2.7.2 抛物线的几何性质-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ 2.7.2　抛物线的几何性质 (教师独具内容) 课程标准：1.了解抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.了解抛物线的简单应用． 教学重点：抛物线的几何性质． 教学难点：抛物线的几何性质的应用． 核心素养：1.通过利用抛物线的方程、图形研究抛物线的几何性质培养直观想象素养和数学抽象素养.2.通过应用抛物线的几何性质解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点　　抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 性质 焦点 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0，0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 1．(抛物线的几何性质)下列关于抛物线y＝2x2的描述正确的是(　　) A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为 答案：A 2．(由抛物线的几何性质求标准方程)顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是(　　) A．x2＝16y B．x2＝8y C．x2＝±8y D．x2＝±16y 答案：D 3．(抛物线的最值问题)已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．0 答案：B 题型一　抛物线的简单几何性质　 例1　(1)(多选)下列说法中正确的是(　　) A．抛物线关于顶点对称 B．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心 C．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同 D．抛物线x2＝4y，y2＝4x的x，y的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的 [解析]　对于A，抛物线是轴对称图形，不是中心对称图形，所以A错误；对于B，抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心，所以B正确；对于C，所有抛物线的离心率为1，所以抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同，所以C正确；对于D，抛物线x2＝4y，y2＝4x的x，y的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的，都为2，所以D正确．故选BCD. [答案]　BCD (2)求抛物线y2＝8x的顶点坐标、焦点坐标、准线方程、对称轴、变量x的取值范围． [解]　抛物线y2＝8x的顶点坐标为(0，0)，焦点坐标为(2，0)，准线方程为x＝－2，对称轴为x轴，变量x的取值范围为[0，＋∞)． 【感悟提升】抛物线与椭圆、双曲线几何性质的联系与区别 (1)联系：三种曲线都有范围、对称轴、顶点和离心率四个基本的几何性质． (2)区别 ①椭圆和双曲线都是中心对称图形，但抛物线不是中心对称图形； ②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点； ④离心率取值范围不同，椭圆的离心率的取值范围是0＜e＜1，双曲线的离心率的取值范围是e＞1，抛物线的离心率是e＝1； ⑤椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，所以在画抛物线时切忌将其画成双曲线的一支的形式． 【跟踪训练】 1．(1)(多选)平面内到定点F(0，1)和到定直线l：y＝－1的距离相等的动点的轨迹为曲线C，则(　　) A．曲线C的方程为x2＝4y B．曲线C关于x轴对称 C．当点P(x，y)在曲线C上时，y≥0 D．当点P在曲线C上时，点P到直线l的距离d≥2 答案：AC 解析：由抛物线定义，知曲线C是以点F(0，1)为焦点，直线l：y＝－1为准线的抛物线，则p＝2，故其方程为x2＝4y，故A正确；抛物线x2＝4y关于y轴对称，不关于x轴对称，故B错误；由x2＝4y知y≥0，故C正确；当点P在曲线C上时，由于抛物线x2＝4y开口向上，当点P位于原点时，到直线l的距离最小，为1，故点P到直线l的距离d≥1，故D错误．故选AC. (2)求下列抛物线的顶点坐标、对称轴、焦点坐标和准线方程． ①y2＝2x；②x2＝32y； ③y＝－8x2；④x＝－y2. 解：①y2＝2x的焦点在x轴正半轴上，p＝1， 顶点坐标为(0，0)，对称轴为x轴，焦点坐标为，准线方程为x＝－. ②x2＝32y的焦点在y轴正半轴上，p＝16， 顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴，焦点坐标为(0，8)，准线方程为y＝－8. ③y＝－8x2即x2＝－y，焦点在y轴负半轴上，p＝， 顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴，焦点坐标为，准线方程为y＝. ④x＝－y2即y2＝－16x，焦点在x轴负半轴上，p＝8， 顶点坐标为(0，0)，对称轴为x轴，焦点坐标为(－4，0)，准线方程为x＝4. 题型二　由抛物线的几何性质求标准方程　 例2　抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆＋＝1的短轴所在的直线，抛物线的焦点到抛物线的顶点的距离为4，求抛物线的标准方程及准线方程． [解]　因为椭圆＋＝1的短轴在x轴上，所以抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)， 因为抛物线的焦点到抛物线的顶点的距离为4，所以＝4，即p＝8，所以抛物线的标准方程为y2＝16x或y2＝－16x，当抛物线的标准方程为y2＝16x时，准线方程为x＝－4，当抛物线的标准方程为y2＝－16x时，准线方程为x＝4. 