统计与概率：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式、全概率公式与数列递推问题 专项训练-2026届高三数学一轮复习

统计与概率：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式、全概率公式与数列递推问题专项训练 统计与概率：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式、全概率公式与数列递推问题 专项训练 考点一 条件概率 1．（24-25高二下·山东菏泽·期末）假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有两个小孩的家庭，已知该家庭有女孩，则两个小孩都是女孩的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】用表示男孩，表示女孩，则样本空间， 用表示事件 “选择的家庭中有女孩”，表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则，. 则，， 所以“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率为. 故选：C. 2．（24-25高二下·贵州安顺·期末）某班级组织抽奖活动，共有10个外观相同的抽奖盒，其中3个盒子有奖品，7个盒子为空盒．现甲、乙两名同学依次抽奖（甲抽完后不放回），则在甲没有抽到奖品的情况下，乙抽到奖品的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】10个外观相同的抽奖盒，其中3个盒子有奖品，7个盒子为空盒． 现甲、乙两名同学依次抽奖，则在甲没有抽到奖品的情况下，乙抽到奖品的概率是. 故选：A. 3．（24-25高二下·福建·期末）从编号1~10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，在1~10这10个数字中，5的倍数有5、10，共2个， 所以事件A发生的概率， 记事件AB表示“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数且第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”， 若第一次抽到5，那么第二次从剩下9张卡片中抽小于5的卡片，有4种抽法； 若第一次抽到10，那么第二次从剩下9张卡片中抽小于10的卡片，有9种抽法； 所以. 根据条件概率公式，. 故选：B. 4．（24-25高二下·天津西青·期末）经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.7，此运动员两次均击中9环的概率为0.56，则在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率，（    ） A．0.392 B．0.56 C．0.8 D．0.9 【答案】C 【详解】设第一次击中9环为事件A，第2次击中9环为事件B， 由题可得， 则在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为. 故选：C 5．（24-25高二下·福建三明·期末·多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对A：因为，故A正确； 对B：由，所以，故B正确； 对C：由，且，所以， 所以，故C错误； 对D：因为，故D正确. 故选：ABD 6．（24-25高二下·福建·期末·多选）若是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（   ） A．A与B相互独立 B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由题设，，，， 由，且， 所以，则，A错； 由，则，B对； 由，C对； 由，则，D对. 故选：BCD 7．（24-25高二下·山东菏泽·期末）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1．假设发送信号0和1是等可能的，则接收信号为1的概率是 ． 【答案】0.55 【详解】设“发送的信号为0”， “接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”， “接收到的信号为1”．由题意得 ，，， ，， ． 故选：0.55. 8．（24-25高二下·江苏南京·期末）设，是一个随机试验中的两个随机事件，且，，，则 ． 【答案】/ 【详解】因为， 所以， 解得. 所以. 故答案为：. 9．（24-25高二下·福建福州·期末）福州一中举行数学文化知识竞赛，比赛规定：主持人每公布一题，甲、乙两人就立刻抢答，先抢答者，若答对，可得1分；若答错，则对手得1分；谁先得3分，谁就胜出，比赛结束．假设两人每一次抢到题的概率均为，甲、乙两人答对每道题的概率分别为，，且两人答题正确与否互不影响． (1)在某次抢答中，求甲得1分的概率； (2)在某次抢答中，在乙得1分的条件下，求乙答对这个题的概率； (3)比赛进行中，若甲、乙暂时各得1分，两人继续抢答了题后比赛结束，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由题意，某次抢答中甲得1分的情况有甲抢到题且答对，或乙抢到题且答错， 所以某次抢答中甲得1分的概率为； （2）由题意，某次抢答中乙得1分的情况有甲抢到题且答错，或乙抢到题且答对， 所以某次抢答中乙得1分的概率为， 其中乙抢到题且答对的概率为， 所以某次抢答中，在乙得1分的条件下乙答对这个题的概率为； （3）由题设，的可能值为，且每次甲、乙得1分的概率分别为、， 所以，， 的分布列如下， 2 3 所以. 10．（24-25高二下·山东临沂·期末）某选手参加一项人工智能机器人PK比赛，规则如下：该选手的初始分为20分，每局比赛，该选手胜加10分；平局不得分；负减10分．