第05讲：空间向量的应用【八大题型】-2025-2026学年新高二数学同步精讲精练系列（人教A版2019）

第05讲：空间向量的应用 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　空间中直线、平面的向量表示 1．直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 2．平面的法向量：如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}． 知识点二　线线、线面、面面平行的向量表示 1．设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 2．设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 3．设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 知识点三　线线、线面、面面垂直的向量表示 1．设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 2．设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 3．设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 知识点三　点P到直线 l 的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量=a，则向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为 (如图)． 知识点四　点P到平面α的距离 设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 知识点五　两个平面的夹角 平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． 知识点六　 空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 【例题详解】 题型一、求平面的法向量 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则平面ABC的一个法向量可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设，，根据平面的法向量性质及空间向量数量积的坐标运算求法向量即可. 【详解】由题设，， 若是平面ABC的一个法向量，则， 取，则. 故选：A 2．（24-25高二上·广东江门·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知向量，，． (1)求，； (2)求平面的一个法向量． 【答案】(1)， (2)（答案不唯一） 【分析】（1）根据向量减法运算直接写出结果； （2）根据题意，由平面法向量的计算公式，列出方程，计算即可得到结果. 【详解】（1），，， ，. （2）设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，， ， 所以平面的一个法向量为. 3．（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 【答案】（不唯一） 【分析】用垂直关系，可以以A为原点，以AB、AD、AP为坐标轴建立空间直角坐标系，再按照法向量的求法计算即可. 【详解】因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直. 如图所示，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A－xyz， 则，， ，，， 于是，， 设平面ACE的一个法向量为， 则，即，所以， 令，则，，即 所以平面ACE的一个法向量. 题型二、证明线面、面面平行 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，在四面体中，平面，，，，是的中点，是的中点，点在线段上，且．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】以的中点O为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，利用表示点坐标，根据直线的方向向量与平面的法向量垂直可得结果. 【详解】如图，取的中点O，以O为坐标原点，，所在射线分别为y轴、z轴的正半轴，建立如图空间直角坐标系Oxyz． 由题意知，，，． 设点C的坐标为，则． 因为， 所以， 所以Q． 因为M为的中点，所以． 因为P为的中点，所以P， 所以． 因为平面的一个法向量为， 所以， 因为平面，所以平面． 5．（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）如图，在四面体中，面是的中点，是的中点，点在棱上，且.请建立适当的空间直角坐标系，证明：面. 【答案】证明见解析 【分析】解法一：以为坐标原点，所在直线为z轴，线段的延长线为y轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行的方法进行证明； 解法二：取的中点为坐标原点，的方向分别为x轴､y轴､z轴正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行的方法进行证明. 【详解】解法一： 以为坐标原点，所在直线为z轴，线段的延长线为y轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 设，由题意得，， 因为，所以 即，即， 所以，所以， 又因为面的一个法向量为，所以，所以， 又因为面，所以面. 解法二： 取的中点，连接，因为为的中点， 所以，所以平面， 过作，交BC于， 以为坐标原点，的方向分别为x轴､y轴､z轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系. 因为为中点，设， 则， 设点的坐标为. 因为，所以. 因为为的中点，故，又为的中点，故， 所以， 又平面的一个法向量为，故，所以， 又平面，所以平面. 6．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，且点分别为和的中点， 求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和向量，结合，即可证得平面. 【详解】以为原点，分别以所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，， 又因为分别为和的中点，可得， 又由向量为平面的一个法向量，且, 由此可得，又因为直线平面，所以平面. 题型三、证明线面、面面垂垂直问题 7．（24-25高二下·全国）如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设平面与平面的法向量分别为，求出，可得，即可证明. 【详解】如图，以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 因为， 所以， 所以平面平面． 8．（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，为的中点，于点．求证：平面．    