函数与导数：恒成立求参数问题、零点问题、极值点偏移问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

函数与导数：恒成立求参数问题、零点问题、极值点偏移问题专项训练 函数与导数：恒成立求参数问题、零点问题、极值点偏移问题专项训练 考点一 恒成立求参数问题 1．（24-25高二下·河北承德·期末）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·贵州黔西·期末）设，，若对任意不等式恒成立，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·山东菏泽·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·福建泉州·期末）若不等式对任意恒成立，则正实数t的最大值是（   ） A． B．e C． D． 5．（2025·江西新余·模拟预测·多选）已知不等式恒成立，则实数k的可能取值为（   ） A．2 B．0 C．1 D． 6．（24-25高二下·海南海口·期末·多选）若对恒成立，则k的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（24-25高二下·福建泉州·期中）恒成立，则的取值范围是 .． 8．（24-25高二下·山东泰安·期末）已知对任意恒成立，则实数a的取值范围是 . 9．（24-25高二下·湖北恩施·期末）若，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 10．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）若，则实数的取值范围是 .（参考数据：） 11．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数，. (1)判断的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围. 12．（24-25高二下·广东云浮·期末）已知函数． (1)当时，求的极大值； (2)讨论的单调性； (3)若，求实数a的取值范围． 13．（24-25高二下·福建三明·期末）已知函数，. (1)若，求函数的极值； (2)若，且不等式在上恒成立，求a的最小值. 14．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数. (1)若函数在处的切线斜率为3，求该切线方程； (2)若时，恒成立，求的取值范围. 15．（24-25高二下·山东聊城·期末）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时，恒成立，求实数a的取值范围． 16．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数，. (1)求的极值； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有两个不等实根，求实数的取值范围. 17．（2025·四川成都·一模）已知函数. (1)求的极值； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)证明. 考点二 零点问题 1．（24-25高二下·山东烟台·期末）若函数存在两个不同的零点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若在上存在唯一的零点，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知函数在上仅有一个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数恰有2个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·辽宁抚顺·期末·多选）已知函数，若有两个极值点，则实数a的取值可能是（    ）． A． B． C．0 D． 7．（24-25高二下·江西·期末·多选）下列函数中恰有2个零点的函数是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数有两个零点，则的取值范围是 . 9．（24-25高二下·北京海淀·期末）已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是 ． 10．（24-25高二下·北京房山·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的零点的个数. 11．（24-25高二下·安徽宣城·期末）已知且，函数. (1)设，，为数列的前项和，当时，求； (2)当时，证明：； (3)当且时，讨论函数的零点个数. 12．（24-25高二下·山东泰安·期末）已知函数为偶函数. (1)求实数m的值； (2)求方程的根； (3)若函数在上有零点，求实数a的取值范围. 13．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）已知函数． (1)若曲线在点处的切线方程为，求，； (2)若有三个零点，求实数的取值范围． 14．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)当时，讨论零点的个数. 15．（24-25高二下·天津西青·期末）已知函数 的极值为 (1)求实数b的值； (2)当 时，讨论函数的单调性； (3)当 时，若 在 有两个零点，求m的取值范围. 考点三 极值点偏移问题 1．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数有两个零点，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习·多选）若函数有两个极值点，，（）则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·四川成都·期中）函数的两个极值点、满足，则的最大值为 . 4．