2.4.2 圆的一般方程-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教A版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ 2.4.2　圆的一般方程 (教师独具内容) 课程标准：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程． 教学重点：圆的一般方程的探求过程及其特点． 教学难点：根据具体条件，选用圆的一般方程解决有关问题． 核心素养：通过推导圆的一般方程并运用方程解决问题，进一步提升数学抽象及数学运算素养． 知识点一　圆的一般方程 (1)定义 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)叫做圆的一般方程． (2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 变形 将此方程的左边配方，常数项移到右边，得＋＝ 结论 条件 图形 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，为半径的圆 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 [拓展]　判断二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆要“两看”： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A＝C≠0；②B＝0； 二看它能否表示圆．此时判断D2＋E2－4AF是否大于0，或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数． 知识点二　待定系数法求圆的方程的步骤 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； (3)解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程． 1．(由圆的一般方程求圆心、半径)圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为(　　) A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4 C．(－2，3)，4 D．(2，－3)，16 答案：C 2．(二元二次方程表示圆的条件)方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是________． 答案：m＜1 3．(求圆的一般方程中的参数)若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(－1，2)为圆心，3为半径的圆，则D＝________，E＝________，F＝________． 答案：2　－4　－4 4．(求圆的一般方程)过O(0，0)，A(3，0)，B(0，4)三点的圆的一般方程为________________． 答案：x2＋y2－3x－4y＝0 题型一　圆的一般方程的定义　 例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． [解]　(1)由题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 即4m2＋4－4m2－20m>0，解得m<， 故实数m的取值范围为. (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成圆的标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝. 【感悟提升】　二元二次方程与圆的关系 (1)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正．若D2＋E2－4F>0，则方程表示圆，否则不表示圆；②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆． (2)由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0求圆心坐标和半径的方法：①利用配方法将圆的一般方程化为标准方程，可以非常直观地求出圆心坐标及半径；②利用写出圆心坐标，利用公式r＝求出半径． 【跟踪训练】　 1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径． (1)x2＋y2＋x＋y＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)； (3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)． 解：(1)∵D＝1，E＝1，F＝1， ∴D2＋E2－4F＝－2<0， ∴方程不表示任何图形． (2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2， ∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0， ∴方程表示点(－a，0)． (3)两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a，F＝0， ∴D2＋E2－4F＝2a2>0， ∴方程表示圆，它的圆心为， 半径r＝＝|a|. 题型二　求圆的一般方程　 例2　已知△ABC的顶点C(2，－8)，直线AB的方程为y＝－2x＋11，AC边上的高BH所在直线的方程为x＋3y＋2＝0. (1)求顶点A和B的坐标； (2)求△ABC外接圆的一般方程． [解]　(1)由可得 所以顶点B的坐标为(7，－3)， 由x＋3y＋2＝0，可得y＝－x－， 所以kBH＝－. 