1.2.3 直线与平面的夹角-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教B版2019）

1．2.3　直线与平面的夹角

知识点一　直线与平面的夹角

1．已知斜线段长是它在平面内的射影长的2倍，则斜线与平面所成的角为(　　)

A．30° B．45°

C．60° D．120°

答案：C

解析：如图所示，斜线段AB的长度是它在平面α内的射影AC的长度的2倍．连接BC，易知△ABC为直角三角形，所以cos∠BAC＝.故所求的角为60°.

2．在正四棱锥P－ABCD中，侧棱与底面所成的角为，则侧棱所在直线与底面的边所在直线所成角的余弦值为(　　)

A． B．

C． D．

答案：A

解析：如图，正四棱锥P－ABCD中，PO⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，记∠PDO＝θ1，∠CDO＝θ2，∠PDC＝θ.依题意，得θ1＝，θ2＝，∵cosθ＝cosθ1cosθ2＝×＝，∴PD与DC所成角的余弦值为，即侧棱所在直线与底面的边所在直线所成角的余弦值为.

知识点二　用空间向量求直线与平面的夹角

3．平面α的一个法向量为m＝(，1，－1)，直线l的一个方向向量为＝(0，0，)，则直线l与平面α所成的角为(　　)

A． B．

C． D．

答案：D

解析：设直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝＝＝，因为0≤θ≤，所以θ＝，即直线l与平面α所成的角为.故选D.

4．已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1，0)，则y轴与平面α所成角的大小为(　　)

A． B．

C． D．

答案：B

解析：易知y轴的一个方向向量为s＝(0，1，0)，因为cos〈n，s〉＝＝－，所以y轴与平面α所成角的正弦值是，故其所成角的大小是.故选B.

5．正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为(　　)

A． B．

C． D．

答案：C

解析：建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意得A(1，－1，0)，C(－1，1，0)，B(1，1，0)，S(0，0，)．∴＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，)，＝(1，－1，)．设平面SBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝，得x＝0，y＝2，∴n＝(0，2，)．设直线AC与平面SBC所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.故选C.

6．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，则AC1与平面BB1C1C所成角的余弦值为________．

答案：

解析：设正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，以B为原点，建立空间直角坐标系(如图)，则C1(0，1，1)，A，所以＝，又平面BB1C1C的一个法向量为n＝(1，0，0)，设AC1与平面BB1C1C所成的角为θ，则sinθ

＝＝＝，所以cosθ＝＝.