2.2.2 直线的两点式方程-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教A版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ 2.2.2　直线的两点式方程 (教师独具内容) 课程标准：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程与截距式方程． 教学重点：会求直线的两点式方程、截距式方程． 教学难点：能利用直线的两点式方程、截距式方程解决相应的问题． 核心素养：通过学习直线的两点式方程及截距式方程，提升逻辑推理及数学抽象素养． 知识点一　直线的两点式方程(简称两点式) 已知条件 直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2) 示意图 方程形式 ＝ 适用范围 直线l的斜率存在且不为0 [拓展]　要注意方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，可以表示过任意不同两点的直线． 知识点二　直线的截距式方程(简称截距式) 已知条件 直线l与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0 示意图 方程形式 ＋＝1 适用范围 直线l的斜率存在且不为0，不过原点 [说明]　直线的截距式方程为＋＝1，x项对应的分母是直线在x轴上的截距，y项对应的分母是直线在y轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接得出直线在两坐标轴上的截距． 1．(截距式)直线－＋＝1在x轴上的截距为(　　) A．2 B．－2 C．－3 D．3 答案：B 2．(两点式)过点A(1，1)，B(2，3)的直线的两点式方程为______________． 答案：＝ 3．(截距式)过点C(0，2)，D(－3，0)的直线的截距式方程为____________． 答案：＋＝1 4．(两点式)直线l过(－1，－1)，(2，5)两点，点(1012，b)在l上，则b的值为________． 答案：2025 题型一　直线的两点式方程　 例1　已知△ABC的三个顶点分别为A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在直线的方程． [解]　∵A(2，－1)，B(2，2)，A，B两点的横坐标相同， ∴直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2. ∵A(2，－1)，C(4，1)， ∴由直线的两点式方程可得直线AC的方程为＝， 即x－y－3＝0. ∵B(2，2)，C(4，1)， ∴由直线的两点式方程可得直线BC的方程为＝，即x＋2y－6＝0. 【感悟提升】　直线的两点式方程的适用范围及注意事项 (1)已知不垂直于两坐标轴的直线上的两点，便可以利用直线的两点式求其方程，也可以先求斜率，再用点斜式求其方程． (2)用两点式求直线方程时注意将实际解题中的数与公式中的字母对应起来，深刻理解公式，避免将字母或数字的顺序弄错而致误． 【跟踪训练】　 1．已知Rt△ABC的顶点A(－3，0)，直角顶点B(1，－2)，顶点C在x轴上． (1)求点C的坐标； (2)求△ABC的斜边中线的方程． 解：(1)设C(m，0)， 则kABkCB＝·＝－1， 解得m＝2，故C(2，0)． (2)易知斜边AC的中点为， 故△ABC的斜边中线的方程为＝，整理，得4x＋3y＋2＝0. 题型二　直线的截距式方程　 例2　(1)直线l过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线l的方程为____________________． [解析]　易知直线l在两坐标轴上的截距均不为零．设直线l的方程为＋＝1，由已知得a＋b＝12　①.又直线l过点(－3，4)，∴＋＝1　②.由①②，解得或故直线l的方程为＋＝1或＋＝1，即x＋3y－9＝0或4x－y＋16＝0. [答案]　x＋3y－9＝0或4x－y＋16＝0 (2)已知直线l与x轴、y轴分别交于点A，B，且线段AB的中点为P(4，1)，求直线l的方程． [解]　由题意可设A(x，0)，B(0，y)， 由中点坐标公式可得解得 ∴A(8，0)，B(0，2)． 由直线的截距式方程得直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0. [条件探究]　在本例(1)中若改为“截距之积为6”，又如何求直线l的方程？ 解：设直线l的方程为＋＝1， 由已知得ab＝6.① 又直线l过点(－3，4)，∴＋＝1.② 由①②解得或 故直线l的方程为＋＝1或＋＝1， 即2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0. 【感悟提升】　用截距式方程解决问题的优点及注意事项 (1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便． (2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式． (3)当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论． 【跟踪训练】　 2．若直线经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为____________________． 答案：x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0 解析：①当直线在x，y轴上的截距均为零时，设所求的直线方程为y＝kx，将(－5，2)代入y＝kx中，得k＝－，此时直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0；②当直线在x，y轴上的截距都不为零时，设所求直线方程为＋＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a＝－，此时直线方程为x＋2y＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0. 