当选手总分为0分时，挑战失败，比赛终止；当选手总分为30分时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛选手胜、平、负的概率分别为，且各局比赛相互独立. (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在3局后比赛终止的条件下，求选手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，选手每胜1局，获奖5千元．记局后比赛终止且选手获奖1万元的概率为，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件， 因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或30分比赛终止． （i）当棋手得分为分，则局均负，即； （ii）当棋手得分为30分，则局先平后胜，即．                 因为、互斥，所以         ．                            所以两局后比赛终止的概率为． （2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件． 因为                            ，                               ．                          所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 ．                                     所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为． （3）因为局获奖励万元，说明甲共胜局．                               （i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种，                          （ii）当棋手第局以30分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种，                              则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率 ，．             所以．                         因为，所以，                          所以，所以单调递减， 所以当时，取最大值为. 11．（24-25高二下·河南驻马店·期末）某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试．首次测试（测试Ⅰ）通过率为p（），未通过测试Ⅰ的芯片进入第二次测试（测试Ⅱ），通过率为q（）．通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废． (1)若某批次生产了n枚芯片，合格数为随机变量X．当，时，求X的期望与方差； (2)已知一枚芯片合格，求这枚芯片是通过测试Ⅰ的概率． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设事件A：芯片合格， 则每个芯片通过测试的概率为， 于是， 则，. （2）记事件A：芯片合格，事件B：通过测试I，事件C：通过测试Ⅱ． 由题意得， ， 则， 故所求概率为． 12．（24-25高二下·山东济宁·期末）某校航空航天社团学生利用AI训练平台对无人机完成飞行任务进行训练．无人机每轮训练有以下规律：若上一轮成功，本轮成功概率为；若上一轮失败，本轮成功概率为．已知首轮成功概率为，且前两轮都成功的概率为． (1)求； (2)在三轮训练中，求第一轮失败的条件下，第二轮、第三轮都成功的概率； (3)设随机变量表示三轮训练中成功的次数，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【详解】（1）设表示第轮训练成功． 由得：，解得：， （2）， （3）随机变量的所有取值可能为0，1，2，3． ， ． ． ． 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 ． 13．（24-25高二下·广东广州·期末）一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台． (1)若每次从中随机抽取1台，抽取后不再放回，则在第一次抽到A品牌的条件下，第二次抽到B品牌的概率； (2)若从中随机抽取2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列和期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）由题意得，设事件：第一次抽到品牌；设事件：第二次抽到品牌 法一：，． 每次不放回抽取，则在第一次抽到品牌的条件下，第二次抽到品牌的概率． 法二：． （2）设挑选2台电脑中品牌的台数为，则的可能取值为根据古典概型的知识可得的分布列为 ， 用表格表示的分布列，如图所示 0 1 2 ． 14．（24-25高二下·河北石家庄·期末）在学校趣味运动会上，有一个限时通过障碍的项目，闯关者在规定的时间内到达终点视为闯关成功，否则视为闯关失败.甲、乙两班各有3人参加此项目，已知甲班3名队员闯关成功的概率分别为，，，乙班每名队员闯关成功的概率均为，且各个队员闯关是否成功互不影响. (1)若，求在甲、乙两班共有4人闯关成功的条件下，甲、乙两班闯关成功的人数相同的概率； (2)记甲、乙两班闯关成功的人数分别是，，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设“甲、乙两班共有4人闯关成功”为事件，“甲、乙两班闯关成功的人数相同”为事件. 事件可以分为以下三种情况：甲班1人，乙班3人；甲班2人，乙班2人（即事件）；甲班3人，乙班1人.1分 甲班有1人，乙班有3人闯关成功的概率是， 甲班有2人，乙班有2人闯关成功的概率是， 甲班有3人，乙班有1人闯关成功的概率是， 所以. 又，所以，即在甲、乙两班共有4人闯关成功的条件下，甲、乙两班闯关成功的人数相同的概率为. （2）的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以， 由题意知，所以. 