解析几何：面积问题、三点共线问题、四点共圆问题 专项训练-2026届高三数学一轮复习

解析几何：面积问题、三点共线问题、四点共圆问题专项训练 解析几何：面积问题、三点共线问题、四点共圆问题专项训练 考点一 三角形的面积问题 1．（2025·云南·模拟预测）设O为坐标原点，直线与抛物线交于A，B两点，与C的准线交于点M．若，点F为C的焦点，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图，分别过点作抛物线准线的垂线，垂足分别为， 则，， 抛物线的焦点， 直线过定点， 因为，， 所以， 所以. 故选：B. 2．（24-25高二下·湖北荆门·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】设直线与x轴的交点为M，则． 所以，． 因为，所以． 由得，即，，． 所以，解得或． 因为与C有两个交点，联立消y得， 则，解得．所以 故选：C. 3．（24-25高二下·河南漯河·期末）已知点，C，D是与x轴的交点，P为动点，以为直径的圆与相内切，则面积的最大值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．15 【答案】D 【详解】如图，设以为直径的圆心为E，半径为r， 因为与相内切，则． 设，连接，则， ，又， 所以，， 所以，点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆， 由，得，又，所以． 显然P为椭圆短轴端点即或时的面积最大，为． 故选：D 4．（2025·江苏·模拟预测·多选）设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．与的面积之比为 【答案】BCD 【详解】由题得且， 则在第二象限，在第一象限，且， 联立， 则， 所以或（舍去）， 所以抛物线，，， 所以可得，， 所以， 直线与轴交于点， 所以， 所以. 所以A错误，BCD正确. 故选：BCD. 5．（24-25高二下·重庆·阶段练习·多选）已知椭圆的左右焦点为，，为椭圆上一动点，设点，是椭圆上位于轴上方的点，且，则下列说法正确的有（    ） A．面积的最大值为 B．存在点，使 C．若 ，则的最大值为 D．的最小值为 【答案】AC 【详解】由椭圆方程，可知，，， A选项：的面积， 所以当点为椭圆短轴顶点时面积最大为，A选项正确； B选项：设，，则，即， ，， 则， 所以不存在使，B选项错误； C选项： 如图所示，由椭圆定义可知， 当点在延长线时取等号，C选项正确； D选项： 设直线与椭圆的另一个交点为， 由椭圆的对称性可知，当时，， 设直线的方程为， 联立直线与椭圆，化简可得，， 则，， 则，， 所以， 又，所以，D选项错误； 故选：AC. 6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知曲线的中心为M，过的直线交曲线M于A，B两点，，则三角形面积的最大值为 ． 【答案】 【详解】由可得，故, 令，则或， 因此曲线与轴的交点为， ， 故要使得的面积最大，只需要最大，即只需要的纵坐标的绝对值最大即可， 在中令，则， 故， 故答案为： 7．（2025·山东日照·二模）已知与x轴相交于C，D两点，点，以AB为直径的圆与⊙O内切，则△BCD面积的最大值为 ． 【答案】8 【详解】 如图，设以为直径的圆的圆心为，， 因为两圆内切，所以， 又为的中位线，所以， 所以， 所以的轨迹为以，为焦点的椭圆， ，， 显然当为椭圆短轴顶点即时，的面积最大， 最大值为. 故答案为：8 8．（2025·山东临沂·三模）已知为坐标原点，点为椭圆上任意一点，，为圆的两条切线，切点分别为，，若直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为 . 【答案】 【详解】先求在圆上一点的切线方程： 设圆的方程为，圆心为，半径为， 设是圆上的一点，则①， 设是圆在处的切线方程上任意一点，则， 即②， 并整理得， 即圆在处的切线方程为. 根据题意，设，，，，，， 是圆的切线且切点为，则的方程为， 同理的方程为， 又由､交于点，则有，， 则直线的方程为（1）. 要使围成三角形，则不是椭圆的顶点，所以， 由（1）可得的坐标为，，的坐标为， ， 又由点是椭圆上的动点（非顶点），则有， 则有，即， 当且仅当时，即时等号成立， ， 即面积的最小值为. 故答案为： 9．（24-25高二下·广西贵港·阶段练习）已知椭圆：的右焦点为，点和点在上． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与交于另一点，求的最大面积． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题设，可得，可得椭圆方程为； （2）由题设，直线，且， 由在椭圆上，令，则到直线的距离， 所以，其中， 所以时，面积最大值为. 10．（2025·海南·模拟预测）直线过抛物线的焦点，与交于两点，当线段中点的纵坐标为2时，． (1)求； (2)证明：直线的斜率之积为定值，并求出该定值； (3)设在点处的切线相交于点，若，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）设，，线段中点设为，则， 由题意，抛物线的焦点为， 根据抛物线的定义得，所以； （2）当直线斜率不存在时，，与抛物线只有一个交点，不符合题意. 所以直线斜率必存在，设为， 与抛物线联立得：，所以，得， 所以直线的斜率之积为，所以直线的斜率之积为定值，该定值为； （3）由（1）知，，由题意，所以， 所以或，当时，，此时，，由得， 所以过点A的切线方程为，即， 过点B的切线方程为，即， 联立得， 又的斜率，即，即， 所以到的距离，因为， 所以的面积为； 当时，， 此时，，由得， 所以过点A的切线方程为，即， 过点B的切线方程为，即， 联立得， 又的斜率，即，即， 所以到的距离，因为， 所以的面积为； 综上，的面积为 11．