【感悟提升】利用抛物线的简单性质求抛物线的标准方程的步骤 【跟踪训练】 2．(1)以x轴为对称轴，坐标原点为顶点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y 答案：C 解析：依题意设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)．因为焦点到准线的距离为4，所以p＝4，所以2p＝8，所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.故选C. (2)已知抛物线C同时满足以下三个条件： ①C的顶点在坐标原点；②C的对称轴为坐标轴；③C的焦点F在圆(x－2)2＋y2＝9上． 则C的方程为________(写出一个满足题意的即可)． 答案：x2＝－4y(答案不唯一，只需填写x2＝－4y或x2＝4y或y2＝－4x或y2＝20x中的任意一个) 解析：由已知得，抛物线C的焦点F在坐标轴上，若抛物线的焦点在y轴上，将x＝0代入(x－2)2＋y2＝9，可得y＝±，所以抛物线的焦点为(0，－)或(0，)．当抛物线的焦点为(0，－)时，抛物线的方程为x2＝－4y；当抛物线的焦点为(0，)时，抛物线的方程为x2＝4y.若抛物线的焦点在x轴上，将y＝0代入(x－2)2＋y2＝9，可得x＝－1或x＝5，所以抛物线的焦点为(－1，0)或(5，0)．当抛物线的焦点为(－1，0)时，抛物线的方程为y2＝－4x；当抛物线的焦点为(5，0)时，抛物线的方程为y2＝20x.则同时满足三个条件的抛物线C的方程为x2＝－4y或x2＝4y或y2＝－4x或y2＝20x. 题型三　抛物线几何性质的应用　 例3　(1)已知直线x＝t交抛物线y2＝4x于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得AC⊥BC，则t的取值范围为________． [解析]　不妨设点A在第一象限，则A(t，2)，B(t，－2)，设C(m，2)(m≥0)，由AC⊥BC，得·＝0，即(m－t)2＋(2－2)·(2＋2)＝m2＋(4－2t)m＋t2－4t＝0，解得m＝t(舍去)或m＝t－4，由m＝t－4≥0，得t≥4.所以t的取值范围为[4，＋∞)． [答案]　[4，＋∞) (2)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长． [解]　如图所示，正三角形AOB的顶点A，B在抛物线上，设坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y＝2px1，y＝2px2. 又|OA|＝|OB|，所以x＋y＝x＋y， 即x－x＋2px1－2px2＝0， 整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0. 因为x1＞0，x2＞0，2p＞0，所以x1＝x2， 由此可得|y1|＝|y2|， 即线段AB关于x轴对称，由此得∠AOx＝30°， 所以y1＝x1，与y＝2px1联立，解得y1＝2p. 所以|AB|＝2y1＝4p. 【感悟提升】利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． (2)顶点、对称性：解决抛物线的内接三角形问题． (3)范围：解决与抛物线有关的最值、范围问题． 【跟踪训练】 3．已知抛物线y2＝2x. (1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|； (2)在抛物线上求一点M，使M到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值． 解：(1)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)， 则|PA|2＝＋y2＝＋2x＝＋. 因为x≥0，故当x＝0时，|PA|最小，为， 故距离点A最近的点P的坐标为(0，0)． (2)设点M(x0，y0)是抛物线y2＝2x上任一点， 则M到直线x－y＋3＝0的距离为 d＝＝ ＝， 当y0＝1时，d取得最小值，为＝， 所以当点M的坐标为时，点M到直线x－y＋3＝0的距离最短，距离的最小值为. 1．抛物线y＝x2上一点A(x0，2)到其对称轴的距离为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案：B 解析：抛物线的对称轴为y轴，把A(x0，2)代入y＝x2，得x＝16，即|x0|＝4，故点A到y轴的距离为4. 2．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：设抛物线的焦点为F，顶点为O，由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而点F的坐标为，所以点P的横坐标为，代入抛物线的方程得y＝±，故点P的坐标为.故选B. 3．如图是一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16 m时，拱顶距离水面4 m，当水面上升1 m后，桥洞内水面宽为(　　) A．4 m B．4 m C．8 m D．12 m 答案：C 解析：以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，过原点且垂直于y轴的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知点(8，－4)在抛物线上，所以64＝－2p×(－4)，可得p＝8，所以抛物线的方程为x2＝－16y，当水面上升1 m后，即当y＝－3时，x2＝48，可得x＝±4，因此，当水面上升1 m后，桥洞内水面宽为8 m．