因为，所以，解得， 又，所以的取值范围是. 考点二 全概率公式与贝叶斯公式 1．（24-25高二下·山东济宁·期末）某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设输入的问题表达清晰为事件，回答被采纳为事件， 则， 根据全概率公式，. 故选：B. 2．（24-25高二下·贵州黔西·期末）某班级学生男生占60%，女生占40%，男生近视率为30%，女生近视率为25%.随机选一人发现近视，则此人是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】事件“选一人是男生”，“选一人发现近视”， 则，， 因此， 所以此人是男生的概率为. 故选：C 3．（24-25高二下·海南·阶段练习）王刚是校足球队的替补球员，已知每场比赛王刚上场的概率为，校足球队获胜的概率为，若王刚上场的情况下校足球队获胜的概率为，则校足球队获胜的比赛中王刚上场的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若表示王刚上场，表示足球队获胜， 则，，， 所以. 故选：B 4．（24-25高二下·福建泉州·期末）某仓库里混放着来自第一、第二两个车间的同型号的电器，第一、二车间生产电器的产品比例为，已知第一车间的电器次品率为3％，第二车间的电器次品率为8％．今有一客户从电器仓库中随机提一台产品，设此产品是次品的概率为；若此产品是次品，则此次品来自第一车间的概率为，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】依题意，由全概率公式得， 由条件概率公式得. 故选：D 5．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末·多选）有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2号箱内装有2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到绿球”，事件表示“摸到红球”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意可知，A正确，B错误； ，C正确； ，D正确； 故选：ACD. 6．（24-25高二下·河北承德·期末·多选）某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有3个红球、2个黄球和1个绿球，黄盒内有2个红球、1个绿球，绿盒内有1个红球、2个黄球．规定第一次先从红盒内任取1个球，再将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取1个球．规定每次抽球均能获得优惠券，抽到红球获得1张优惠券，抽到黄球获得2张优惠券，抽到绿球获得3张优惠券，每张优惠券的金额相同，顾客最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是 B．顾客最终获得6张优惠券的概率是 C．第二次抽到红球的概率是 D．若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为 【答案】AD 【详解】A：在第一次抽到黄球的条件下，第二次抽黄盒中共有4个球，里面黄色的球为1个，所以抽到黄球的概率为，故A正确； B：顾客最终获得6张优惠券顾客需要抽到2个绿球，则第一次抽到绿球的概率为，第二次在绿盒中抽到绿球的概率为，所以顾客最终获得6张优惠券的概率为，故B错误； C：设第一次从红盒中抽到红球为事件，第一次从红盒中抽到黄球为事件，第一次从红盒中抽到绿球为事件， 第二次从红盒抽到红球为事件，第二次从黄盒抽到红球为事件，第二次从绿盒抽到红球为事件，设第二次抽到红球为事件， 则，，，，，， 所以，故C错误； D：第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为，故D正确. 故选：AD. 7．（24-25高二下·北京丰台·期末）某手机销售店只销售甲、乙两个品牌的手机，其中甲品牌的销售量占本店手机销售量的，优质率为，乙品牌的优质率为．从该店中随机买一部手机，则“买到的是优质品”的概率为 ． 【答案】0.86/ 【详解】买到的是优质品的概率是. 故答案为：. 8．（24-25高二下·山东菏泽·期末）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1．假设发送信号0和1是等可能的，则接收信号为1的概率是 ． 【答案】0.55 【详解】设“发送的信号为0”， “接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”， “接收到的信号为1”．由题意得 ，，， ，， ． 故选：0.55. 9．（24-25高二下·北京海淀·期末）幻觉，是指模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象．幻觉率是指模型产生幻觉的概率．现抽取了由甲、乙、丙、丁四个公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： 公司 甲 乙 丙 丁 AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% (1)从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率低于2%的概率； (2)从表中提供的幻觉率低于2%的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率低于1.3%的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望; (3)已知某同学向表中乙或丙公司的某个AI模型进行了一次提问，经查证，该模型产生了AI幻觉，则该模型来自哪个公司的可能性更大?