【答案】证明见解析 【分析】，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，法一：由，得，又由，由线面垂直的判定证明平面；法二：设，由得，结合，求得坐标，从而得到平面的法向量，由得平面． 【详解】因为平面，平面，所以， 又因为底面是正方形，所以， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，    设， 则，，，，． 所以，，． 法一：因为，所以，所以， 又因为，，平面， 所以平面． 法二：设，则，． 因为，所以， 即．① 又因为，可设，所以，，．② 由①②可知，，，，所以． 设为平面的法向量， 则有，即，所以，取，则． 所以，所以平面． 9．（2025·新疆·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，. (1)求证：； (2)若，当平面平面时，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过平面可得出，再根据直线与平面垂直的判定即可证得平面，最后通过直线与平面垂直的性质定理可证得. （2）建立空间直角坐标系，利用平面与平面垂直的空间向量公式即可求解. 【详解】（1）在菱形中，， 又平面，平面， ，又， 平面，平面， 平面，平面， . （2）设，交点为，则， 以为原点，以，，分别为轴，轴，建立如图直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，则， 取平面的法向量为， 则，取，则， ， ，. 即. 题型四、两条异面直线所成的角 10．（24-25高二上·安徽六安·期末）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，求出，，利用线线角的向量法，即可求解. 【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为， 则，所以，， 设异面直线与所成的角为， 则， 故选：D. 11．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）直三棱柱中，，，点是的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，建立空间直角坐标系，求出，再利用线线角的向量法，即可求解. 【详解】由题可建立，以为坐标原点的空间直角坐标系，如图所示， 因为，点是的中点，所以， 则， 设直线与所成的角为，则， 故选：C. 12．（24-25高二上·河北廊坊·期末）如图，在三棱锥中，，且，，两两垂直，M，N分别为，的中点，则异面直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过已知条件建立空间直角坐标系，求出向量和的坐标，再利用向量夹角余弦值公式计算异面直线和夹角的余弦值. 【详解】因为，，两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 已知，则，，，. 因为为的中点，根据中点坐标公式可得点坐标为. 又因为为的中点，所以.   由坐标可得. .   先计算. 再计算，. 所以. 但异面直线夹角范围是，所以异面直线和夹角的余弦值为. 故选：D. 题型五、直线与平面所成的角 13．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系求出平面的法向量，再由线面角的向量求法可得结果. 【详解】因为两两互相垂直，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 由可设，则， 因此， 显然，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则； 所以， 设直线与平面所成的角为， 所以. 故选：A 14．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）在直三棱柱中，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出答案. 【详解】设，则， 则，即， 在直三棱柱中，平面， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得. 直线与平面所成角为， 所以， 故直线BC与平面所成角的正弦值为. 故选：D. 15．（2025·陕西安康·模拟预测）如图，在多面体中，四边形为菱形，，平面，，，，是的中点，是的中点，平面平面.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据线面平行判定定理证明平面，再应用面面面垂直的性质定理得出则平面，进而结合线面垂直判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系求解平面的法向量，再应用线面角正弦公式计算求解即可. 【详解】（1）    如图，取的中点，连接，.由，分别是，的中点，得. 又平面，平面，所以平面. 因为四边形是菱形，，是的中点，所以，. 因为平面，平面，所以平面. 又，平面，平面，所以平面平面. 由平面平面，得平面平面，且平面平面， 过点作于点，平面，则平面. 又平面，所以. 因为平面，平面，所以. 又，，平面，平面，所以平面. 又平面，所以，. 又，且，与不重合，平面，平面，所以平面，所以平面. （2）如图，由（1），知平面.又平面，所以，连接， 则且.又，所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以，所以四边形为正方形. 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，. 设平面的法向量为，则即 令，则，，所以平面的一个法向量为， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 题型六、两个平面的夹角 16．（24-25高三下·湖南株洲·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证平面，通过取中点，利用中位线性质得到且，结合已知，，推出，，得平行四边形，进而有，再根据线面平行判定得出结论. （2）先由，，推出，结合面面垂直性质得平面，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，进而得到向量、.设平面法向量，根据向量垂直关系列方程求解法向量，再结合平面法向量求两平面夹角余弦值. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为点为的中点，所以， 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为，所以，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面， 所以，又， 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，    建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 因为点为的中点，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以，                          又平面的一个法向量，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，平面平面. (1)证明：； (2)若二面角的大小为，求平面与平面的夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理得出平面，进而得出平面，得出即可得证； （2）根据线面垂直建立空间直角坐标系，得出平面与平面的法向量即可得出二面角的余弦，再结合同角关系得出正弦. 