精品解析：广东省茂名市高州市十三校联考2024-2025学年九年级下学期5月月考数学试题

2024-2025学年度第二学期第十六周素养展评 九年级数学试卷 （考试时间共120分钟，满分为120分．） 2025.5.29 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，把选出的答案写在答题卷上． 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 文旅部发布的数据显示，2023年春节假期，全国出游人次为3.08亿，数字3.08亿用科学记数表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列选项的括号内填入a3，等式成立的是（　　） A. a6+（　　）＝a9 B. a3•（　　）＝a9 C. （　　）3＝a9 D. a27÷（　　）＝a9 5. 方程 的解是（ ） A. B. C. D. 6. 将一副直角三角板按如图放置（其中），使含角的三角板的较长直角边与等腰直角三角板的斜边平行，则图中的度数为（ ） A B. C. D. 7. 甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计后的结果如表： 班级 参加人数 中位数 方差 平均数 甲 55 148 192 135 乙 55 151 110 135 某同学根据表中数据分析得出下列结论： （1）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同； （2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；（每分钟输入汉字≥150个为优秀）； （3）甲班成绩的波动情况比乙班成绩的波动小． 上述结论中正确的是（ ） A. （1）（2）（3） B. （1）（2） C. （1）（3） D. （2）（3） 8. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点在线段上，点在轴上，将沿直线翻折，使点与点重合．若点在线段延长线上，且，点在轴上，点在坐标平面内，如果以点为顶点的四边形是菱形，那么点有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 9. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（    ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卷相应的位置上． 11. 因式分解：___________． 12. 不等式1-2x＞x-5的非负整数解是________． 13. 计算： ______ ． 14. 如图，的直径垂直于弦，，则的大小是______°． 15. 如图，在中，，，是等边三角形，当最大时，的面积为______． 三、解答题（一）：（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于D、E． （1）若，求的周长； （2）若，求的度数． 18. 某学校九年级拟开展一次研学活动，经过前期考察，初步拟定以下五个活动基地：A．虎门鸦片战争博物馆（东莞市）；B．广州起义烈士陵园（广州市）；C．黄埔军校旧址纪念馆（广州市）；D．孙中山故里旅游区（中山市）；E．叶剑英纪念园（梅州市）．为了解学生对这五个基地的选择情况，从该年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如图1、图2所示． 根据以上信息，解决下列问题： （1）本次共调查了______名学生，并补全条形统计图； （2）根据抽样调查结果，估计该校九年级名学生中选择基地C的人数； （3）在学生自主选择基地过程中，小明和小红都确定选择位于广州市外的基地，请用列表法或树状图求他们两人选择同一基地研学的概率． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 女生节即将来临，某班同学去年用元购进了一批这种文创产品，在女生节时全部销售完毕，今年该班同学又准备用元再次购进这种文创产品，所购数量是去年购进量的2倍，但单价贵了1元． （1）该班同学去年购进的文创产品是多少件？ （2）若两年的文创产品按相同的标价销售，计划今年最后剩下的50件按八折优惠卖出，同学们思考如果全部文创产品售完，想要保证两年总利润率不低于（不考虑其他因素），那么每件文创产品的标价至少是多少元？ 20. 如图，在中，，以为直径与边交于点D，过点D作的切线交于点E． （1）求证： （2）填空： ①若，，则 ； ②当 度时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形． 21. 综合与实践 校园内运动场的围网外有一直立的路灯，综合实践活动中，创新小组利用所学知识测量该路灯的高度，活动报告如下： 活动主题 测量运动场围网外路灯的高度 数学抽象 如图1，表示水平地面，线段表示路灯，线段表示运动场围网的一根立柱，于点于点． 测量工具 激光投线角度仪（可测量角度，其高度忽略不计）、皮尺． 方案设计 如图2，在运动场内，因为有围网遮挡，底部不能直接到达，测量步骤如下： 第一步：在运动场内的地面上取测量点，将角度仪放置于地面，测得路灯顶端的仰角的度数； 第二步：将角度仪沿方向移动至测量点，测得路灯顶端的仰角的度数； 第三步：测出两点间的距离（图中各点均在同一竖直平面内）． 数据测量 测量对象 测量结果 米 解决问题 根据上述方案及测量结果，计算路灯的高度如下：…… （结果精确到0.1米，参考数据：； ． 