题型三　直线方程的综合应用　 例3　若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程． [解]　∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0. ①若直线l在两坐标轴上的截距相等，且设为a，则直线l的方程为＋＝1， 即x＋y－a＝0. ∵|a|×|a|＝18，即a2＝36，∴a＝±6， ∴直线l的方程为x＋y±6＝0. ②若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为－a，故直线l的方程为＋＝1，即x－y－a＝0. ∵|－a|×|a|＝18，即a2＝36，∴a＝±6， ∴直线l的方程为x－y±6＝0. 综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0. 【感悟提升】　利用截距求面积 截距式方程是两点式方程的一种特殊情况(两个点是直线与两坐标轴的交点)，用它来画直线以及求直线与两坐标轴围成的三角形面积或周长时较方便．直线＋＝1与坐标轴围成的三角形的面积S＝|ab|. 【跟踪训练】　 3．已知直线l过定点P(－2，1)，且交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，点O为原点． (1)若△AOB的面积为4，求直线l的方程； (2)求|OA|＋|OB|的最小值，并求此时直线l的方程． 解：设A(a，0)，B(0，b)，且a<0，b>0， 则直线l的方程为＋＝1. (1)∵直线l过定点P(－2，1)， ∴＋＝1，① 又S△AOB＝|ab|＝4，∴|ab|＝8，② 联立①②，解得a＝－4，b＝2. ∴直线l的方程为＋＝1， 即x－2y＋4＝0. (2)|OA|＋|OB|＝|a|＋|b|＝－a＋b， 又＋＝1， ∴(－a＋b)＝3＋≥3＋2， 当且仅当＝，即a＝－2－，b＝1＋时，等号成立， ∴|OA|＋|OB|的最小值为3＋2. 此时直线l的方程为＋＝1，即x－y＋＋2＝0. 1．直线－＝1在y轴上的截距是(　　) A．b2 B．－b2 C．|b| D．±b 答案：B 解析：直线方程化为＋＝1，故直线在y轴上的截距为－b2.故选B. 2．过点(1，2)，(5，3)的直线方程是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 答案：B 解析：过点(1，2)，(5，3)的直线方程是＝.故选B. 3．(多选)下列语句中正确的是(　　) A．经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示 B．经过任意两个不同点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示 C．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示 D．斜率存在且经过定点的直线都可以用y＝kx＋b表示 答案：BD 解析：对于A，当直线的斜率不存在时，不能表示，A错误；B正确；对于C，方程不能表示与坐标轴平行的直线，C错误；D正确．故选BD. 4．直线＋＝1与两坐标轴所围成三角形的面积为________． 答案：6 解析：∵直线＋＝1在x，y轴上的截距分别为－2，6，∴直线＋＝1与两坐标轴所围成三角形的面积为×|－2|×6＝6. 5．直线l过点P(－2，3)，且与x轴、y轴分别交于点A，B，若P恰为AB的中点，则直线l的方程为________________． 答案：3x－2y＋12＝0 解析：设A(x，0)，B(0，y)．因为P恰为AB的中点，则＝－2，＝3，所以x＝－4，y＝6，即A，B两点的坐标分别为(－4，0)，(0，6)．由截距式得直线l的方程为＋＝1，即3x－2y＋12＝0. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 考向 直线的两点式方程 直线的截距式方程 直线的截距式方程 直线的两点式方程 直线的截距式方程 直线的截距式方程 直线的两点式方程 考点 求直线的两点式方程 对直线的截距式方程的理解；求直线的截距式方程 求直线的截距式方程 结合平行四边形求直线的两点式方程 确定直线位置 求直线的截距式方程 求直线的两点式方程；求直线在y轴上的截距 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★★ ★ ★★★ ★★ ★★ ★★ 考向 直线的截距式方程 直线的两点式方程 直线的截距式方程 直线方程的综合应用 直线的两点式方程 直线方程的综合应用 直线方程的综合应用 考点 求直线的截距式方程 结合光的反射求直线的两点式方程 利用直线的点斜式、斜截式方程求直线的截距式方程 利用直线的截距式方程确定直线条数 利用直线的两点式方程求欧拉线方程 利用截距求三角形的周长、面积 利用截距解决最值问题 一、选择题 1．经过A(－3，2)，B(0，－3)两点的直线的方程为(　　) A．y＝x－3 B．y＝－x－3 C．y＝x－3 D．y＝－x－3 答案：D 解析：直线的方程为＝⇒y＝－x－3.故选D. 2．(多选)下列说法中正确的是(　　) A.－＝1与＋＝－1都是直线的截距式方程 B．直线的斜截式方程都可以化为截距式 C．在x轴、y轴上的截距分别是2，－3的直线方程为＋＝1 D．若直线的斜率为1，则直线在x轴、y轴上的截距之和为0 答案：CD 解析：对于A，因为方程－＝1与＋＝－1均不符合截距式方程的结构特点，所以A错误；对于B，因为斜截式的直线包含截距为0的情况，此时不可以化为截距式，如直线y＝2x，所以B错误；对于C，直线在x轴、y轴上的截距分别是2，－3，根据直线的截距式方程，可得直线的方程为＋＝1，所以C正确；对于D，设直线在y轴上的截距为b，则直线的方程为y＝x＋b，令y＝0，得直线在x轴上的截距为－b，因为b－b＝0，所以D正确．故选CD. 3．直线l经过点P(4，－3)，在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a，b满足logab＝2，则直线l的斜率为(　　) A．2 B．－1 C．－3 D．－1或－3 答案：C 解析：由题意设直线l的方程为＋＝1，则＋＝1　①，又logab＝2，∴b＝a2　②，由①②解得a＝3，b＝9或a＝1，b＝1.又由logab＝2，知a>0且a≠1，b>0，则a＝3，b＝9，则直线l的斜率为－＝－3.故选C. 4．直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1，4)，D(5，0)，则直线l的方程为(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝3x＋1 D．