第八讲：三角形全等的判定（边角边）（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第八讲：三角形全等的判定（边角边） （知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：“边角边”判定方法 文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 几何语言： 在△ABC和△ DEF中， ∴ △ABC ≌△ DEF（SAS） 注意：角必须是两边“夹角” 证明的书写步骤： ①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②指明范围：写出在哪两个三角形中； ③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来 ④写出结论：写出全等结论. 考点1：用SAS证明三角形全等 【典型例题】 如图，交于点E，，．求证：． 【变式训练1】 如图，点F，C在线段上，，．与全等吗？为什么？ 【变式训练2】 如图，，，．求证：． 考点2：根据SAS证明三角形全等解决问题 【典型例题】 如图，在中，于点D，E为上一点，连结交于点F，且，．求证： (1)． (2)． 【变式训练1】 如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． (1)与相等吗？请说明理由； (2)求证：． 考点3：全等的性质和SAS综合 【典型例题】 已知：如图，点，，在同一条直线上，，，， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式训练1】 如图，在上各取一点E，D，使，连接，相交于点O，连接，．求证： (1) (2)． 一、单选题 1．如图，和相交于点，若，用“”证明还需（   ） A． B． C． D． 2．如图，在的正方形网格中，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．测量锥形瓶底面内径的方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点固定，只要测得之间的距离，就可知道锥形瓶底面内径的长度．此方案中，判定的依据是（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，若，，添加后就能直接利用“”证得的条件是（    ） A． B． C． D． 5．据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明．人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如下图所示的“风筝“图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 6．如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 7．如图，正五边形中，，则的度数是（    ） A．50° B．54° C．60° D．72° 8．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，ABDE，运用“SAS”判定△ABC≌△DEF，需补充的条件是（　　） A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．∠ACB＝∠DFE 9．如图，在中，，，若，则的长是（    ） A．2 B．4 C．3 D．8 二、填空题 10．如图，在和中，，再添加一个条件就可以用“”判断，则添加的这个条件为 ． 11．如图．已知，．则可推出．依据是 ．    12．如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为 ． 13．如图，，，添加条件 ，可以根据“”得到． 14．如图，在中，已知， ，．若，则的度数为 ． 15．在中，，则的中线取值范围是 ． 16．如图，表示两根长度相同的木条，若O是的中点，经测量，则容器的内径为 ． 17．生活情境·滑滑梯  如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，且左边滑梯水平方向的长度与右边滑梯的高度相等，若，则 ． 三、解答题 18．已知：如图，，，点E、F在线段上，且． 请说明的理由． 19．如图，平分，，的延长线交于点．若，求的度数． 20．如图，点，分别在四边形的边，的延长线上，连接分别交，于点，，，，． (1)与全等吗？为什么？ (2)判断线段与的位置关系，并说明理由． 21．如图，已知，与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第八讲：三角形全等的判定（边角边） （知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：“边角边”判定方法 文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 几何语言： 在△ABC和△ DEF中， ∴ △ABC ≌△ DEF（SAS） 注意：角必须是两边“夹角” 证明的书写步骤： ①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②指明范围：写出在哪两个三角形中； ③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来 ④写出结论：写出全等结论. 考点1：用SAS证明三角形全等 【典型例题】 如图，交于点E，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，直接根据“”进行证明即可． 【详解】证明：在和中， ， ． 【变式训练1】 如图，点F，C在线段上，，．与全等吗？为什么？ 【答案】全等，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先根据平行线的性质可得，再证出，然后根据定理即可得证． 【详解】解：与全等，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【变式训练2】 如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，先证明，在用证明即可，掌握判定三角形全等是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在与中 ∴． 考点2：根据SAS证明三角形全等解决问题 【典型例题】 如图，在中，于点D，E为上一点，连结交于点F，且，．求证： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定方法． （1）根据，得出，再根据证明，即可推出结论； （2）因为，则，根据，，得出．又因为，则，得出． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练1】 如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． (1)与相等吗？请说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)与相等，理由见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，以及线段中点定义， （1）在和 中，利用即可证明，则； （2）根据题意得，，则，结合（1）得，即可证明，有． 【详解】（1）解：与相等， 理由如下：连接， 在和 中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵点E与F分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 考点3：全等的性质和SAS综合 【典型例题】 已知：如图，点，，在同一条直线上，，，， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】此题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由得到，然后证明出，即可得到； （2）首先由全等三角形的性质得到，，然后求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∵，， ∴ ∴； （2）∵ ∴， ∴． 【变式训练1】 如图，在上各取一点E，D，使，连接，相交于点O，连接，．求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用公共边，结合证明即可． （2）利用证明即可得到结论． 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 一、单选题 1．如图，和相交于点，若，用“”证明还需（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定方法即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：在和中，，， 若要用证明，则需要添加条件， 故选：． 2．如图，在的正方形网格中，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，根据网格的特点，结合全等三角形的判定定理得出，再根据全等三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：如图： 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．