1.1.1 第2课时 空间向量的数量积-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ 第2课时　空间向量的数量积 (教师独具内容) 课程标准：1.掌握空间向量的数量积.2.了解空间向量投影的概念以及投影的意义． 教学重点：1.空间向量夹角的概念.2.空间向量数量积的概念、性质及计算方法． 教学难点：投影的概念及利用向量的数量积解决立体几何问题． 核心素养：1.通过对空间向量数量积的概念、性质的学习提升数学抽象素养.2.通过运用空间向量的数量积求空间向量的夹角、证明垂直提升数学运算素养． 知识点一　空间向量的夹角 空间中，给定两个非零向量a，b，在空间中任选一点O，作＝a，＝b，则大小在[0，π]内的∠AOB称为a与b的夹角，记作〈a，b〉．特别地，如果〈a，b〉＝，则称向量a与b垂直，记作a⊥b；约定零向量与任意向量都垂直． [点拨]　(1)两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时夹角为0，反向时夹角为π，即〈a，b〉＝0或π⇔a∥b(a，b为非零向量)． (2)零向量与其他向量之间不定义夹角，并规定0与任意向量平行，约定0与任意向量都垂直．两非零向量的夹角是唯一确定的． (3)对空间任意两向量a，b有： ①〈a，b〉＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉＝〈－b，－a〉； ②〈a，－b〉＝〈－a，b〉＝π－〈a，b〉； ③〈，〉＝〈，〉＝π－〈，〉． 知识点二　空间向量的数量积 (1)定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定零向量与任意向量的数量积为0． (2)投影：空间向量a在向量b上的投影a′，可以过a的始点和终点分别作与b所在直线垂直的平面得到．如图，向量b在棱AB上，a＝，因为＝，BC⊥AB，所以a在向量b上的投影a′＝． (3)几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积．特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量． [提醒]　(1)a·b是数量而不是向量，a·b的正负由cos〈a，b〉确定． (2)a·b是两向量之间的一种乘法，与数的乘法不同．书写时应写成a·b，而不能写成ab，也不能写成a×b. (3)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝. 知识点三　空间向量数量积的性质 (1)a⊥b⇔a·b＝0． (2)a·a＝|a|2＝a2． (3)|a·b|≤|a||b|. (4)(λa)·b＝λ(a·b)． (5)a·b＝b·a(交换律)． (6)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． [拓展]　(1)a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)． (2)|a|＝＝. [提醒]　|a·b|≤|a||b|中，当且仅当a，b共线时等号成立． 1．(空间向量的夹角)若△ABC为正三角形，则与的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案：B 2．(空间向量数量积的性质)(多选)已知空间向量a，b，c，下列结论正确的是(　　) A.＝|a| B．m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R) C．a·(b＋c)＝(b＋c)·a D．a2b＝b2a 答案：ABC 3．(空间向量的数量积运算)已知空间向量a，b，|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝30°，则a·b＝________． 答案：3 4．(空间向量的投影)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，则在上的投影为________；在平面ABCD上的投影的数量为________． 答案：　2 题型一　空间向量的夹角　 例　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与的夹角〈，〉＝________；向量与的夹角〈，〉＝________． [解析]　如图，连接A1D，BD.∵AB⊥平面BCC1B1，又C1B⊂平面BCC1B1，∴AB⊥C1B，故〈，〉＝90°，∵∥，∴〈，〉＝〈，〉＝180°－∠A1BD，∵△A1BD为等边三角形，∴∠A1BD＝60°，∴〈，〉＝120°. [答案]　90°　120° 【感悟提升】找两向量的夹角关键是把两向量平移到一个公共的起点，找到向量的夹角，再利用解三角形求角，注意向量夹角的范围是[0，π]． 【跟踪训练】 1．在正四面体A－BCD中，E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案：C 解析：由题意，可得＝，所以〈，〉＝〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°. 