实践反思 我们在完成任务后，对测量方案提出新的思考，步骤如下，如图3： 第一步：测量围网立柱的高米，到围网外测量路灯到立柱的水平距离米； 第二步：在运动场内的地面上调整角度仪的位置，记为点，使点与分别在同一条直线上； 第三步：测量……． （1）请补充“活动报告”中解决问题一栏计算路灯高度的过程； （2）按照“实践反思”中的测量步骤，在第三步中仅需再测图3中的一个数据，即可求得路灯的高度．你要测量的线段或角是___________，根据你测量的数据，路灯的高度为___________米． （用含或的式子表示，其中，用表示测得的线段长度，表示测得的角度）． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【问题背景】 如图1所示，在矩形中，点E是边上动点（点E与点B不重合），以为边向右侧构造矩形，． （1）连接，求证：． 【问题探究】 （2）若，，如图2所示，当经过矩形的顶点D时，求的长． 【问题拓展】 （3）在运动过程中，当m满足什么条件时，矩形的边一定能经过点D？ 23. 如图，二次函数的图象与x轴相交于点、点B，其顶点是C． （1）_______； （2）D是第三象限抛物线上的一点，连接，，求D的坐标； （3）在（2）的条件下，将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线．已知在的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期第十六周素养展评 九年级数学试卷 （考试时间共120分钟，满分为120分．） 2025.5.29 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，把选出的答案写在答题卷上． 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的化简，掌握绝对值的性质是解题的关键． 根据绝对值的性质化简即可求解． 【详解】解：的绝对值是， 故选：A ． 2. 文旅部发布的数据显示，2023年春节假期，全国出游人次为3.08亿，数字3.08亿用科学记数表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为的形式，其中，为整数是关键． 【详解】解：数字3.08亿用科学记数表示为 故选：D 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，找出满足两个条件的图形是解决本题的关键 ． 根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；再根据中心对称图形的概念，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据概念判断选项即可 ． 【详解】解：根据轴对称图形和中心对称图形的概念可知， A选项：线段既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； B选项：角是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C选项：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； D选项：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意 ． 故选：A ． 4. 下列选项的括号内填入a3，等式成立的是（　　） A. a6+（　　）＝a9 B. a3•（　　）＝a9 C. （　　）3＝a9 D. a27÷（　　）＝a9 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除，幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：A中，不符合要求； B中，不符合要求； C中，符合要求； D中，不符合要求； 故选C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除与幂的乘方．解题的关键在于正确的计算． 5. 方程 的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．解此题的关键是熟练掌握解一元二次方程的各种方法，灵活运用． 分解因式得出，推出方程，即可求出方程的解． 【详解】∵， ∴， ∴， 解得． 故选：C． 6. 将一副直角三角板按如图放置（其中），使含角的三角板的较长直角边与等腰直角三角板的斜边平行，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质和特殊直角三角形的性质以及三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：如图：根据特殊直角三角形的性质可知，∠A=45°，∠F=30°， ∵AB∥EF， ∴∠ACF=∠A=45°， ∴∠CHF=180°-∠F-∠ACF=180°-30°-45°=105°， ∴∠1=180°-∠CHF=108°-105°=75°， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． 7. 甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计后的结果如表： 班级 参加人数 中位数 方差 平均数 甲 55 148 192 135 乙 55 151 110 135 某同学根据表中数据分析得出下列结论： （1）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同； （2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；（每分钟输入汉字≥150个为优秀）； （3）甲班成绩的波动情况比乙班成绩的波动小． 