【详解】（1）过作垂足为， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又平面，， 因为为的中点，，所以， 又面，所以平面. 又因为平面，所以. 因为为的中点，所以. （2）如图，取的中点，连接. 因为，所以. 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. 因为二面角的大小为， 所以即为二面角的平面角，即， 所以为等腰直角三角形，， 因为，为的中点， 所以. 所以. 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴， 过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则， 所以. 设平面的一个法向量为， 所以，即， 令，解得， 所以. 同理，平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以. 18．（24-25高二上·湖北武汉·期末）如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，， ，点为中点，． (1)求证：平面； (2)已知点为线段的中点，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据线面垂直的判定定理证明平面，结合已知利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明平面，再根据勾股定理及线面垂直的判定定理证明即可. （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据向量法求解两面所成角的余弦值. 【详解】（1）连接.因为，且，所以， 因为，所以．因为是棱的中点，所以． 因为平面，且，所以平面． 因为平面，所以． 由题意可得，则，所以． 因为平面，且，所以平面． 因为平面，所以． 因为，所以，所以． 因为平面，且，所以平面. （2）以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，. 从而，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，得， 因为平面，平面的法向量为. 设平面与平面所成角为， 则， 所以平面与平面所成角为的余弦值为. 题型七、距离问题 19．（2025高二上·全国·专题练习）如图，已知直四棱柱中，，，，，，N是的中点，M是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点B到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】以A为坐标原点，以AB，AD，所在直线分别为x轴、y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）解：以A为坐标原点，以AB，AD，所在直线分别为x轴、y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意得，，，，，，， 则，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则，即， 取，得，，则，， 所以，显然平面， 所以平面． （2）解：易知，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得，，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）解：易知． 设点B到平面的距离为d， 则， 所以点B到平面的距离为． 20．（23-24高二上·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，进而根据向量夹角公式计算即可； （2）利用向量法求线面距离作答即可. 【详解】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线FC到平面的距离是. 21．（24-25高二上·陕西渭南·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且分别为的中点，    (1)证明：直线平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)点到平面的距离. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【分析】（1）注意到，故只需证明平面，由，即可证明证明平面； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，由向量夹角的余弦公式即可求解； （3）求出和平面的法向量，由距离公式即可求解. 【详解】（1）如图所示，连接，因为分别是的中点，    所以， 因为四边形是正方形，所以，     因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又，所以平面； （2）由题意容易知道两两互相垂直， 故以点为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    由题意，所以， 显然平面的法向量可以是， 而， 故所求为， 即直线与平面所成角的正弦值； （3）由（2）可知， 从而， 设平面的法向量为， 则，令，解得， 所以可取， 故所求为， 即点到平面的距离. 题型八：空间线段的存在性问题 22．（24-25高二上·云南曲靖·期中）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，且 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得平面； （2）利用空间向量法可求得二面角的余弦值； （3）假设存在满足题意的点，且，求出向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的方程，结合的取值范围可求出的值，由此可得出结论. 【详解】（1）因为底面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 则，，. 设平面的法向量是，则， 令，则，，于是. 因为，所以，， 又因为平面，所以，平面. （2）设平面的法向量为，则，， 则，取，可得，，则， 设二面角的平面角大小为，则为锐角， 所以，， 所以，二面角的平面角的余弦值为. （3）假设存在满足题意的点，且， 则 由于平面的一个法向量， 由题意可得：， 整理可得，解得， 据此可得存在满足题意的点，且. 23．（24-25高二上·北京怀柔·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，为中点，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3)存在，. 【分析】（1）取的中点，证明，根据线面平行判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面法向量，利用向量夹角公式求两向量的夹角余弦，由此可得结论； （3）假设线段上存在点，使得平面，求直线的方向向量和平面的法向量，由假设可得两向量垂直，列方程求出的坐标，由此可得结论. 