第九讲：三角形全等的判定（角边角、角角边）（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第九讲：三角形全等的判定（角边角、角角边） （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：“角边角”判定方法 文字语言：有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”） 几何语言： 在△ABC和△A′B′C′中， ∴ △ABC≌△ A′B′C′（ASA） 知识点02：“角角边”判定方法 文字语言：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（简写成“角角边”或“AAS” ） 几何语言： 在△ABC和△A′B′C′中， ∴ △ABC≌△ A′B′C′（AAS） 考点1：用AAS或ASA证明三角形全等 【典型例题】 如图，已知：，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【变式训练1】 如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．由平行线的性质得，进而证明． 【详解】证明：在四边形中，，点为对角线上一点， ， 在和中， ， ． 【变式训练2】 如图，与相交于点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用证明即可． 【详解】证明；在和中， ， ∴． 考点2：根据AAS或ASA证明三角形全等解决问题 【典型例题】 如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在直线l的异侧，且，，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质． （1）由，得，而，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得，则，根据计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中 ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式训练1】 如图， ，点E，F在线段上，且．连接，，若，请完成下列问题： (1)说明 ； (2)猜想与的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)， ，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据平行线的性质得到，进而根据证明即可； （2）由得到，，即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴，即． 在和中， ∵ ， ∴； （2）解：， ，理由如下： ∵， ∴，． ∴． 【变式训练2】 如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，，． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和定理和全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，再证明，即可利用，证明； （2）先求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 考点3：用AAS或ASA的综合证明 【典型例题】 如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． (1)求证：； (2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）由角平分线的定义得到，由垂线的性质可得．导角证明，则可利用证明． （2）由全等三角形的性质得到，证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）证明：分别是的平分线， ． ， ． 又， ． 同理，． ． 在和中， ． （2）解：，理由如下： 由（1）得， ∴， 在和中， ， ． ． ， ． 【变式训练1】 如图，在四边形中，对角线交于点O，，E是上的一点，且，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)与相等吗？为什么？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，证明是解题的关键． （1）先证明，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理可证明，即． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ， ∴，即． 【变式训练2】 如图，点在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为8． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质， （1）利用等量代换得，从而利用“”证明即可； （2）由（1）知，可得，再利用求解即可． 【详解】（1）证明：，，且， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， 的长为8． 一、单选题 1．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（   ）去玻璃店． A．① B．② C．③ D．①和② 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等判定解决实际问题，由题中图形可知，第③块玻璃保留了破碎钱三角形玻璃中的两个角及一条边，借助两个三角形全等的判定定理即可到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，要求学生将所需数学知识运用到实际生活中，读懂题意，观察图形，灵活运用三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，第③块玻璃保留了破碎钱三角形玻璃中的两个角及一条边，借助两个三角形全等的判定定理即可到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，因此最省事的办法是带③去玻璃店， 故选：C． 2．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，三角形三边关系应用；判定两个三角形全等的方法有、、、、，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可． 【详解】解：A、∵， 不能画出，故本选项不符合题意； B、已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意； C、已知两边及其中一边的对角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意； D、已知两角及其夹边，能画出唯一三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 3．如图，，，，图中全等的三角形共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 由，得到，即，再由，利用得出，由全等三角形的对应角，对应边相等得到，进而确定出． 【详解】解：图中全等三角形有 4 对，分别为， ， ， 即， 在和中， ， ； ∴， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 由，得到，即， 在和中， ， ， 故选：C． 4．有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列关于两种方案中两个阴影部分三角形全等情况的判断正确的是（   ）    A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定的条件． 方案一：由题意可知，是对应边，，进而求得，由判定两个小三角形全等，方案一：√； 方案二：由题意可知，，进而求得，所以其对应边应该是和，而已知给的是，所以不能判定两个小三角形一定全等，方案二：×；即可得解． 【详解】解：方案一：如图1所示，   ，，， ， 是对应边，由判定两个小三角形全等， 故方案一：√； 方案二：如图2所示，   ，，， ，所以其对应边应该是和， 而已知给的是，所以不能判定两个小三角形一定全等， 故方案二：×； 综上所述，方案一：√、方案二：×． 故选：D． 5．如图，嘉嘉与淇淇坐在跷跷板两端，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得，，，证明，得出，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，由题意可得：，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴嘉嘉离地面的高度是， 故选：． 6．如图，且，点在上．若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 由平行线的性质可得，最后再利用证明，由全等三角形的性质即可得解． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， 故选：A． 7．如图，中，是的平分线，，垂足为E．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，由角平分线的定义得到，证明，得到，则． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．如图， 在四边形中，，， 连接． 若， 则四边形面积为（   ） A．18 B．24 C．36 D．48 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．过A作，交的延长线于E，证明，则，得到的面积的面积，则到四边形的面积的面积，即可求出答案． 【详解】解：过A作，交的延长线于E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在与中， ∴， ∴，的面积的面积， ∴四边形的面积的面积， 故选A． 二、填空题 9．如图，，若利用证明，需添加的条件是 ．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．