1.1.1 第1课时 空间向量的概念及其线性运算-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ 1.1.1　空间向量及其运算 第1课时　空间向量的概念及其线性运算 (教师独具内容) 课程标准：1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算． 教学重点：空间向量的加减、数乘运算． 教学难点：空间几何体中向量的线性运算． 核心素养：1.通过对空间向量概念的学习提升数学抽象素养.2.通过对空间向量线性运算的学习培养直观想象素养和数学运算素养.3.通过运用空间向量的线性运算解决问题培养逻辑推理素养． 知识点一　空间向量的概念 [提醒]　(1)空间向量不能比较大小，模可以比较大小． (2)空间共线向量不一定具备传递性，比如当其中一个向量为0时，不具备传递性． (3)空间中任意两个向量都是共面向量． 知识点二　空间向量的加法运算 (1)运算法则 ①三角形法则：给定两个平面向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，作出向量，则是向量a与b的和(也称为向量a与b的和向量)，向量a与b的和向量记作a＋b，因此＋＝．当平面向量a与b不共线时，a，b，a＋b正好能构成一个三角形，这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则．因为空间中的任意两个向量都共面，因此向量加法的三角形法则在空间中也成立． ②平行四边形法则：任意给定两个不共线的向量a，b，在空间中任取一点A，作＝a，＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，则＝＋. (2)运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a． 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． (3)有限个空间向量的和：为了得到有限个空间向量的和，只需将这些空间向量依次首尾相接，那么以第一个向量的始点为始点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和向量．例如，＋＋＝． 结论：三个不共面的向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量． 知识点三　空间向量的减法运算 (1)给定一个空间向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量． (2)三角形法则：在空间中任取一点O，作＝a，＝b，作出向量，则向量就是向量a与b的差(也称为向量a与b的差向量)，即－＝．当a与b不共线时，向量a，b，a－b正好能构成一个三角形． (3)转化为加法运算：a－b＝a＋(－b)． [提醒]　求向量和时，可以首尾相接(若为封闭图形，则和为0)，也可共起点；求向量差时，可以共起点． 知识点四　空间向量的数乘运算 (1)数乘向量的定义：给定一个实数λ与任意一个空间向量a，规定它们的乘积是一个空间向量，记作λa，上述实数λ与空间向量a相乘的运算简称为数乘向量． 当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向： ①当λ>0时，与a的方向相同； ②当λ<0时，与a的方向相反． 当λ＝0或a＝0时，λa＝0. (2)向量平行：如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥a. (3)三点共线：如果存在实数λ，使得＝λ，则与平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线．特别地，当λ＝时，B为线段AC的中点． (4)运算律：λa＋μa＝(λ＋μ)a(λ，μ∈R)， λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)． 空间向量的加法、减法与数乘运算，以及它们的混合运算，统称为空间向量的线性运算． [点拨]　(1)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度． (2)向量λa与向量a一定是共线向量． 1．(空间向量的概念)在单位正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与是________向量，向量与是________向量． 答案：相等的　相反 2．(空间向量的加减运算)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＋＋＝________，－＋＝________． 答案：　 3．(空间向量的数乘运算)化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________． 答案：3a－2b 题型一　空间向量的概念　 例1　　下列说法正确的是(　　) A．若两个空间向量共线，则这两个空间向量的方向相同或相反 B．将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 C．两个相等的空间向量，若它们的起点相同，则终点必相同 D．若两个空间向量的模相等，则这两个空间向量相等 [解析]　对于A，零向量与任意向量共线，但零向量的方向是任意的，故A错误；对于B，将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球面，故B错误；对于C，根据空间向量相等的定义可知，两个相等的向量若起点相同，终点也必须相同，这样才能保证它们的模相等，方向相同，故C正确；对于D，两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，故D错误．故选C. [答案]　C 【感悟提升】判断空间向量有关概念问题的策略 【跟踪训练】 1．(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．