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知点是圆上的动点，是坐标原点，，过垂直于轴的直线与过垂直于轴的直线交于点，点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)，，点是上一点，在射线上且，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设点，则，. ，所以.     在圆上，得， 的方程是. （2）设，， 则     由②、③式联立，解得：，由题意，， 解得：或     当，时，， 到的距离为，， 故，   当，时，同理可得. 故所求面积为. 12．（24-25高二下·四川自贡·期末）在平面直角坐标系中，，动点与两点连线斜率乘积为． (1)记动点的轨迹为曲线．求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，且的面积是的面积的2倍，求直线的斜率． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）设，则， 由得，， 所以曲线的方程为. （2） 由题意得直线的斜率不为，设，， 由得，， 所以， 因为的面积是的面积的2倍， 所以， 因为，所以， 由题意得，符号相反，故， 所以， 所以，解得， 所以直线的斜率为或. 13．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知和为椭圆上两点． (1)求C的方程； (2)点P在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交y轴于点Q，，为椭圆C的左、右焦点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题意得，解得， 所以的方程为． （2）由题意得，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，消去整理得， 由根与系数的关系得，所以， 所以，，又因为，， 所以，，， 所以，所以， 即，解得， 所以直线的方程为． 14．（24-25高二下·河南洛阳·期末）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上. (1)求椭圆C的标准方程； (2)椭圆C的左焦点为F，若T为直线上一点，过点F且与TF垂直的直线交椭圆C于P，Q两点，线段PQ的中点为M. （ⅰ）证明：点M在直线OT上（O为原点）； （ⅱ）求的面积的最大值，以及此时点T的坐标. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）面积最大值为，点T的坐标. 【详解】（1）由题知，∴，∴， 又，∴，， ∴椭圆C的标准方程为. （2）（ⅰ）由题可设，，PQ的中点为， 若直线PQ的斜率为0，不存在满足的点T，故设PQ的方程为， 代入椭圆方程得， 则，，， ∵TF的方程为，令，得， ∴，∴OT过PQ的中点，即点M在直线OT上. （ⅱ）由（ⅰ）可得， . ∵， 而，，， 当且仅当，即时等号成立. ∴，当且仅当时等号成立. ∴的面积最大值为，及此时点T的坐标. 考点二 四边形的面积问题 1．（2025·山西晋中·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点是双曲线上任意一点，过点所作的两条渐近线的平行线与渐近线的交点分别为，则四边形的面积（    ） A．为定值 B．最大值为 C．为定值 D．最大值为 【答案】C 【详解】设点，则，即， 则直线，所以直线， 联立，解得， 所以， ， 点到直线的距离为， 所以四边形的面积， 又，所以. 所以四边形的面积为定值. 故选：C. 2．（24-25高三下·云南德宏·阶段练习）已知椭圆C：()的上、下顶点分别为，，左、右焦点分别为，，点P在C上，且C的离心率为，的周长为10，则四边形的面积为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为C的离心率为，所以，即． 又因为的周长为10，所以，即．联立，解得. 又因为，所以，所以四边形的面积为． 故选：B. 3．（24-25高二下·安徽宣城·期末·多选）已知点是抛物线的焦点，是过点的弦且，直线的斜率为，，且两点在第一象限，则（   ） A． B．四边形面积的最小值为64 C． D．若，则直线的斜率为 【答案】ACD 【详解】对于A：设直线的方程为，， 联立直线和抛物线方程得， 根据韦达定理得. 所以. 所以，所以A正确； 对于B：. 直线的方程为，与抛物线联立方程组化简得. 根据韦达定理. 所以， 因为，所以，所以， 所以四边形的面积为 当且仅当时等号成立，此时四边形面积的最小值为128，所以B错误； 对于C：因为， 所以，所以C正确； 对于D：， 同理. 所以所以，因为，所以. 所以直线的斜率为，所以D正确. 故选：ACD. 4．（24-25高二下·四川凉山·期末·多选）双曲线（，）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与曲线的一条渐近线交于、两点，且，则下列说法一定正确的是（   ） A．的离心率为 B． C． D．当时，四边形的面积为 【答案】ABD 【详解】双曲线，则，，，，渐近线方程为，以为直径的圆方程为； 联立方程组得，解得，不妨设， 则，由，得， 解得，则，离心率，所以A正确； 可知，则，所以，所以B正确； 由，则，，，， 当位置互换时，，不符合条件，所以C错误； 由，则，所以， 已知，， 所以，所以D正确； 故选：ABD. 5．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）已知，为椭圆的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ． 