（2024·吉林·二模）在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴上，另一个顶点在函数图象上 (1)当顶点在轴上方时，求 以轴为旋转轴，边和边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积的最大值； (2)已知函数，关于的方程有两个不等实根. （i）求实数的取值范围; （ii）证明：. 5．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数. (1)若，当与的极小值之和为0时，求正实数的值； (2)若，求证：. 6．（2025·青海海南·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)假设存在正实数，满足． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 7．（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）已知函数，，是自然对数的底数. (1)讨论函数的极值； (2)当时，若，（其中）满足，求证：. 8．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数 (1)令对恒成立，求的最大值. (2)若有两个零点，求的范围，并证明： 9．（24-25高二下·湖南·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，求在内的极值； (3)设，若有2个零点，，且，求证：. 10．（24-25高三上·河南三门峡·期中）若函数对其定义域内任意满足：当时，恒有，其中常数，则称函数具有性质. (1)函数具有性质，求. (2)设函数， （ⅰ）判断函数是否具有性质，若有，求出，若没有，说明理由； （ⅱ）证明：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$函数与导数：恒成立求参数问题、零点问题、极值点偏移问题专项训练 函数与导数：恒成立求参数问题、零点问题、极值点偏移问题专项训练 考点一 恒成立求参数问题 1．（24-25高二下·河北承德·期末）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， ①时，成立，； ②时，，令，， 所以在单调递减，在单调递减，在单调递增， 所以时，，则， 又在单调递增，所以得解为； ③时，，又在单调递减，此时， 所以； 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 2．（24-25高二下·贵州黔西·期末）设，，若对任意不等式恒成立，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对任意不等式，令， 求导得. 当时，，函数在上单调递增，值域为R，不符合题意; 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，. 所以原不等式恒成立的充分必要条件是（＊），即，亦即，故B错误，D正确； 当时，，条件（＊）成立，但C不成立，故C错误； 取，满足（＊），但，此时A不成立，故A错误. 故选：D 3．（24-25高二下·山东菏泽·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，其定义域为， 求导得. 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 移项可得，即在上恒成立. 令，， 对求导得. 令，解得. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 所以在处取得最大值. 所以. 故选：B 4．（24-25高二下·福建泉州·期末）若不等式对任意恒成立，则正实数t的最大值是（   ） A． B．e C． D． 【答案】C 【详解】因为，，不等式， 令，求导得，当且仅当取等号，在上递增， 当时，，恒成立，则； 当时，，由，得或，此时或； 当时，，由恒成立，的取值集合为， 则，此时则，因此正实数t的取值范围是或， 所以的最大值为. 故选：C. 5．（2025·江西新余·模拟预测·多选）已知不等式恒成立，则实数k的可能取值为（   ） A．2 B．0 C．1 D． 【答案】ACD 【详解】 由题知，不等式恒成立，设，， 即直线恒在函数图象的上方，直线恒过点，，当时，，当时，， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴当时，，，当时，， 在同一坐标系中作出函数与直线的图象， 设直线与函数的图象相切时切点为，，解得或； ∴当直线与函数的图象相切时切线斜率为2或，由图知，， 故选：ACD． 6．（24-25高二下·海南海口·期末·多选）若对恒成立，则k的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】CD 【详解】由得，所以， 令，则， 令，， 由题意可知恒成立． 设与图象相切且与直线平行的直线为，切点， 所以，，即，切点， 又因为，过点， 由，解得， 由恒成立得，CD正确． 故选：CD 7．（24-25高二下·福建泉州·期中）恒成立，则的取值范围是 .． 【答案】≥ 【详解】因为，所以令， 则，即恒成立. 设，则. 当时，；当时，. 所以在单调递减，在上单调递增， 所以， 要使得不等式恒成立，则，解得. 故答案为：. 8．（24-25高二下·山东泰安·期末）已知对任意恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】， 故对任意恒成立， 设，则， 因为在R上单调递增，所以， 故， 令，，， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，且最大值为， 所以，解得. 故答案为： 9．