上述结论中正确的是（ ） A. （1）（2）（3） B. （1）（2） C. （1）（3） D. （2）（3） 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，方差，正确理解统计量的意义是解题的关键． 【详解】（1）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；正确，符合题意； （2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；（每分钟输入汉字≥150个为优秀）；正确，符合题意， （3）甲班成绩的波动情况比乙班成绩的波动大．错误，不符合题意； 故选B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点在线段上，点在轴上，将沿直线翻折，使点与点重合．若点在线段延长线上，且，点在轴上，点在坐标平面内，如果以点为顶点的四边形是菱形，那么点有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质，分别以EC为边和EC为对角线进行讨论即可得出答案． 【详解】 ∵点，点， ∴， ． 由折叠可知，CE是线段AB的垂直平分线，点C为AB中点， ∴． ∵以点为顶点的四边形是菱形， 若CE为菱形的边，则菱形的每个边的长度都为5，分别以点C,E为圆心，以5为半径画圆，所画的圆与y轴有4个交点，分别对应图中的，即此时对应的N点也有4个，分别为； 若以CE为菱形的对角线，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，所以先画出CE的垂直平分线，该垂直平分线与y轴的交点即为，对应的N点即为． 所以符合条件的N有5个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查菱形性质及尺规作图，掌握菱形的性质是解题的关键． 9. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ∵， ∴、两点在第一象限，点在第三象限， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 10. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键． 直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b和的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵该抛物线对称轴位于y轴的左侧， ∴a、b同号，即 当时，， ∴ ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 反比例函数的图象分布在第一、三象限， 故选：B 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卷相应的位置上． 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用提公因式法分解因式即可． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 12. 不等式1-2x＞x-5的非负整数解是________． 【答案】0，1 【解析】 【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可． 【详解】解：1-2x＞x-5， 移项得-2x-x＞-5-1， 合并同类项得-3x＞-6， 解得x＜2， 故不等式1-2x＞x-5非负整数解为0，1． 故答案为：0，1． 【点睛】本题考查了一元一次不等式整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质． 13. 计算： ______ ． 【答案】3 【解析】 【分析】原式利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14. 如图，的直径垂直于弦，，则的大小是______°． 【答案】36 【解析】 【分析】根据垂径定理推出，推出∠CAB=∠BAD=36°，再由∠BCD=∠BAD即可解决问题． 【详解】∵AB是直径，AB⊥CD， ∴， ∴∠CAB=∠BAD=36°， ∵∠BCD=∠BAD， ∴∠BCD=36°， 故答案为：36． 【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理． 15. 如图，在中，，，是等边三角形，当最大时，的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先作等边，连接，再证明，可得，然后根据三角形三边关系可得，当时，最大，可作出图形，接下来求出等边三角形的边长，即可求出面积． 【详解】解：如图所示，根据题意可知点D在以为直径的半圆上运动， 在的另一侧作等边，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， 当时，即点F，O，D三点共线时，最大． 如图所示，作，交于点G， ∵， ∴． 在中，，， 即， 解得． 在等边中，，， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，垂径定理，三角形的三边关系等，确定的最大值是解题的关键． 三、解答题（一）：（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是求一个数的算术平方根、负整数指数幂、求一个数的绝对值、有理数的加减混合运算，解题关键是熟练掌握相关运算． 先根据计算出算术平方根、负整数指数幂、绝对值，再根据有理数的加减混合运算法则即可得解． 