若空间向量a，b满足|a|>|b|，且a，b同向，则a>b B．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝ C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D．若空间向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c 答案：BC 解析：A为假命题，向量不能比较大小；B为真命题，与的方向相同，模也相等，故＝；C为真命题，向量的相等满足传递性；D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行．故选BC. 题型二　空间向量的加减运算　 例2　根据如图的平行六面体ABCD－A′B′C′D′，化简下列各式： (1)＋－＋－； (2)－＋－. [解]　(1)在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，因为＝，＝，所以＋－＋－＝＋(＋)－(＋)＝＋0－＝. (2)在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，因为＝， 所以－＋－＝(－)＋＝. 【感悟提升】空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得准确的结果． 【跟踪训练】 2．如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，BD的中点，请化简下列运算，并在图中标出表示化简结果的向量． (1)－＋； (2)＋－. 解：(1)－＋＝＋＋＝，作出向量如图所示． (2)＋－＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝，作出向量如图所示． 题型三　空间向量的数乘运算　 例3　已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，M是体对角线AC1的中点，化简下列表达式： (1)－； (2)＋＋； (3)＋－. [解]　(1)－＝－＝. (2)＋＋＝＋＝. (3)＋－＝(＋)－＝－＝＋＝＋＝＝. 【感悟提升】利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 【跟踪训练】 3．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下向量： (1)；(2)＋. 解：(1)∵P是C1D1的中点，∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋b＋c. (2)∵M是AA1的中点，∴＝＋＝－＋＝－a＋＝a＋b＋c. ∵N是BC的中点，∴＝＋＝＋＝＋＝c＋a＝a＋c， ∴＋＝＋＝a＋b＋c. 1．关于空间向量，下列四个结论正确的是(　　) A．方向相反的两个向量是相反向量 B．任意两个空间向量总是共面的 C．零向量没有方向 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 答案：B 解析：对于A，方向相反、长度相等的向量是相反向量，故A错误；对于B，空间中，任意两个向量总是共面的，故B正确；对于C，零向量的方向是任意的，故C错误；对于D，两个不相等的空间向量的模可以相等，故D错误．故选B. 2．已知空间向量a，b，c，化简(a－2b－3c)＋(－a＋3b＋3c)的结果为(　　) A．0 B．b C．－b D．－a 答案：B 解析：(a－2b－3c)＋(－a＋3b＋3c)＝(1－1)a＋(－2＋3)b＋(－3＋3)c＝b.故选B. 3．如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，M为OA的中点，N为BC的中点，则＝(　　) A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C.a＋b－c D.a－b＋c 答案：A 解析：由题意，得＝－＝(＋)－＝－＋＋＝－a＋b＋c.故选A. 4．(多选)如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量相等的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 答案：CD 解析：由正四棱柱的性质可知，对于A，||＝||，但与方向相反，故A不符合题意；对于B，||＝||，但与方向不同，故B不符合题意；对于C，||＝||，且与方向相同，故C符合题意；对于D，||＝||，且与方向相同，故D符合题意．故选CD. 5．在四面体OABC中，＋－＝________． 答案： 解析：＋－＝＋＋＝＋＝. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ 考点 相等的向量 加减运算 加减运算；数乘运算 加减运算 单位向量；相等的向量；相反向量；向量共面 向量平行；向量的模 加法运算；数乘运算 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★★ ★★ ★★ 考点 加减运算；数乘运算 加减运算；数乘运算 加减运算；数乘运算 相等的向量；相反向量；加减运算 加法运算；数乘运算 加减运算；数乘运算 用向量法证明空间位置关系 一、选择题 1．下列命题中正确的有(　　) ①空间向量就是空间中一条有向线段；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；③若a，b是空间两个向量，且a≠b，则a与b的方向不同；④若与是空间两个向量，则＝的充要条件是A与C重合，B与D重合． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：A 解析：①错误，有向线段是表示向量的一种图形工具；②正确，由＝知AB∥DC或A，B，C，D四点共线，||＝||，因此在A，B，C，D四点不共线的前提下，＝⇔四边形ABCD是平行四边形；③错误，不相等的向量方向可以相同；④错误． 