（24-25高二下·湖北恩施·期末）若，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】令，要使对恒成立， 则当时，与需同号；当时，与需异号， 由函数，可得， 令，可得；令，可得， 所以函数在单调递增，在单调递减， 且，，， 又由函数，可得， 所以在单调递减，且， 在同一平面直角坐标系中，作出函数与函数在的图象， 且图象交于点，如图所示， 由图象知，当时，不符合题意； 当时，直线在两图象上方或经过两图象交点，所以. 故答案为：.      10．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）若，则实数的取值范围是 .（参考数据：） 【答案】 【详解】即， 所以时恒有或， 因为时不恒有，所以时， 又，所以且， 因为，所以当时，时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以且，所以. 所以实数的取值范围是. 故答案为： 11．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数，. (1)判断的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) 答案见解析 (2) 【详解】（1）∵，∴. 当时，， ∴在和上单调递减； 当时，令，得， 令，得或， ∴在上单调递增，在和上单调递减； 当时，令，得， 令，得或， ∴在上单调递增，在和上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减. （2）（方法一）∵恒成立， ∴恒成立. 令，则. 令，则在上单调递增. ∵，∴由，得. 由，得. 令，则， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴，∴. （方法二）令， 则恒成立. . ①当时，∵， ∴，∴在上单调递增. ∵，∴不是恒成立. ②当时，则在上单调递减，在上单调递增， ∴. ∵函数在上单调递增，且， ∴当时，恒成立. 12．（24-25高二下·广东云浮·期末）已知函数． (1)当时，求的极大值； (2)讨论的单调性； (3)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)． 【详解】（1）当时，， 的定义域为，． 令，得． 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 故当时，有极大值，且极大值为． （2）的定义域为，． 当时，，在上单调递增． 当时，令，得或（舍去）． 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （3）由（2）知，当时在上单调递增，当时，， 故不成立． 当时，． 由，得， 即． 令，则，故． 由， 因为，所以， 得函数在上单调递增，故． 综上，实数a的取值范围是． 13．（24-25高二下·福建三明·期末）已知函数，. (1)若，求函数的极值； (2)若，且不等式在上恒成立，求a的最小值. 【答案】(1)极大值为：；无极小值. (2)2 【详解】（1）当时，，. 所以，. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，函数有极大值，为；无极小值. （2）因为，且不等式在上恒成立. 所以在上恒成立. 即在上恒成立. 设，. 则. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以是函数的最小值，且. 所以在上恒成立.所以. 所以在上恒成立. 所以. 又，所以的最小值为2. 14．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数. (1)若函数在处的切线斜率为3，求该切线方程； (2)若时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），所以， ，切点为， 切线方程为，即； （2）， 设， 设在上单调递增； 时，即在上单调递减； 时，即在上单调递增， . 15．（24-25高二下·山东聊城·期末）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)增区间是和，减区间是； (2) 【详解】（1）时，，， 或， 当或时，，当时，， 所以增区间是和，减区间是； （2）， 不等式为， 即在上恒成立， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以，即取值范围是. 16．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数，. (1)求的极值； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有两个不等实根，求实数的取值范围. 【答案】(1)极大值为，无极小值； (2) (3)． 【详解】（1），，则， 当时，；当时，； 故在上递增，在上递减， 所以的极大值为，无极小值； （2）由有意义可得， 因为，令得，令得， 故在递减，在上递增， 故对于恒成立， 则； （3）由关于的方程有两个实根，得有两个不等实根， 整理得，则， 即， 设函数，则上式为， 因为在上单调递增，所以，即， 令，， 由（1）可知在上递增，在上递减， 的最大值为， 又因为，，，， 所以要想有两个根，只需要， 解得，所以的取值范围为． 17．（2025·四川成都·一模）已知函数. (1)求的极值； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)证明. 【答案】(1)极大值，无极小值. (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由，得. 由可得；由可得； 所以在上单调递增；在上单调递减. 所以有极大值；无极小值. （2）由题意，对恒成立. 当时，显然成立；当时，由， 得；当时，由，得. 设函数，则. 当或时，；当且时，. 所以在和上单调递减， 在和上单调递增. 所以当时，； 当时，. 所以的取值范围是. （3）由（2）知，，故. 令，得. 化简并整理，得，故. 所以. 累加，得（，且）. 所以，故. 所以，故（当时也成立）. 所以. 考点二 零点问题 1．