由AC⊥BH，可得kAC＝3， 因为C(2，－8)， 所以直线AC的方程为y＋8＝3(x－2)， 即3x－y－14＝0， 由得 所以顶点A的坐标为(5，1)． (2)设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将A(5，1)，B(7，－3)和C(2，－8)三点的坐标分别代入圆的方程，得 解得 所以△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2－4x＋6y－12＝0. 【感悟提升】　待定系数法求圆的方程 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出D，E，F. 【跟踪训练】　 2．已知圆C的圆心在直线x－2y＝1上，且经过原点和A(2，1)，求圆C的一般方程． 解：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意知解得 故圆C的一般方程为x2＋y2－x－y＝0. 题型三　求动点的轨迹方程　 例3　已知O为原点，点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程． [解]　解法一(代入法)：设M(x，y)，P(x0，y0)， 则∴ ∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上， ∴x＋y－8x0－6y0＋21＝0. ∴(2x)2＋(2y)2－8×(2x)－6×(2y)＋21＝0. 即线段OP的中点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－3y＋＝0. 解法二(定义法)：设点M的坐标为(x，y)，连接OC，PC，取线段OC的中点A，连接MA. 圆C的方程可化为(x－4)2＋(y－3)2＝4，圆心C(4，3)，|CP|＝2. 则点A的坐标为. 如图，在△OCP中，M，A分别是OP，OC的中点， 则|MA|＝|CP|＝1， 又当O，C，P三点共线时，|MA|＝1， ∴点M的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆， ∴线段OP的中点M的轨迹方程为(x－2)2＋＝1. 【感悟提升】　求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式． (2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程． (3)代入法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将点Q的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程． 【跟踪训练】　 3．已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． 解：(1)解法一(直接法)：设顶点C(x，y)，易知x≠3且x≠－1. 因为AC⊥BC，kAC＝，kBC＝， 所以·＝－1， 化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)． 解法二(直接法)：设顶点C(x，y)，易知x≠3且x≠－1. 由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， 即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16， 化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)． 解法三(定义法)：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知，|CD|＝|AB|＝2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)． 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)． (2)(代入法)设M(x，y)，C(x0，y0)， 因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝， 于是有x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，点C在圆(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上运动，将x0，y0代入该方程得(x0－1)2＋y＝4(x0≠3且x0≠－1)， 即(2x－4)2＋(2y)2＝4(x≠3且x≠1)， 即(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)． 因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)． 1．若方程x2＋y2＋kx－y＋2k＝0表示圆，则k的取值范围是(　　) A．(1，7) B．[1，7] C．(－∞，1)∪(7，＋∞) D．(－∞，1]∪[7，＋∞) 答案：C 解析：由题意，得k2＋(－)2－4×2k＝k2－8k＋7>0，解得k>7或k<1.故选C. 2．过原点，(2，0)，(0，3)三点的圆的方程为(　　) A．x2＋y2－2x－3y＝0 B．x2＋y2＋2x－3y＝0 C．x2＋y2－2x＋3y＝0 D．x2＋y2＋2x＋3y＝0 答案：A 解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，∵圆过(0，0)，(2，0)和(0，3)三点，∴解得∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－3y＝0.故选A. 3．(多选)已知圆M的方程为x2＋y2－4x＋2y＝0，则下列说法正确的是(　　) A．