2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．－a＋b－c B．a－b＋c C．－a＋b＋c D．a＋b－c 答案：A 解析：根据空间向量的加减法运算法则，得＝＋＋＝－＋＝－－＋＝－a－c＋b.故选A. 3．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　) A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C.a－b＋c D．－a－b＋c 答案：A 解析：因为在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝＝(－)＝(－)，所以＝＋＝＋(－)＝－＋＋＝－a＋b＋c.故选A. 4．(多选)在空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则下列各式中不成立的是(　　) A.＋－＋＝0 B.＋＋－＝0 C.＋－＋＝0 D.－＋＋＝0 答案：AD 解析：由于E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，所以四边形EFGH为平行四边形，其中＝，且＝，故＋＋－＝＋＋＋＝0，＋－＋＝＋＋＋＝＋＝0，即B，C正确，而A，D都不成立．故选AD. 5．(多选)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则关于以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量的说法正确的是(　　) A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．向量的相反向量有4个 D．向量，，共面 答案：ABC 解析：由题意可知单位向量有，，，，，，，，共8个，故A正确；与相等的向量有，，，共3个，故B正确；向量的相反向量有，，，，共4个，故C正确；因为＝，向量，，有一个公共点A1，而点A1，B1，D1都在平面A1B1C1D1内，点A在平面A1B1C1D1外，所以向量，，不共面，故D错误．故选ABC. 二、填空题 6．已知空间向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝________． 答案：2 解析：因为a，c同向，a，b反向，所以|a＋b＋c|＝||a|－|b|＋|c||＝|3－2＋1|＝2. 7．在四面体O－ABC中，D为BC的中点，＝a，＝b，＝c，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)． 答案：a＋b＋c 解析：∵D为BC的中点，＝a，＝b，＝c，E为AD的中点，∴＝(＋)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c. 8．在三棱锥A－BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为________． 答案：0 解析：如图，延长DE交BC于点F，连接AF，则F为BC的中点，且＝，因为＋＝，＋＝＋＝，所以＋－－＝－＝0. 三、解答题 9．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式： (1)＋； (2)＋＋； (3)＋－. 解：(1)＋＝. (2)＋＋＝＋＋＝. (3)＋－＝＋＋＝0. 10．如图，长方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别是A′D′，BD的中点，设＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示，，，. 解：＝－＝＋－＝a＋b－c， ＝＋＝＋＝＋＝c＋b＝b＋c， ＝－＝－＝(－)－＝(a－b)－c＝a－b－c， ＝＋＋＝＋＋＝－＋(－)＝－＝a－c. 11．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC1的中点为O，则下列结论中正确的是(　　) A.＋与＋是一对相等的向量 B.－与－是一对相反向量 C.－与－是一对相等的向量 D.＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量 答案：D 解析：A中是一对相反向量；B中是一对相等的向量；C中是一对相反向量；D中是一对相反向量．故A，B，C错误，D正确．故选D. 12．光岳楼，亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼．其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比约为，则＋＋＝________． 答案： 解析：如图，延长EA，FB，GC，HD相交于一点O，则＝，＝，∴＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝. 13．如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD′，BD的中点． (1)用向量a，b，c表示，； (2)化简＋＋＋＋2. 解：(1)＝＋＋＝－b＋a－c＝a－b＋c. ＝＋＋＝＋＋＝(－－)＋＋(－)＝－＝a－c. (2)＋＋＋＋2＝＋＋＋2＝＋2＝＋＝0. 14．在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别在边CB，CD上，且＝，＝.证明：四边形EFGH为梯形． 证明：∵E，H分别是AB，AD的中点， ∴＝.① ∵＝－，＝－， 又＝，＝， ∴＝(－)＝.② 由①②，得＝，∴∥， 又||≠||，且点F不在直线EH上， ∴EH∥FG且EH≠FG. ∴四边形EFGH为梯形． 15 学科网（北京）股份有限公司 $$