2.4.1 圆的标准方程-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教A版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ 2.4.1　圆的标准方程 (教师独具内容) 课程标准：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程． 教学重点：1.圆的标准方程的特点.2.用待定系数法求圆的标准方程． 教学难点：用数形结合法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的问题． 核心素养：通过探索圆的标准方程并运用方程解决问题，培养数学抽象及数学运算素养． 知识点一　圆的标准方程 (1)确定圆的几何要素 确定圆的几何要素是圆心和半径． (2)圆的标准方程 圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为(a，b)，半径为r(r>0)． [说明]　(1)圆的标准方程的右端r2>0.当方程右端小于0时，方程不表示任何图形；当方程右端等于0时，方程表示的图形是点(a，b)． (2)利用(x－a)2＋(y－b)2＝r2可以直接写出圆心和半径，但要注意，如果r是参数，则半径为|r|，且r≠0. (3)几种特殊位置的圆 条件 方程形式 过原点(圆心(a，b)，半径r＝) (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 圆心在原点(即a＝0，b＝0，半径为r，r＞0) x2＋y2＝r2 圆心在x轴上(即b＝0，半径为r，r＞0) (x－a)2＋y2＝r2 圆心在y轴上(即a＝0，半径为r，r＞0) x2＋(y－b)2＝r2 与x轴相切(圆心(a，b)，半径r＝|b|，r＞0) (x－a)2＋(y－b)2＝b2 与y轴相切(圆心(a，b)，半径r＝|a|，r＞0) (x－a)2＋(y－b)2＝a2 知识点二　点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为A(a，b)，半径为r(r>0)．设所给点为M(x0，y0)，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 |MA|＝r⇔点M在圆A上 点M(x0，y0)在圆A上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 |MA|<r⇔点M在圆A内 点M(x0，y0)在圆A内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2 点在圆外 |MA|>r⇔点M在圆A外 点M(x0，y0)在圆A外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 1．(圆的标准方程)若圆的圆心坐标为(－1，3)，半径为，则此圆的标准方程为____________． 答案：(x＋1)2＋(y－3)2＝3 2．(圆心、半径)已知圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝25，则该圆的圆心坐标为________，半径为____________． 答案：(－2，2)　5 3．(点与圆的位置关系)已知圆的方程为x2＋(y－1)2＝2，则点A(1，0)与该圆的位置关系是____________． 答案：点A在圆上 4．(与圆有关的最值问题)原点到圆(x－3)2＋(y＋2)2＝4上的点的距离的最大值为________． 答案：＋2 题型一　求圆的标准方程　 例1　(1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的标准方程为(　　) A．(x－1)2＋y2＝5 B．(x＋1)2＋y2＝5 C．(x－2)2＋y2＝9 D．(x＋2)2＋y2＝9 [解析]　设圆心C的坐标为(a，0)(a>0)，由题意知，＝，解得a＝2，∴C(2，0)，则圆C的半径为r＝|CM|＝＝3.∴圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝9. [答案]　C (2)求过点A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)的圆的标准方程． [解]　解法一(待定系数法)：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 因为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程， 于是有 解此方程组，得 所以所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25. 解法二(几何法)：因为A(0，5)，B(1，－2)，所以线段AB的中点的坐标为，直线AB的斜率kAB＝＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－＝， 即x－7y＋10＝0. 同理，得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0. 由 得圆心的坐标为(－3，1)． 又圆的半径r＝＝5， 所以所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25. 【感悟提升】　求圆的标准方程的两种方法 (1)待定系数法 设出圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，依据题意建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程． (2)几何法 借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，从而求得圆的方程，常用的圆的几何性质有： ①弦的垂直平分线必过圆心； ②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心； ③圆心与切点的连线长是半径； ④圆心与切点的连线必与过该切点的切线垂直． 