1.2.3 直线与平面的夹角-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 1．2.3　直线与平面的夹角 知识点一　直线与平面的夹角 1．已知斜线段长是它在平面内的射影长的2倍，则斜线与平面所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 答案：C 解析：如图所示，斜线段AB的长度是它在平面α内的射影AC的长度的2倍．连接BC，易知△ABC为直角三角形，所以cos∠BAC＝.故所求的角为60°. 2．在正四棱锥P－ABCD中，侧棱与底面所成的角为，则侧棱所在直线与底面的边所在直线所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：如图，正四棱锥P－ABCD中，PO⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，记∠PDO＝θ1，∠CDO＝θ2，∠PDC＝θ.依题意，得θ1＝，θ2＝，∵cosθ＝cosθ1cosθ2＝×＝，∴PD与DC所成角的余弦值为，即侧棱所在直线与底面的边所在直线所成角的余弦值为. 知识点二　用空间向量求直线与平面的夹角 3．平面α的一个法向量为m＝(，1，－1)，直线l的一个方向向量为＝(0，0，)，则直线l与平面α所成的角为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：设直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝＝＝，因为0≤θ≤，所以θ＝，即直线l与平面α所成的角为.故选D. 4．已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1，0)，则y轴与平面α所成角的大小为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：易知y轴的一个方向向量为s＝(0，1，0)，因为cos〈n，s〉＝＝－，所以y轴与平面α所成角的正弦值是，故其所成角的大小是.故选B. 5．正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意得A(1，－1，0)，C(－1，1，0)，B(1，1，0)，S(0，0，)．∴＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，)，＝(1，－1，)．设平面SBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝，得x＝0，y＝2，∴n＝(0，2，)．设直线AC与平面SBC所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.故选C. 6．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，则AC1与平面BB1C1C所成角的余弦值为________． 答案： 解析：设正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，以B为原点，建立空间直角坐标系(如图)，则C1(0，1，1)，A，所以＝，又平面BB1C1C的一个法向量为n＝(1，0，0)，设AC1与平面BB1C1C所成的角为θ，则sinθ ＝＝＝，所以cosθ＝＝. 7．如图，在三棱锥V－ABC中，底面是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB的中点，且VA＝VD＝VE＝1，则直线VA与平面VBC所成的角为________． 答案： 解析：以BC的中点O为原点，，的方向分别为x轴、y轴正方向，过点O且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．底面ABC是边长为2的等边三角形，AB＝BC＝AC＝2，AO＝，D，E分别是AC，AB的中点，且VA＝VD＝VE＝1，所以三棱锥V－AED为正四面体，作VH⊥平面ABC于点H，则H为等边三角形AED的重心，AH＝AM＝AO＝，HM＝，VH＝＝，则O(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，C(0，－1，0)，V，则＝(0，－2，0)，＝，设n＝(x，y，z)为平面VBC的一个法向量，则即令x＝1，则y＝0，z＝－，则n＝(1，0，－)，又＝，所以∥n，所以直线VA与平面VBC所成的角为. 8．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，M为线段A1C1的中点． (1)求证：BM⊥AB1； (2)求直线AB1与平面BCM所成角的大小． 解：(1)证明：因为AA1⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC， 所以AA1⊥AB，AA1⊥AC， 因为AB⊥AC，AB∩AA1＝A，AB， AA1⊂平面AA1B1B， 所以AC⊥平面AA1B1B， 因为AB1⊂平面AA1B1B， 所以AC⊥AB1. 因为在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1， 所以A1C1⊥AB1. 又AA1＝AB，所以四边形AA1B1B为正方形． 连接A1B，BC1，则AB1⊥A1B. 又A1B∩A1C1＝A1，A1B，A1C1⊂平面BA1C1， 所以AB1⊥平面BA1C1. 因为BM⊂平面BA1C1， 所以BM⊥AB1. (2)因为AB，AC，AA1两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(0，1，1)． 因为M为线段A1C1的中点，所以M， 所以＝，＝(－1，1，0)，＝(1，0，1)， 设平面BCM的一个法向量为m＝(x，y，z)， 则 令x＝1，则m＝， 设直线AB1与平面BCM所成的角为θ，则 sinθ＝|cos〈，m〉|＝＝＝，因为θ∈，所以θ＝，所以直线AB1与平面BCM所成角的大小为. 一、单项选择题 1．设直线l与平面α相交，且直线l的一个方向向量为a，平面α的一个法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：设所求的角为θ，则θ＝＝＝.