（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)乙公司的可能性更大 【详解】（1）14个AI模型，幻觉率高于2%的有2.9%，2.9%，2.4%，2.4%，2.8%，共有5个，所以幻觉率低于2%的概率为 （2）幻觉率低于2%的AI模型中共有9个，其中幻觉率低于1.3%的模型有3个，故, 故分布列为 0 1 2 3 , 故 （3）来自于乙公式的概率大，理由如下： “模型来自于乙公司”，     “模型来自于丙公司”， “AI模型的编号为”， ，“AI模型的编号为”， ， “AI模型产生了AI幻觉”     则， 则 则, 由于 所以 , 由于,因此模型来自乙公司的概率大 10．（2025·四川成都·一模）以“‘智’在必得”为主题的人工智能知识挑战赛预赛由6道正误判断题组成，每位选手从中随机抽取3道，若能全部回答正确，则通过预赛.已知选手甲会做其中的4道题. (1)设表示选手甲抽到会做题目的道数，求随机变量的分布列和方差； (2)假设选手甲会做的题全部答对；不会做的题随机判断，答对的概率为.若各题作答结果互不影响，求他通过预赛的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【详解】（1）根据题意. ； ； . 所以的分布列为 1 2 3 故随机变量的期望. 所以的方差. （2）设事件“选手甲抽到道会做的题目，”，事件“选手甲通过预赛”， 则，，，两两互斥，. 由（1）知，.又. 所以. 同理，. . 由全概率公式得，选手甲通过预赛的概率. 11．（24-25高二下·河北石家庄·期末）有甲乙两个袋子，袋子里有形状大小完全相同的球.其中甲袋中有3个红球7个白球，乙袋中有4个红球6个白球.从两袋中等可能的选一个袋子，再从该袋中随机摸出一球，称为一次摸球试验，多次做摸球试验直到摸出白球，试验结束. (1)求首次摸球后试验就结束的概率； (2)在首次摸出红球的条件下，求选到的袋子是乙袋的概率； (3)在首次摸出红球的条件下，将红球放回原袋中，继续第二次摸球试验，有如下两个方案：方案一：从原袋中摸球； 方案二：从另外一个袋子中摸球. 请通过计算，说明哪个方案能使第二次摸球后试验结束的概率更大. 【答案】(1)； (2)； (3)方案二. 【详解】（1）设摸球一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“摸出白球”为事件，“摸出红球”为事件． 则， 所以首次摸球后试验就结束的概率为. （2）由题意，和为对立事件，则， 则， 所以选到的袋子是乙袋的概率是. （3）方案一：从原袋中摸球 若首次在甲袋中摸出红球，则， 原袋（甲袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为； 若首次在乙袋中摸出红球，则， 原袋（乙袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为. 综上，方案一使第二次摸球后试验结束的概率为. 方案二：从另外一个袋子中摸球 若首次在甲袋中摸出红球，则， 另一个袋子（乙袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为； 若首次在乙袋中摸出红球，则， 另一个袋子（甲袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为. 综上，方案二使第二次摸球后试验结束的概率为. 因为，所以方案二使第二次摸球后试验结束的概率更大. 12．（24-25高二下·福建厦门·期末）某工厂共有甲、乙两条生产线生产同一型号的产品，其中甲生产线每天产量为20000件，乙生产线每天产量为10000件．其中甲生产线的一等品率为0.2，二等品率为0.8；乙生产线的一等品率为0.6，二等品率为0.4.将甲、乙两条生产线生产的产品均匀混合后随机装箱． (1)质检人员从混合后的产品中随机抽取一件，求抽取到的产品为一等品的概率； (2)已知每箱中有3件产品，其中二等品的定价为100元／件，若要使得每箱产品销售额的期望不低于400元，一等品应该如何定价． 【答案】(1) (2)若要使得每箱产品销售额的期望不低于400元，一等品定价至少200元/件 【详解】（1）设从待装箱的产品中随机抽取一件，其为甲、乙两条生产线的产品分别记为事件A和事件B，记其为一等品的为事件C， 依题意可得，且互斥， 故， 所以抽取到的产品为一等品的概率． （2）由（1）从混合后的产品中随机抽取一件，抽到一等品的概率为， 设每箱中3件产品中一等品的数量为随机变量，则， ， 设每箱产品销售额为随机变量，一等品定价为元/件， 则， 所以， 依题意，，解得， 所以若要使得每箱产品销售额的期望不低于400元，一等品定价至少200元/件． 13．（24-25高三下·云南丽江·阶段练习）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下:若命中，则此人继续投篮，若未命中，则换对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签决定第1次投篮的人选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率均为. (1)求第2次投篮的人是甲的概率. (2)记为前3次投篮中，甲总共投篮的次数，求的分布列与期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件,“第次投篮的人是乙”为事件， 所以 （2）由题设，的所有可能取值为0,1,2,3， ， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 14．（24-25高二下·海南海口·期末）高中数学试题多选题给出的四个选项中有2个或3个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（答案为3个选项每个得2分，答案为2个选项每个得3分）． (1)若一道多选题只有2个选项符合题目要求，求随机选择2个选项能得6分的概率； (2)假定四个选项中有2个或3个选项符合题目要求的概率均为． （ⅰ）求一道多选题随机选择1个选项时得0分的概率； （ⅱ）一道多选题在能确定A选项错误的前提下随机作答（选择1至3个选项），从得分期望角度分析，建议作答时选择几个选项？ 【答案】(1) (2)（i）；（ii）建议作答时选择2个或者3个选项 【详解】（1）记“随机选择2个选项得6分”为事件A． 从4个选项中任选2个选项，样本空间共种等可能结果， 正确选项1种可能，所以，即随机选择2个选项得6分的概率为． （2）（ⅰ）记“四个选项中有i个选项符合题目要求”为事件， “选择1个选项时得0分”为事件B． 