【详解】解：， ， ． 17. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于D、E． （1）若，求的周长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）的周长是8 （2）的度数是 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． （1）根据线段垂直平分线性质得出，求出的周长，即可得出答案； （2）由，即可得，又由，即可求得的度数． 【小问1详解】 解：在中，边的垂直平分线分别交于D、E， ∴， 又， ∴的周长； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 某学校九年级拟开展一次研学活动，经过前期考察，初步拟定以下五个活动基地：A．虎门鸦片战争博物馆（东莞市）；B．广州起义烈士陵园（广州市）；C．黄埔军校旧址纪念馆（广州市）；D．孙中山故里旅游区（中山市）；E．叶剑英纪念园（梅州市）．为了解学生对这五个基地的选择情况，从该年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如图1、图2所示． 根据以上信息，解决下列问题： （1）本次共调查了______名学生，并补全条形统计图； （2）根据抽样调查结果，估计该校九年级名学生中选择基地C的人数； （3）在学生自主选择基地的过程中，小明和小红都确定选择位于广州市外的基地，请用列表法或树状图求他们两人选择同一基地研学的概率． 【答案】（1）；图见解析 （2）人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了画条形统计图，用样本估计总体，画树状图法求概率，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）用B基地的人数除以其所占的百分比即可求出总人数，用总人数减去其它组的人数即可求得D基地的人数，补全条形统计图即可； （2）用乘选择基地C的人数所占的比例即可； （3）画树状图得到总结果数，再求出他们两人选择同一基地研学的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次共调查了（人）， D基地的人数为：（人）， 补全的条形统计图如图所示： 故答案为：； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校九年级名学生中选择基地C的人数为人； 【小问3详解】 解：位于广州市外的基地有A，D，E．画树状图如图所示： 共有种等可能结果，其中两人选中同一基地研学的有种情况， ∴（两人选中同一基地研学的概率）． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 女生节即将来临，某班同学去年用元购进了一批这种文创产品，在女生节时全部销售完毕，今年该班同学又准备用元再次购进这种文创产品，所购数量是去年购进量的2倍，但单价贵了1元． （1）该班同学去年购进的文创产品是多少件？ （2）若两年的文创产品按相同的标价销售，计划今年最后剩下的50件按八折优惠卖出，同学们思考如果全部文创产品售完，想要保证两年总利润率不低于（不考虑其他因素），那么每件文创产品的标价至少是多少元？ 【答案】（1）该班同学去年购进的文创产品是120件； （2）每件文创产品的标价至少是15元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该班同学去年购进的文创产品是x件，则今年购进的文创产品是件，根据今年该班同学又准备用2880元再次购进这种文创产品，但单价贵了1元，列出分式方程，解方程即可； （2）设每件文创产品的标价是y元，根据想要保证两年总利润率不低于，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设该班同学去年购进的文创产品是x件，则今年购进的文创产品是件， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：该班同学去年购进的文创产品是120件； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 设每件文创产品的标价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：每件文创产品的标价至少是15元． 20. 如图，在中，，以为直径的与边交于点D，过点D作的切线交于点E． （1）求证： （2）填空： ①若，，则 ； ②当 度时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形． 【答案】（1）见解析 （2）①3，②45 【解析】 【分析】（1）证出为的切线；由切线长定理得出再求得即可得出结论； （2）①由含角的直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出； ②由等腰三角形的性质，得到于是，然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形，即可得到结论. 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： ∵，为直径， ∴为的切线； 又∵也为的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①∵， ， ∵ 为直径， ∴， 由（1）得： ， ， 故答案为：； ②当时， 四边形是正方形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形. 故答案为： ． 