等差数列专项训练-2026届高三数学一轮复习

等差数列专项训练 等差数列 考点一 等差数列通项公式、求和公式、特征值的计算 1．（2025·四川成都·一模）在等差数列中，，，则（   ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高二下·河北衡水·期末）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．320 B．400 C．480 D．560 3．（24-25高二下·广东韶关·期末）已知等差数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·四川资阳·期末）在等差数列中，若，，则公差（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江西·阶段练习·多选）等差数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．当时，取得最大值 D．若，则数列的前36项和 6．（24-25高二下·甘肃张掖·期末·多选）数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B．公差 C． D．当或时，最小 7．（2024·上海·三模）设是等差数列，其前项和为．若，，则 ． 8．（24-25高一下·上海浦东新·期末）等差数列中，则通项公式 ． 9．（24-25高二下·贵州六盘水·期末）记等差数列的前项和为，已知，，则的公差为 . 10．（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，则 . 11．（24-25高二下·河南开封·期末）在等差数列中，． (1)求； (2)记等差数列的前项和为，求时的值． 12．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 13．（24-25高二下·海南·阶段练习）已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 14．（2025·广东梅州·一模）在公差不为0的等差数列中，已知，，成等比数列， (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和． 考点二 等差数列通项公式的性质 1．（24-25高二下·云南·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（   ） A．21 B．23 C．28 D．30 2．（2025·甘肃金昌·三模）中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题:“今有俸粮三百零五石，令五等官(正一品、从一品、正二品、从二品、正三品)依品递差十三石分之，问各若干?”其大意为“现有俸粮305石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问每个人各分得多少俸粮?”在这个问题中，若从二品官员的俸粮为m石，正一品官员的俸粮为n石，且m，3a，n组成新的等差数列，则实数a的值为（    ）. A．146 B． C． D．91 3．（2025·河南信阳·模拟预测）已知等比数列的公比，前项和为，若，成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·北京海淀·期末）设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025·广西·三模）在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·湖北孝感·期中·多选）设等差数列的前项和，公差为且，下列结论正确的是（    ） A． B． C．时，最大 D． 7．（24-25高二下·河北保定·期末·多选）已知等差数列的公差，则下列说法正确的是（   ） A．若，则是单调递减数列 B．若，则是单调递增数列 C．是单调递增数列 D．是单调递增数列 8．（2025·上海金山·二模）已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则 . 9．（2025·浙江绍兴·二模）等比数列的前n项和为，若，且与的等差中项为，则 . 10．（24-25高二下·北京昌平·期末）已知为等差数列， 为前项和. 若10为与的等差中项， 则 11．（2025·河南·二模）已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项. (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 12．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且满足是的等差中项，是的等差中项. (1)求数列的通项公式 (2)记，求数列的前项和 考点三 等差数列求和公式的性质 1．（24-25高二下·河南·期中）已知等差数列和的前n项和分别为、，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江西上饶·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．36 B．48 C．60 D．120 4．（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 5．（24-25高二下·福建福州·期末）等差数列的前项和为，且，则为（   ） A．45 B．81 C．