【答案】12 【详解】 如图，因关于原点对称，则，又， 则四边形为平行四边形，因，故四边形为矩形. 设，则， 于是，解得. 故四边形的面积为. 故答案为：12. 6．（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）已知分别为双曲线的左､右焦点，在上，其中在第一象限，在第二象限，直线过，且关于直线对称，则四边形的面积为 . 【答案】16 【详解】如图，因为关于直线对称，设交与， 则，且，    由双曲线定义可得，所以， 在中，， 设，则， 在中，由得①， 在中，由得②， 解①②可得：， 所以， 于是可得四边形的面积为. 故答案为：. 7．（2025·浙江金华·三模）双曲线的离心率为，过左焦点的直线与双曲线的左支、右支分别交于点，当直线与轴垂直时，. (1)求双曲线的方程； (2)点满足，其中是坐标原点，求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由直线与轴垂直时，，故，故， 又离心率为，则，所以， 双曲线的方程为：. （2）设直线l的方程是，，. 由得， ，. 因为，所以，从而. 所以，，消去得，解得， 它满足，. , 故到直线的距离为， 所以， 由于，所以, 8．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）已知椭圆：（）的长轴长为4，焦距为. (1)求的方程. (2)若，分别为的左、右顶点，过点的直线与交于与，不重合的，两点. ①求四边形面积的最大值. ②设直线，，的斜率分别为，，，判断是否为定值.若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②是， 【详解】（1）由题意得得则， 所以的方程为. （2）由（1）可知，， 易得直线的斜率不为零，设：，，.    由得，得 ①四边形的面积为 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故四边形面积的最大值为. ②是定值，该定值为. ，，. ， ， 所以. 9．（24-25高二下·湖南湘西·期末）在平面直角坐标系中，曲线的点均在圆外，且对上任意一点，点到直线的距离比点到点的距离小1． (1)求曲线的方程； (2)若直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值； (3)设为直线上一动点，过点作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和．证明：点的纵坐标之积为定值2304． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）方法一： 由题意， ∵到直线的距离比点到点的距离小1， ∴上任意一点到直线的距离等于点到点的距离， 因此，曲线的是以为焦点，直线为准线的抛物线， 故曲线的方程为． 方法二：由题意， 设点的坐标为， 由题意得， 易知点位于直线的右侧， ∴，∴， 化简得， 曲线的方程为． （2）由题意得， 的圆心为，半径， 又∵四边形的面积， ∴当的值最小时，四边形的面积最小， 又的最小值为：， ∴四边形面积的最小值． （3）由题意及（1）（2）证明如下， 当点在直线上运动时， 设点的坐标为. 又， ∴过点且与圆相切得直线的斜率存在且不为0， 每条切线都与有两个交点， 则切线方程为， 即， 所以，整理得．① 设过点所作的两条切线的斜率分别为， 则是方程①的两个实数根， ∴．② 联立得．③ 设点的纵坐标分别为，则是方程③的两个实数根， ∴．④ 同理可得，．⑤ 联立②，④，⑤三式，得 ， ∴当在直线上运动时，点的纵坐标之积为定值2304． 10．（24-25高二下·湖南长沙·期末）已知椭圆过点，焦距为2 . (1)求的方程; (2)过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线，与曲线分别交于四点，设线段的中点分别为. (i)证明：直线过定点； (ii) 求四边形面积的取值范围. 【答案】(1)； (2)(i)证明见解析；(ii). 【详解】（1）由题意知椭圆过点 ，则， 因为，所以， 联立方程组 ，解得，则， 所以椭圆的方程为. （2） (i) 当两条直线的斜率都存在时，不妨设， 设， 联立直线与椭圆的方程，得， 消去整理得，易知， 根据韦达定理可知，， 即，同理， 所以， 所以， 令，得，此时直线恒过， 当两条直线中有一条直线的斜率不存在时，易知也经过， 所以直线过定点. (ii) 当两条直线中有一条直线的斜率不存在时，易知， 当两条直线的斜率都存在时，不妨设， 由(i)得：，同理， 则 因为 ， 根据基本不等式 ，当且仅当时等号成立， 所以 ， 综上所述，四边形面积的取值范围为 . 11．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）在直角坐标系中，点到点的距离等于点到直线的距离，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知平行四边形三点在上. （i）若点的坐标为，则直线是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由； （ii）若点的坐标为，直线和直线关于直线对称，且点与点均在点上方，求平行四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）是，；（ii） 【详解】（1）因为点到点的距离和点到直线的距离相等， 所以由抛物线的定义可知：动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线. 设的方程为，则，即. 所以的方程为. （2）（i）直线恒过定点，理由如下： 由题意知直线的斜率不为0，故设直线方程为，，，，如图， 联立方程组，消去整理得， 则，，. 