题型二　空间向量数量积的计算　 例2　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，E，F分别是AB，AD的中点，计算： (1)·；(2)·；(3)·；(4)·. [解]　(1)·＝·＝||·||cos〈，〉＝×1×1×cos60°＝. (2)·＝·＝||||·cos〈，〉＝×1×1×cos0°＝. (3)·＝·＝||||·cos〈，〉＝×1×1×cos120°＝－. (4)·＝(＋)·(＋)＝[·(－)＋·(－)＋·＋·]＝×[－·－·＋(－)·＋·]＝×＝－. 【感悟提升】空间向量数量积的运算方法 (1)直接利用空间向量数量积的定义并结合运算律进行计算． (2)在几何体中求空间向量的数量积的步骤 【跟踪训练】 2．(1)已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案：C 解析：＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，＝＋，则·＝·(＋)＋(||2＋2·＋||2)＝1.故选C. (2)已知四面体ABCD的所有棱长都是2，E是AD的中点，则·＝(　　) A．1 B．－1 C. D．－ 答案：A 解析：如图，＝＋，所以·＝·＋·＝2×2×cos60°＋2×1×cos120°＝1.故选A. 题型三　空间向量数量积的应用　 例3　(1)已知空间向量a，b，|a|＝2，|b|＝，a·b＝－2，则〈a，b〉＝________． [解析]　∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝＝＝－.又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝. [答案]　 (2)已知空间向量a，b，|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________． [解析]　∵|a＋b|＝24，∴(a＋b)2＝576，则a2＋2a·b＋b2＝576，∴2a·b＝576－132－192＝46.又|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝132＋192－46＝484，∴|a－b|＝22. [答案]　22 (3)如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则向量在上的投影为________． [解析]　∵PA⊥平面ABC，则PA⊥BC，·＝(＋＋)·＝·＋·＋·＝0＋6×6×＋62＝54.向量在上的投影为·＝＝. [答案]　 (4)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则与夹角的余弦值为________． [解析]　由＝＋，＝－，而A1C1⊥A1A，A1B1⊥A1A且∠B1A1C1＝60°，则·＝(＋)·(－)＝·－·＋·－2＝2－0＋0－4＝－2，显然||＝||＝2，则cos〈，〉＝＝－. [答案]　－ 【感悟提升】利用空间向量的数量积可以求空间向量的夹角、模以及解决与垂直有关的问题等． 【跟踪训练】 3．(1)如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3，5，M，N分别在上、下底面圆周上，O2，O1分别为上、下底面圆的圆心，且〈，〉＝120°，则||＝(　　) A. B．5 C. D．5 答案：A 解析：∵O2M⊥O1O2，O1N⊥O1O2，∴·＝0，·＝0，∵·＝3×5×cos60°＝，＝＋＋，∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝9＋16＋25＋15＝65，∴||＝. (2)已知四面体OABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，则与夹角的余弦值为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：C 解析：＝－＝－，＝－，∵||＝，||＝1，且·＝·(－)＝·－·－2＋·＝×1×1×cos60°－1×1×cos60°－×12＋1×1×cos60°＝－，∴cos〈，〉＝＝＝－.故选C. (3)(多选)设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，则下列结论正确的是(　　) A．(a·b)c－(c·a)b＝0 B．|a|－|b|<|a－b| C．(c·b)a－(c·a)b与c垂直 D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 答案：BCD 解析：对于A，由空间向量数量积的定义可知a·b和c·a是实数，而c与b不共线，故A错误；对于B，由于空间向量a，b不共线，故a，b，a－b构成三角形，故|a|－|b|<|a－b|，故B正确；对于C，因为[(c·b)a－(c·a)b]·c＝(c·b)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，所以(c·b)a－(c·a)b与c垂直，故C正确；由空间向量数量积的运算律可知D正确．故选BCD. 1．