专题10 化简比及比的应用-2025年新六年级数学暑假自学课（人教版）

2025年新六年级数学暑假自学课 专题10 化简比及比的应用 一、思维导图 知识点一：化简比并求比值 根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比，它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数；用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。 【典例分析01】化简下列各比并求比值。 （1）81∶9       （2）∶         （3）0.125∶       （4）2千克∶50克 【变式训练01】在100克水中放入10克食盐，这时盐水中盐和水的比是（    ）。 A．1∶10 B．10∶1 C．1∶11 D．11∶1 【变式训练02】把10克糖放入100克水中，糖与糖水的重量比是（    ）。 A．1∶10 B．1∶11 C．10∶11 D．11∶1 【变式训练03】妹妹身高1m，小明身高130cm，妹妹和小明身高的最简整数比是( )，比值是( )。 【变式训练04】水果店有苹果、香蕉、西瓜各30千克，45千克，75千克，三种水果的比是( )。 【变式训练05】把下面各比化成最简单的整数比。               0.75∶0.25                 km∶240m         小时∶50分钟           知识点二：按比例分配问题 两种方法：（1）份数法-先求出每份是多少，再求出几份是多少 （2）分数法—先把各部分转化为占整体的几分之几，再用乘法计算 【典例分析02】用一条长108厘米的铁丝做成一个长方体模型，要求长、宽、高的比为2∶3∶4，如果每个面都用铁皮做成铁盒，那么这个铁盒的体积是多少？ 【变式训练01】水是由氢和氧按1∶8的质量比化合而成的，6.3kg的水含氧( )kg。 【变式训练02】一种混凝土的水泥、沙子、石子的质量比是2∶3∶5，现在用20吨水泥，搅拌混凝土，还需沙子和石子各多少吨？ 【变式训练03】2023年9月20日是第35个全国爱牙日，宣传主题是“口腔健康，全身健康”，明明和奶奶参加爱牙日活动后深受启发，督促全家养成了早晚刷牙、饭后用淡盐水漱口的好习惯。在口腔科医生的建议下，他们按盐与盐水的比为1∶25配制漱口水，480克水需要加入多少克盐能制成这种淡盐水？ 【变式训练04】酒精浓度不同，用处也不同。疫情消杀期间经过反复的试验，发现消毒酒精中纯酒精与蒸馏水按7∶3的配比杀菌作用最强。（消毒酒精是由纯酒精和蒸馏水配制而成的） （1）100升消毒酒精中含纯酒精多少升？ （2）用1400毫升纯酒精配制消毒酒精，要加蒸馏水多少毫升？ 三、课后巩固 1．一个三角形三个角的度数之比是2∶3∶4，这个三角形是（    ）。 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 2．1克糖溶在100克水里，糖和糖水的比是（    ）。 A．1∶100 B．1∶101 C．100∶101 D．101∶100 3．如图，有两杯糖水，要使两杯糖水的浓度相同，则需要（    ）。 A．往第二杯里加10克糖 B．往第二杯里加40克水 C．往第二杯里加10克水 D．往第二杯里加110克水 4．∶0.875的比值是( )，化成最简整数比是( )。 5．60厘米∶0.15米化成最简整数比是4∶1，它的比值是4。( ) 6．5克盐完全溶解在50克水里，水与盐的质量比是( )，盐与盐水的质量比是( )。 7．甲数的等于乙数的，甲∶乙＝（ ∶ ）。 8．化简比并求比值。 （1）∶     （2）0.2∶    （3）150千克∶吨       （4）60厘米∶12米 9．用180厘米的铁丝做一个长方体的框架，长、宽、高的比是4∶3∶2，这个长方体的长、宽、高分别是多少厘米？ 10．爷爷果园里的苹果树比梨树多320棵，已知苹果树和梨树棵数的比是7∶5，爷爷的果园里有梨树多少棵？ 11．图书馆新购进了840本新书，其中的借给了四年级，剩下的书按5∶4借给五、六年级，六年级借到了多少本新书？ 12．