因为四边形是平行四边形， 则， 所以， 代入中，得，化简整理得， 所以直线， 所以直线过定点. （ii）因为的方程为，所以，所以轴，如图所示. 设，不妨设. 因为直线和直线关于直线对称，所以直线与的斜率互为相反数， 所以，即，整理得， 所以. 则直线，即， 点到直线的距离为， ， 所以， 由，可得， 令，则， 所以， 则，令，得， 当时，关于单调递增；当时，关于单调递减， 所以当时，取得最大值， 因此，四边形面积的最大值为. 12．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知圆，圆.若动圆与圆外切，且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为.不过原点O的动直线与曲线交于两点，平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合），若. (1)求轨迹的方程； (2)试问：直线OA，OB的斜率乘积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. (3)试问：四边形的面积否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 (3)是定值， 【详解】（1）设动圆的半径为R，动圆与圆外切，则， 又因为动圆与圆内切，结合图象可知：，， 所以， 由椭圆的定义可知，动点在以、为焦点，为长轴长的椭圆上， 设椭圆的方程为，半焦距为， 则，，， 又可知圆与圆内切，所以点C不能在切点处，即椭圆应去掉点， 曲线C的方程为. （2）直线OA，OB的斜率乘积不是定值，理由如下：设，则， 因为，所以，进而， 由点F在曲线E上得, 所以, 又因为点A，B均在E上，即，带入上式得, 所以不为定值； （3）因为点A，B均在E上，所以， 两式同向相乘得，整理得：, 由（2）知，带入上式解得：， 又因为 ， 所以. 考点三 三点共线问题 1．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点，点F为椭圆E的右焦点． (1)求椭圆E的标准方程； (2)过点作直线l交椭圆E于A，B两点，O为坐标原点． ①若，求直线l的斜率； ②若过点A作直线的垂线，垂足为Q，点N为线段的中点，求证：B，Q，N三点共线． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【详解】（1）由可得①， 椭圆经过点，则②， 联立①，②，可得， 则椭圆E的标准方程为； （2）①当直线的斜率为0时，可取因，显然不满足， 故可设直线，代入椭圆方程，消去， 可得，由，解得或， 设，则，则（*） 由可得，即得， 将其代入①，可得， 代入②，可得，解得， 故直线的斜率为； ②如图，因，点N为线段的中点，则， 依题意，，则直线的斜率为，直线的斜率为， 则， 将（*）代入，可得， 即，因点不重合，故B，Q，N三点共线．    2．（2025·辽宁·模拟预测）设椭圆方程为为其左右焦点，过椭圆上点的椭圆切线方程为 (1)求出椭圆方程； (2)设点，点为椭圆右顶点，过作椭圆的不与轴垂直的切线，切点为点，求证：三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）把代入，解得切点坐标为， 代入椭圆方程得，解得， 则椭圆标准方程为. （2） 方法一：如图所示， ，设直线为， 联立方程得消去得. 相切时，可得. 化简得，解得，故, 故得切点坐标，则，，可知，则三点共线． 方法二：已知，可知直线解析式为， 联立直线方程和椭圆方程得，解得， 则交点坐标为， 因为，则直线解析式为， 化简得， 联立方程组得，消去得， 此时, 可知此时直线与椭圆只有一个交点，直线与椭圆相切，可得三点共线． 方法三：因为，可得，设， 可知椭圆参数方程为， 则椭圆切线方程为，代入得， 联立方程组，可知，因为， 所以，解得（舍）， 代入得，求得交点坐标， 则，， 可知，则三点共线． 3．（24-25高二下·湖南长沙·期末）已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为． (1)求轨迹的方程． (2)直线与分别与轨迹交于点和点（与同向），且，线段与交于点，线段与的中点分别为． （ⅰ）求证：三点共线； （ⅱ）若，，求四边形ABCD的面积． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）18 【详解】（1）动点到点的距离比它到直线的距离小， 点到的距离与到直线的距离相等， 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为． （2）（ⅰ）设，，，， 则直线的斜率为，， 直线的方程为，即， 直线的斜率为，， 直线的方程为，即， ，，，即，故． 又直线的斜率为， 直线的方程为，即， 令，得， 直线的斜率为， 直线的方程为，即， 令，得， 所以直线与的交点和直线与的交点重合，即为点． 所以三点共线； （ⅱ），， ，，得， ， ， 上面两式相减得， 由（ⅰ）知，即，， 过点作交于点， ，，，，， 则，， 又，不妨设，则， 四边形是平行四边形，， 分别是的中点，，， ，， 设的边上的高为，的边上的高为，则， ，， ， ，，， ．    4．（2025·重庆·模拟预测）二次函数的图象是抛物线， 现在我们用 “图象平移” 的方式讨论其焦点与准线， 举例如下: 二次函数的图象可以由的图象沿向量平移得到; 抛物线，即的焦点坐标为，准线方程为 ; 故二次函数的焦点坐标为，准线方程为 . (1)求二次函数的焦点坐标和准线方程； (2)求二次函数的焦点坐标和准线方程； (3)设过的直线与抛物线的另一个交点为，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点. 