故选C. 4．(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则下列结论中正确的是(　　) A．△ABF是等边三角形 B．|BF|＝3 C．点F到准线的距离为3 D．抛物线C的方程为y2＝6x 答案：ACD 解析：以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD＝90°，由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，所以△ABF是等边三角形，所以∠FBD＝30°.因为△ABF的面积为|BF|2＝9，所以|BF|＝6.又点F到准线的距离为|BF|sin30°＝3＝p，则该抛物线的方程为y2＝6x.故选ACD. 5．已知点M(1，m)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，且|MF|＝2(F为焦点)，若P为C上的一个动点，点Q的坐标为(3，0)，则|PQ|的最小值为________． 答案：2 解析：已知点M(1，m)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，且|MF|＝2(F为焦点)，由定义知，1－＝2，得p＝2，∴抛物线C：y2＝4x.设P(x0，y0)(x0≥0)，由题意知y＝4x0，则|PQ|2＝(x0－3)2＋y＝(x0－3)2＋4x0＝(x0－1)2＋8≥8，∴当x0＝1时，|PQ|2取得最小值8，则|PQ|的最小值为2. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ 考点 抛物线的对称性 由抛物线的几何性质求标准方程 求点的坐标的取值范围 与抛物线有关的最值问题 与抛物线有关的综合问题 抛物线的顶点、对称性、准线 与抛物线有关的最值问题 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 考点 抛物线几何性质的综合应用 由抛物线的几何性质求标准方程 由抛物线的几何性质求标准方程 抛物线几何性质的综合应用 抛物线几何性质的综合应用；余弦定理 求点的轨迹方程；抛物线的对称性、顶点、范围 抛物线的实际应用 一、选择题 1．若点(m，n)在抛物线y2＝－13x上，则下列点中一定在该抛物线上的是(　　) A．(－m，－n) B．(m，－n) C．(－m，n) D．(－n，－m) 答案：B 解析：由抛物线关于x轴对称易知，点(m，－n)一定在该抛物线上． 2．抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m，－3)到焦点的距离为4，则抛物线的方程为(　　) A．x2＝8y B．x2＝4y C．x2＝－4y D．x2＝－8y 答案：C 解析：由题意，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，准线方程为y＝，由抛物线的定义知，－(－3)＝4，解得p＝2，故抛物线的方程为x2＝－4y.故选C. 3．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，PQ⊥l于点Q.若△PQF是锐角三角形，则点P的横坐标的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(1，＋∞) C．(0，2) D．(2，＋∞) 答案：D 解析：如图所示，在x轴上取点A(4，0)，由抛物线的定义可得|PQ|＝|PF|，则∠PFQ＝∠PQF，由于△PQF为锐角三角形，则∠FPQ为锐角，由已知可得PQ∥x轴，所以∠AFP＝∠FPQ，则∠AFP为锐角，焦点F(2，0)，设点P(x，y)，则＝(2，0)，＝(x－2，y)，则·＝2(x－2)>0，解得x>2，因此点P的横坐标的取值范围是(2，＋∞)．故选D. 4．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径AB的长为6，深度MO的长为2，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若P是该拋物线上一点，点Q，则|PF|＋|PQ|的最小值为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案：B 解析：设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，因为|AB|＝6，|MO|＝2，所以点A(2，3)在抛物线上，所以9＝4p，故p＝，所以抛物线的方程为y2＝x，所以抛物线的焦点F的坐标为，准线方程为x＝－，在方程y2＝x中，令x＝，得y2＝>4，所以点Q在抛物线内，过点P作PP′与准线垂直，P′为垂足，过点Q作QQ′与准线垂直，Q′为垂足，则|PF|＝|PP′|，所以|PF|＋|PQ|＝|PP′|＋|PQ|≥|QQ′|＝＋＝3，当且仅当直线PQ与准线垂直时，等号成立，所以|PF|＋|PQ|的最小值为3.故选B. 5．(多选)如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则(　　) A．|AC|＝6 B．|FC|＝2 C．焦点F到准线的距离为 D．抛物线的标准方程为y2＝3x 答案：ACD 解析：如图，过A，B分别作准线的垂线AA′，BD，垂足分别为A′，D，则|BF|＝|BD|，又|BC|＝2|BF|，∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°.又|AF|＝3，∴|AA′|＝3，∴|AC|＝6，|FC|＝3.∴焦点F到准线的距离p＝|FC|＝，抛物线的标准方程为y2＝3x.故选ACD. 二、填空题 6．顶点在原点，对称轴为y轴且经过点(4，1)的抛物线的准线与对称轴的交点坐标是________． 