则有，， ，， ，即选择1个选项时得0分的概率为． （ⅱ）一道多选题在能确定A选项错误的前提下． 选1个选项时，得分X的可能取值为0，2，3， ，，， 所以得分期望， 选2个选项时，得分Y的可能取值为0，4，6， 同理可得，，， 所以得分期望为， 选3个选项时，得分Z的可能取值为0，6， 同理可得，， 所以得分期望为， ，建议作答时选择2个或者3个选项． 考点三 全概率公式与数列递推问题 1．（24-25高二下·四川凉山·期末）某学校食堂每天中午提供，两种套餐，同学小李第一天午餐时随机选择一种套餐，如果前一天选择套餐，那么第二天选择套餐的概率为；如果前一天选择套餐，那么第二天选择套餐的概率为. (1)该食堂对套餐的菜品种类与品质等方面进行了改善后，调查了学生对套餐的满意程度情况，统计了100名学生的数据，如下表（单位：人） 套餐满意度情况 套餐改善前 套餐改善后 合计 满意 35 40 75 不满意 15 10 25 合计 50 50 100 根据小概率值的独立性检验，能否认为学生对套餐的满意程度与套餐的改善有关? (2)若套餐拟提供2种品类的素菜，（，）种品类的荤菜，同学小李从这些菜品中随机选择4种菜品，记选择素菜的种数为，求的最大值，并求此时的值. (3)设同学小李第天选择套餐的概率为，求. 参考数据：，其中 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)学生对套餐的满意程度与套餐的优化无关 (2)当时，有最大值 (3) 【详解】（1）零假设：学生对套餐的满意程度与套餐的优化相互独立. 没有充分理由证明不成立，即学生对套餐的满意程度与套餐的优化无关. （2）由题意知：小李同学选择荤菜种数的概率为： 由于，所以在处取得最大值. （3）同学小李第天选择套餐的概率为，则第天选择套餐的概率为，， ， 当时，，所以是以为首项，为公比的等比数列， 因此. 2．（24-25高二下·安徽·期末）某工厂员工每天选择坐班车或开私家车去上班.统计可知，该工厂员工若前一天坐班车，则第二天仍坐班车的概率为，第二天改开私家车的概率为；若前一天开私家车，则第二天仍开私家车的概率为，第二天改坐班车的概率为.若该工厂员工上班第一天坐班车和开私家车的概率均为，该工厂某员工第天坐班车的概率为. (1)设该工厂某3位员工中第二天坐班车的人数为，求的分布列与数学期望； (2)求； (3)为缓解交通压力，工厂决定每天抽调10人到班车停车场和私家车停车场参加安保工作，请合理分配每天去班车停车场和私家车停车场参加安保工作的人数，并说明理由. 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3)去班车停车场人，去私家车停车场人，理由见解析 【详解】（1）由题可知，该工厂员工第二天坐班车的概率， 所以 的所有可能取值为0,1,2,3， , , ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 ； （2）由题可知， 则 又， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以； （3）由（2）可知，当趋向于正无穷大时，趋向于， 所以工厂每天抽调的10人中，去班车停车场参加安保工作的应有人，去私家车停车场参加安保工作的应有人. 3．（24-25高二下·四川广元·期末）已知甲乙两个盒中均有3个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球和1个红球．从甲乙两个盒中各任取一个小球交换，重复进行次操作后，记甲盒中红球的个数为，甲盒中恰有1个红球的概率为，恰有2个红球的概率为． (1)求的数学期望； (2)找出与的关系，并求的通项公式； (3)证明：． 【答案】(1) (2)； (3)证明见解析 【详解】（1）由题意随机变量， 则，，， 所以随机变量的分布列如下： 故数学期望. （2）由全概率公式可得 ， 即，化简可得， 所以，又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，即. （3）由全概率公式可得 ， ， 即，又，所以， 可得，又， 故，则，， 所以 4．（24-25高二下·山东东营·期末）某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第i次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第i次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中. (1)求该操作员第二次降落成功的概率； (2)记该操作员前两次降落成功的次数为X，求X的分布列和数学期望； (3)设第i次降落成功的概率为，求证：. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)证明见解析 【详解】（1）设事件“第次降落成功”，则“第次降落未成功”，. 由全概率公式得 ， 该操作员第二次降落成功的概率为. （2）由题意得，，，，. 的所有取值为0，1，2， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以. （3）由题意得， 当时， 即， 整理得，又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故，即，易知单调递增 所以. 5．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）现有A，B两个盒子，A，B两盒子中各装有1个黑球和2个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记A盒子中黑球的个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为． (1)求，，，的值； (2)求证：是定值； (3)求的数学期望． 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题意知，，， ． （2）因为， ， 所以， 所以． 又因为，所以是常数列． 所以． （3）由（2）知， 因为的可能取值是0，1，2， ，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以． 