【详解】（1）取的中点，连接，， 因为，分别为，的中点， 所以中，，. 底面中，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面； （2）取的中点，连接， 因为，， 所以四边形为平行四边形， 所以，又， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以，， 因为，， 所以，所以， 所以两两垂直， 以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，， 所以为平面的一个法向量， 所以， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）设线段上是存在点，使得平面，， 设平面的法向量为， 又，， 则，即， 取，则，， 所以为平面的一个法向量， 因为平面， 所以，又， 所以， 所以， 所以存在点，使得平面，此时. 24．（24-25高二上·海南海口·期末）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面底面，.点分别是棱的中点. (1)求证：； (2)设平面平面，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若点分别是棱的中点，平面与棱的交点为，则在线段上是否存在一点，使得，若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）设，连接PO，进而说明，从而得到底面，得到，即可求证； （2）先说明直线l与平面DMN所成角即为直线CD与平面DMN所成角，再由（1）建系，利用线面角的向量法公式即可求解； （3）记，，结合向量垂直的坐标表示即可求解； 【详解】（1）记，连接PO， 因为底面ABCD是边长为的正方形， 所以. 因为，所以. 因为平面底面ABCD，且平面底面平面PAC， 所以底面 因为底面，所以，所以. （2）易知，又因为平面，所以平面PAB， 又因为平面PCD，平面平面，所以，所以直线l与平面DMN所成角即为直线CD与平面DMN所成角 由（1）知，可以为坐标原点建系如图所示， 由（1），， ，三角形为直角三角形，所以. 则， ， 所以 设平面DMN的法向量为， 因为，所以 令，可得.所以 设直线CD与平面DMN所成角为，则， （3）记，可得，所以. 由可得，解得， 所以. 记，可得， 所以，若，则，解得，所以， 故在线段BC上存在一点，使得，此时. 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高二上·湖北武汉·期末）在四棱锥中，，，，则此四棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件，求平面的法向量，再求向量在法向量上的投影向量的大小即可得结论. 【详解】设平面的法向量为， 则，又，， 所以， 令，可得，， 所以为平面的一个法向量， 又， 所以向量在法向量上的投影向量的大小为， 所以四棱锥的高为. 故选：D. 2．（24-25高二下·江西·阶段练习）若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用向量法求线面角的正弦值，进而求余弦值. 【详解】设直线l与平面所成的角为，则， 所以． 故选：A． 3．（24-25高二上·浙江湖州·期末）已知空间三点，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求在上的投影向量，再结合勾股定理求结论. 【详解】因为，，， 所以，， 所以在向量上的投影向量的长为， 所以点到直线的距离是. 故选：C. 4．（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，侧面为矩形，平面平面，，为的中点，，，若点到直线的距离为2，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，证得平面，进而建系，利用异面直线夹角向量法求解即可； 【详解】取的中点，连接，则，因为平面平面， 且平面与平面交于，所以平面. 如图，以为坐标原点，分别以，的方向为轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.设， 则，，，，所以，， 所以点到直线的距离， 解得.因为，， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 5（24-25高二上·河北承德·期末）在平行四边形中，，，，是的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面面垂直的性质可得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线线角即可. 【详解】在中，，则，即， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，于是， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 于是，得， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：A 6．（24-25高二上·河南周口·期末）在正四棱柱中，为棱上的动点（不包含端点），则与所成角的余弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成的角的夹角公式可得，平方后利用换元法可求范围. 【详解】以为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，故，， 设与所成的角为，则， 所以，令， 所以，故. 故选：B. 二、多选题 7．（24-25高二上·四川凉山·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，点是棱上一点，则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使平面 B．存在点，使平面 C．若点为中点，则点到平面的距离为 D．二面角夹角最大时， 【答案】ABC 【分析】根据特殊位置即可根据线线平行求解A，建立空间直角坐标系，求解向量垂直的坐标关系即可求解B，求解平面法向量，即可根据空间距离求解C，根据法向量的夹角即可求解D. 【详解】对于A，当位于时，此时平面，平面， 故平面，A正确， 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，， 由于，故， 设，则， 则， 要使平面，则，解得，故存在点，当时，，结合，平面，故平面，B正确， 对于C， 点为中点，此时， 设平面的法向量为， 故，， ，令，则， 则点到平面的距离为，故C正确， 对于D，设平面的法向量为， 设平面的法向量为， 故，， ，令，则， 设平面的法向量为， 故 ，令，则， ，显然时，此时并不是最值，此时二面角夹角不是最大，故D错误， 故选：ABC 8．（24-25高二上·四川眉山·期末）直线的方向向量为，平面的法向量，则下列命题为真命题的是（ ） A．若，则直线平面 B．若，则直线平面 C．若，则直线与平面所成角的大小为 D．若，则直线与平面所成角的大小为 【答案】ABD 【分析】根据线线，线面，线面角的向量公式，即可求解. 【详解】根据向量表示的线线，线面的位置关系可知，AB正确； 设直线与平面所成角为，则，所以，故C错误； 若，则，所以，故D正确. 故选：ABD 9．（24-25高二上·山西晋中·期末）在空间直角坐标系中，点，，，则（    ） A． B．