2.1.1 倾斜角与斜率-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教A版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ 2.1.1　倾斜角与斜率 (教师独具内容) 课程标准：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 教学重点：1.直线的倾斜角和斜率的概念.2.直线的斜率公式及应用． 教学难点：1.直线的倾斜角与斜率的变化关系.2.直线的斜率公式的应用． 核心素养：通过学习直线的倾斜角与斜率，提升数学运算、数学抽象及逻辑推理素养． 知识点一　直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ①当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°； ②当直线l与x轴垂直时，它的倾斜角为90°. (2)倾斜角的范围 直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°． [拓展]　从运动变化的观点认识倾斜角 当直线与x轴相交时，直线的倾斜角的大小是由x轴绕直线与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得到的最小正角的大小． 知识点二　直线的斜率 (1)斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα． (2)斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，那么直线的斜率k＝． (3)直线的方向向量与斜率的关系 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝． [提醒]　(1)每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为90°的直线不存在斜率． (2)斜率公式与点P1，P2的先后顺序无关. 知识点三　斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 [想一想]　当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？为什么？ 提示：当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为直角时，斜率不存在；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大． 1．(斜率的定义)已知直线的倾斜角是，则该直线的斜率是(　　) A．－1 B．－ C．－ D．1 答案：A 2．(倾斜角的定义)如图1所示，直线l的倾斜角为________． 答案：135° 3．(斜率与倾斜角的关系)如图2所示，直线l1，l2，l3的斜率k1，k2，k3的大小关系为________________． 答案：k1<k3<k2 4．(斜率公式)已知直线l经过点A(2，－1)和点B(1，－4)，则直线l的斜率为________． 答案：3 5．(直线的方向向量与斜率的关系)已知直线l的方向向量为(1，)，则直线l的倾斜角为________． 答案： 题型一　直线的倾斜角　 例1　(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴的倾斜角为(　　) A．0° B．90° C．180° D．不存在 [解析]　因为直线x＝－与x轴垂直，所以其倾斜角为90°. [答案]　B (2)设直线l过原点，它的倾斜角为α，如果将l绕原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135° [解析]　根据题意，画出图形，如图所示．当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为α＋45°－180°＝α－135°.故选D. [答案]　D 【感悟提升】　与直线的倾斜角有关的注意点 (1)明确倾斜角定义中的三个条件：①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角． (2)每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． 【跟踪训练】　 1．(1)已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A．0°≤α<90° B．90°≤α<180° C．90°<α<180° D．0°<α<180° 答案：C 解析：直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°. (2)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________． 答案：60°或120° 解析：有两种情况： ①如图a，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图b，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 题型二　直线的斜率　 例2　(1) 如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1与l2垂直，则直线l1，l2的斜率分别为________，________． [解析]　直线l1的斜率k1＝tanα1＝tan30°＝.∵直线l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴直线l2的斜率k2＝tan120°＝tan(180°－60°)＝－tan60°＝－. [答案]　　－ (2)①直线过两点A(1，3)，B(2，7)，求直线的斜率； ②求经过两点A(2m，1)，B(m，2)(m∈R)的直线l的斜率； ③过原点且斜率为1的直线l绕原点逆时针旋转90°，求所得直线的斜率． [解]　①由题意知两点的横坐标不等， 故直线的斜率存在． 根据直线的斜率公式，得所求直线的斜率k＝＝4. ②当直线l垂直于x轴，即2m＝m，m＝0时，其斜率不存在； 当2m≠m，即m≠0时，直线l的斜率k＝＝－. ③因为直线l过原点且斜率为1， 所以直线l的倾斜角为45°. 直线l绕原点逆时针旋转90°后所得直线的倾斜角为135°， 故所求直线的斜率k＝tan135°＝－1. 【感悟提升】　求直线斜率的两种基本方法 (1)定义法 利用倾斜角求斜率，即k＝tanα，用此法时一定注意倾斜角为90°时，直线的斜率不存在． (2)公式法 利用两点坐标求直线的斜率，即k＝(x1≠x2)，用此法时要注意两点的横坐标不能相等，同时要注意横、纵坐标必须对应． 提醒：利用公式法求直线的斜率时，如果点的坐标中含有参数，需要先对直线斜率是否存在作出判断，即对参数进行分类讨论． 【跟踪训练】　 2．