是否存在定点，使得三点共线? 若存在，请求出定点的坐标; 若不存在，请说明理由. 【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为． (2)焦点坐标为，准线方程为． (3)存在， 【详解】（1）二次函数， 它的图象可以由抛物线沿向量平移得到； 抛物线即的焦点坐标为，准线方程为； 所以二次函数的焦点坐标为，准线方程为． （2）二次函数， 它的图象可以由抛物线沿向量平移得到； 抛物线即的焦点坐标为，准线方程为； 所以二次函数的焦点坐标为， 准线方程为； 即二次函数的焦点坐标为，准线方程为． （3）由（1）知抛物线可以由抛物线沿向量平移得到； 先考虑如下问题：过的直线与抛物线的另一个交点为，直线与直线交于点，过点作x轴的垂线交抛物线于点，讨论是否存在定点，使得三点共线； 设，又，则直线的方程为：，化简得：， 与直线联立得：，代入得：，即， 则直线的方程：， 化简得； 当时，恒成立，所以直线恒过定点，即存在定点，使得三点共线； 故存在定点，使得三点共线． 5．（24-25高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆（）的长轴长为，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为8． (1)求椭圆E的方程； (2)过点且斜率为k（）的直线与椭圆E交于A，B两点． （ⅰ）若线段的中点横坐标为1，求k； （ⅱ）点C与点B关于x轴对称．在x轴上是否存在定点，使A，C，D三点共线？若存在，求实数m的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【详解】（1）由题意得，解得． 所以椭圆的方程为． （2）（ⅰ）由题意，直线的方程为，设，， 联立，得， 则， 且. 因为线段的中点横坐标为1，则，解得. （ⅱ）因为点与点关于轴对称，所以点， 若在轴上存在定点，使三点共线，则． ， 由于，则． 则， 则，解得． 故在轴上存在定点，使三点共线． 6．（2025·山东泰安·模拟预测）已知双曲线的中心为坐标原点，过点，其中一条渐近线的方程为. (1)求双曲线的方程； (2)设双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于、两点.直线与直线交于点，证明：三点共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意知且， 所以，所以的方程为. （2）由题意知，， 当直线的斜率为时，：，此时三点共线显然成立， 当直线的斜率不为时，设：，，， 联立可得， 由题意得， ， 所以，， 因为直线的方程为， 令，得，所以， 所以， 因为， 所以 所以，故三点共线， 综上：三点共线. 考点四 四点共圆问题 1．（24-25高三下·江苏·阶段练习）已知为离心率为的椭圆的右焦点，过点作轴的垂线与交于两点（在第一象限）. (1)求的方程； (2)求的面积的最大值； (3)若直线与轴交于点，求证：四点共圆. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）依题意，，解得， 故的方程为； （2）依题意，点关于轴对称，将代入，解得， 因点在第一象限，则，， 的面积为， 因，则当，即时，取得最大值为； （3）因关于轴对称，故的外接圆圆心在轴上，设， 则的外接圆半径为， 于是的外接圆的方程为：，         因点在该圆上，代入圆的方程解得，则的外接圆方程为：（*） 又直线的方程为：，令，可得， 将其代入（*），可得：， 即点在该圆上，故四点共圆. 2．（2025·湖北鄂州·一模）已知抛物线，点P是W上位于第一象限内的一点，过P作W的切线交y轴于点Q.过原点O作PQ的平行线交W于点A，过A作OP的平行线交W于点B，BP交OA于点N. (1)求的最大值； (2)证明：直线QN经过AB的中点； (3)若OQAB四点共圆，求P点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）记原点为O点，不妨设， 由于，则. 所以可得过P点的切线的方程为. 又因为，故 记P点在x轴上投影为点C，在y轴上的投影为点M，记， 则. 当且仅当时取等.故的最大值为. （2）由（1），，所以直线OA的方程为：. 令直线OA与抛物线联立知，，则. 直线AB的方程为：， 与抛物线联立知，则. 所以P，B关于x轴对称，即轴.所以， 所以直线方程为，与直线AB的方程联立可得交点， 可得为AB中点，所以QN平分AB.    （3）设直线AB交y轴于点D， 由（2）知，且，所以BP平分. 因为，转化比例得，. 由于OQAB共圆，所以. 设，，， 代入上式得：. 所以.故P点坐标为.    3．（24-25高三下·辽宁·阶段练习）圆幂定理是平面几何中关于圆的一个重要定理，其中相交弦定理是其中重要的内容：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.其逆定理可作为证明四边形是四点共圆的依据.该定理不仅可以在圆中得到应用，在其他圆锥曲线中也大有妙用. (1)已知椭圆，是椭圆C上任意两点，若直线与坐标轴不垂直，点H为线段中点，直线 (O为坐标原点)与C交于两点，已知四点共圆，求直线的斜率； (2)已知抛物线B:，过的直线与抛物线B交于两点，设抛物线B在这两点处的切线分别为，已知分别与x轴交于点，相交于点A，若四点共圆，求点A的坐标； (3)已知点是x轴上一动点，过T的动直线l交双曲线右支于，过T作l的垂线分别交曲线于 (分别在第一、二象限)，直线 (O为坐标原点)交双曲线于点S，求证：四点共圆. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1） 设直线的方程为，， 联立，消得， ，即， 由韦达定理得， 所以 ， 所以. 