圆M的圆心为(2，－1) B．圆M的半径为 C．点P(3，2)在圆M内 D．直线x＋3y＋1＝0将圆M平分 答案：ABD 解析：将圆M的一般方程化为标准方程，得(x－2)2＋(y＋1)2＝5，故圆M的圆心为(2，－1)，半径为，故A，B正确；因为(3－2)2＋(2＋1)2＝10>5，所以点P(3，2)在圆M外，故C错误；因为直线x＋3y＋1＝0经过圆M的圆心(2，－1)，所以直线x＋3y＋1＝0将圆M平分，故D正确．故选ABD. 4．已知圆C的圆心坐标为(2，－3)，且点(－1，－1)在圆上，则圆C的一般方程为________________． 答案：x2＋y2－4x＋6y＝0 解析：易知圆C的半径为，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，展开得一般方程为x2＋y2－4x＋6y＝0. 5．点P(x0，y0)是圆x2＋y2＝4上的动点，M是OP(O是原点)的中点，则动点M的轨迹方程是____________． 答案：x2＋y2＝1 解析：设M(x，y)，则x＝，y＝，∴x0＝2x，y0＝2y，即P(2x，2y)．又点P是圆x2＋y2＝4上的动点，∴(2x)2＋(2y)2＝4，即动点M的轨迹方程为x2＋y2＝1. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 考向 圆的一般方程 圆的一般方程 圆的一般方程的综合应用 圆的一般方程的综合应用 求动点的轨迹方程 圆的一般方程的综合应用 圆的一般方程 考点 求圆的一般方程中的参数 圆的一般方程的定义 圆关于点、直线对称问题 求与已知圆关于直线对称的圆 直接法 与圆的一般方程有关的最值问题 对圆的一般方程的理解；由圆的一般方程求圆心、半径 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★★ ★ ★★★ ★★ ★★ ★★ 考向 圆的一般方程 求动点的轨迹方程 圆的一般方程的综合应用 求动点的轨迹方程 圆的一般方程的综合应用 圆的一般方程的综合应用 圆的方程；求动点的轨迹方程 考点 求圆的一般方程；由点在圆上求参数 直接法 由点在圆上求参数；与圆有关的最值问题 直接法 圆的一般方程的定义；圆关于直线对称问题 圆的一般方程的定义；与圆有关的最值问题；由点在圆内求参数 求圆的方程；代入法 一、选择题 1．若方程x2＋y2－mx＋2y＋1＝0(m∈R)表示半径为1的圆，则m＝(　　) A．1 B．2 C．－1或1 D．－2或2 答案：D 解析：由方程x2＋y2－mx＋2y＋1＝0(m∈R)表示半径为1的圆，可得＝1，解得m＝±2. 2．若点P(1，1)在圆C：x2＋y2－x－2y－k＝0的外部，则实数k的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B. C. D. 答案：B 解析：由题意，得解得－<k<－1.故选B. 3．(多选)已知圆x2＋y2－ax－1＝0，则下列说法正确的是(　　) A．圆关于点对称 B．圆关于直线y＝0对称 C．圆关于直线x＋3y－＝0对称 D．圆关于直线x－y＋＝0对称 答案：ABC 解析：因为圆x2＋y2－ax－1＝0，即＋y2＝＋1，圆心为，所以圆关于经过点的直线对称．故选ABC. 4．圆C：x2＋y2＋6x－12y＝0关于直线l：x－y＋13＝0对称的圆C′的标准方程为(　　) A．(x＋7)2＋(y－10)2＝45 B．(x＋7)2＋(y＋10)2＝45 C．(x－7)2＋(y－10)2＝45 D．(x－7)2＋(y＋10)2＝45 答案：A 解析：圆C：x2＋y2＋6x－12y＝0的标准方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝45，所以圆心为C(－3，6)，半径r＝＝3.设圆C′的圆心为C′(a，b)，则解得又圆C′的半径为3，所以圆C′的标准方程为(x＋7)2＋(y－10)2＝45.故选A. 5．在△ABC中，点B(－2，0)，C(2，0)，点A满足＝，则△ABC面积的最大值为(　　) A．4 B．8 C．4 D．8 答案：B 解析：设A(x，y)，则|AB|＝，|AC|＝，由＝，得 ＝，化简，得(x－6)2＋y2＝32，故点A的轨迹是以(6，0)为圆心，4为半径的圆(除去与x轴的两个交点)，故点A到直线BC的距离的最大值为4，故△ABC面积的最大值为|BC|×4＝×4×4＝8.故选B. 6．一束光线从点P(－1，2)出发，经x轴反射到圆C：x2＋y2－8x－6y＋23＝0上的最短距离为(　　) A．4 B．5 C．5－2 D．5＋2 答案：A 解析：由题意，知圆C的标准方程为(x－4)2＋(y－3)2＝2，所以圆心为C(4，3)，半径r＝，又点P(－1，2)关于x轴的对称点为Q(－1，－2)，所以|CQ|＝＝5，所以所求最短距离为5－＝4.故选A. 二、填空题 7．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． 答案：(－2，－4)　5 解析：方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则a2＝a＋2，故a＝－1或2.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，亦即＋(y＋1)2＝－，不成立，故舍去；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，故圆心坐标是(－2，－4)，半径是5. 8．已知A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，D(2，a)四点共圆，则a＝________． 答案：1 解析：设过点A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得所以过点A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0，又点D在此圆上，所以4＋a2＋12－2a－15＝0，即a2－2a＋1＝0，所以a＝1. 