2.5.1 椭圆的标准方程-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ 2.5.1　椭圆的标准方程 (教师独具内容) 课程标准：1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程． 教学重点：椭圆定义的应用及求椭圆的标准方程． 教学难点：椭圆标准方程的推导． 核心素养：1.通过椭圆概念的引入和椭圆标准方程的推导培养数学抽象素养和直观想象素养.2.通过椭圆标准方程的求解培养数学运算素养． 知识点一　　　椭圆的定义 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距． [想一想]　(1)对定义中限制条件“两个定点F1，F2”，如果重合，点的轨迹是什么？ 提示：椭圆定义中的两个定点F1，F2是指不重合的两点，当F1与F2重合时，相应点的轨迹是圆． (2)定义中为什么要限制条件“2a>|F1F2|”？ 提示： 条件 结论 2a＞|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a＜|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 知识点二　椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦距 |F1F2|＝2c 焦点坐标 (±c，0) (0，±c) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 1．(椭圆的定义)已知点A(－7，0)，B(7，0)，动点P满足|PA|＋|PB|＝16，则点P的轨迹为(　　) A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 答案：A 2．(椭圆的焦点)椭圆＋＝1的焦点坐标是(　　) A．(0，3)，(0，－3) B．(4，0)，(－4，0) C．(0，5)，(0，－5) D．(0，4)，(0，－4) 答案：D 3．(椭圆的标准方程)已知椭圆C上任意一点P(x，y)都满足关系式＋＝4，则椭圆C的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋y2＝1 答案：B 4．(椭圆定义的应用)已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝8，则|AB|＝________． 答案：4 题型一　椭圆的定义　 例1　下列命题是真命题的是________(将所有真命题的序号都填上)． ①已知定点F1(－1，0)，F2(1，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝ 的点P的轨迹为椭圆； ②已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段； ③已知定点F1(0，6)，F2(0，－6)，则满足|PF1|＋|PF2|＝14的点P的轨迹为椭圆； ④到定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离相等的点的轨迹为椭圆． [解析]　①因为<2，所以点P的轨迹不存在；②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③因为|PF1|＋|PF2|＝14>12，所以点P的轨迹为椭圆；④到定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)． [答案]　②③ 【感悟提升】 判断曲线是椭圆的限制条件 (1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． (2)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆． 【跟踪训练】 1．(1)已知F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹为(　　) A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．不存在 答案：C 解析：∵a＋≥2×3＝6＝|F1F2|(a>0)，当且仅当a＝3时取等号，∴由椭圆的定义得，当a＋＝6时，点P的轨迹为线段；当a＋>6时，点P的轨迹为椭圆．故选C. (2) 如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的垂直平分线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．线段 D．射线 答案：B 解析：连接EA，OA(图略)，根据线段垂直平分线的性质，可得|EA|＝|EB|，|EO|＋|EA|＝|OB|>|OA|，即点E到点O和点A的距离之和等于圆的半径|OB|，且|OB|>|OA|，根据椭圆的定义，可得点E的轨迹是以点O和点A为焦点的椭圆．故选B. 题型二　求椭圆的标准方程　 例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)两焦点的坐标分别为F1(－4，0)，F2(4，0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (3)经过点P，Q． [解]　(1)(定义法)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4，2a＝10，所以a＝5，b＝＝＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)(待定系数法)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 又椭圆经过点(0，2)和(1，0)， 所以解得 所以椭圆的标准方程为＋x2＝1. (3)解法一(分类讨论法)：①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 依题意，有解得 由a＞b＞0，知不符合题意，故舍去； ②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 依题意，有解得 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 解法二(待定系数法)：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)． 则解得 所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1， 故椭圆的标准方程为＋＝1. 【感悟提升】 1．