小天计划读一本300页的书，第一天读了全书的，第二天读的和第一天的比是9∶10，问第三天从第几页开始读？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 【典例分析01】（1）9∶1；9 （2）10∶1；10 （3）1∶2；0.5 （4）40∶1；40 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 如果比的前项和后项的单位不统一，先根据进率换算单位，再利用“比的基本性质”把比化简成最简单的整数比。 用比的前项除以比的后项所得的商，叫做比值。根据求比值的方法，用最简比的前项除以比的后项即得比值。 【详解】（1）81∶9 ＝（81÷9）∶（9÷9） ＝9∶1 9∶1 ＝9÷1 ＝9 （2）∶ ＝（×14）∶（×14） ＝10∶1 10∶1 ＝10÷1 ＝10 （3）0.125∶ ＝（0.125×8）∶（×8） ＝1∶2 1∶2 ＝1÷2 ＝0.5 （4）2千克∶50克 ＝2000克∶50克 ＝（2000÷50）∶（50÷50） ＝40∶1 40∶1 ＝40÷1 ＝40 【变式训练01】A 【分析】根据题意，用盐的质量∶水的质量，再化简即可。 【详解】盐水中盐和水的比是10∶100＝（10÷10）∶（100÷10）＝1∶10 故答案为：A 【变式训练02】B 【分析】糖加水是糖水的重量，用糖的重量比上糖水的重量，然后化简即可。 【详解】糖水重量：10＋100＝110（克） 糖与糖水的重量比为： 10∶110 ＝（10÷10）∶（110÷10） ＝1∶11 故答案为：B 【点睛】本题考查比的应用，确定糖的重量和糖水的重量是此题关键。 【变式训练03】10∶13 【分析】根据比的意义，用妹妹的身高比小明的身高，统一单位后，再根据比的基本性质化简成最简整数比；最后用最简整数比的前项除以后项求出比值。 【详解】1m∶130cm ＝100cm∶130cm ＝100∶130 ＝（100÷10）∶（130÷10） ＝10∶13 10∶13 ＝10÷13 ＝ 所以，妹妹和小明身高的最简整数比是10∶13，比值是。 【点睛】此题主要考查了化简比和求比值的方法，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数。 【变式训练04】2∶3∶5 【分析】根据比的意义，先直接写出三种水果的比，再将这个比各项同时除以15，求出三种水果的最简整数比，从而填空。 【详解】30∶45∶75 ＝（30÷15）∶（45÷15）∶（75÷15） ＝2∶3∶5 所以，三种水果的比是2∶3∶5。 【点睛】本题考查了比的意义和化简，掌握比的化简方法是解题的关键。 【变式训练05】4∶5；3∶1；2∶3 5∶3；4∶5；3∶4 【分析】根据比的基本性质可知，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。据此化简比。单位不统一的先统一单位后，再化简比。 【详解】∶ ＝（×18）∶（×18） ＝4∶5 0.75∶0.25 ＝（0.75÷0.25）∶（0.25÷0.25） ＝3∶1 ∶0.375 ＝∶ ＝（×8）∶（×8） ＝2∶3 km∶240m   ＝400m∶240m ＝400∶240 ＝（400÷80）∶（240÷80） ＝5∶3 小时∶50分钟 ＝40分钟∶50分钟 ＝40∶50 ＝（40÷10）∶（50÷10） ＝4∶5 0.25∶ ＝∶ ＝（×12）∶（×12） ＝3∶4 【典例分析02】648立方厘米 【分析】先用“”求出长方体的一条长、宽、高的和，再根据按比例分配知识分别求出长方体的长、宽、高；进而根据“长方体的体积长宽高”解答即可。 【详解】（厘米） （厘米） （厘米） （厘米） （厘米） （立方厘米） 答：这个铁盒的体积是648立方厘米。 【点睛】考查了长方体有关棱长的应用、按比例分配及长方体体积，综合题，牢记公式是关键。 【变式训练01】5.6 【分析】由题意可知，水是由氢和氧按1∶8的质量比化合而成的，则把水共分成1＋8＝9份，氧占了8份，根据乘法的意义，用乘法解答即可。 【详解】6.3×＝5.6（kg） 【点睛】本题考查按比分配问题，明确氧占的份数是解题的关键。 