故选B. 2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1与平面BDD1B1所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：连接A1C1交B1D1于点O，由已知条件得C1O⊥B1D1，且平面BDD1B1⊥平面A1B1C1D1，平面BDD1B1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，C1O⊂平面A1B1C1D1，所以C1O⊥平面BDD1B1，连接BO，则BO为BC1在平面BDD1B1内的射影，所以∠C1BO即为直线BC1与平面BDD1B1所成的角，故sin∠C1BO＝＝＝.故选C. 3．若平面α的一个法向量为n＝(4，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3，3)，则l与α所成角的正弦值为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：A 解析：cos〈n，a〉＝＝＝－，故l与α所成角的正弦值为.故选A. 4．若直线l与平面α成45°角，直线l在α内的射影与α内的直线m成45°角，则l与m所成的角是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案：C 解析：设l与m所成的角为θ，cosθ＝cos45°cos45°＝，∴θ＝60°.故选C. 5．如图，在空间直角坐标系Axyz中，P(x，y，z)是正三棱柱ABC－A1B1C1的底面A1B1C1内一动点，A1A＝AB＝2，直线PA与底面ABC所成的角为，则(　　) A．x2＋y2＝ B．x2＋y2＝2 C．x2＋y2＝3 D．x2＋y2＝4 答案：A 解析：由题意，得A(0，0，0)，A1(0，0，2)，又P(x，y，z)是正三棱柱ABC－A1B1C1的底面A1B1C1内一动点，则z＝2，所以＝(x，y，z)，又AA1⊥平面ABC，所以＝(0，0，2)是平面ABC的一个法向量，因为直线PA与底面ABC所成的角为，所以|cos〈，〉|＝＝＝＝sin＝，整理得z2＝3x2＋3y2，又z＝2，所以x2＋y2＝.故选A. 二、多项选择题 6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别为A1D1，CC1的中点，则(　　) A．直线BE与B1F所成的角为90° B．直线B1C与C1D所成的角为60° C．直线AA1与平面ABC1D1所成的角为45° D．直线AA1与平面BFD所成角的正弦值为 答案：ABC 解析：以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，D1(0，0，2)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(1，0，2)，F(0，2，1)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，所以＝(－1，－2，2)，＝(－2，0，－1)，故·＝2－2＝0，则⊥，故直线BE与B1F所成的角为90°，A正确；＝(－2，0，－2)，＝(0，－2，－2)，cos〈，〉＝＝＝，又0°≤〈，〉≤180°，故〈，〉＝60°，所以直线B1C与C1D所成的角为60°，B正确；＝(0，2，0)，＝(－2，0，2)，＝(0，0，2)，设平面ABC1D1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则 令x＝1，则n＝(1，0，1)，故cos〈n，〉＝＝＝，故直线AA1与平面ABC1D1所成角的正弦值为，因为直线与平面所成角的范围为大于等于0°小于等于90°，所以直线AA1与平面ABC1D1所成的角为45°，C正确；＝(2，2，0)，＝(0，2，1)，设平面BFD的一个法向量为m＝(a，b，c)，则令a＝1，则m＝(1，－1，2)，故cos〈m，〉＝＝＝，故直线AA1与平面BFD所成角的正弦值为，D错误．故选ABC. 7．在正四棱锥P－ABCD中，PA＝2，AB＝2，＝，＝，则(　　) A．||＝ B．异面直线AE与CF所成角的余弦值为 C．向量在向量上的投影a＝ D．直线AE与平面PCD所成角的正弦值为 答案：ABD 解析：如图，记AC∩BD＝O，连接PO，以O为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(－2，0，0)，D(0，－2，0)，P(0，0，4)，E(0，1，2)，F.因为＝，所以||＝＝，故A正确；因为＝(－2，1，2)，＝，所以cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线AE与CF所成角的余弦值为，故B正确；向量在向量上的投影a＝·＝，故C不正确；＝(－2，2，0)，＝(－2，0，－4)，＝(－2，1，2)，设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝2，得n＝(2，2，－1)，设直线AE与平面PCD所成的角为θ，则sinθ＝＝＝，故D正确．故选ABD. 三、填空题 8．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，M为A1B1的中点，则BC1与平面AMC1所成角的正弦值为________． 答案： 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，M，C1，B(0，a，0)，故＝，＝，设平面AMC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则∴令y＝2，则z＝－，x＝0，∴n＝.又＝，∴cos〈，n〉＝＝＝－.设BC1与平面AMC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝. 9．若∠APB＝∠BPC＝∠APC＝60°，则PA与平面PBC所成角的余弦值为________． 答案： 解析：如图，设A在平面PBC内的射影为O，连接OP，∵∠APB＝∠APC，∴点O在∠BPC的平分线上，∴∠OPC＝30°，∠APO为PA与平面PBC所成的角，∴cos∠APC＝cos∠APOcos∠OPC，即cos60°＝cos∠APOcos30°，∴cos∠APO＝. 10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为线段BD的中点．设点P在线段BB1(P不与B重合)上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的最大值是________． 答案： 解析：如图，建立空间直角坐标系Axyz，不妨设正方体的棱长为2，则A1(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，＝(2，0，－2)，＝(－2，2，0)，设平面A1BD的一个法向量为m＝(x，y，z)，所以即令x＝1，得m＝(1，1，1)，又O(1，1，0)，设P(2，0，t)，则t∈(0，2]，所以＝(1，－1，t)，故sinα＝＝＝≤，当t＝2时，等号成立，所以sinα的最大值是. 