椭圆标准方程的两种求法 (1)定义法：利用椭圆的定义求标准方程，应先验证动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两定点的距离，若符合，则根据椭圆的定义得到相应的a，b，c，从而写出椭圆的标准方程． (2)待定系数法 ①先设出椭圆的标准方程＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，然后求出待定的系数代入方程即可； ②若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)； ③与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0，λ＞－b2)，与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0，λ＞－b2)． 2．求椭圆标准方程的关键点 确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面． (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式． (2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解． 【跟踪训练】 2．求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)两焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，且椭圆经过点； (2)经过P1(，1)，P2(－，－)两点； (3)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)． 解：(1)∵椭圆的焦点在y轴上， ∴设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 由椭圆的定义知，2a＝＋ ＝2，即a＝， 又c＝2，∴b2＝a2－c2＝6， ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)， 故解得 即所求椭圆的标准方程是＋＝1. (3)由题意，椭圆9x2＋5y2＝45化为标准方程＋＝1，知焦点F1(0，2)，F2(0，－2)， 设所求椭圆方程为＋＝1(λ＞0)，将x＝2，y＝代入，得＋＝1，解得λ＝8或λ＝－2(舍去)． 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 题型三　椭圆的定义及标准方程的应用　 例3　(1)如图所示，已知经过椭圆＋＝1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点． ①求△AF1B的周长； ②如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长有变化吗？为什么？ [解]　①如题图，由题意知，A，B在椭圆＋＝1上，故有|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝10＋10＝20. ②如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长仍为20不变．因为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝20，与AB和x轴是否垂直无关． (2) 如图所示，点P是椭圆＋＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积． [解]　在椭圆＋＝1中，a＝，b＝2， ∴c＝ ＝1. 又P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2.① 在△F1PF2中，由余弦定理知， |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos30°＝|F1F2|2＝(2c)2＝4.② ①式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20.③ ③－②，得(2＋)|PF1|·|PF2|＝16， ∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)， ∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin30°＝8－4. 【感悟提升】 1．椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. (2)椭圆的定义能够对一些距离问题进行转化，简化解题过程． 2．椭圆中的焦点三角形 椭圆上一点M与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△MF1F2，称为焦点三角形．与椭圆焦点三角形有关的常用公式如下： (1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c； (2)在焦点三角形MF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|cos∠F1MF2； (3)设椭圆上任一点M(xM，yM)，焦点三角形的面积S△MF1F2＝c|yM|＝|MF1|·|MF2|·sin∠F1MF2＝b2tan. 【跟踪训练】 3．(1)已知椭圆＋＝1的两焦点为F1，F2，椭圆上有一点P满足∠PF1F2＝90°(如图)，则△PF1F2的面积为________． 答案： 解析：由已知得a＝2，b＝，所以c＝ ＝ ＝1.从而|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由勾股定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4.由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2＝4，所以|PF2|＝4－|PF1|.从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4，解得|PF1|＝.所以△PF1F2的面积S＝|PF1|·|F1F2|＝××2＝. (2)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________． 答案：15 解析：如图所示，在椭圆＋＝1中，a＝5，b＝4，c＝3，所以焦点坐标分别为F1(－3，0)，F2(3，0)．|PM|＋|PF1|＝|PM|＋(2a－|PF2|)＝10＋(|PM|－|PF2|)，因为|PM|－|PF2|≤|MF2|，当且仅当P在MF2的延长线上时取等号，所以当点P与图中的点P0重合时，|PM|－|PF2|取得最大值，为|MF2|＝＝5，此时|PM|＋|PF1|取最大值，为10＋5＝15. 1．椭圆＋＝1的焦距为(　　) A．2 B．3 C．2 D．4 答案：D 解析：由椭圆方程可知焦距2c＝2×＝4.故选D. 2．