第十讲：三角形全等的判定（“斜边、直角边”）（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+2大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）（学生版）-2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第十讲：三角形全等的判定（“斜边、直角边”） （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：“斜边、直角边”判定方法 文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 几何语言： 在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′中 ∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). 方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 考点1：用HL证明直角三角形全等 【典型例题】 如图，在中，，，垂足分别为 E，D，且有，求证：． 【变式训练1】 如图，已知，于点，于点，．求证：． 【变式训练2】 如图，，求证：． 考点2：根据HL证明直角三角形全等解决问题 【典型例题】 如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，． 求证： (1)． (2)． 【变式训练1】 如图，于，于，若，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【变式训练2】 如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，，试证明： (1)． (2)． 一、单选题 1．如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在与中，于点E，于点D，，，则可判定的理由是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在和中，，，，则能直接判断的依据是（   ） A． B． C． D． 4．如图，能用“”判定和全等的条件是（    ） A． B． C． D． 5．如图，，，垂足分别为E、F，，且，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，，且，于点．若，则的值为（　　） A．14 B．12 C．9 D．7 7．如图，是的平分线，，，垂足分别是点，，且，，则的长度是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，一架梯子斜靠在竖直的墙体上，梯子底部到墙角的距离为．若梯子底部沿水平方向向右滑动至点，梯子顶部落在竖直墙体的处，此时梯子与水平地面的夹角为，点到墙角的距离为，则梯子滑动之前与水平地面的夹角度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件： ． 10．如图，在与中，，，，若则的度数为 ． 11．如图，在中，边上的高，点E为边上的点，且，若，则图中阴影部分面积为 ． 12．如图，在和中，，，，若，则 ． 13．如图，于点于点，且．若，则的大小为 ． 14．如图，，，点、、、分别在直线与上，点在上，，，，则 ． 15．如图，若，，，则的度数是 ． 16．如图，点D，A，E在直线l上，，于D点，于E点，且若，，则 ． 三、解答题 17．已知：如图，，求证：． 18．如图，在中，，点在上，点在的延长线上，连接，且，．求证：． 19．如图，，是上的一点，且，． (1)与全等吗？并说明理由； (2)求证：． 20．如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． (1)求证：． (2)求证：G是线段的中点． 21．如图，，相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第十讲：三角形全等的判定（“斜边、直角边”） （知识总结梳理+2大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：“斜边、直角边”判定方法 文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 几何语言： 在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′中 ∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). 方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 考点1：用HL证明直角三角形全等 【典型例题】 如图，在中，，，垂足分别为 E，D，且有，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法． 先证明，根据即可证明． 【详解】证明： ∵，， ∴ 在和中 ∵， ∴（）． 【变式训练1】 如图，已知，于点，于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键 根据题意得出，再由直角三角形全等的判定方法证明即可． 【详解】证明：∵   ∴     ∴ ∵    ∴与是直角三角形 ∵在与中， ， ∴ 【变式训练2】 如图，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，利用“”判断即可，选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件． 【详解】证明：∵ ∴和是直角三角形 ∵， ∴ 考点2：根据HL证明直角三角形全等解决问题 【典型例题】 如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，． 求证： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）根据证明直角三角形全等的“”定理，证明即可． （2）根据全等三角形的性质得，然后求出即可． 【详解】（1）解：， 和均为直角三角形． 在和中， ， ． （2）， ∴， ， ， ， ， ∴． 【变式训练1】 如图，于，于，若，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出； （2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，，， ， 在和中， ， ， ． 【变式训练2】 如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，，试证明： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明得到，再证明即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，再由线段的和差关系证明即可． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 一、单选题 1．如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线． 故选：D． 2．如图，在与中，于点E，于点D，，，则可判定的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意利用判定即可得到本题答案． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：C． 3．如图，在和中，，，，则能直接判断的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题关键是理解并掌握全等三角形的判定定理：，，，，等．根据全等三角形的判定定理，即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，即判断的依据是“”． 故选：A． 4．如图，能用“”判定和全等的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，根据三角形全等的判定方法即可直接得出答案． 【详解】解：A. ∵， ∴，故此选项符合题意； B. ，结合，能运用“”判定和，故此选项不符合题意； C. ∵，， ∴，故此选项不符合题意； D. ∵，， ∴，故此选项不符合题意； 故选：A． 5．如图，，，垂足分别为E、F，，且，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据题意得到，进行判定即可． 【详解】解：，， ， ， 在和中， ， ，故选项D正确； ， ，故选项A正确； ， ，故选项B正确； ，故选项C错误； 故选C． 6．如图，在中，，且，于点．若，则的值为（　　） A．14 B．12 C．9 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据题意证明，得到，最后利用求解，即可解题． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 7．如图，是的平分线，，，垂足分别是点，，且，，则的长度是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．利用全等三角形的判定推出，得到，，进而得到，得到，再利用即可求解． 【详解】解：，， ， 是的平分线， ， ，， ， 又， ， ，， 在和中， ， ， ， ． 故选：A． 8．如图，一架梯子斜靠在竖直的墙体上，梯子底部到墙角的距离为．若梯子底部沿水平方向向右滑动至点，梯子顶部落在竖直墙体的处，此时梯子与水平地面的夹角为，点到墙角的距离为，则梯子滑动之前与水平地面的夹角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴梯子滑动之前与水平地面的夹角度数为， 故选：A． 二、填空题 9．如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件： ． 【答案】（或） 【分析】根据题意，是公共边，只需添加或即可解答． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，是公共边，只需添加或． 故答案为：或． 10．如图，在与中，，，，若则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，先证明，则有，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，在中，边上的高，点E为边上的点，且，若，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】18 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明得到，进而得到即可求解． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：18． 12．如图，在和中，，，，若，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查直角三角形全等的判定：，还有直角三角形两锐角互余的性质．根据“”可以证明，则，根据余角的性质即可求得的度数． 【详解】解：在和中， ，，， ， ， ． 故答案为：． 13．如图，于点于点，且．若，则的大小为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：25． 14．如图，，，点、、、分别在直线与上，点在上，，，，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质．先判定，从而得出，则． 【详解】解：，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 15．如图，若，，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明得到，再利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．如图，点D，A，E在直线l上，，于D点，于E点，且若，，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．证明，得，再由，得即可． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 17．已知：如图，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，证明，得出，从而证出,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 18．如图，在中，，点在上，点在的延长线上，连接，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；求出，根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的性质得出，即可得证． 【详解】解：， ， 在和中 ， ， ． 19．如图，，是上的一点，且，． (1)与全等吗？并说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）等角对等边，得到，证明两个三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质结合等角的余角，求出即可． 【详解】（1）解：与全等，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． (1)求证：． (2)求证：G是线段的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）由得，证明，即可证明； （2）证明，得到即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， 即G是线段的中点． 21．如图，，相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出是解题关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质求出，由直角三角形的性质求出，即可得出所求． 【详解】（1）证明：． 和是直角三角形， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$