90 D．162 6．（24-25高二下·四川甘孜·期末）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．52 B．96 C．106 D．12 7．（24-25高二下·重庆·期末·多选）等差数列的前n项和为，已知，，则下列选项中正确的是（    ） A．， B．等差数列的公差 C．使成立的n最小为10 D．当时，取得最小值 8．（24-25高二下·河南驻马店·期末·多选）设是等差数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时，最大 D．使的n的最大值为13 9．（24-25高二下·海南·阶段练习·多选）设等差数列的前项和为，已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列中，，，则数列的前n项和的最大值等于 11．（24-25高三下·云南丽江·阶段练习）已知 是等差数列 的前 项和， ，则 的最大值为 . 12．（24-25高二下·广东茂名·期中）已知数列的前项和为，若. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和，并求的最大值. 13．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知是等差数列的前n项和，且 (1)求数列的通项公式. (2)判断是否为等差数列. (3)为何值时，取得最大值并求其最大值． 14．（24-25高二下·广东江门·期中）设为等差数列的前n项和，若. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和，并求当n为何值时，数列前n和最大，求其最大值； (3)若数列的通项公式，求证： 考点四 含绝对值的等差数列求和 1．（2024·内蒙古包头·一模）已知等差数列中，，，设，则（    ） A．245 B．263 C．281 D．290 2．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 3．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知数列是公差为2的等差数列，且，则数列的前20项之和为（    ） A．80 B．208 C．680 D．780 4．（24-25高三上·天津·期中）在数列中，，，则等于（   ） A．630 B．648 C．660 D．675 5．（24-25高二上·天津·阶段练习）在数列 中，已知 ，则 . 6．（24-25高二下·四川遂宁·阶段练习）已知数列满足为的前项和，则 . 7．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列、的各项均不为零，若是单调递增数列，且，，，. (1)求及数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 8．（24-25高二上·湖北武汉·期末）设是公差不为零的等差数列，，. (1)求和； (2)求的前项和. 9．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）已知数列为等差数列，首项，公差． (1)若，证明：是等比数列； (2)若，设数列的前项和为，求满足的的最小值． (3)若，求数列的前项和； 10．（24-25高二下·四川眉山·阶段练习）已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足. (1)求证：数列为等差数列，并求出； (2)设，求数列的前项和. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$等差数列专项训练 等差数列 考点一 等差数列通项公式、求和公式、特征值的计算 1．（2025·四川成都·一模）在等差数列中，，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】在等差数列中，，. 故选：B 2．（24-25高二下·河北衡水·期末）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．320 B．400 C．480 D．560 【答案】B 【详解】由，得，而，解得，公差， 所以. 故选：B 3．（24-25高二下·广东韶关·期末）已知等差数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，， 因为等差数列的前项和为， 由等差数列片断和的性质可知、、成等差数列， 所以，所以. 故选：A. 4．（24-25高二下·四川资阳·期末）在等差数列中，若，，则公差（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由等差数列的性质可得，则，故. 故选：C. 5．（24-25高二下·江西·阶段练习·多选）等差数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．当时，取得最大值 D．若，则数列的前36项和 【答案】ACD 【详解】在等差数列中，有，， 所以，故A正确； 又，故B错误． 当时，；当时，； 当时，， 故当或13时，取得最大值， C正确， 易得， 则，D正确． 故选：ACD. 6．（24-25高二下·甘肃张掖·期末·多选）数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B．公差 C． D．当或时，最小 【答案】ABD 【详解】因为，，所以，解得，故A正确. 