y＝x－1 答案：B 解析：由题意可知，l过平行四边形ABCD的中心，BD的中点为(3，2)，所以由两点式可得直线l的方程为＝，即y＝x. 5．两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　) 答案：A 解析：将两方程化为截距式为l1：＋＝1，l2：＋＝1.假定l1的位置，判断a，b的正负，从而确定l2的位置，知A项符合． 6．(多选)经过点P(1，－2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线的方程可能为(　　) A．y＝－2x B．y＝－x－1 C．y＝x－3 D．y＝2x－4 答案：ABC 解析：当直线经过原点时，直线的方程为y＝－2x；当直线不经过原点时，设直线的方程为＋＝1或＋＝1.把(1，－2)代入可得a＝－1，b＝3，可得直线方程为y＝－x－1，y＝x－3.综上，满足条件的直线方程分别是y＝－2x，y＝－x－1，y＝x－3.故选ABC. 二、填空题 7．已知点A(－2，4)，B(4，－1)，则直线AB在y轴上的截距为________． 答案： 解析：因为直线经过点A(－2，4)和点B(4，－1)，则直线方程为＝，化简得y＝－x＋，令x＝0，得y＝，即直线AB在y轴上的截距为. 8．已知直线l过点(2，1)，在x轴、y轴上的截距分别为a，b，若a＝－3b，则直线l的方程为____________________． 答案：x－3y＋1＝0或x－2y＝0 解析：当直线l过原点时，直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0；当直线l不过原点时，直线l的方程为＋＝1，因为直线l过点(2，1)，且a＝－3b，所以a＝－1，b＝，所以直线l的方程为＋＝1，即x－3y＋1＝0.综上，直线l的方程为x－3y＋1＝0或x－2y＝0. 9．一条光线从点A(3，2)发出，经x轴反射后，经过点B(－1，6)，则入射光线所在直线的方程为________________，反射光线所在直线的方程为________________． 答案：y＝2x－4　y＝－2x＋4 解析：∵点A(3，2)关于x轴的对称点为A′(3，－2)，∴由两点式可得直线A′B的方程为＝，即y＝－2x＋4.同理，点B关于x轴的对称点为B′(－1，－6)，由两点式可得直线AB′的方程为＝，即y＝2x－4.∴入射光线所在直线的方程为y＝2x－4，反射光线所在直线的方程为y＝－2x＋4. 三、解答题 10．已知直线l1经过点(1，1)，斜率为2. (1)求直线l1的截距式方程； (2)若直线l2与l1垂直，且l1，l2在y轴上的截距相等，求l2的截距式方程． 解：(1)依题意，直线l1的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y＝1， 所以直线l1的截距式方程为＋＝1. (2)由直线l2与l1垂直，得直线l2的斜率为－， 由(1)知，直线l2在y轴上的截距为－1， 于是直线l2的方程为y＝－x－1， 即x＋y＝－1， 所以直线l2的截距式方程为＋＝1. 11．过点P(1，3)作直线l，若l经过点A(a，0)，B(0，b)，且a，b均为正整数，则这样的直线l可以作出(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 答案：B 解析：由题意可得直线l的截距式方程为＋＝1，将P(1，3)代入直线方程，得＋＝1，当b＝3时，＝0，方程无解，∴a＝＝＝1＋.∵a∈N*，≠0，∴∈N*，∴b－3＝1或b－3＝3，∴或即满足题意的直线l有2条．故选B. 12．数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点分别为A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，则△ABC的欧拉线方程为________________． 答案：4x＋3y－6＝0 解析：因为△ABC的顶点分别为A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，所以△ABC的重心为G，因为kAB＝2，kAC＝－，所以kAB·kAC＝－1，所以AB⊥AC，所以△ABC的外心为BC的中点D，因为三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，所以△ABC的欧拉线为直线GD，所以△ABC的欧拉线方程为＝，即4x＋3y－6＝0. 13．直线l过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，O为原点． (1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程； (2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程． 解：(1)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，由题意知，a＋b＋＝12，① 又因为直线l过点P， 所以＋＝1，　② 由①②，解得或 所以直线l的方程为＋＝1或＋＝1， 即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0. (2)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)， 由题意知， 解得或 所以直线l的方程为＋＝1或＋＝1， 即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0. 14．直线l过点P(3，4)，与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为原点． (1)求△AOB面积的最小值； (2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值． 解：设A(a，0)，B(0，b)，其中a>0，b>0，则直线l的方程为＋＝1. 因为直线l过点P(3，4)，所以＋＝1. (1)＋＝1≥2＝4， 即ab≥48，当且仅当＝，＋＝1， 即a＝6，b＝8时，等号成立，此时△AOB的面积取得最小值，为24. (2)直线l在两坐标轴上截距之和为a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝，＋＝1， 即a＝3＋2，b＝4＋2时，等号成立， 所以直线l在两坐标轴上截距之和的最小值为7＋4. 13 学科网（北京）股份有限公司 $$