　 　，矩形仓库的面积为　 　；（用含x的代数式表示） （2）若a＝50，能否围成总面积为225m的仓库？若能，求AB的长； （3）能否围成总面积为400m2的仓库？请说明理由． 18．2023年10月18日，成都嘉祥外国语学校第二十一届秋季运动会拉开帷幕，本次运动会以“青春展风采，运动向未来”为主题，作为本次运动会吉祥物“嘉乐宝”深受大家的喜爱，嘉祥文创店准备生产并售卖印有“嘉乐宝”T恤，经统计平均每天可售出30件，每件盈利50元，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，设每件商品降价x元． （1）若每件商品降价3元，平均每天的销售量为　 　件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为2100元？ （3）店主每天能获得2200元的利润吗？为什么，请说明理由． 参考答案 1．C 2．B 3．B 4．D 5．D 6．B 7．B 8．C 9．25或36 10． 11． 12．20% 13．解：设共有x个飞机场． 根据题意可得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：这个航空公司共有飞机场9个． 14．解：设这种植物每个支干长出x个小分支， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：这种植物每个支干长出5个小分支． 15．解：设每千克应涨价元，由题意得： ， 解得，， 要使顾客得到实惠，应取， 答：每千克应涨价5元． 16．（1）解：设该楼盘7月到9月期间均价的月平均下降率为x， 根据题意得：10000（1﹣x）2＝8100， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）． 答：该楼盘7月到9月期间均价的月平均下降率为10%； （2）解：8100×（1﹣10%）＝7290（元）， ∵7290＞7000， ∴按这样的月平均下降率，林叔叔不能在10月份买房子． 17．（1）（60﹣3x）m；x（60﹣3x）m2 （2）解：若a＝50，能围成总面积为225m的仓库 根据题意得：x（60﹣3x）＝225， 解得x＝5或x＝15， 当x＝5时，60﹣3x＝60﹣3×5＝45＜50， 当x＝15时，60﹣3x＝60﹣3×15＝15＜50， ∴AB的长为45m或15m； （3）解：不能围成总面积为400m2的仓库，理由如下： 根据题意得：x（60﹣3x）＝400， 整理得：3x2﹣60x+400＝0， Δ＝（﹣60）2﹣4×3×400＝﹣1200＜0， ∴方程无实数解， ∴不能围成总面积为400m2的仓库． 18．（1）36 （2）设每件商品降价元时，该商品每天的销售利润为2100元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：当每件商品降价15元或20元时，该商品每天销售利润为2100元； （3）店主不能获得每天2200元的利润．，理由如下： 设每件商品降价元时，该商品每天的销售利润为2200元， 由题意得：， 整理得：， ， 此方程无实数根， 店主不能获得每天2200元的利润． 学科网（北京）股份有限公司 $$