测量锥形瓶底面内径的方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点固定，只要测得之间的距离，就可知道锥形瓶底面内径的长度．此方案中，判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据题意，利用“”证明即可． 【详解】解：由题意，，，又， ∴， 故选：B． 4．如图所示，若，，添加后就能直接利用“”证得的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，准确分析判断是解题的关键．根据定理的条件进行判断即可； 【详解】解：用边角边证明两三角形全等，已知其中一个对应角相等和一条对应边相等，则还需要的条件是相等角的另外一条临边相等，即， 故选：C． 5．据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明．人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如下图所示的“风筝“图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键． 根据已知条件，分析和，易得． 【详解】解：在和中， ， ． 故选D． 6．如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】在上取，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解. 【详解】在上截取连接,    ， ， ∵点是平分线上的一点， ， 在和中, ， ， ， ， 解得 故选A. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系； 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键. 7．如图，正五边形中，，则的度数是（    ） A．50° B．54° C．60° D．72° 【答案】B 【分析】连接，，正五边形中，得到，，证得根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，即可得到结论． 【详解】解：连接，， 五边形是正五边形， ，， 在和中 ， ． 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正五边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，ABDE，运用“SAS”判定△ABC≌△DEF，需补充的条件是（　　） A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．∠ACB＝∠DFE 【答案】C 【分析】证出∠ABC＝∠DEF，由SAS即可得出结论． 【详解】解：补充BE＝CF，理由如下： ∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠DEF， 若要利用SAS判定，B、D选项不符合要求， 若A：AC=DF，构成的是SSA，不能证明三角形全等，A选项不符合要求， C选项：BE=CF， ∵BE＝CF， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知“SAS”的判定的特点． 9．如图，在中，，，若，则的长是（    ） A．2 B．4 C．3 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明，则． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 10．如图，在和中，，再添加一个条件就可以用“”判断，则添加的这个条件为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了证明三角形全等，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法，添加条件根据证明三角形全等即可． 【详解】解：∵，， ∴添加，可利用“”判断， 故答案为：． 11．如图．已知，．则可推出．依据是 ．    【答案】/边角边 【分析】本题考查的是三角形全等的判定：熟练掌握和，是解题的关键． 根据三角形全等的判定定理：两边和它们的夹角相等的两个三角形全等（“边角边”或“”） ，即可得出答案． 【详解】解：在与中， ， ∴， 即依据是两边和它们的夹角相等的两个三角形全等（“边角边”或“”）． 故答案为：． 12．如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据定理，判定三角形全等，得到的对边是a，再在第一个三角形中计算的度数，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设第一个三角形中a的对角为， 由两个三角形全等，根据定理，判定三角形全等，得到的对边是a， 故， 根据题意，得， 故答案为：． 13．如图，，，添加条件 ，可以根据“”得到． 【答案】 【分析】此题考查了添加条件证明两个三角形全等，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键，根据两直线平行内错角相等推出，结合已知条件，若根据“”得到，则应添加的条件为． 【详解】解：∵， ∴， 若，则 在和中 ∴， 故答案为：． 14．如图，在中，已知， ，．若，则的度数为 ． 【答案】70° 【分析】（1）证△BED≌△CDF； （2）利用AB=AC得到∠B与∠C （3）利用整体法求得∠EDF 【详解】∵AB=AC，∴∠B=∠C ∵BD=CF，BE=CD ∴△BED≌△CDE，∴∠EDC=∠BED ∵∠A=40° ∴∠B=∠C=70° ∴在△BED中，∠BED+∠BDE=110° ∴∠EDB+∠FDC=110° ∴∠EDF=70° 【点睛】求角度，常见的方法有： （1）方程思想； （2）整体思想； （3）转化思想 本题就是利用全等，结合整体思想求解的角度 15．在中，，则的中线取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边不等关系，证明三角形全等是解题的关键．延长到F，使，连接，则易证明，有；利用三角形三边不等关系得，由此即可求得中线取值范围． 【详解】解：如图，延长到F，使，连接， 则； ∵为的中线， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，由三角形三边不等关系得， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图，表示两根长度相同的木条，若O是的中点，经测量，则容器的内径为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握证明全等三角形的方法有是解题的关键．本题中根据证明，即可求解． 【详解】解：由题意知：， ∵是、的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 17．生活情境·滑滑梯  如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，且左边滑梯水平方向的长度与右边滑梯的高度相等，若，则 ． 【答案】/58度 【分析】此题考查了全等三角形的应用，做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解题关键． 由已知可根据判定，再根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 三、解答题 18．已知：如图，，，点E、F在线段上，且． 请说明的理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定．由得到，由得到，从而根据“”证明． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中 ， ∴． 19．如图，平分，，的延长线交于点．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，根据已知易证，解题即可． 【详解】解：∵平分， ∴.     在和中， ， ∴，     ∴.     ∵， ∴， ∴. 20．如图，点，分别在四边形的边，的延长线上，连接分别交，于点，，，，． (1)与全等吗？为什么？ (2)判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，见解析； (2)，见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质． 根据平行线的性质可知，根据可得：，利用可证； 由可知，根据全等三角形对应角相等，可证，根据内错角相等，两直线平行可得：． 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ， ， ， ， 在和中，， ； （2）解：， 理由如下： 由可知，， ， ． 21．如图，已知，与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查“手拉手”模型证全等，涉及三角形全等判定与性质、直角三角形性的判定与性质等知识，准确识别“手拉手”模型，掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由“手拉手”模型，结合两个三角形全等的判定定理即可得证； （2）由（1）中三角形全等得到，在中，，从而在中，求得即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， 即， 在和中， ， ， ；. （2）证明：由（1）知，， ， 在中，， 在中，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$