又， 所以中点，则直线的斜率， 则直线方程为， 联立，解得，且， 由四点共圆，且为的中点， 则， 所以有， 由，解得，， 故的斜率为. （2）由题意知直线存在斜率， 设直线的方程为，， 联立，消得， 恒成立， 由韦达定理得①， 抛物线方程，则， 则在处的切线斜率为，切线方程为， 当时，过的切线为轴，不满足题意，故直线斜率； 令，得，， 在处的切线斜率为，切线方程为， 同理可得，且， 联立，解得， 将①式代入可得，又， 若四点共圆，设与交于点， 则，可得， 由，，可设， 则， 则可得，化简得② 则， ， 由，代入化简得③. 联立②③解得（其中一组解舍去）， 则. （3）设，设斜率为， 若直线与双曲线右支交于两点，可知斜率或. 由题意知直线斜率存在且不为，则，且. 由双曲线对称性可知，关于原点对称，则， 且且， 故； 又，可知， 所以. 设直线与将于点，设倾斜角为，的倾斜角为， 则. 可设方程为，（为参数），设对应的参数为， 将参数方程代入双曲线方程化简可得， ， 若直线与双曲线右支有两个交点，则 则由韦达定理知， 同理，直线与双曲线左支交于两点，设点对应的参数为，以代可得， ， 所以， 故四点共圆. 4．（2025·云南昆明·一模）已知抛物线的焦点为，直线过与交于，两点，为坐标原点，直线交的准线于点． (1)当的倾斜角为时，求； (2)求直线的斜率； (3)若，，，四点共圆，求该圆的半径． 【答案】(1)8 (2)0 (3) 【详解】（1）由题意知，抛物线焦点坐标为，直线的方程为， 联立，则，所以，， 所以 . （2）设直线的方程为，，， 联立，，所以，，所以， 直线方程为，所以点的纵坐标为， 所以，直线的斜率为0. （3）由题意知，，，，，不妨设在第一象限， 因为，，，四点共圆，直线平行轴，故可设圆心坐标为，圆半径为， ，即，所以， ， 解得，故，所以. 5．（23-24高二下·湖南长沙·期末）已知双曲线，过的直线与双曲线的右支交于两点. (1)若，求直线的方程， (2)设过点且垂直于直线的直线与双曲线交于两点，其中在双曲线的右支上.     （i）设和的面积分别为，求的取值范围； （ii）若关于原点对称的点为，证明：为的垂心，且四点共圆. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）设， 结合题意知直线斜率不为0，设直线，因为直线与双曲线右支相交， 故， 联立双曲线方程，得， 则， 故， 即，解得，或（舍去）， 因此，从而直线的方程为. （2）（i）若，则， 由（1）可知，， 此时； 当时，设，直线， 由（1）同理可知， 故 注意到 ， 令，则， 令， 综上可知，的取值范围是. （ii）先证明为的垂心，只需证明， 注意到，， 而 ， 同理， ， 因此，又，故为的垂心，因此， 再证明四点共圆，即只需证明：. 因为关于原点对称，则， 同理可得； 则，即， 因此，因此四点共圆. 6．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知抛物线及抛物线，过的焦点的直线与交于，两点，为坐标原点，.过的两条直线，与交于，，，四点，其中，在第一象限，若直线与轴的交点为. (1)求的方程； (2)若，求直线与轴的交点的坐标； (3)是否存在点，使得，，，四点共圆？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）依题意可得，设，，则，， 设直线的方程为，由，得， 显然，所以，， 因为，所以， 即，所以，解得或（舍去）， 所以的方程为； （2）由（1）可得，因为过点，由条件可得的斜率不为， 设直线的方程为，，， 由，得，所以，所以， 设，，同理可得， 因为直线过点， 所以，由，，即，所以， 直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 令，得，即， 即，解得， 所以直线与轴的交点为. （3）由（2）可得，， 若，，，四点共圆，则有， 即， 即，所以，整理得， 因为，所以，由，即， 即，解得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解析几何：面积问题、三点共线问题、四点共圆问题专项训练 解析几何：面积问题、三点共线问题、四点共圆问题专项训练 考点一 三角形的面积问题 1．（2025·云南·模拟预测）设O为坐标原点，直线与抛物线交于A，B两点，与C的准线交于点M．若，点F为C的焦点，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖北荆门·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B．或 C． D． 3．（24-25高二下·河南漯河·期末）已知点，C，D是与x轴的交点，P为动点，以为直径的圆与相内切，则面积的最大值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．15 4．（2025·江苏·模拟预测·多选）设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．与的面积之比为 5．（24-25高二下·重庆·阶段练习·多选）已知椭圆的左右焦点为，，为椭圆上一动点，设点，是椭圆上位于轴上方的点，且，则下列说法正确的有（    ） A．面积的最大值为 B．存在点，使 C．若 ，则的最大值为 D．的最小值为 6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知曲线的中心为M，过的直线交曲线M于A，B两点，，则三角形面积的最大值为 ． 7．（2025·山东日照·二模）已知与x轴相交于C，D两点，点，以AB为直径的圆与⊙O内切，则△BCD面积的最大值为 ． 8．（2025·山东临沂·三模）已知为坐标原点，点为椭圆上任意一点，，为圆的两条切线，切点分别为，，若直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为 . 