6．（24-25高二下·山东泰安·期末）为备战全国机器人大赛，某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，比赛规则为：①每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局；②总共进行奇数局比赛；③全部比完后，分数高者获胜.假设每局比赛甲队获胜的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响. (1)当时，若两队共进行3局比赛，设甲队得分减去乙队得分的差为X，现在规定：若，则甲队可额外获得一次特殊训练机会，求甲队获得一次特殊训练机会的概率； (2)若两人共进行局比赛，当且时，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”，事件B表示“甲最终获胜”，求，的值； (3)若甲队在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为，已知，试判断与的大小关系，并说明理由. 【答案】(1)； (2)，； (3)，理由见解析. 【详解】（1）， ∴甲队获得一次特殊训练机会的概率为； （2）由题设，前局后剩余2局比赛，设前局甲队赢局， 则剩余2局的赢局数，总分满足， 所以对应，即，又，故， 对于对应，即，又，所以； （3）由全概率公式得     ， ∴， 当时，， ， ∵， ∴， ∴. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$统计与概率：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式、全概率公式与数列递推问题专项训练 统计与概率：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式、全概率公式与数列递推问题 专项训练 考点一 条件概率 1．（24-25高二下·山东菏泽·期末）假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有两个小孩的家庭，已知该家庭有女孩，则两个小孩都是女孩的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·贵州安顺·期末）某班级组织抽奖活动，共有10个外观相同的抽奖盒，其中3个盒子有奖品，7个盒子为空盒．现甲、乙两名同学依次抽奖（甲抽完后不放回），则在甲没有抽到奖品的情况下，乙抽到奖品的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·福建·期末）从编号1~10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·天津西青·期末）经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.7，此运动员两次均击中9环的概率为0.56，则在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率，（    ） A．0.392 B．0.56 C．0.8 D．0.9 5．（24-25高二下·福建三明·期末·多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·福建·期末·多选）若是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（   ） A．A与B相互独立 B． C． D． 7．（24-25高二下·山东菏泽·期末）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1．假设发送信号0和1是等可能的，则接收信号为1的概率是 ． 8．（24-25高二下·江苏南京·期末）设，是一个随机试验中的两个随机事件，且，，，则 ． 9．（24-25高二下·福建福州·期末）福州一中举行数学文化知识竞赛，比赛规定：主持人每公布一题，甲、乙两人就立刻抢答，先抢答者，若答对，可得1分；若答错，则对手得1分；谁先得3分，谁就胜出，比赛结束．假设两人每一次抢到题的概率均为，甲、乙两人答对每道题的概率分别为，，且两人答题正确与否互不影响． (1)在某次抢答中，求甲得1分的概率； (2)在某次抢答中，在乙得1分的条件下，求乙答对这个题的概率； (3)比赛进行中，若甲、乙暂时各得1分，两人继续抢答了题后比赛结束，求的分布列及数学期望． 10．（24-25高二下·山东临沂·期末）某选手参加一项人工智能机器人PK比赛，规则如下：该选手的初始分为20分，每局比赛，该选手胜加10分；平局不得分；负减10分．当选手总分为0分时，挑战失败，比赛终止；当选手总分为30分时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛选手胜、平、负的概率分别为，且各局比赛相互独立. (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在3局后比赛终止的条件下，求选手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，选手每胜1局，获奖5千元．记局后比赛终止且选手获奖1万元的概率为，求的最大值. 11．（24-25高二下·河南驻马店·期末）某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试．首次测试（测试Ⅰ）通过率为p（），未通过测试Ⅰ的芯片进入第二次测试（测试Ⅱ），通过率为q（）．通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废． (1)若某批次生产了n枚芯片，合格数为随机变量X．当，时，求X的期望与方差； (2)已知一枚芯片合格，求这枚芯片是通过测试Ⅰ的概率． 12．（24-25高二下·山东济宁·期末）某校航空航天社团学生利用AI训练平台对无人机完成飞行任务进行训练．无人机每轮训练有以下规律：若上一轮成功，本轮成功概率为；若上一轮失败，本轮成功概率为．