对于空间向量a，b，c和实数λ，下列命题为真命题的是(　　) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b>0，则〈a，b〉是锐角 答案：B 解析：对于A，当a⊥b时，a·b＝0，但向量a和b可能均不为零向量，A为假命题；B为真命题；对于C，当a2＝b2时，只能推得|a|＝|b|，而不能得到a＝b或a＝－b，C为假命题；对于D，当a·b>0时，〈a，b〉也可能为0，D为假命题．故选B. 2．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 答案：AD 解析：把两个向量平移到同一个起点，易知与的夹角为45°，与的夹角为135°，与的夹角为135°，与的夹角为45°.故选AD. 3．已知正四面体ABCD的棱长为2，则向量在向量上的投影为(　　) A．－ B. C．2 D．2 答案：A 解析：由题意，知△ABC为等边三角形，所以∠BAC＝60°，所以向量与向量的夹角为120°，所以向量在向量上的投影为－. 4．(多选)如图，M，N分别是棱长为2的正四面体OABC的棱OA和BC的中点，点P在线段MN上，且MP＝2PN，则(　　) A.＝＋＋ B．||＝ C.·＝2 D．向量在上的投影的数量为 答案：AC 解析：由题意，得＝2，即－＝2(－)，＝＋＝＋＝＋＋，故A正确；因为2＝＝2＋2＋2＋·＋·＋·＝，所以||＝，故B错误；·＝·＝2＋·＋·＝×4＋×2＋×2＝2，故C正确；向量在上的投影的数量为＝＝1，故D错误．故选AC. 5．已知a，b，c是空间中两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|＝________． 答案： 解析：因为a，b，c是两两垂直的单位向量，所以|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝a·c＝b·c＝0，所以|a－2b＋3c| ＝＝＝. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 考点 空间向量数量积的性质 空间向量数量积的计算 空间向量的垂直；空间向量的夹角 空间向量数量积的计算 空间向量的模 空间向量的模 投影的数量 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★★ 考点 空间向量数量积的计算；空间向量的模 空间向量数量积的计算 空间向量数量积的计算 空间向量数量积的计算；空间向量的夹角 空间向量数量积的计算；空间向量的模 空间向量的夹角；空间向量数量积的计算 空间向量的垂直；空间向量的夹角 一、选择题 1．下列命题正确的是(　　) A．|a|a＝a2 B．(a·b)2＝a2·b2 C．a(a·b)＝b·a2 D．|a·b|≤|a||b| 答案：D 解析：根据空间向量数量积的性质可判断出D正确． 2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，则 ·＝(　　) A．－9 B．－3 C．3 D．9 答案：C 解析：·＝0，·＝0，·＝0，则·＝(＋＋)·(－)＝－2＋2＝－1＋4＝3.故选C. 3．已知a，b是空间向量，若|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为(　　) A．60° B．30° C．135° D．45° 答案：D 解析：设a与b的夹角为θ.∵|a|＝1，|b|＝，a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝a2－b·a＝12－×1×cosθ＝0，∴cosθ＝.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.故选D. 4．如图，三棱锥A－BCD的各棱长都是a，E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　　) A．2· B．2· C．2· D．2· 答案：B 解析：由题意，知三棱锥A－BCD为正四面体，∵E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，∴EF⊥FG，且EF＝FG＝a.对于A，2·＝2a2cos120°＝－a2；对于B，2·＝2a2cos60°＝a2；对于C，2·＝2×a2cos180°＝－a2；对于D，2·＝2×a2cos120°＝－a2.故选B. 5．已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||＝(　　) A．5 B．6 C．4 D．8 答案：A 解析：如图，∵＝＋＋，∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋4＋9＋2×1×2×cos60°＋2×1×3×cos60°＋2×2×3×cos60°＝25，∴||＝5.故选A. 二、填空题 6．已知空间向量a，b，c两两的夹角均为60°，其模均为1，则|a＋2b－3c|＝________． 答案： 解析：单位向量a，b，c两两的夹角均为60°，则a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos60°＝，所以|a＋2b－3c|＝ ＝＝＝. 7．