9．（24-25高二下·广西贵港·阶段练习）已知椭圆：的右焦点为，点和点在上． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与交于另一点，求的最大面积． 10．（2025·海南·模拟预测）直线过抛物线的焦点，与交于两点，当线段中点的纵坐标为2时，． (1)求； (2)证明：直线的斜率之积为定值，并求出该定值； (3)设在点处的切线相交于点，若，求的面积． 11．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知点是圆上的动点，是坐标原点，，过垂直于轴的直线与过垂直于轴的直线交于点，点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)，，点是上一点，在射线上且，，求的面积. 12．（24-25高二下·四川自贡·期末）在平面直角坐标系中，，动点与两点连线斜率乘积为． (1)记动点的轨迹为曲线．求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，且的面积是的面积的2倍，求直线的斜率． 13．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知和为椭圆上两点． (1)求C的方程； (2)点P在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交y轴于点Q，，为椭圆C的左、右焦点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程． 14．（24-25高二下·河南洛阳·期末）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上. (1)求椭圆C的标准方程； (2)椭圆C的左焦点为F，若T为直线上一点，过点F且与TF垂直的直线交椭圆C于P，Q两点，线段PQ的中点为M. （ⅰ）证明：点M在直线OT上（O为原点）； （ⅱ）求的面积的最大值，以及此时点T的坐标. 考点二 四边形的面积问题 1．（2025·山西晋中·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点是双曲线上任意一点，过点所作的两条渐近线的平行线与渐近线的交点分别为，则四边形的面积（    ） A．为定值 B．最大值为 C．为定值 D．最大值为 2．（24-25高三下·云南德宏·阶段练习）已知椭圆C：()的上、下顶点分别为，，左、右焦点分别为，，点P在C上，且C的离心率为，的周长为10，则四边形的面积为（   ） A．5 B． C． D． 3．（24-25高二下·安徽宣城·期末·多选）已知点是抛物线的焦点，是过点的弦且，直线的斜率为，，且两点在第一象限，则（   ） A． B．四边形面积的最小值为64 C． D．若，则直线的斜率为 4．（24-25高二下·四川凉山·期末·多选）双曲线（，）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与曲线的一条渐近线交于、两点，且，则下列说法一定正确的是（   ） A．的离心率为 B． C． D．当时，四边形的面积为 5．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）已知，为椭圆的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ． 6．（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）已知分别为双曲线的左､右焦点，在上，其中在第一象限，在第二象限，直线过，且关于直线对称，则四边形的面积为 . 7．（2025·浙江金华·三模）双曲线的离心率为，过左焦点的直线与双曲线的左支、右支分别交于点，当直线与轴垂直时，. (1)求双曲线的方程； (2)点满足，其中是坐标原点，求四边形的面积. 8．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）已知椭圆：（）的长轴长为4，焦距为. (1)求的方程. (2)若，分别为的左、右顶点，过点的直线与交于与，不重合的，两点. ①求四边形面积的最大值. ②设直线，，的斜率分别为，，，判断是否为定值.若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 9．（24-25高二下·湖南湘西·期末）在平面直角坐标系中，曲线的点均在圆外，且对上任意一点，点到直线的距离比点到点的距离小1． (1)求曲线的方程； (2)若直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值； (3)设为直线上一动点，过点作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和．证明：点的纵坐标之积为定值2304． 10．（24-25高二下·湖南长沙·期末）已知椭圆过点，焦距为2 . (1)求的方程; (2)过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线，与曲线分别交于四点，设线段的中点分别为. (i)证明：直线过定点； (ii) 求四边形面积的取值范围. 11．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）在直角坐标系中，点到点的距离等于点到直线的距离，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知平行四边形三点在上. （i）若点的坐标为，则直线是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由； （ii）若点的坐标为，直线和直线关于直线对称，且点与点均在点上方，求平行四边形面积的最大值. 