设等差数列的公差为d，则，故B正确. 对于选项C，D，法一：因为， 所以， 而；由于二次函数的图象开向上， 且对称轴为直线，所以当或时，最小，故C错误，D正确. 法二：因为， 所以，故， 则； 因为，所以当时，，且， 当时，，所以当或时，最小，故C错误，D正确. 故选：ABD. 7．（2024·上海·三模）设是等差数列，其前项和为．若，，则 ． 【答案】 【详解】根据等差数列的前项和公式 已知，，代入可得： 由等差数列的通项公式 将代入： 则. 故答案为：10. 8．（24-25高一下·上海浦东新·期末）等差数列中，则通项公式 ． 【答案】 【详解】设等差数列的公差为，所以， 所以， 故答案为：. 9．（24-25高二下·贵州六盘水·期末）记等差数列的前项和为，已知，，则的公差为 . 【答案】 【详解】设等差数列的公差为， 因为，所以，即， 又，所以，解得. 故答案为：. 10．（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，则 . 【答案】4 【详解】由等差数列的性质可知，即， 由，得， 即，又， 所以. 故答案为：4. 11．（24-25高二下·河南开封·期末）在等差数列中，． (1)求； (2)记等差数列的前项和为，求时的值． 【答案】(1) (2)1或 【详解】（1）由，所以公差， 所以，所以. （2）由（1）可得， 当时，即， 即，解得或. 故当时，为或. 12．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得， 由可得，，， 故. （2）由（1）得， 故 则. 13．（24-25高二下·海南·阶段练习）已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）若等差数列的公差为，结合题设有， 所以，可得， 故. （2）由（1）得， 所以. 14．（2025·广东梅州·一模）在公差不为0的等差数列中，已知，，成等比数列， (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设等差数列的公差为， 因为，所以，即，即 又因为成等比数列，所以，即，即， 联立方程组，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）解：由（1）知，，所以， 因为，即， 可得， ， 所以，所以数列的前2n项的和为． 考点二 等差数列通项公式的性质 1．（24-25高二下·云南·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（   ） A．21 B．23 C．28 D．30 【答案】C 【详解】由题意，， 在等差数列中，前项和为，若， ， ∴， 故选：C. 2．（2025·甘肃金昌·三模）中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题:“今有俸粮三百零五石，令五等官(正一品、从一品、正二品、从二品、正三品)依品递差十三石分之，问各若干?”其大意为“现有俸粮305石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问每个人各分得多少俸粮?”在这个问题中，若从二品官员的俸粮为m石，正一品官员的俸粮为n石，且m，3a，n组成新的等差数列，则实数a的值为（    ）. A．146 B． C． D．91 【答案】C 【详解】依题意，正一品、从一品、正二品、从二品、正三品官员分得的俸粮分别为， 则，解得，， 又组成新的等差数列，得，解得a=. 故选：C 3．（2025·河南信阳·模拟预测）已知等比数列的公比，前项和为，若，成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等比数列的首项为，公比为， 由题意可得， 所以. 故选：C 4．（24-25高二下·北京海淀·期末）设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若递减，则 因此需要满足：且恒成立； 若，，则对所有成立， 若，，则存在使得，与矛盾 递减的充要条件是且， 即若递减，则为递增数列，充分性成立； 若为递增数列，则， ， 由于不知道的正负，故无法判断的正负， 故不能得到为递减数列，必要性不成立， 例如为以下数列：， 则为，不是递减数列， 所以“为递减数列”是“为递增数列”的充分也不必要条件. 故选：A. 5．（2025·广西·三模）在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项， 所以，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：. 6．（24-25高二下·湖北孝感·期中·多选）设等差数列的前项和，公差为且，下列结论正确的是（    ） A． B． C．时，最大 D． 【答案】ABD 【详解】在等差数列中，由，可得异号， 若，由，则，不满足题意，则，故A正确； 由于，则数列为递减数列，所以，故B正确； 由于时，；时，， 所以时，最大，故C错误； 又， ，故D正确. 故选：ABD. 7．（24-25高二下·河北保定·期末·多选）已知等差数列的公差，则下列说法正确的是（   ） A．若，则是单调递减数列 B．若，则是单调递增数列 C．是单调递增数列 D．是单调递增数列 【答案】BCD 【详解】对于A选项，不妨取，则，且对任意的，， 但，，此时数列不单调，A错； 对于B选项，若，由于，故数列是单调递增数列，B对； 对于C选项，对任意的，由于，故数列是单调递增数列，C对； 对于D选项，对任意的，， 因为，所以，故数列是单调递增数列，D对. 故选：BCD. 8．