（24-25高二下·山东烟台·期末）若函数存在两个不同的零点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域是， ， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因为，且， 所以要使函数存在两个不同的零点， 则需，解得. 故选：B 2．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】函数，， 当单调递减； 当单调递增； ， ， 所以；； 所以函数的零点个数为2. 故选：C. 3．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若在上存在唯一的零点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，因为，所以，令，所以， 因为存在唯一的满足：， 所以，当时，；当时，， 所以在、上分别单调递增、单调递减，为极大值点， 因为，所以当且仅当时， 直线与的图象有唯一的交点，即在上存在唯一的零点， 所以，所以. 故选：D. 4．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知函数在上仅有一个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，所以在上只有一解， 设，则，由得， 时，，单调递减，时，，单调递增， 所以在上，， 又时，，时，， 所以，的取值范围是， 故选：C． 5．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数恰有2个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为恰有2个零点，即恰有2个零点， 令，则，令， ，又， 所以在单调递减，在单调递增， 且，所以有两个解0和1， 即和合起来只有2个解， 当时，即，令， ， 所以在单调递减，在单调递增，即， 即，方程无解，， 方程恰有一个解，，方程恰有2个解， 当，即，令， ， 所以在单调递减，在单调递增，即， 即即，方程无解，， 方程恰有一个解，，方程恰有2个解， 又和合起来只有2个解， 所以. 故选：D. 6．（24-25高二下·辽宁抚顺·期末·多选）已知函数，若有两个极值点，则实数a的取值可能是（    ）． A． B． C．0 D． 【答案】BCD 【详解】因为有两个极值点， 所以方程有两个不同的根， 因为， 所以， 解得． 故选：BCD. 7．（24-25高二下·江西·期末·多选）下列函数中恰有2个零点的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，令，得只有1个零点，故A错误； 对于B，由，故当时，单调递减， 当时，单调递增． 又，，， 所以在区间上各有1个零点，共2个零点，故B正确； 对于C，易知是的1个零点． 当时，令，得． 设，则， 所以当时，，当时，， 所以只有1个零点，故C错误； 对于D，当时，．当时，，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且，所以有2个零点，故D正确． 故选：BD． 8．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数有两个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】，令， 求导得， 而， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而当时，，当时，， 且有极大值， 所以若函数有两个零点，则的取值范围是. 故答案为：. 9．（24-25高二下·北京海淀·期末）已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题得，令，即， 解得或. 根据与大小进行分类讨论如下： (1)当，即时，在区间上，， 所以在上单调递增，又，所以在上没有零点，满足条件； (2)当，即时，在区间上，，即单调递减， 在上，，即单调递增， 所以在处取得极小值，也即是区间上的最小值. 因为在上没有零点，所以， 又，于是， 解得，结合，此时. 综上所述. 故答案为：. 10．（24-25高二下·北京房山·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的零点的个数. 【答案】(1)答案见解析 (2)1 【详解】（1）对求导得，， 令或，令， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由（1）可得函数的极大值为， 极小值为， 而， 综上所述，函数的零点的个数为1，且零点位于区间. 11．（24-25高二下·安徽宣城·期末）已知且，函数. (1)设，，为数列的前项和，当时，求； (2)当时，证明：； (3)当且时，讨论函数的零点个数. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1，答案见解析 【详解】（1）当时，， 则 . （2）由题意知，的定义域为. 当时，， 令，则， 当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增，于是， 所以，函数在上单调递增，又， 因此时，，当时，， 所以当时，. （3）①若，则函数在上单调递增，且， 所以函数有且仅有一个零点； ②若，当时，，当时，. 由（2）知：当时，， 当时，， 且，所以函数只有一个零点. 综上所述：当且时，函数的零点个数为1个. 12．（24-25高二下·山东泰安·期末）已知函数为偶函数. (1)求实数m的值； (2)求方程的根； (3)若函数在上有零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由题知，的定义域为R，且为偶函数， ∴，即， 整理得恒成立，可得； （2）由（1）可知，， 方程可化为， ∴，则，整理得， 令，则，不等式可化为，解得（舍）或， ∴，可得，故方程的根为； （3）在上有零点， ∴在上有解， 设，，则， ∴在上单调递减，， ∴. 