【变式训练02】沙子：30吨；水泥：50吨 【分析】根据题意可知，这种混凝土是按照水泥、沙子、石子的质量比为2∶3∶5进行分配的，先求出水泥、沙子、石子质量的总份数，进一步求出水泥、沙子、石子的质量分别占混凝土总质量的几分之几，用20吨除以水泥的质量占混凝土总质量的分率，求出混凝土的总质量，最后用混凝土的总质量分别乘沙子、石子的质量占混凝土总质量的分率，求得沙子、石子的质量，据此解答即可。 【详解】2＋3＋5＝10（份） 20÷ ＝20÷ ＝20×5 ＝100（吨） 100× ＝100× ＝30（吨） 100× ＝100× ＝50（吨） 答：需要沙子30吨，需要石子50吨。 【点睛】掌握按比例分配应用题的特点和解答的方法与步骤是解决问题的关键。 【变式训练03】20克 【分析】按盐与盐水的比为1∶25配制漱口水，可以把盐看作1份，盐水看作25份，则水是（25－1）份，所要配制的淡盐水需要（25－1）份水即480克，用除法即可求出一份的量是多少，因为盐占1份，再乘1，所求即为所需盐的质量。 【详解】480÷（25－1） ＝480÷24 ＝20（克） 20×1＝20（克） 答：480克水需要加入20克盐能制成这种淡盐水。 【变式训练04】（1）70升 （2）600毫升 【分析】（1）根据消毒酒精中纯酒精与蒸馏水按7∶3，把纯酒精的量看作7份，蒸馏水的量看作3份，一共是（7＋3）份；用消毒酒精100升除以总份数，求出一份数，再用一份数乘纯酒精的份数即可。 （2）用1400毫升纯酒精除以纯酒精的份数，求出一份数，再用一份数乘蒸馏水的份数即可。 【详解】（1）一份数： 100÷（7＋3） ＝100÷10 ＝10（升） 纯酒精：10×7＝70（升） 答：100升消毒酒精中含纯酒精70升。 （2）一份数：1400÷7＝200（毫升） 加蒸馏水：200×3＝600（毫升） 答：要加蒸馏水600毫升。 【点睛】本题考查按比分配问题，把比看作份数，求出一份数是解题的关键。 三、课后巩固 1. A 【分析】三角形内角和180°，根据比的意义，三角形内角和÷总份数×最大角的对应份数＝最大角的度数，根据最大角的度数确定三角形类型即可。 【详解】180°÷（2＋3＋4） ＝180°÷9 ＝20° 20°×4＝80° 最大的角是80°，80°＜90°，所以这个三角形是锐角三角形。 故答案为：A 2．B 【分析】由题意可知，1克糖溶在100克水里，则糖水的质量为（1＋100）克，然后用糖的质量比糖水的质量即可。 【详解】1∶（1＋100） ＝1∶101 则糖和糖水的比是1∶101。 故答案为：B 【点睛】本题考查比的意义，明确糖水的质量是解题的关键。 3．B 【分析】先计算出第一杯糖与水的质量比并化成最简整数比。然后分别判断出每个选项操作后糖与水的重量比。比相同的就是浓度相同的。 【详解】第一杯的质量比为：50∶150＝1∶3； A：第二杯：（70＋10）∶170＝8∶17，浓度不同； B：第二杯：70∶（170＋40）＝1∶3，浓度相同； C：第二杯：70∶（170＋10）＝7∶18，浓度不同； D：第二杯：70∶（170＋110）＝1∶4，浓度不同。 所以要使两杯糖水的浓度相同，则需要往第二杯里加40克水。 故答案为：B 4． 3∶7 【分析】将比的前项和后项同时乘8，先求出最简整数比，再将比的前项除以后项，求出比值。 【详解】∶0.875＝（×8）∶（0.875×8）＝3∶7，3÷7＝，所以，∶0.875的比值是，化成最简整数比是3∶7。 【点睛】本题考查了比的化简和求值，掌握比的化简方法是解题的关键。 5．√ 【分析】化简比根据比的基本性质，即比的前项和后项，同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，化简比的结果还是一个比；求比值直接用最简比的前项÷后项即可，求比值的结果是一个数。 【详解】60厘米∶0.15米＝60厘米∶15厘米＝（60÷15）∶（15÷15）＝4∶1＝4÷1＝4 60厘米∶0.15米化成最简整数比是4∶1，它的比值是4，说法正确。 故答案为：√ 6． 10∶1 1∶11 【分析】求水与盐的质量比，用水的质量∶盐的质量再化简即可；求盐与盐水的质量比，用盐的质量∶盐水的质量再化简即可。 