异面直线与所成的角为 C．点关于轴的对称点为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【分析】利用空间向量数量积的坐标运算可判断A选项；利用空间中点的对称性可判断C选项；利用空间向量法可判断BD选项. 【详解】对于A选项，，，所以，A对； 对于B选项，， 所以异面直线与所成的角余弦值为，故异面直线与所成的角不是，B错； 对于C选项，点关于轴的对称点为，C对； 对于D选项，易知平面为坐标平面，则平面的一个法向量为， 所以，则直线与平面所成角的正弦值为，D对. 故选：ACD. 10．（24-25高二上·江苏无锡·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则（   ） A． B．异面直线OB与AC所成角的余弦值为 C． D．点到直线的距离为 【答案】BC 【分析】根据题中条件，得到对应向量的坐标，由空间向量数量积的坐标运算，可得A错；由异面直线所成角的向量求法，可判断B正确；由向量模的坐标运算，得C正确；由空间中点到线的距离公式，可判断D错. 【详解】因为点， 所以，，则，故A错； 又，，则，故C正确； 所以， 因此异面直线OB与AC所成角的余弦值为，故B正确； 又点到直线的距离为，故D错； 故选：BC 三、填空题 11．（2025高二上·全国·专题练习）已知平面ABC，且，，，则平面ABC的一个法向量为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平面法向量的性质，用待定系数法即可求得平面的一个法向量. 【详解】，， 设平面ABC的法向量为， 则，即， 令，得，， 故平面ABC的一个法向量为． 故答案为：（答案不唯一）． 12．（2025高二上·全国·专题练习）在底面是直角梯形的四棱锥中，侧棱底面ABCD，，，，，则AD到平面PBC的距离是 ． 【答案】 【分析】本题通过建立空间直角坐标系，AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离，利用向量法求解点到平面的距离. 【详解】因为平面PBC，所以AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离．由已知可知AB，AD，AP两两垂直，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 则，，，．则，．设平面PBC的法向量为，则，即，取，得，又，所以． 故答案为：  . 13．（24-25高二上·吉林四平·期末）在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中，，，则点M到平面的距离为 . 【答案】/ 【分析】先求出平面的法向量为，再利用点到面的距离公式即可求得结果. 【详解】因为，，，所以, 设平面的法向量为，则, 令，则，所以，由， 利用点到面的距离公式 故答案为: 14．（24-25高二上·山东淄博·期末）在正方体 中，点 分别在棱 上，且 ， ，则异面直线 与 所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【分析】以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值. 【详解】设正方体中棱长为3， 以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，，，， 设异面直线与所成角为，则. 即异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）在四棱锥中，面面，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，的值为 【分析】（1）首先利用面面垂直的性质证明，然后结合已知条件利用线面垂直的判定定理即可证明平面.进而得到面面垂直. （2）首先假设存在点，根据已知条件和（1）中结论，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量与垂直求解即可. 【详解】（1）平面平面 且平面平面， 平面 平面 平面 又， 平面. 平面平面平面. （2）假设在棱上是否存在点，使得平面 取中点，连接，，如下图 ，， ，， 从而，故平面， 又平面平面 且平面平面， 平面， 以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，如下图： 由题意可知，，，，， 设 点在棱上，故， ，故 设平面的法向量为 故，令，则， 从而平面的法向量可以取 平面 ，解得， 故假设成立，存在这样的点，使得平面，此时 即，从而 16．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为的中点．    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值； （2）利用空间向量法可求得二面角的余弦值. 【详解】（1）因为是正方形，所以． 又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    所以、、、、． 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，取，则，， 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值是． （2）由（1）知，，． 设平面的一个法向量为，则，      取，可得，则， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 17．（2025·江西九江·三模）如图，在四棱锥中，平面，且，为的中点，平面与平面． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，可得，再证明平面，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）∵为的中点，，∴， 又，∴四边形为平行四边形， ∴，又平面，平面，∴平面， 又∵平面平面，平面，∴， 又∵平面，平面，∴， 又∵，∴平面，∴平面． （2）由（1）知四边形为平行四边形， 因为知，四边形为正方形，则， 故以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系， ∴， ∴，， ∵，∴， ∴， 设为平面的一个法向量，为与平面所成角， 则，即，令，得， ∴， 又，∴，即直线与平面所成的角为． 18．（24-25高二上·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，侧面底面，，，是中点，点在侧棱上（不包括端点）． (1)求证：； (2)是否存在点，使与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在， 【分析】（1）连接，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）利用面面垂直的性质定理，证得平面，得到，，以为坐标原点，设， 求得，再求得平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，列出方程，求得，进而得出答案. 