已知首轮成功概率为，且前两轮都成功的概率为． (1)求； (2)在三轮训练中，求第一轮失败的条件下，第二轮、第三轮都成功的概率； (3)设随机变量表示三轮训练中成功的次数，求的分布列及数学期望． 13．（24-25高二下·广东广州·期末）一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台． (1)若每次从中随机抽取1台，抽取后不再放回，则在第一次抽到A品牌的条件下，第二次抽到B品牌的概率； (2)若从中随机抽取2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列和期望． 14．（24-25高二下·河北石家庄·期末）在学校趣味运动会上，有一个限时通过障碍的项目，闯关者在规定的时间内到达终点视为闯关成功，否则视为闯关失败.甲、乙两班各有3人参加此项目，已知甲班3名队员闯关成功的概率分别为，，，乙班每名队员闯关成功的概率均为，且各个队员闯关是否成功互不影响. (1)若，求在甲、乙两班共有4人闯关成功的条件下，甲、乙两班闯关成功的人数相同的概率； (2)记甲、乙两班闯关成功的人数分别是，，若，求的取值范围. 考点二 全概率公式与贝叶斯公式 1．（24-25高二下·山东济宁·期末）某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·贵州黔西·期末）某班级学生男生占60%，女生占40%，男生近视率为30%，女生近视率为25%.随机选一人发现近视，则此人是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·海南·阶段练习）王刚是校足球队的替补球员，已知每场比赛王刚上场的概率为，校足球队获胜的概率为，若王刚上场的情况下校足球队获胜的概率为，则校足球队获胜的比赛中王刚上场的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·福建泉州·期末）某仓库里混放着来自第一、第二两个车间的同型号的电器，第一、二车间生产电器的产品比例为，已知第一车间的电器次品率为3％，第二车间的电器次品率为8％．今有一客户从电器仓库中随机提一台产品，设此产品是次品的概率为；若此产品是次品，则此次品来自第一车间的概率为，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末·多选）有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2号箱内装有2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到绿球”，事件表示“摸到红球”，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·河北承德·期末·多选）某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有3个红球、2个黄球和1个绿球，黄盒内有2个红球、1个绿球，绿盒内有1个红球、2个黄球．规定第一次先从红盒内任取1个球，再将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取1个球．规定每次抽球均能获得优惠券，抽到红球获得1张优惠券，抽到黄球获得2张优惠券，抽到绿球获得3张优惠券，每张优惠券的金额相同，顾客最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是 B．顾客最终获得6张优惠券的概率是 C．第二次抽到红球的概率是 D．若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为 7．（24-25高二下·北京丰台·期末）某手机销售店只销售甲、乙两个品牌的手机，其中甲品牌的销售量占本店手机销售量的，优质率为，乙品牌的优质率为．从该店中随机买一部手机，则“买到的是优质品”的概率为 ． 8．（24-25高二下·山东菏泽·期末）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1．假设发送信号0和1是等可能的，则接收信号为1的概率是 ． 9．（24-25高二下·北京海淀·期末）幻觉，是指模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象．幻觉率是指模型产生幻觉的概率．现抽取了由甲、乙、丙、丁四个公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： 公司 甲 乙 丙 丁 AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% (1)从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率低于2%的概率； (2)从表中提供的幻觉率低于2%的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率低于1.3%的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望; (3)已知某同学向表中乙或丙公司的某个AI模型进行了一次提问，经查证，该模型产生了AI幻觉，则该模型来自哪个公司的可能性更大?（结论不要求证明） 10．（2025·四川成都·一模）以“‘智’在必得”为主题的人工智能知识挑战赛预赛由6道正误判断题组成，每位选手从中随机抽取3道，若能全部回答正确，则通过预赛.已知选手甲会做其中的4道题. (1)设表示选手甲抽到会做题目的道数，求随机变量的分布列和方差； (2)假设选手甲会做的题全部答对；不会做的题随机判断，答对的概率为.若各题作答结果互不影响，求他通过预赛的概率. 11．（24-25高二下·河北石家庄·期末）有甲乙两个袋子，袋子里有形状大小完全相同的球.其中甲袋中有3个红球7个白球，乙袋中有4个红球6个白球.从两袋中等可能的选一个袋子，再从该袋中随机摸出一球，称为一次摸球试验，多次做摸球试验直到摸出白球，试验结束. (1)求首次摸球后试验就结束的概率； (2)在首次摸出红球的条件下，求选到的袋子是乙袋的概率； (3)在首次摸出红球的条件下，将红球放回原袋中，继续第二次摸球试验，有如下两个方案：方案一：从原袋中摸球； 方案二：从另外一个袋子中摸球. 请通过计算，说明哪个方案能使第二次摸球后试验结束的概率更大. 