【详解】50∶5＝（50÷5）∶（5÷5）＝10∶1 5∶（50＋5）＝5∶55＝（5÷5）∶（55÷5）＝1∶11 水与盐的质量比是10∶1，盐与盐水的质量比是1∶11。 【点睛】本题考查比的意义及化简比的方法，解题时注意比的前后项表示的量要与所求相同。 7． 12 25 【分析】求一个数的几分之几是多少用乘法，假设甲数＝乙数＝1，根据积÷因数＝另一个因数，分别计算出甲数和乙数，两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，写出甲数与乙数的比，化简即可。 【详解】假设甲数＝乙数＝1 甲数＝1÷＝ 乙数＝1÷＝ ∶＝（×10）∶（×10）＝12∶25 甲数的等于乙数的，甲∶乙＝12∶25。 8．（1）4∶3；；（2）7∶15；；（3）1∶5；；（4）1∶20； 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 如果比的前项和后项的单位不统一，先根据进率换算单位，再利用“比的基本性质”把比化简成最简单的整数比。 用比的前项除以比的后项所得的商，叫做比值。根据比值的意义，用最简比的前项除以比的后项即得比值。 【详解】（1）∶ ＝（×14）∶（×14） ＝12∶9 ＝（12÷3）∶（9÷3） ＝4∶3 4∶3 ＝4÷3 ＝ （2）0.2∶ ＝∶ ＝（×35）∶（×35） ＝7∶15 7∶15 ＝7÷15 ＝ （3）150千克∶吨 ＝150千克∶（×1000）千克 ＝150千克∶750千克 ＝150∶750 ＝（150÷150）∶（750÷150） ＝1∶5 1∶5 ＝1÷5 ＝ （4）60厘米∶12米 ＝60厘米∶（12×100）厘米 ＝60厘米∶1200厘米 ＝60∶1200 ＝（60÷60）∶（1200÷60） ＝1∶20 1∶20 ＝1÷20 ＝ 9．长20厘米，宽15厘米，高10厘米 【分析】根据题意，180厘米就是长方体的棱长之和。长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4，据此用180除以4即可求出长方体的长、宽、高之和。长、宽、高的比是4∶3∶2，则它们分别占长、宽、高之和的、、，用长、宽、高之和分别乘这三个分数，即可求出这个长方体的长、宽、高分别是多少厘米。 【详解】180÷4＝45（厘米） 长：45× ＝45× ＝20（厘米） 宽：45× ＝45× ＝15（厘米） 高：45× ＝45× ＝10（厘米） 答：这个长方体的长、宽、高分别是20厘米、15厘米、10厘米。 10．800棵 【分析】已知苹果树和梨树棵数的比是7∶5，所以可以把苹果树棵数看作7份，梨树棵数看作5份，苹果树比梨树多的棵数对应2份，用苹果树比梨树多的棵数÷2，求出1份对应的棵数，1份对应的棵数乘梨树的份数求出梨树的棵数。 【详解】320÷（7－5）×5 ＝320÷2×5 ＝160×5 ＝800（棵） 答：爷爷的果园里有梨树800棵。 11．280本 【分析】由题意可知，图书馆新购进了840本新书，其中的借给了四年级，则剩下的本数占总本数的（1－），根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，据此求出剩下的本数；然后把剩下的本数平均分成（5＋4）份，进而求出1份表示的本数，六年级占4份，据此解答即可。 【详解】840×（1－） ＝840× ＝630（本） 630÷（5＋4）×4 ＝630÷9×4 ＝70×4 ＝280（本） 答：六年级借到了280本新书。 12．第39页 【分析】第二天读的和第一天的比是9∶10，那么第二天读的是第一天的。用书的总页数乘，先求出第一天读的页数。用第一天读的页数乘，求出第二天读的页数。将两天读的页数相加，求出两天一共读了多少页，那么第三天从下一页读起即可。 【详解】第一天：300×＝20（页） 第二天：20×＝18（页） 两天一共：20＋18＝38（页） 答：第三天从第39页读起。 【点睛】本题考查了比的应用，解题关键是根据比求出第二天读的是第一天的几分之几。 6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$