【跟踪训练】　 1．求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心为(1，－3)，经过点(－3，－1)； (2)圆心在直线x＝2上，且与y轴交于点A(0，－4)，B(0，－2)． 解：(1)由两点间的距离公式，得圆的半径 r＝＝2， 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝20. (2)因为圆与y轴交于点A(0，－4)，B(0，－2)， 所以圆心在直线y＝－3上． 又圆心在直线x＝2上， 所以圆心的坐标为(2，－3)， 所以圆的半径r＝＝， 故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5. 题型二　点与圆的位置关系　 例2　(1)已知圆M的圆心坐标为(3，4)，A(－1，1)，B(1，0)，C(－2，3)三点一个在圆M内、一个在圆M上、一个在圆M外，则圆M的方程为__________________． [解析]　∵|MA|＝＝5，|MB|＝＝2，|MC|＝＝，∴|MB|<|MA|<|MC|，∴点B在圆M内、点A在圆M上、点C在圆M外，∴圆M的半径r＝|MA|＝5，∴圆M的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25. [答案]　(x－3)2＋(y－4)2＝25 (2)已知点A(1，2)和圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，试分别求点A在圆C上、圆C内、圆C外时相应的实数a的值或取值范围． [解]　由题意得a≠0， 当点A在圆C上时，(1－a)2＋(2＋a)2＝2a2， 解得a＝－； 当点A在圆C内时，(1－a)2＋(2＋a)2<2a2， 解得a<－； 当点A在圆C外时，(1－a)2＋(2＋a)2>2a2， 解得a>－，且a≠0. 综上，点A在圆C上时，a＝－； 点A在圆C内时，实数a的取值范围是； 点A在圆C外时，实数a的取值范围是∪(0，＋∞)． 【感悟提升】　 1．判断点与圆的位置关系的方法 (1)只需计算该点与圆的圆心之间的距离，与半径作比较即可． (2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． 2．求解参数范围 若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围． 【跟踪训练】　 2．(1)已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　　) A．点P在圆C内 B．点P在圆C外 C．点P在圆C上 D．无法确定 答案：A 解析：由题意，得a＋b＝1，ab＝－，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2<8，∴点P在圆C内．故选A. (2)若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则实数a的取值范围是________________． 答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：∵点(1，1)在圆的外部，∴(1－a)2＋(1＋a)2>4，解得a<－1或a>1.∴实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 题型三　与圆有关的最值问题　 例3　(1)已知点A(8，－6)与圆C：x2＋y2＝25，点P是圆C上任意一点，求|AP|的最小值； (2)已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，求x2＋y2的最大值和最小值． [解]　(1)由于82＋(－6)2＝100>25，故点A在圆外，从而|AP|的最小值为－5＝10－5＝5. (2)x2＋y2表示圆上的点到原点距离的平方，显然当圆上的点与原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值． 原点O(0，0)到圆心(－1，0)的距离d＝1，故圆上的点到原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝.因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和. 　在本例(2)条件不变的情况下，如何求x2＋y2－2x的最大值和最小值？ 解：令t＝x2＋y2－2x＝(x－1)2＋y2－1表示圆上的点到点(1，0)距离的平方减1，而圆心为(－1，0)，故t的最大值为，最小值为. 【感悟提升】　与圆有关的最值问题的解法 已知点P(x，y)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，求点P到定点M(m，n)的距离d＝的最值问题的处理方法如下： (1)求圆心O(a，b)与定点M(m，n)的距离dMO. (2)根据圆的几何性质知： ①当M在圆外时，dmax＝dMO＋r，dmin＝dMO－r； ②当M在圆内时，dmax＝dMO＋r，dmin＝r－dMO. 【跟踪训练】　 3．已知实数x，y满足方程x2＋(y－1)2＝，求的最大值和最小值． 解：可以看成圆x2＋(y－1)2＝上的点P(x，y)到点A(2，3)的距离． 圆心(0，1)到点A(2，3)的距离 d＝＝2. 由图可知，圆上的点P(x，y)到点A(2，3)的距离的最大值是2＋，最小值是2－. 1．圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－5)2＝3，则此圆的圆心和半径分别为(　　) A．(－1，5)， B．(1，－5)， C．(－1，5)，3 D．(1，－5)，3 答案：A 解析：由圆的标准方程可得，此圆的圆心和半径分别为(－1，5)，. 2．点A(1，2)与圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝1的位置关系是(　　) A．点A在圆内 B．点A在圆外 C．点A在圆上 D．不能确定 答案：B 解析：将点(1，2)的坐标代入圆的方程，有(1＋1)2＋(2－2)2＝4＞1，所以点A在圆外． 3．已知圆C的圆心坐标为(1，1)，且过原点O，则圆C的方程为(　　) A．(x－1)2＋(y－1)2＝ B．(x－1)2＋(y－1)2＝2 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．x2＋y2＝2 答案：B 解析：圆心C(1，1)，半径r＝|OC|＝，故圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 4．已知A(0，－5)，B(0，－1)，则以线段AB为直径的圆的标准方程是__________________． 答案：x2＋(y＋3)2＝4 解析：圆的圆心是(0，－3)，半径是r＝|－5－(－1)|＝2.故圆的方程为x2＋(y＋3)2＝4. 5．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0，1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，则d的最小值为________，最大值为________． 答案：34　74 解析：设P(x，y)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.∵|CO|2＝32＋42＝25(O为原点)，∴|CO|＝5，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2，即16≤x2＋y2≤36.∴d的最小值为2×16＋2＝34，最大值为2×36＋2＝74. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 考向 圆的标准方程 点与圆的位置关系 圆的标准方程 圆的标准方程 与圆有关的最值问题 圆的标准方程 圆的标准方程 考点 利用圆心和半径求圆的标准方程 已知点在圆内求参数 利用圆上的点和圆心求圆的标准方程 与圆有关的轨迹问题 圆上的点与定点距离的最值问题 确定圆的位置 与圆有关的对称问题 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 考向 圆的标准方程 圆的标准方程 圆的标准方程 与圆有关的最值问题 圆的标准方程 圆的标准方程；与圆有关的范围问题 圆的标准方程 考点 利用圆心和直径求圆的标准方程 利用圆心和圆上的点到x轴的距离求圆的标准方程 利用圆上的点和圆心求圆的标准方程 圆上的点与定点距离的最值问题 圆系问题 利用圆上的点求圆的标准方程 求圆心到定直线距离最小圆的标准方程 一、选择题 1．一圆与圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝3为同心圆，且面积为圆C面积的两倍，则此圆的标准方程为(　　) A．(x＋2)2＋(y＋1)2＝6 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝9 C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝12 D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝18 答案：A 解析：圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝3的半径为，而要求的圆的面积是圆C的面积的两倍，所以所求圆的半径为×＝，所以所求圆的标准方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝6. 2．(多选)点(2，2)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝16的内部，则a的取值不可能是(　　) A．－2 B．－ C. D．2 答案：AD 解析：由已知条件可得(2－a)2＋(2＋a)2<16，即2a2＋8<16，解得－2<a<2.故选AD. 3．经过原点和点(3，－1)且圆心在直线3x＋y－5＝0上的圆的标准方程为(　　) A．(x－5)2＋(y＋10)2＝125 B．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 C．(x－1)2＋(y－2)2＝5 D.＋y2＝ 答案：D 解析：设圆心为(x，5－3x)，圆的半径为r，又圆经过原点和点(3，－1)，所以r2＝x2＋(5－3x)2＝(x－3)2＋(6－3x)2，整理可得x＝，故圆心为，所以r2＝，则圆的标准方程为＋y2＝.故选D. 4．方程|x|－1＝所表示的曲线是(　　) A．一个圆 B．两个圆 C．半个圆 D．两个半圆 答案：D 解析：由题意，得即或故原方程表示两个半圆． 5．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为(　　) A．2 B．1 C. D. 答案：B 解析：方程(x＋5)2＋(y－12)2＝142表示以(－5，12)为圆心，14为半径的圆，x2＋y2表示圆上的点到原点距离的平方，∵圆心到原点的距离为13，∴的最小值为14－13＝1，∴x2＋y2的最小值为1. 6．