【点睛】本题考查了圆的切线性质、解直角三角形的知识、切线长定理.运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题. 21. 综合与实践 校园内运动场的围网外有一直立的路灯，综合实践活动中，创新小组利用所学知识测量该路灯的高度，活动报告如下： 活动主题 测量运动场围网外路灯的高度 数学抽象 如图1，表示水平地面，线段表示路灯，线段表示运动场围网的一根立柱，于点于点． 测量工具 激光投线角度仪（可测量角度，其高度忽略不计）、皮尺． 方案设计 如图2，在运动场内，因为有围网遮挡，底部不能直接到达，测量步骤如下： 第一步：在运动场内的地面上取测量点，将角度仪放置于地面，测得路灯顶端的仰角的度数； 第二步：将角度仪沿方向移动至测量点，测得路灯顶端的仰角的度数； 第三步：测出两点间的距离（图中各点均在同一竖直平面内）． 数据测量 测量对象 测量结果 米 解决问题 根据上述方案及测量结果，计算路灯的高度如下：…… （结果精确到0.1米，参考数据：； ． 实践反思 我们在完成任务后，对测量方案提出新的思考，步骤如下，如图3： 第一步：测量围网立柱的高米，到围网外测量路灯到立柱的水平距离米； 第二步：在运动场内的地面上调整角度仪的位置，记为点，使点与分别在同一条直线上； 第三步：测量……． （1）请补充“活动报告”中解决问题一栏计算路灯高度的过程； （2）按照“实践反思”中的测量步骤，在第三步中仅需再测图3中的一个数据，即可求得路灯的高度．你要测量的线段或角是___________，根据你测量的数据，路灯的高度为___________米． （用含或的式子表示，其中，用表示测得的线段长度，表示测得的角度）． 【答案】（1）8.9米 （2）线段；或；或：； 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际运用，一元一次方程的实际运用，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识，并灵活运用． （1）设路灯的高度为米，根据解直角三角形得到，，再结合米，建立方程求解，即可解题； （2）证明，根据相似三角形性质可推出要测量的线段，以及求出的高度，或结合解直角三角形，推出要测量的角，以及求出的高度． 【小问1详解】 解：设路灯的高度为米， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 米， ， 解得米， 即米； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 米，米， 米， ， 解得； 要求得路灯的高度．要测量的线段是，的高度为米或米； ， 米，米，， ， ， ， 要求得路灯的高度．要测量的角是，的高度为米； 故答案为：线段，或；或，． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【问题背景】 如图1所示，在矩形中，点E是边上的动点（点E与点B不重合），以为边向右侧构造矩形，． （1）连接，求证：． 【问题探究】 （2）若，，如图2所示，当经过矩形的顶点D时，求的长． 【问题拓展】 （3）在运动过程中，当m满足什么条件时，矩形的边一定能经过点D？ 【答案】（1）见解析（2）或4（3）当时，矩形的边一定能经过点D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，圆的直径定理知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用矩形的性质和相似三角形的判定和性质即可证明； （2）根据给出的值求出相关线段的长度，然后证明，得出，设，则，列方程求解即可； （3）根据题意以为直径作圆O，分析圆的半径和圆心到的距离即可求解． 【详解】（1）证明：在矩形和矩形中，， ，． . ， . . （2）解：当，时，，． ，， ， ， ， . 设，则， ， 解得或4． 或4. （3）解：当时，矩形的边一定能经过点D，理由如下： 如图所示，以为直径作圆O，当边经过顶点D时，，由直径所对的圆周角是，故只有当与圆O有交点时，这点即可为点E，即点E还需在以为直径的圆上． 设圆心为O，则的半径为. 由题意得，与有公共点，则圆心O到的距离d小于等于半径，即，解得. 所以当时，矩形的边一定能经过点D. 23. 如图，二次函数的图象与x轴相交于点、点B，其顶点是C． （1）_______； （2）D是第三象限抛物线上的一点，连接，，求D的坐标； （3）在（2）的条件下，将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线．已知在的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数及其图象的性质，平移的性质，直角三角形的性质，解一元二次方程等知识． （1）将代入即可求得b； （2）设交y轴于点E，根据，求出E点坐标，进而求出直线的解析式，联立解析式，即可求出D点坐标； （3）新抛物线设为：，将D点坐标代入求出平移后的解析式，利用二次函数的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）知：， 当时，， 解得：，， ∴， ∴， 设直线交y轴于点E， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，将，代入解得：， ∴， 联立得：， 解得：或， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴新抛物线设为：， 由（2）知，且平移后的抛物线经过点D， ∴， ∴，（不合题意，舍去）， ∴， ∵在l左侧，平移前后的两条抛物线都下降， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$