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为，且为中点，所以， 在菱形中，，可得为等边三角形 ，所以， 又因为平面，且，所以平面， 因为平面，所以. （2）解：因为，平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 又因为平面，所以，， 因为，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 假设存在点满足题意，设， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 设与平面所成角为，则 解得或（舍），所以存在点，使得与平面所成角的正弦值为， 此时. 19．（24-25高三上·山东威海·期末）如图，在以为顶点的多面体中，平面平面，为的中点    (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1） 先得出平行四边形得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明即可； （2）先应用面面垂直性质定理建系，再设，计算线面角即可求参. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以为的中点， 又因为为的中点， 所以， 因为平面平面， 所以平面. （2）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 以为坐标原点，在平面内，以过点垂直于的方向为轴正方向， 以的方向分别为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，可得， 令，则， 假设在棱上存在一点，使得直线与平而所成角的大小为， 设， 因为，则， 又因为，所以， 则， 化简得，解得， 因为，所以， 所以在棱上存在一点，使得直线与平面所成角的大小为， 此时. 20．（24-25高二上·浙江杭州·期末）如图，在四棱锥中，，点Q为棱上一点． (1)证明：平面； (2)当点Q为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)当二面角的余弦值为时，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）由勾股定理证得，再由线面垂直的判定定理即可证得. （2）由（1）的信息建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用公式求解. （3）设，分别求出平面和平面的法向量和，利用公式，求点的位置. 【详解】（1）在四棱锥中，由， 得，，则， 又，且，所以. （2）由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，由为棱的中点，得， ，设平面的法向量， 则，取，得，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）知， 设，则， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量为，由，令，得， 由二面角的余弦值为，得， 即，整理得，解得， 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲：空间向量的应用 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　空间中直线、平面的向量表示 1．直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 2．平面的法向量：如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}． 知识点二　线线、线面、面面平行的向量表示 1．设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 2．设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 3．设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 知识点三　线线、线面、面面垂直的向量表示 1．设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 2．设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 3．设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 知识点三　点P到直线 l 的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量=a，则向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为 (如图)． 知识点四　点P到平面α的距离 设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 知识点五　两个平面的夹角 平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． 知识点六　 空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 【例题详解】 题型一、求平面的法向量 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则平面ABC的一个法向量可以为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东江门·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知向量，，． (1)求，； (2)求平面的一个法向量． 3．（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 题型二、证明线面、面面平行 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，在四面体中，平面，，，，是的中点，是的中点，点在线段上，且．求证：平面． 5．（24-25高二上·辽宁大连）如图，在四面体中，面是的中点，是的中点，点在棱上，且.请建立适当的空间直角坐标系，证明：面. 6．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，且点分别为和的中点， 求证：平面. 题型三、证明线面、面面垂垂直问题 7．（24-25高二下·全国）如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 8．（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，为的中点，于点．求证：平面．    9．（2025·新疆·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，. (1)求证：； (2)若，当平面平面时，求的长. 题型四、两条异面直线所成的角 10．（24-25高二上·安徽六安·期末）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）直三棱柱中，，，点是的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·河北廊坊·期末）如图，在三棱锥中，，且，，两两垂直，M，N分别为，的中点，则异面直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型五、直线与平面所成的角 13．