9．在△ABC中，若顶点B，C的坐标分别是(－2，0)和(2，0)，中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是____________；当△ABC的面积最大时，点A的坐标为____________． 答案：x2＋y2＝9(y≠0)　(0，3)或(0，－3) 解析：线段BC的中点D(0，0)为原点，设A(x，y)(y≠0)，则由距离公式得＝3(y≠0)，即x2＋y2＝9(y≠0)．因为点B(－2，0)，C(2，0)，所以点B，C所在直线的方程为y＝0，|BC|＝4，所以S△ABC＝|BC|·|y|＝2|y|，又因为x2＋y2＝9(y≠0)，所以当△ABC的面积最大时，x＝0，y＝±3，故此时点A的坐标为(0，3)或(0，－3)． 三、解答题 10．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2，3)． (1)若P(m，m＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率； (2)若P为圆C上任意一点，求|PQ|的最大值和最小值． 解：(1)由点P在圆C上，得m2＋(m＋1)2－4m－14(m＋1)＋45＝0，解得m＝4. ∴点P的坐标为(4，5)． 故|PQ|＝＝2， kPQ＝＝. ∴线段PQ的长为2，直线PQ的斜率为. (2)由题意知|PQ|取得最大值或最小值时，点P为过点Q与圆心C的直线与圆C的两个交点． 又圆心C(2，7)，半径R＝2，|QC|＝4， ∴|PQ|的最大值为|QC|＋R＝6，最小值为|QC|－R＝2. 11．(多选)已知动直线m：λx－y＋λ＝0和n：x＋λy－3－2λ＝0，P是两直线的交点，A，B分别是直线m和n过的定点，下列说法正确的是(　　) A．点B的坐标为(3，－2) B．m⊥n C．|PA|·|PB|的最大值为10 D．点P的轨迹为圆x2＋y2－2x－2y－3＝0 答案：BC 解析：直线m的方程λx－y＋λ＝0可化为y＝λ(x＋1)，所以直线m过定点(－1，0)，直线n的方程x＋λy－3－2λ＝0可化为x－3＋λ(y－2)＝0，所以直线n过定点(3，2)，所以点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，2)，故A错误；因为λ×1＋(－1)×λ＝0，所以直线m与直线n垂直，即m⊥n，故B正确；因为PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2，故|PA|2＋|PB|2＝(3＋1)2＋(2－0)2＝20，所以|PA|·|PB|≤＝10，当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立，故C正确；因为PA⊥PB，故|PA|2＋|PB|2＝|AB|2，设点P的坐标为(x，y)，则(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋(y－2)2＝20，化简可得x2＋y2－2x－2y－3＝0，又点(－1，2)不是直线m，n的交点，点(－1，2)在圆上，故点P的轨迹为圆x2＋y2－2x－2y－3＝0除去点(－1，2)，故D错误．故选BC. 12．已知圆C：x2＋y2－mx＋3y＋3＝0关于直线l：mx＋y－m＝0对称，则实数m＝________． 答案：3 解析：因为x2＋y2－mx＋3y＋3＝0是圆C的方程，所以m2＋9－12>0，解得m<－或m>，又圆C：x2＋y2－mx＋3y＋3＝0的圆心为，且圆C关于直线l：mx＋y－m＝0对称，所以－－m＝0，即m2－2m－3＝0，解得m＝－1(舍去)或m＝3. 13．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆． (1)求t的取值范围； (2)求其中面积最大的圆的方程； (3)若点P(3，4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围． 解：(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9， 即(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝－7t2＋6t＋1， ∴－7t2＋6t＋1>0，解得－<t<1. ∴t的取值范围为. (2)由(1)知半径r＝ ＝， ∴当t＝∈时，rmax＝， 此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是＋＝. (3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)×4t2＋16t4＋9<0时，点P恒在圆内， ∴8t2－6t<0， 解得0<t<，满足－<t<1. ∴t的取值范围为. 14．在平面直角坐标系中，圆C过点A(4，0)，B(2，2)，且圆心C在直线x＋y－2＝0上． (1)求圆C的方程； (2)若点D为所求圆上任意一点，定点E的坐标为(5，0)，求线段DE的中点M的轨迹方程． 解：(1)由已知可设圆心C(a，2－a)， 又由已知得|CA|＝|CB|， 从而有 ＝， 解得a＝2. 于是圆C的圆心C(2，0)， 半径r＝＝2. 所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4. (2)设M(x，y)，D(x1，y1)，则由M为线段DE的中点，得解得 又点D在圆C：(x－2)2＋y2＝4上， 所以(2x－5－2)2＋(2y)2＝4， 化简，得x2＋y2－7x＋＝0. 故线段DE的中点M的轨迹方程为x2＋y2－7x＋＝0. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$