“n>m>0”是“方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：若n>m>0，则＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则n>m>0，所以“n>m>0”是“方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件．故选C. 3．(多选)与椭圆＋＝1有公共焦点的椭圆是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：BCD 解析：与椭圆＋＝1有公共焦点的椭圆系方程为＋＝1(λ>－16)．对比各选项可知，当λ＝－2时，得＋＝1；当λ＝5时，得＋＝1；当λ＝－9时，得＋＝1.故选BCD. 4．椭圆＋＝1的一个焦点是(0，－1)，那么k＝________． 答案：3 解析：因为椭圆＋＝1的一个焦点是(0，－1)，所以c2＝k－2＝1，解得k＝3. 5．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，3|PF2|＝5|PF1|，则△PF1F2的面积为________． 答案：6 解析：由＋＝1，得a＝4，c＝2，即|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，|F1F2|＝4，又3|PF2|＝5|PF1|，则|PF1|＝3，|PF2|＝5，所以△PF1F2为直角三角形，∠PF1F2＝90°，所以S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|＝×3×4＝6. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 考点 对椭圆定义的理解 已知椭圆的方程和焦点位置求参数的取值范围 利用椭圆的定义解决距离问题 焦点三角形问题 定义法求椭圆的标准方程 利用椭圆的定义解决距离问题 已知椭圆的焦距求参数 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 考点 利用椭圆的定义解决距离问题 定义法、待定系数法求椭圆的标准方程 利用椭圆的定义解决与距离有关的最值问题 焦点三角形问题；与椭圆有关的直线斜率问题 利用椭圆的定义解决周长问题 利用椭圆的定义求动点的轨迹方程 待定系数法求椭圆的标准方程；与椭圆有关的最值问题 一、选择题 1．已知动点M(x，y)满足 ＋ ＝4，则动点M的轨迹曲线的形状为(　　) A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 答案：D 解析：设F1(－2，0)，F2(2，0)．由题意知动点M满足|MF1|＋|MF2|＝4＝|F1F2|，故动点M的轨迹是线段F1F2. 2．已知方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为(　　) A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(－∞，－1) C．(－1，3) D．(3，＋∞) 答案：C 解析：根据题意，要使方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，需满足解得－1<k<3.故选C. 3．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>3)的两个焦点，过F1的直线l交C于A，B两点，若△ABF2的周长为16，则|F1F2|＝(　　) A．10 B．8 C．2 D．4 答案：C 解析：因为a>3，所以椭圆C的焦点在x轴上，因为△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，所以a＝4，所以|F1F2|＝2＝2.故选C. 4．设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．5 答案：B 解析：解法一：因为·＝0，所以∠F1PF2＝90°，从而S△F1PF2＝b2tan45°＝1＝|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝2.故选B. 解法二：因为·＝0，所以∠F1PF2＝90°，由椭圆方程可知，c2＝5－1＝4⇒c＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝42＝16，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝16＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2.故选B. 5．(多选)已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，则椭圆C的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：AB 解析：由已知2c＝|F1F2|＝2，所以c＝.因为2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝9.故椭圆C的标准方程为＋＝1或＋＝1. 二、填空题 6．椭圆＋＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为坐标原点，则|ON|＝__________． 答案：3 解析：设椭圆的右焦点为F2，连接MF2，则由|MF1|＋|MF2|＝8，知|MF2|＝8－2＝6.又O为F1F2的中点，N为MF1的中点，所以|ON|＝|MF2|＝3. 7．已知两椭圆ax2＋y2＝8与9x2＋25y2＝100的焦距相等，则a的值为________． 答案：或9 解析：因为两椭圆方程分别为＋＝1，＋＝1，由题意，可得或解得a＝或a＝9. 8．已知F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，M是椭圆上的一点，且在y轴的左侧，过点F2作∠F1MF2的平分线的垂线，垂足为N，若|ON|＝2(O为坐标原点)，则|MF2|－|MF1|＝________，|OM|＝________． 答案：4　2 解析：如图，延长F2N，MF1并相交于点Q，由题知，MN⊥F2Q，且MN平分∠F1MF2，所以|MF2|＝|MQ|，N为F2Q的中点，又因为O为F1F2的中点，所以|ON|＝|F1Q|，因为|ON|＝2，所以|F1Q|＝4，所以|MF2|－|MF1|＝|MQ|－|MF1|＝|F1Q|＝4.因为|MF2|＋|MF1|＝8，所以|MF2|＝6，|MF1|＝2，所以|MF2|2＝|MF1|2＋|F1F2|2，所以MF1⊥OF1，所以|OM|＝＝2. 三、解答题 9．