（2025·上海金山·二模）已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则 . 【答案】2 【详解】由题意得是的两个根， 由韦达定理得， 因为是等差数列，所以. 故答案为：2 9．（2025·浙江绍兴·二模）等比数列的前n项和为，若，且与的等差中项为，则 . 【答案】15 【详解】由题意可得，解得， 因为与的等差中项为，所以，则， 得到，解得，故， 由等比数列求和公式得. 故答案为：15. 10．（24-25高二下·北京昌平·期末）已知为等差数列， 为前项和. 若10为与的等差中项， 则 【答案】 【详解】由题意有，所以， 所以， 故答案为：. 11．（2025·河南·二模）已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项. (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为是与的等差中项，所以， 所以， 因为数列的各项均为正数，所以， 所以，所以， 所以数列是公差为1，首项为的等差数列； （2）因为数列是公差为1，首项为的等差数列， 所以， 所以，当时，， 当时，， 所以, 所以， 12．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且满足是的等差中项，是的等差中项. (1)求数列的通项公式 (2)记，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设数列的公差为，由是的等差中项得，即，整理得 是的等差中项得，即，解得 代入，求得，故 （2）由（1）得， 当为偶数时， 当为奇数时，则为偶数， 综上 考点三 等差数列求和公式的性质 1．（24-25高二下·河南·期中）已知等差数列和的前n项和分别为、，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据等差数列性质可得； 所以. 故选：B 2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据已知及等差数列前n项和，设，， 则. 故选：C 3．（24-25高二下·江西上饶·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．36 B．48 C．60 D．120 【答案】B 【详解】由等差数列片段和的性质，，，，成等差数列， 故，则. 故选：B 4．（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【详解】方法一：由题意得：，， 则等差数列的公差， 则，， 所以. 方法二：因为等差数列的性质即为等差数列， 则，得，解得. 故选：C 5．（24-25高二下·福建福州·期末）等差数列的前项和为，且，则为（   ） A．45 B．81 C．90 D．162 【答案】B 【详解】等差数列的前项和为， 则成等差数列，所以， 即，解得. 故选：B. 6．（24-25高二下·四川甘孜·期末）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．52 B．96 C．106 D．12 【答案】B 【详解】由等差数列的性质可知：成等差数列，即成等差数列， 所以. 故选：B. 7．（24-25高二下·重庆·期末·多选）等差数列的前n项和为，已知，，则下列选项中正确的是（    ） A．， B．等差数列的公差 C．使成立的n最小为10 D．当时，取得最小值 【答案】BC 【详解】对于A选项，因数列为等差数列，，则，且， 则，所以，A错误； 对于B选项，由A知，则，则， 则公差，B正确； 对于C选项，由，得或，因为n为正整数，所以n最小值为10，C正确； 对于D选项，因为n为正整数，所以D错误. 故选：BC. 8．（24-25高二下·河南驻马店·期末·多选）设是等差数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时，最大 D．使的n的最大值为13 【答案】AC 【详解】对于AB，由题意，即， 又，所以，且，则， 故为递减数列，即，故A正确，B错误； 由于时，，时，， 则时，最大，故C正确； 由， 所以使的的最大值为14，故D错误. 故选：AC． 9．（24-25高二下·海南·阶段练习·多选）设等差数列的前项和为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】A：因为数列是等差数列， 所以，因此本选项正确； B：因为数列是等差数列， 所以由，而， 所以，因此本选项正确； C：由上可知：，且，设等差数列公差为，所以， 而且从首项到第六项均为负，从第七项起，均为正数，因此前六项和最小，故，因此本选项不正确； D：由上可知：，且，可得 ，因此无法判断之间的大小关系， 故选：AB 10．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列中，，，则数列的前n项和的最大值等于 【答案】 【详解】当时，，且， 所以，数列是首项为10，公差为的等差数列， 则数列的前n项和为， 因，故当时，取得最大值18． 故答案为：． 11．（24-25高三下·云南丽江·阶段练习）已知 是等差数列 的前 项和， ，则 的最大值为 . 【答案】3 【详解】由等差数列性质可得：,即 ， 因为 ,所以当且仅当 时, , 所以 的最大值为 或，则， 故答案为： 12．（24-25高二下·广东茂名·期中）已知数列的前项和为，若. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和，并求的最大值. 