(多选)已知直线l：ax－y＋b＝0，圆M：(x－a)2＋(y＋b)2＝a2＋b2，则l与M在同一平面直角坐标系中的图形可能是(　　) 答案：BC 解析：圆M的圆心为(a，－b)，且过原点，可排除A；B项中由直线l可知，a>0，b<0，∴圆心(a，－b)在第一象限，满足条件；C项中由直线l可知a<0，b>0，∴圆心(a，－b)在第三象限，满足条件；D项中由直线l可知a<0，b<0，∴圆心(a，－b)在第二象限，与图形不符．故选BC. 二、填空题 7．若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为________． 答案：2 解析：圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．已知圆的圆心为(－1，3)，由题设知，直线kx＋2y－4＝0过圆心，即k×(－1)＋2×3－4＝0，所以k＝2. 8．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则该圆的标准方程为________________． 答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝13 解析：设直径两端点为B(a，0)，C(0，b)，则解得则B(4，0)，C(0，－6)，半径r＝|AB|＝＝，所以该圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13. 9．在平面直角坐标系Oxy中，直线l1：2x－y－4＝0与l2：x－y－1＝0的交点为C，以C为圆心作圆，若圆C上的点到x轴的最小距离为1，则圆C的标准方程为________________． 答案：(x－3)2＋(y－2)2＝1 解析：根据题意，联立方程解得故点C的坐标为(3，2)．设圆C的半径为r，由题意，知2－r＝1，所以r＝1，故圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1. 三、解答题 10．已知圆P过点A(1，0)，B(4，0)． (1)若圆P还过点C(6，－2)，求圆P的标准方程； (2)若圆心P的纵坐标为2，求圆P的标准方程． 解：(1)设圆P的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则解得 故圆P的标准方程为＋＝. (2)由圆的对称性，可知圆心P的横坐标为＝， 故圆心P， 故圆P的半径r＝＝， 故圆P的标准方程为＋(y－2)2＝. 11．已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案：A 解析：设圆心C(x，y)，则＝1，化简，得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圆心C的轨迹是以M(3，4)为圆心，1为半径的圆，所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5，所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取等号． 12．(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列结论正确的是(　　) A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B．所有圆Ck均不经过点(3，0) C．经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个 D．所有圆的面积均为4π 答案：ABD 解析：圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，因为Δ＝36－40＝－4＜0，所以2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，因为Δ＝16－8＝8＞0，有两不等实根，所以经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．故选ABD. 13．已知△AOB的顶点分别是A(2，0)，B(0，2)，O(0，0)，△AOB的外接圆为圆C. (1)求圆C的标准方程； (2)若动点P满足|PA|＝2|PB|，求|PC|的取值范围． 解：(1)∵A(2，0)，B(0，2)，O(0，0)， ∴△AOB的外接圆的圆心为AB的中点， 即C(1，1)，半径为|AB|＝， ∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. (2)设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|， 得＝2， 整理得3x2＋3y2＋4x－16y＋12＝0， 即＋＝， 故动点P的轨迹是以M为圆心，为半径的圆． ∵C(1，1)， ∴|CM|＝＝， 则|PC|的取值范围是. 14．设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长之比为3∶1.在满足上述条件的圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小时的圆的标准方程． 解：设圆心为(a，b)，半径为r， 依题意，得消去r， 得2b2－a2＝1，① 圆心到直线l的距离d＝. 设a－2b＝k，则a＝2b＋k，代入①式，整理得2b2＋4kb＋k2＋1＝0. 由Δ＝8(k2－1)≥0， 解得|k|≥1， 当|k|＝1时，d取得最小值. 当k＝1时，a＝b＝－1，圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2； 当k＝－1时，a＝b＝1，圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 综上，满足条件的圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2. 13 学科网（北京）股份有限公司 $$