13．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）已知函数． (1)若曲线在点处的切线方程为，求，； (2)若有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以． 因为，，所以， 解得； （2）因为有三个零点，且， 所以关于的方程有三个不同的根， 即曲线与直线有三个交点． 令， 则． 因为， 所以在，上单调递减，在上单调递增． 因为，所以当时，直线与曲线有三个交点， 故实数的取值范围是． 14．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)当时，讨论零点的个数. 【答案】(1) (2) (3)2 【详解】（1）当时，，， 所以切点为（0，0） 所以，， 即切线的斜率为1，由点斜式直线方程得，所以切线方程为； （2）因为，由函数在上单调递增，则， 即在上恒成立. 令，，. 当时，，所以恒成立. 所以在上单调递增，所以 所以，a的取值范围； （3）由，则. 所以是的一个零点. 因为，由（2）知，函数在上单调递增，，无零点. ①当时，∵，∴，∴，无零点. ②当时，∵，设，， ∴在上递增，又∵，， ∴存在唯一零点，使得 当时，，在上递减； 当时，，在上递增，所以， 又，，， 所以，函数在上有且仅有1个零点. 综上，当时，函数有且仅有2个零点. 15．（24-25高二下·天津西青·期末）已知函数 的极值为 (1)求实数b的值； (2)当 时，讨论函数的单调性； (3)当 时，若 在 有两个零点，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【详解】（1）由，得， 由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减. 则在处取得极大值，得； （2）由，得， 若，则，由，得或，由，得， 则此时，在上单调递增，在上单调递减； 若，，则此时在上单调递增； 若，则，由，得或，由，得， 则此时在上单调递增，在上单调递减； （3）由（1），结合，可得，. 因在有两个零点，则在上有2个零点. 令，得1不是其零点， 令， 则原题等价于函数与直线在上有2个交点. 令， 则， 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增. 从而， 当，，当. 则可得大致图象如下：则时，满足题意. 考点三 极值点偏移问题 1．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数有两个零点，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得，令，其中， 则直线与函数的图象有两个交点，， 由可得，即函数的单调递增区间为， 由可得，即函数的单调递减区间为， 且当时，，当时，，， 如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，故A错误； 由图可知，， 因为，由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为，则必有， 所以，，则， 令，其中， 则，则函数在上单调递减， 所以，，即，即， 又，可得， 因为函数的单调递减区间为，则，即，故B错误； 由，两式相加整理可得， 所以，，可得，故C错误； 由图可知，则，又因为，所以，，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习·多选）若函数有两个极值点，，（）则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A选项，，令得， 令，，则与有两个不同的交点， ， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减，且，， 当时，恒成立， 要想与有两个不同的交点，则，解得，A正确； BC选项，因为，所以， 画出与的图象如下： 令得， 令得， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以，，B错误，C正确； D选项，，故， 先证明，理由如下： 因为，不等式变形为， 即，令， 则，令，， 则恒成立， 故在上单调递减， 故，所以，结论得证， 故， 结合A选项，，D正确. 故选： 3．（24-25高二下·四川成都·期中）函数的两个极值点、满足，则的最大值为 . 【答案】 【详解】由得， 由得， 因为函数两个极值点、， 则，可得①， 设，则且，代入①得，， 所以， 设，则， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 从而，所以在单调递增， 所以，所以，故的最大值为. 故答案为：. 4．（2024·吉林·二模）在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴上，另一个顶点在函数图象上 (1)当顶点在轴上方时，求 以轴为旋转轴，边和边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积的最大值； (2)已知函数，关于的方程有两个不等实根. （i）求实数的取值范围; （ii）证明：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明过程见详解. 【详解】（1）因为在轴上方，所以：； 为直角三角形，所以当轴时，所得圆锥的体积才可能最大. 设，则，（）. 设（），则，由. 因为，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以. 从而：. （2）（i）因为，即，即， 令，所以， 因为为增函数，所以即， 所以方程有两个不等实根等价于有两个不等实根， 令，所以 当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以. 当时，；当时，由洛必达法则知； 所以. （ii）由（i）知，， 令，， 因为，所以， 因为，，所以，即在单调递增，，所以. 