如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，已知AB＝1，AD＝2，AA′＝3，则向量在，，上的投影的数量分别为________． 答案：1，2，3 解析：非零向量a在非零向量b上的投影的数量为|a|cos〈a，b〉＝|a|·＝，＝＋＋，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，·＝·＝·＝0，因此，向量在上的投影的数量为＝＝||＝1；向量在上的投影的数量为＝＝||＝2；向量在上的投影的数量为＝＝||＝3. 8．已知正四面体O－ABC的棱长为1，则(－)·(＋)＝________，|＋|＝________． 答案：0　 解析：(－)·(＋)＝·(＋)＝·＋·＝1×1×cos60°＋1×1×cos120°＝0.因为|＋|2＝(＋－)2＝2＋2＋2＋2·－2·－2·＝12＋12＋12＋2×12×cos60°－2×12×cos60°－2×12×cos60°＝2，所以|＋|＝. 三、解答题 9．已知a，b是空间向量，且〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4.求： (1)a·b；(2)a2与b2；(3)(3a－2b)·(a＋2b)． 解：(1)a·b＝3×4×cos120°＝－6. (2)a2＝|a|2＝9，b2＝|b|2＝16. (3)(3a－2b)·(a＋2b)＝3|a|2－4|b|2＋4a·b＝3×9－4×16＋4×(－6)＝－61. 10．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝2，AD＝4. 求：(1)·； (2)·； (3)·. 解：如图所示，||＝2，||＝＝2. (1)连接DC1. ∵＝， ∴〈，〉＝〈，〉＝180°－∠C1DC＝135°， ·＝||||cos135°＝2×2×＝－4. (2)∵四边形CDD1C1为正方形， ∴DC1⊥CD1，∴CD1⊥AB1，∴·＝0. (3)解法一：∵＝， ∴〈，〉＝〈，〉＝∠D1BC. 在Rt△D1BC中，cos∠D1BC＝＝＝， ∴·＝||||cos∠D1BC＝2×4×＝16. 解法二：∵＝，∴·＝·. 又在上的投影为， ∴·＝||2＝16，即·＝16. 11．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题中的真命题是(　　) A．(＋＋)2＝32 B.·(－)＝0 C.与的夹角为60° D．正方体的体积为|··| 答案：AB 解析：如图所示，(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32，故A为真命题；·(－)＝·＝0，故B为真命题；与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°，故C为假命题；正方体的体积为||||||，故D为假命题．故选AB. 12．已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为6的菱形，AA1＝8，∠ADC＝，点P满足＝m＋n＋，其中m，n∈[0，1]．若m2＋n2＝1－mn，则AP＋PC1的最小值为________． 答案：4＋6 解析：由题设，易得点P在平面A1B1C1D1内，且＝m＋n，则2＝m22＋n22＋ 2mn·＝36(m2＋n2＋mn)＝36，得||＝6.由直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的性质，得AA1⊥平面A1B1C1D1，A1P⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥A1P，则AP＝＝10.因为PC1＝A1P＋PC1－A1P≥A1C1－6＝6－6，所以AP＋PC1的最小值为10＋6－6＝4＋6. 13．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝2，AA1＝2，AD1＝2，∠BAD＝60°. 求：(1)·； (2)∠DAA1. 解：(1)·＝||||cos∠BAD＝4×2×cos60°＝4. (2)因为ABCD－A1B1C1D1为平行六面体，所以四边形AA1D1D为平行四边形，所以＝＋， 所以2＝(＋)2＝2＋2＋2·＝4＋8＋2·＝20，得·＝4，又cos∠DAA1＝＝＝，所以∠DAA1＝. 14．如图，正四面体V－ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M. (1)求证：⊥； (2)求〈，〉． 解：(1)证明：设＝a，＝b，＝c，正四面体的棱长为1， 则a·b＝a·c＝b·c＝，＝(a＋b＋c)，＝－＝－＝(b＋c－5a)，＝－＝－＝(a＋c－5b)， 所以·＝(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝(18a·b－9|a|2)＝×＝0，所以⊥. (2)＝＋＝－(a＋b＋c)＋c＝(－2a－2b＋c)， 所以||＝＝. 又||＝＝， ·＝(－2a－2b＋c)·(b＋c－5a)＝， 所以cos〈，〉＝＝. 又〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$