求分别满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(0，1)； (2)与椭圆＋y2＝1有相同的焦点，且经过点； (3)焦点在y轴上，且与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2. 解：(1)∵椭圆的焦点在x轴上， ∴可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． ∵椭圆经过点(2，0)和(0，1)，∴a＝2，b＝1. 故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1. (2)解法一：∵椭圆＋y2＝1的焦点坐标分别为(－1，0)，(1，0)， ∴可设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 则解得a2＝4，b2＝3. 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 解法二：由题意知椭圆的焦点坐标分别为(－1，0)，(1，0)， 又 ＋ ＝＋＝4， ∴2a＝4，即a＝2，∴b2＝a2－c2＝22－12＝3， ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. (3)∵椭圆的焦点在y轴上， ∴可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． ∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10. 又P到它较近的一个焦点的距离等于2， ∴－c－(－10)＝2，故c＝8， ∴b2＝a2－c2＝36， ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. 10．已知椭圆C：＋＝1内有一点M(2，3)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上的一点，求： (1)|PM|－|PF1|的最大值与最小值； (2)|PM|＋|PF1|的最大值与最小值． 解：(1)由椭圆C：＋＝1可知a＝5，b＝4，c＝3， 则F1(－3，0)，F2(3，0)， 则||PM|－|PF1||≤|MF1|＝， 当且仅当P，M，F1三点共线时，等号成立， ∴－≤|PM|－|PF1|≤ ， ∴|PM|－|PF1|的最大值与最小值分别为和－. (2)∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，|PM|≥|PF2|－|MF2|， ∴|PM|＋|PF1|≥|PF2|－|MF2|＋|PF1|＝2a－|MF2|＝10－， 当且仅当|PM|＝|PF2|－|MF2|时，等号成立， 此时P在F2M的延长线上． ∵|PM|≤|PF2|＋|MF2|， ∴|PM|＋|PF1|≤|PF2|＋|MF2|＋|PF1|＝2a＋|MF2|＝10＋， 当且仅当|PM|＝|PF2|＋|MF2|时，等号成立， 此时P在MF2的延长线上． 故|PM|＋|PF1|的最大值与最小值分别为10＋和10－. 11．(多选)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F1，F2，与x轴的左、右两个交点分别是A1，A2，点P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，则下列说法正确的是(　　) A．|PF1|＋|PF2|＝4 B．若△F1PF2的面积为2，则点P的横坐标为± C．存在点P满足∠F1PF2＝90° D．直线PA1与直线PA2的斜率之积为－ 答案：BD 解析：设P(x0，y0)．依题意，a＝4，b＝3，c＝，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，A错误；|F1F2|＝2，因为S△F1PF2＝×2×|y0|＝2，所以|y0|＝2，x＝＝＝，x0＝±，B正确；cos∠F1PF2＝≥ ＝＝＝>0，“≥”中的等号成立的条件是|PF1|＝|PF2|，所以不存在点P满足∠F1PF2＝90°，C错误；＋＝1，9x＋16y＝144，y＝(16－x)，又A1(－4，0)，A2(4，0)，所以kPA1·kPA2＝·＝＝＝－，D正确．故选BD. 12．已知A，B是椭圆C：＋＝1(0<b2<4)上两点，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，△ABF1是以F2为中心的正三角形，则△ABF1的周长为________． 答案：18－6 解析：设AB边与x轴交于点D，因为△ABF1是以F2为中心的正三角形，所以AB⊥F1D，又F2为△ABF1的重心，所以|AF2|＝|F1F2|＝2c，则|F1D|＝3c，在Rt△AF1D中，∠AF1D＝30°，则cos30°＝，所以|AF1|＝2c，由椭圆的定义可得，|AF1|＋|AF2|＝2a，即2c＋2c＝2a，化简可得(＋1)c＝a，则c＝－1，所以△ABF1的周长为3|AF1|＝6c＝18－6. 13. 如图所示，△ABC的底边BC的长度为12，其他两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程． 解：以BC边所在直线为x轴，BC边的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则B(6，0)，C(－6，0)，CE，BD分别为AB，AC边上的中线， 则|BD|＋|CE|＝30. 由重心的性质可知，|GB|＋|GC|＝(|BD|＋|CE|)＝20. ∵B，C是两个定点，点G到B，C的距离和等于定值20，且20>12， ∴点G的轨迹是椭圆，B，C是椭圆的两个焦点， ∴2c＝|BC|＝12，c＝6，2a＝20，a＝10， ∴b2＝a2－c2＝102－62＝64， 故点G的轨迹方程为＋＝1(x≠±10)． 设G(x′，y′)，A(x，y)，则有＋＝1. 由重心坐标公式知 故顶点A的轨迹方程为＋＝1(x≠±30)，即＋＝1(x≠±30)． 14. 如图所示，由半椭圆C1：＋＝1(y≤0)和两个半圆C2：(x＋1)2＋y2＝1(y≥0)，C3：(x－1)2＋y2＝1(y≥0)组成曲线C：F(x，y)＝0，其中点A1，A2，B分别为C1与坐标轴的交点，F1，F2分别为C1的左、右焦点．若点F1，F2分别为曲线C2，C3的圆心． (1)求C1的方程； (2)若点P，Q分别在C2，C3上运动，求|BP|＋|BQ|的最大值，并求出此时点P，Q的坐标． 解：(1)依题意，F1(－1，0)，F2(1，0)，∴b2＝4－1＝3， 于是C1的方程为＋＝1(y≤0)． (2)|BP|＋|BQ|≤(|BF1|＋|F1P|)＋(|BF2|＋|F2Q|)＝(2＋1)＋(2＋1)＝6， 当B，F1，P三点共线，且B，F2，Q三点共线时等号成立，(|BP|＋|BQ|)max＝6， 此时∠OF1P＝∠OF2Q＝， ∴P，Q. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$