因为，所以， 又因为，所以， 因为，，且在上单调递减， 所以，即，所以， 所以. 5．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数. (1)若，当与的极小值之和为0时，求正实数的值； (2)若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）定义域均为， ，令，解得：， 令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 在取极小值，且； 又，令，解得：， 令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 在取极小值，且 所以，解得：. （2）令，因为，所以， 由可得：， （1）—（2）得：，所以， 要证：，只要证：， 只要证：， 不妨设，所以只要证：， 即证：，令，只需证：， 令， 所以在上单调递增，所以， 即有成立，所以成立. 6．（2025·青海海南·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)假设存在正实数，满足． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增． (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）由题意知，， 令，解得， 令，解得， 故函数在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）由题意知，在上有两个不相等的实数根，即， 两边取对数，可得．记，易知在上是增函数， 故可等价于，即． 记，则，得在上单调递减，在上单调递增， 有最小值，故，即． （ii）根据题意得，不妨设． 构造函数， 则． 当时，，则，得在上单调递减， 有，即． 将代入不等式，得，又， 故， 又在上单调递增， 故，即． 7．（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）已知函数，，是自然对数的底数. (1)讨论函数的极值； (2)当时，若，（其中）满足，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）求导得， 当时，恒成立，此时函数在上单调递增， 此时函数无极值； 当时，，， 所以在单调递增，在单调递减， 此时极大值，无极小值. 综上所述，时，无极值，当时，极大值，无极小值. （2）当时， ， 在单调递增，在单调递减， 又且， ∴要证，即证， 即证，即证， 设（）， ， ∴在单调递增，又， ∴，又， ∴，∴. 8．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数 (1)令对恒成立，求的最大值. (2)若有两个零点，求的范围，并证明： 【答案】(1)1 (2)，证明见解析 【详解】（1）由可得， 故由可得对恒成立， 故对恒成立， 由于得，故对恒成立， 进一步可得对恒成立， 记，，则， 当在单调递增，当在单调递减， 故， ，故， 因此，即，故的最大值为1， （2）由于， 由于， 当时，则，此时，在定义域内单调递减，此时不满足有两个零点， 当时，令，则此时在单调递减，，则此时在单调递增， 且当， 要使有两个零点，则，则 记，由于均为内的单调递增函数，因此函数在单调递增，由于， 因此时，， 故， 记函数，则 ， 由于，，所以， 因此函数在单调递增， 故， 进而可得，即可 由于，则， 由于，所以，又，在单调递减， 故， 即 9．（24-25高二下·湖南·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，求在内的极值； (3)设，若有2个零点，，且，求证：. 【答案】(1) (2)有极大值，无最小值 (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，则， 因为，， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）当时，，有， 由可得，即， 当时，，，即， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 有极大值，无最小值. （3），则. 若，则，单调递增，不可能有两个零点. 若，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以为的极小值点， 要使有2个零点，则需，即. 因为的2个零点为，，，所以. 要证，只需证， 因为，在上单调递增， 所以只需证， 因为，所以只需证， 即只需证，， 令，， 则， 设，则， 则在上单调递减， 又因为， 所以当时，，所以在上单调递增， 又因为， 所以当时，，即在上单调递减， 又因为，所以， 即，， 所以原命题得证. 10．（24-25高三上·河南三门峡·期中）若函数对其定义域内任意满足：当时，恒有，其中常数，则称函数具有性质. (1)函数具有性质，求. (2)设函数， （ⅰ）判断函数是否具有性质，若有，求出，若没有，说明理由； （ⅱ）证明：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）不具有性质，理由见解析；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）定义域为， 对任意的且， 有， 即， 因为，所以，故， 故，故； （2）不具有性质，理由如下： 的定义域为， ， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，故， 假设函数具有性质，即，所以， 因为，所以， 故对于任意的恒成立， 即恒为0，显然不可能，故假设不成立， 故不具有性质； （ⅱ）因为，所以，， 下面证明， 即证， 令，则， 令，， 则， 故在上单调递增， 故，， 所以，即，所以， 当时，， 当时，令 ， 令，， ， 故在上单调递增， 又，其中，故， 所以，故， ，其中，而在上单调递减， 故，， 综上，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$