12．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知圆，圆.若动圆与圆外切，且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为.不过原点O的动直线与曲线交于两点，平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合），若. (1)求轨迹的方程； (2)试问：直线OA，OB的斜率乘积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. (3)试问：四边形的面积否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 考点三 三点共线问题 1．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点，点F为椭圆E的右焦点． (1)求椭圆E的标准方程； (2)过点作直线l交椭圆E于A，B两点，O为坐标原点． ①若，求直线l的斜率； ②若过点A作直线的垂线，垂足为Q，点N为线段的中点，求证：B，Q，N三点共线． 2．（2025·辽宁·模拟预测）设椭圆方程为为其左右焦点，过椭圆上点的椭圆切线方程为 (1)求出椭圆方程； (2)设点，点为椭圆右顶点，过作椭圆的不与轴垂直的切线，切点为点，求证：三点共线． 3．（24-25高二下·湖南长沙·期末）已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为． (1)求轨迹的方程． (2)直线与分别与轨迹交于点和点（与同向），且，线段与交于点，线段与的中点分别为． （ⅰ）求证：三点共线； （ⅱ）若，，求四边形ABCD的面积． 4．（2025·重庆·模拟预测）二次函数的图象是抛物线， 现在我们用 “图象平移” 的方式讨论其焦点与准线， 举例如下: 二次函数的图象可以由的图象沿向量平移得到; 抛物线，即的焦点坐标为，准线方程为 ; 故二次函数的焦点坐标为，准线方程为 . (1)求二次函数的焦点坐标和准线方程； (2)求二次函数的焦点坐标和准线方程； (3)设过的直线与抛物线的另一个交点为，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点. 是否存在定点，使得三点共线? 若存在，请求出定点的坐标; 若不存在，请说明理由. 5．（24-25高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆（）的长轴长为，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为8． (1)求椭圆E的方程； (2)过点且斜率为k（）的直线与椭圆E交于A，B两点． （ⅰ）若线段的中点横坐标为1，求k； （ⅱ）点C与点B关于x轴对称．在x轴上是否存在定点，使A，C，D三点共线？若存在，求实数m的值，若不存在，说明理由． 6．（2025·山东泰安·模拟预测）已知双曲线的中心为坐标原点，过点，其中一条渐近线的方程为. (1)求双曲线的方程； (2)设双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于、两点.直线与直线交于点，证明：三点共线. 考点四 四点共圆问题 1．（24-25高三下·江苏·阶段练习）已知为离心率为的椭圆的右焦点，过点作轴的垂线与交于两点（在第一象限）. (1)求的方程； (2)求的面积的最大值； (3)若直线与轴交于点，求证：四点共圆. 2．（2025·湖北鄂州·一模）已知抛物线，点P是W上位于第一象限内的一点，过P作W的切线交y轴于点Q.过原点O作PQ的平行线交W于点A，过A作OP的平行线交W于点B，BP交OA于点N. (1)求的最大值； (2)证明：直线QN经过AB的中点； (3)若OQAB四点共圆，求P点的坐标. 3．（24-25高三下·辽宁·阶段练习）圆幂定理是平面几何中关于圆的一个重要定理，其中相交弦定理是其中重要的内容：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.其逆定理可作为证明四边形是四点共圆的依据.该定理不仅可以在圆中得到应用，在其他圆锥曲线中也大有妙用. (1)已知椭圆，是椭圆C上任意两点，若直线与坐标轴不垂直，点H为线段中点，直线 (O为坐标原点)与C交于两点，已知四点共圆，求直线的斜率； (2)已知抛物线B:，过的直线与抛物线B交于两点，设抛物线B在这两点处的切线分别为，已知分别与x轴交于点，相交于点A，若四点共圆，求点A的坐标； (3)已知点是x轴上一动点，过T的动直线l交双曲线右支于，过T作l的垂线分别交曲线于 (分别在第一、二象限)，直线 (O为坐标原点)交双曲线于点S，求证：四点共圆. 4．（2025·云南昆明·一模）已知抛物线的焦点为，直线过与交于，两点，为坐标原点，直线交的准线于点． (1)当的倾斜角为时，求； (2)求直线的斜率； (3)若，，，四点共圆，求该圆的半径． 5．（23-24高二下·湖南长沙·期末）已知双曲线，过的直线与双曲线的右支交于两点. (1)若，求直线的方程， (2)设过点且垂直于直线的直线与双曲线交于两点，其中在双曲线的右支上.     （i）设和的面积分别为，求的取值范围； （ii）若关于原点对称的点为，证明：为的垂心，且四点共圆. 6．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知抛物线及抛物线，过的焦点的直线与交于，两点，为坐标原点，.过的两条直线，与交于，，，四点，其中，在第一象限，若直线与轴的交点为. (1)求的方程； (2)若，求直线与轴的交点的坐标； (3)是否存在点，使得，，，四点共圆？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$