答案：(0，－4) 解析：依题意，设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，则有42＝2p×1，即2p＝16，于是抛物线的方程为x2＝16y，其准线方程为y＝－4，准线与对称轴的交点坐标是(0，－4)． 7．已知抛物线C：y2＝2px(0<p<4)的焦点为F，点P为C上一动点，A(4，0)，B(p，p)，且|PA|的最小值为，则|BF|＝________． 答案： 解析：设点P(m，n)，则n2＝2pm，|PA|＝＝＝ .因为0<p<4，所以当m＝4－p时，|PA|有最小值，为.由题意，得＝，整理得p2－8p＋15＝0，解得p＝3或p＝5.又0<p<4，所以p＝3，所以点B(3，3)．由抛物线的定义可得|BF|＝3＋＝. 8．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为________，四边形ABED的面积为________． 答案：4　3＋6 解析：由题意，不妨设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得＋8＝＋5，解得p＝4，故C的焦点到准线的距离为4.易知四边形ABED是梯形，梯形的上底长|DE|＝2，下底长|AB|＝4，高为＋＝3，故四边形ABED的面积为×(2＋4)×3＝3＋6. 三、解答题 9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程． 解：设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，A(x0，y0)，由题意知M. 因为|AF|＝3，所以y0＋＝3， 因为|AM|＝，所以x＋＝17， 所以x＝8，代入x＝2py0，得8＝2p， 解得p＝2或p＝4. 所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y. 10．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线的方程及|OM|的值． 解：设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)， 则其焦点坐标为，准线方程为x＝－， ∵M在抛物线上， ∴M到焦点的距离等于其到准线的距离， 即＝2＋＝3， 解得p＝2，y0＝±2， ∴抛物线的方程为y2＝4x. 点M(2，±2)，根据两点间距离公式有 |OM|＝＝2. 11．(多选)已知直线l过抛物线E：y2＝4x的焦点F，与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，分别过A，B作抛物线的准线l1的垂线，垂足分别为A1，B1，以线段A1B1为直径作圆M，O为坐标原点，下列判断正确的是(　　) A．x1＋x2≥2 B．△AOB为钝角三角形 C．点F在圆M外 D．直线A1F平分∠AFO 答案：ABD 解析：如图所示，对于A，|AB|＝x1＋x2＋p≥2p＝4，所以x1＋x2≥2，故A正确；对于B，|OA|2＋|OB|2－|AB|2＝x＋y＋x＋y－(x1＋x2＋2)2＝－(2x1x2＋4)<0，△AOB为钝角三角形，故B正确；对于C，D，由|AA1|＝|AF|可知∠AA1F＝∠AFA1，又AA1∥OF，所以∠AA1F＝∠OFA1＝∠AFA1，所以直线A1F平分∠AFO，同理可得B1F平分∠BFO，所以A1F⊥B1F，即∠A1FB1＝90°，所以圆M经过点F，故C错误，D正确．故选ABD. 12．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线C上的两个动点，若x1＋x2＋2＝2|MN|，则∠MFN的最大值为________． 答案： 解析：如图，由抛物线的定义，可得|MF|＝x1＋1，|NF|＝x2＋1，∴x1＋x2＋2＝2|MN|⇔|MF|＋|NF|＝2|MN|，由余弦定理得cos∠MFN＝ ＝ ＝ ≥＝， ∴∠MFN的最大值为. 13．在平面直角坐标系xOy中，点P到直线l：x＝－3的距离比到点F(3，0)的距离大2. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)请指出曲线C的对称性、顶点和范围，并运用其方程说明理由． 解：(1)由题意可得，动点P到直线x＝－1的距离与到点F(3，0)的距离相等， 设P(x，y)， 则|x－(－1)|＝， 化简整理，可得y2－8x＋8＝0， 所以点P的轨迹C的方程为y2＝8(x－1)． (2)由(1)得曲线C的方程为y2＝8(x－1)， 即由抛物线y2＝8x向右平移一个单位得到， 所以曲线C关于x轴对称，顶点为(1，0)，范围为x≥1，y∈R. 14．某河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9 m，拱圈内水面宽30 m，一条船在水面以上部分高7 m，船顶部宽6 m. (1)试建立适当的平面直角坐标系，求拱桥所在抛物线的标准方程； (2)近日由于水位暴涨了2.46 m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应降低多少？(精确到0.1 m) 解：(1)设抛物线型拱桥与水面的两个交点分别为A，B，以AB的垂直平分线为y轴，拱圈最高点O为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则A(－15，－9)，设拱桥所在抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)， 因为点A(－15，－9)在抛物线上，代入解得2p＝25， 故拱桥所在的抛物线的标准方程是x2＝－25y. (2)因为x2＝－25y，故当x＝3时，y＝－0.36， 故当水位暴涨2.46 m后，船身至少应降低7＋2.46－(9－0.36)＝0.82(m)，因精确到0.1 m， 故船身至少应降低0.9 m，才能通过桥洞． 15 学科网（北京）股份有限公司 $$