利用可得出，（答案不唯一）进而证明，即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ， 利用证明，需添加的条件是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 10．在解决问题时，小明发现下列两个被纸板挡住的三角形，只有图②能画出唯一的三角形，他判断的依据是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据图形可知图中三角形纸片两角及其夹边已知，则可根据解答． 【详解】解：∵图中三角形纸片两角及其夹边已知， ∴可以根据画出了一个与原三角形完全重合的三角形， 故答案为：． 11．如图，与相交于点，，，不添加辅功线，判定的依据是 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，由题意可知，，，，即可证明． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为： 12．如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，依据“”证明，需再添加一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了三角形全等的判定方法，由于，加上为公共边，所以当添加时，依据“”可判断， 【详解】解：∵，， ∴当添加时，． 也可添加，则可证明，得到， 故答案为：（答案不唯一）． 13．如图，，，于点，若，则 ．    【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 证明即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 14．如图，在中，是的中点，分别过点作的垂线，垂足为．若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意得先证明，进而可得，，，根据即可求解． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵． ∴． 又∵． ∴． ∴，，， 又∵ ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，在中，，垂足分别为和，线段交于点，若，则的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据同角的余角相等可得，然后由条件可证明，根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， 则的面积． 故答案为：． 16．如图，为了测量B点到河对岸的目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，测得的长是15米，则A，B两点间的距离为 米． 【答案】15 【分析】本题考查全等三角形的应用，证明得到即可解答． 【详解】解：由题意，，， 在和中， ， ∴， ∴． ∵的长是15米， ∴A，B两点间的距离为15米． 故答案为：15． 三、解答题 17．如图，点A、B、D、E在同一直线上，，，．求证：． 【答案】答案见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等可得，得到，再求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可． 【详解】证明：∵， ， ∴， ， ， 即， 在和中， ， ． 18．已知：如图，、、、四点在同一直线上，，，，和相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据平行线的性质和全等三角形的判定方法证明和，再根据全等三角形的性质定理即可得到结论． 【详解】证明：∵， ， ， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ． 19．如图，在上各取一点E，D，使，连接，相交于点O，连接，．求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用公共边，结合证明即可． （2）利用证明即可得到结论． 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．如图，在中，点在边上，． (1)求证： (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴． 21．如图，把一个长为的梯子斜靠在墙上，测得，梯子沿墙下滑到位置，测得，． (1)吗？请说明理由． (2)求梯子下滑的高度． 【答案】(1)全等；理由见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的应用，解题时，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系． （1）根据“”证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，然后求出结果即可． 【详解】（1）解：；理由如下： ∵在与中， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， 即梯子下滑的高度为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第九讲：三角形全等的判定（角边角、角角边） （知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：“角边角”判定方法 文字语言：有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”） 几何语言： 在△ABC和△A′B′C′中， ∴ △ABC≌△ A′B′C′（ASA） 知识点02：“角角边”判定方法 文字语言：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（简写成“角角边”或“AAS” ） 几何语言： 在△ABC和△A′B′C′中， ∴ △ABC≌△ A′B′C′（AAS） 考点1：用AAS或ASA证明三角形全等 【典型例题】 如图，已知：，，，求证：． 【变式训练1】 如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，且，．求证：． 【变式训练2】 如图，与相交于点，．求证：． 考点2：根据AAS或ASA证明三角形全等解决问题 【典型例题】 如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在直线l的异侧，且，，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若，，求的长度． 【变式训练1】 如图， ，点E，F在线段上，且．连接，，若，请完成下列问题： (1)说明 ； (2)猜想与的关系，并说明理由． 【变式训练1】 如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，，． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 考点3：用AAS或ASA的综合证明 【典型例题】 如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． (1)求证：； (2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 【变式训练1】 如图，在四边形中，对角线交于点O，，E是上的一点，且，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)与相等吗？为什么？ 【变式训练2】 如图，点在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 一、单选题 1．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（   ）去玻璃店． A．① B．② C．③ D．①和② 2．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，，，，图中全等的三角形共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 4．有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列关于两种方案中两个阴影部分三角形全等情况的判断正确的是（   ）    A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 5．如图，嘉嘉与淇淇坐在跷跷板两端，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（    ） A． B． C． D． 6．如图，且，点在上．若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 7．如图，中，是的平分线，，垂足为E．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 8．如图， 在四边形中，，， 连接． 若， 则四边形面积为（   ） A．18 B．24 C．36 D．48 二、填空题 9．如图，，若利用证明，需添加的条件是 ．（写出一种即可） 10．在解决问题时，小明发现下列两个被纸板挡住的三角形，只有图②能画出唯一的三角形，他判断的依据是 ． 11．如图，与相交于点，，，不添加辅功线，判定的依据是 ． 12．如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，依据“”证明，需再添加一个条件是 ． 13．如图，，，于点，若，则 ．    14．如图，在中，是的中点，分别过点作的垂线，垂足为．若，，则的面积是 ． 15．如图，在中，，垂足分别为和，线段交于点，若，则的面积为 ．    16．如图，为了测量B点到河对岸的目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，测得的长是15米，则A，B两点间的距离为 米． 三、解答题 17．如图，点A、B、D、E在同一直线上，，，．求证：． 18．已知：如图，、、、四点在同一直线上，，，，和相交于点．求证：． 19．如图，在上各取一点E，D，使，连接，相交于点O，连接，．求证： (1) (2)． 20．如图，在中，点在边上，． (1)求证： (2)若，求的长． 21．如图，把一个长为的梯子斜靠在墙上，测得，梯子沿墙下滑到位置，测得，． (1)吗？请说明理由． (2)求梯子下滑的高度． 学科网（北京）股份有限公司 $$