【答案】(1) (2)， 【详解】（1），故， 由，得， 两式相减并整理得， 所以为等比数列，公比为2，首项， 所以数列的通项公式为. （2）， 所以为等差数列，首项为12，公差为. 所以. 由. 所以当或时，取得最大值. 且. 所以当或5时，取得最大值30. 13．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知是等差数列的前n项和，且 (1)求数列的通项公式. (2)判断是否为等差数列. (3)为何值时，取得最大值并求其最大值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)为4时，取得最大值，最大值28． 【详解】（1）由题意可知：，当时，， 当时，， 当时，显然成立，∴数列的通项公式； （2）因为，所以， 所以是以为公差的等差数列； （3）， 由，则时，取得最大值28， ∴当为4时，取得最大值，最大值28． 14．（24-25高二下·广东江门·期中）设为等差数列的前n项和，若. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和，并求当n为何值时，数列前n和最大，求其最大值； (3)若数列的通项公式，求证： 【答案】(1) (2)，，最大值为16 (3)证明见解析 【详解】（1）设等差数列的公差为d，由题意得： 所以，解得， 所以； （2）法一：由得，又等差数列的公差， 所以等差数列是递减数列，因为，所以等差数列前4和最大， 此时； 法二：因为， 所以当时，取到最大值. （3） ， 因为，所以，即. 考点四 含绝对值的等差数列求和 1．（2024·内蒙古包头·一模）已知等差数列中，，，设，则（    ） A．245 B．263 C．281 D．290 【答案】C 【详解】等差数列中，由，，得公差， 则，显然当时，，当时，， 所以 . 故选：C 2．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 3．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知数列是公差为2的等差数列，且，则数列的前20项之和为（    ） A．80 B．208 C．680 D．780 【答案】B 【详解】因为，即，解得， 所以，前项和， 所以数列的前20项中，前8项为负数，后12项为正数， 所以 . 故选：B． 4．（24-25高三上·天津·期中）在数列中，，，则等于（   ） A．630 B．648 C．660 D．675 【答案】C 【详解】依题意，由，得，数列是首项，公差的等差数列， 则，当时，，当时，， 所以 . 故选：C 5．（24-25高二上·天津·阶段练习）在数列 中，已知 ，则 . 【答案】 【详解】由，得， 所以数列是公差为4的等差数列，且， 所以，， 当时，，时，， 所以 . 故答案为： 6．（24-25高二下·四川遂宁·阶段练习）已知数列满足为的前项和，则 . 【答案】104 【详解】，令，得， 又，所以当时，，当时，. 当时，； 当时， 综上所述， 所以. 故答案为：104. 7．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列、的各项均不为零，若是单调递增数列，且，，，. (1)求及数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1），， 故，即， 的各项均不为零，故， 所以为等差数列，且公差大于0， 中，令得， 又，故， 中，令得， 其中，，故， 即，解得或0（舍去）， 故； （2）， 故当时，，当时，， 设的前项和为， 当时，， 当时，， 综上，. 8．（24-25高二上·湖北武汉·期末）设是公差不为零的等差数列，，. (1)求和； (2)求的前项和. 【答案】(1)，. (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， ∵，∴，即， 由等差数列的性质得，， 由得，，即，   由得，， 联立方程可得，，    ∴，. （2）由得，时，，时，. 当时，，     当时，， ∴. 9．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）已知数列为等差数列，首项，公差． (1)若，证明：是等比数列； (2)若，设数列的前项和为，求满足的的最小值． (3)若，求数列的前项和； 【答案】(1)证明见详解 (2)13 (3) 【详解】（1）因为数列为等差数列，首项，公差， 所以. 对于，且， 所以是等比数列. （2）由（1）可知：， 可得， 令，解得， 所以满足的的最小值为13. （3）由（1）可知：， 则，可知数列为等差数列， 设数列的前n项和为，则， 令，解得， 当时，，则； 当时，，则 ； 综上所述：. 10．（24-25高二下·四川眉山·阶段练习）已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足. (1)求证：数列为等差数列，并求出； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析，； (2) 【详解】（1）因，则， 即， 又因数列为正项数列，则，则， 又由，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，则， （2）由（1）可得，， 又满足上式，所以， 则，， 所以当时，，当时，， 记数列的前项和为，则， 从而当时，； 当时，， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$