12．（24-25高二下·福建厦门·期末）某工厂共有甲、乙两条生产线生产同一型号的产品，其中甲生产线每天产量为20000件，乙生产线每天产量为10000件．其中甲生产线的一等品率为0.2，二等品率为0.8；乙生产线的一等品率为0.6，二等品率为0.4.将甲、乙两条生产线生产的产品均匀混合后随机装箱． (1)质检人员从混合后的产品中随机抽取一件，求抽取到的产品为一等品的概率； (2)已知每箱中有3件产品，其中二等品的定价为100元／件，若要使得每箱产品销售额的期望不低于400元，一等品应该如何定价． 13．（24-25高三下·云南丽江·阶段练习）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下:若命中，则此人继续投篮，若未命中，则换对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签决定第1次投篮的人选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率均为. (1)求第2次投篮的人是甲的概率. (2)记为前3次投篮中，甲总共投篮的次数，求的分布列与期望. 14．（24-25高二下·海南海口·期末）高中数学试题多选题给出的四个选项中有2个或3个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（答案为3个选项每个得2分，答案为2个选项每个得3分）． (1)若一道多选题只有2个选项符合题目要求，求随机选择2个选项能得6分的概率； (2)假定四个选项中有2个或3个选项符合题目要求的概率均为． （ⅰ）求一道多选题随机选择1个选项时得0分的概率； （ⅱ）一道多选题在能确定A选项错误的前提下随机作答（选择1至3个选项），从得分期望角度分析，建议作答时选择几个选项？ 考点三 全概率公式与数列递推问题 1．（24-25高二下·四川凉山·期末）某学校食堂每天中午提供，两种套餐，同学小李第一天午餐时随机选择一种套餐，如果前一天选择套餐，那么第二天选择套餐的概率为；如果前一天选择套餐，那么第二天选择套餐的概率为. (1)该食堂对套餐的菜品种类与品质等方面进行了改善后，调查了学生对套餐的满意程度情况，统计了100名学生的数据，如下表（单位：人） 套餐满意度情况 套餐改善前 套餐改善后 合计 满意 35 40 75 不满意 15 10 25 合计 50 50 100 根据小概率值的独立性检验，能否认为学生对套餐的满意程度与套餐的改善有关? (2)若套餐拟提供2种品类的素菜，（，）种品类的荤菜，同学小李从这些菜品中随机选择4种菜品，记选择素菜的种数为，求的最大值，并求此时的值. (3)设同学小李第天选择套餐的概率为，求. 参考数据：，其中 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 2．（24-25高二下·安徽·期末）某工厂员工每天选择坐班车或开私家车去上班.统计可知，该工厂员工若前一天坐班车，则第二天仍坐班车的概率为，第二天改开私家车的概率为；若前一天开私家车，则第二天仍开私家车的概率为，第二天改坐班车的概率为.若该工厂员工上班第一天坐班车和开私家车的概率均为，该工厂某员工第天坐班车的概率为. (1)设该工厂某3位员工中第二天坐班车的人数为，求的分布列与数学期望； (2)求； (3)为缓解交通压力，工厂决定每天抽调10人到班车停车场和私家车停车场参加安保工作，请合理分配每天去班车停车场和私家车停车场参加安保工作的人数，并说明理由. 3．（24-25高二下·四川广元·期末）已知甲乙两个盒中均有3个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球和1个红球．从甲乙两个盒中各任取一个小球交换，重复进行次操作后，记甲盒中红球的个数为，甲盒中恰有1个红球的概率为，恰有2个红球的概率为． (1)求的数学期望； (2)找出与的关系，并求的通项公式； (3)证明：． 4．（24-25高二下·山东东营·期末）某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第i次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第i次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中. (1)求该操作员第二次降落成功的概率； (2)记该操作员前两次降落成功的次数为X，求X的分布列和数学期望； (3)设第i次降落成功的概率为，求证：. 5．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）现有A，B两个盒子，A，B两盒子中各装有1个黑球和2个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记A盒子中黑球的个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为． (1)求，，，的值； (2)求证：是定值； (3)求的数学期望． 6．（24-25高二下·山东泰安·期末）为备战全国机器人大赛，某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，比赛规则为：①每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局；②总共进行奇数局比赛；③全部比完后，分数高者获胜.假设每局比赛甲队获胜的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响. (1)当时，若两队共进行3局比赛，设甲队得分减去乙队得分的差为X，现在规定：若，则甲队可额外获得一次特殊训练机会，求甲队获得一次特殊训练机会的概率； (2)若两人共进行局比赛，当且时，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”，事件B表示“甲最终获胜”，求，的值； (3)若甲队在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为，已知，试判断与的大小关系，并说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$