四、解答题 11．如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥AB，BD＝AE＝2，O，M分别为CE，AB的中点． (1)求异面直线AB与CE所成角的大小； (2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值． 解：(1)∵BD⊥AB，平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，BD⊂平面ABDE，∴BD⊥平面ABC. ∵BD∥AE，∴AE⊥平面ABC. 如图所示，以C为原点，，的方向分别为x轴、y轴正方向，过点C且与AE平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系． ∵AC＝BC＝AE＝4， ∴C(0，0，0)，A(4，0，0)，B(0，4，0)，E(4，0，4)， ∴＝(－4，4，0)，＝(4，0，4)． ∴cos〈，〉＝＝＝－， ∵异面直线所成角的范围是， ∴异面直线AB与CE所成角的大小为. (2)由(1)知，O(2，0，2)，D(0，4，2)，M(2，2，0)， ∴＝(0，4，2)，＝(－2，4，0)，＝(－2，2，2)， 设平面ODM的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝2，则y＝1，z＝1，∴n＝(2，1，1)． 设直线CD与平面ODM所成的角为θ， 则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝， ∴直线CD与平面ODM所成角的正弦值为. 12．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点B1在底面ABC的射影为边BC的中点，△ABC为正三角形，二面角B1－AB－C的正切值为2. (1)证明：AB1⊥A1C； (2)求直线A1C与平面AB1C所成角的正弦值． 解：(1)证明：取BC的中点O，连接OB1，OA， 由题意知，OB1⊥平面ABC，BC，OA⊂平面ABC， 则OB1⊥BC，OB1⊥OA， 又底面ABC为正三角形，所以OA⊥BC， 故BC，OA，OB1两两垂直， 以O为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设正三角形ABC的边长为2， OB1＝m， 过O作OE⊥AB于点E，连接EB1， 因为AB⊂平面ABC，所以OB1⊥AB， 又OE⊥AB，OE∩OB1＝O，OE，OB1⊂平面OB1E， 所以AB⊥平面OB1E， 又EB1⊂平面OB1E，所以AB⊥EB1. 综上，∠B1EO即为二面角B1－AB－C的平面角， 在Rt△OBE中，OE＝OB·sin60°＝， 又tan∠B1EO＝＝2， 所以OB1＝2OE＝，即m＝， 所以BB1＝＝2，则AA1＝2， 则A(0，，0)，A1(1，，)，C(1，0，0)，B1(0，0，)， 所以＝(0，－，)，＝(0，－，－)， 所以·＝0＋3－3＝0， 即⊥，故AB1⊥A1C. (2)由(1)知，＝(0，－，)，＝(1，－，0)， 设平面AB1C的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令y＝1，则n＝(，1，1)， 设直线A1C与平面AB1C所成的角为θ， 又＝(0，－，－)，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝. 13．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB＝AD＝2AA1＝2，＝λ，＝μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]．若EF与底面ABCD所成角的正弦值为，则λμ的最大值是________． 答案：－ 解析：在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB⊥AD，如图所示，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，1)，B1(2，0，1)，D(0，2，0)，所以＝(0，0，1)，＝(－2，0，－1)，＝(0，2，－1)，则＝λ＝(－2λ，0，－λ)，＝μ＝(0，2μ，－μ)，所以＝＋＋＝(－2λ，2μ，－λ－μ＋1)．易得＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量，所以|cos〈，〉|＝＝＝，即2λμ＋1＝2λ＋2μ.因为λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，所以2λμ＋1＝2λ＋2μ≥2，当且仅当λ＝μ时，等号成立．令t＝，则2t2－4t＋1≥0，解得0≤t≤1－或t≥1＋(舍去)，则0≤λμ≤－，故λμ的最大值为－. 14．已知几何体EFG－ABCD，如图所示，其中四边形ABCD、四边形CDGF、四边形ADGE均为正方形，且边长为1，点M在棱DG上． (1)求证：BM⊥EF； (2)是否存在点M，使得直线BM与平面BEF所成的角为45°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：∵四边形ABCD、四边形CDGF、四边形ADGE均为正方形， ∴DA，DC，DG两两垂直． 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则B(1，1，0)，E(1，0，1)，F(0，1，1)． 点M在棱DG上，故可设M(0，0，t)(0≤t≤1)． ∵＝(1，1，－t)，＝(－1，1，0)， ∴·＝0，∴BM⊥EF. (2)假设存在点M，使得直线BM与平面BEF所成的角为45°. 设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)， ∵＝(0，－1，1)，＝(－1，0，1)， ∴∴ 令z＝1，得x＝y＝1， ∴n＝(1，1，1)为平面BEF的一个法向量， ∴cos〈n，〉＝＝. ∵直线BM与平面BEF所成的角为45°， ∴sin45°＝|cos〈n，〉|，∴＝， 解得t＝－4±3. 又0≤t≤1，∴t＝3－4， ∴点M(0，0，3－4)． ∴当点M在DG上，且DM＝3－4时，直线BM与平面BEF所成的角为45°. 16 学科网（北京）股份有限公司 $$