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）在直三棱柱中，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·陕西安康·模拟预测）如图，在多面体中，四边形为菱形，，平面，，，，是的中点，是的中点，平面平面.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 题型六、两个平面的夹角 16．（24-25高三下·湖南株洲·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 17．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，平面平面. (1)证明：； (2)若二面角的大小为，求平面与平面的夹角的正弦值. 18．（24-25高二上·湖北武汉·期末）如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，， ，点为中点，． (1)求证：平面； (2)已知点为线段的中点，求平面与平面所成角的余弦值． 题型七、距离问题 19．（2025高二上·全国·专题练习）如图，已知直四棱柱中，，，，，，N是的中点，M是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点B到平面的距离． 20．（23-24高二上·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 21．（24-25高二上·陕西渭南·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且分别为的中点，    (1)证明：直线平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)点到平面的距离. 题型八：空间线段的存在性问题 22．（24-25高二上·云南曲靖·期中）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 23．（24-25高二上·北京怀柔·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，为中点，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 24．（24-25高二上·海南海口·期末）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面底面，.点分别是棱的中点. (1)求证：； (2)设平面平面，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若点分别是棱的中点，平面与棱的交点为，则在线段上是否存在一点，使得，若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高二上·湖北武汉·期末）在四棱锥中，，，，则此四棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江西·阶段练习）若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江湖州·期末）已知空间三点，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，侧面为矩形，平面平面，，为的中点，，，若点到直线的距离为2，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5（24-25高二上·河北承德·期末）在平行四边形中，，，，是的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·河南周口·期末）在正四棱柱中，为棱上的动点（不包含端点），则与所成角的余弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高二上·四川凉山·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，点是棱上一点，则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使平面 B．存在点，使平面 C．若点为中点，则点到平面的距离为 D．二面角夹角最大时， 8．（24-25高二上·四川眉山·期末）直线的方向向量为，平面的法向量，则下列命题为真命题的是（ ） A．若，则直线平面 B．若，则直线平面 C．若，则直线与平面所成角的大小为 D．若，则直线与平面所成角的大小为 9．（24-25高二上·山西晋中·期末）在空间直角坐标系中，点，，，则（    ） A． B．异面直线与所成的角为 C．点关于轴的对称点为 D．直线与平面所成角的正弦值为 10．（24-25高二上·江苏无锡·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则（   ） A． B．异面直线OB与AC所成角的余弦值为 C． D．点到直线的距离为 三、填空题 11．（2025高二上·全国·专题练习）已知平面ABC，且，，，则平面ABC的一个法向量为 ． 12．（2025高二上·全国·专题练习）在底面是直角梯形的四棱锥中，侧棱底面ABCD，，，，，则AD到平面PBC的距离是 ． 13．（24-25高二上·吉林四平·期末）在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中，，，则点M到平面的距离为 . 14．（24-25高二上·山东淄博·期末）在正方体 中，点 分别在棱 上，且 ， ，则异面直线 与 所成角的正弦值为 . 四、解答题 15．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）在四棱锥中，面面，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 16．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为的中点．    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求二面角的余弦值． 17．（2025·江西九江·三模）如图，在四棱锥中，平面，且，为的中点，平面与平面． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角． 18．（24-25高二上·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，侧面底面，，，是中点，点在侧棱上（不包括端点）． (1)求证：； (2)是否存在点，使与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（24-25高三上·山东威海·期末）如图，在以为顶点的多面体中，平面平面，为的中点    (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 20．（24-25高二上·浙江杭州·期末）如图，在四棱锥中，，点Q为棱上一点． (1)证明：平面； (2)当点Q为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)当二面角的余弦值为时，求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$