(1)若直线的倾斜角为150°，则直线的斜率为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案：D 解析：因为直线的斜率k和倾斜角α的关系是k＝tanα(α≠90°)，所以当倾斜角为150°时，直线的斜率k＝tan150°＝－tan30°＝－. (2)(多选)已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若直线AB的一个方向向量为(1，4)，则点B的坐标可以为(　　) A．(0，－4) B．(0，－8) C．(2，0) D．(－2，0) 答案：BC 解析：由直线AB的一个方向向量为(1，4)，得直线AB的斜率kAB＝4.当点B在y轴上时，设B(0，y)，由kAB＝4，可得＝4，解得y＝－8，所以B(0，－8)；当点B在x轴上时，设B(x，0)，由kAB＝4，可得＝4，解得x＝2，所以B(2，0)．所以点B的坐标为(0，－8)或(2，0)．故选BC. 题型三　直线斜率的应用　 例3　(1)已知A(a，2)，B(5，1)，C(－4，2a)三点在同一条直线上，则a的值为________． [解析]　由题意知该直线的斜率存在，∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC，即＝，解得a＝2或a＝.故a的值为2或. [答案]　2或 (2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为________，倾斜角α的取值范围为________． [解析]　如图所示，∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)，∴45°≤α≤120°. [答案]　(－∞，－]∪[1，＋∞)　45°≤α≤120° 【感悟提升】　 1．利用斜率解决三点共线问题 利用斜率证明A，B，C三点共线时，①若过任意两点的直线的斜率都不存在，则三点共线；②若过任意两点的直线的斜率都存在，且kAB＝kAC，则直线AB与直线AC的倾斜角相等，而直线AB，AC又都过点A，所以直线AB，AC重合，从而说明A，B，C三点共线． 2．利用斜率解决范围问题 (1)利用定义式k＝tanα(α≠90°)并结合正切函数的单调性来解决． (2)利用斜率公式k＝(x1≠x2)并结合图形来求解． 【跟踪训练】　 3．(1)已知点A(－6，－8)，B(0，4)，若过点P(2，0)且斜率为k的直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围为(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，－2] C．[－2，1] D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 答案：C 解析：如图，若直线l与线段AB相交，则直线l的范围为从l1到l2，直线l1的斜率k1＝＝－2，直线l2的斜率k2＝＝1，故－2≤k≤1，即实数k的取值范围为[－2，1]．故选C. (2)已知直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，则x2＝________，y1＝________． 答案：7　0 解析：∵α＝45°，∴直线l的斜率k＝tan45°＝1，∵P1，P2，P3都在直线l上，∴kP1P3＝kP2P3＝k，∴＝＝1，解得x2＝7，y1＝0. 1．下列命题中正确的是(　　) A．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα B．若直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α C．平行于x轴的直线的倾斜角为180° D．若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为90° 答案：D 解析：对于A，当直线的倾斜角为90°时，直线没有斜率，故A错误；对于B，若直线的斜率为tan210°，则此直线的倾斜角是30°而不是210°，故B错误；对于C，平行于x轴的直线的倾斜角为0°，而不是180°，故C错误；对于D，若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为90°，D正确．故选D. 2．(多选)若斜率为1的直线经过(－2，－1)，(2，a)，(b，1)三点，则a，b的值是(　　) A．a＝3 B．b＝－4 C．a＝5 D．b＝0 答案：AD 解析：由斜率公式可得解得 3．若两直线的斜率互为相反数，则它们的倾斜角的关系是________． 答案：互补 解析：若k1＝－k2，则tanα1＝－tanα2＝tan(180°－α2)，∴α1＝180°－α2，∴α1＋α2＝180°，∴倾斜角的关系为互补． 4．如图所示，直线l的倾斜角为________． 答案：150° 解析：如图，可知∠OAC为直线l的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，∴∠OAC＝150°，即直线l的倾斜角为150°. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 考向 直线的倾斜角；直线的斜率 斜率与倾斜角的关系 直线斜率的应用 直线的斜率 直线的斜率 斜率与倾斜角的关系 直线的斜率 考点 斜率公式；倾斜角的定义 根据图形比较斜率的大小 三点共线问题 斜率的定义 斜率的定义 倾斜角类型的判断 直线的方向向量与斜率的关系 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 考向 斜率与倾斜角的关系 直线的斜率 直线的倾斜角；直线的斜率 直线的倾斜角 直线斜率的应用 直线的斜率 直线斜率的应用 考点 已知倾斜角类型求参数 斜率的定义；直线的斜率与方向向量的关系 直线的方向向量与斜率的关系；倾斜角的范围 倾斜角的定义 利用斜率公式解决函数问题 斜率的定义 利用斜率公式解决最值(范围)问题 一、选择题 1．过A(0，4)，B(，1)两点的直线的倾斜角为(　　) A．－60° B．60° C．120° D．150° 答案：C 解析：因为直线过点A(0，4)，B(，1)，所以kAB＝＝－.设直线的倾斜角为θ(0°≤θ<180°)，则tanθ＝－⇒θ＝120°.故选C. 2．直线l1，l2，l3，l4如图所示，则斜率最小的直线是(　　) A．l1 B．l2 C．l3 D．l4 答案：B 解析：由题图，知kl3>kl4>0>kl1>kl2，故斜率最小的直线是l2.故选B. 3．若m，n，p是两两不相等的实数，则点A(m＋n，p)，B(n＋p，m)，C(p＋m，n)必(　　) A．在同一条直线上 B．是直角三角形的顶点 C．是等腰三角形的顶点 D．是等边三角形的顶点 答案：A 解析：kAB＝＝－1，kBC＝＝－1，∴kAB＝kBC，∴A，B，C三点共线． 4．下列点中在倾斜角为45°且过点(1，2)的直线上的是(　　) A．(－2，3) B．(0，1) C．(3，3) D．(3，2) 答案：B 解析：由直线的倾斜角为45°，得直线的斜率为k＝tan45°＝1.过点(－2，3)与点(1，2)的直线的斜率为＝－，显然点(－2，3)不满足题意；过点(0，1)与点(1，2)的直线的斜率为＝1，显然点(0，1)满足题意；过点(3，3)与点(1，2)的直线的斜率为＝，显然点(3，3)不满足题意；过点(3，2)与点(1，2)的直线的斜率为＝0，显然点(3，2)不满足题意．所以点(0，1)在倾斜角为45°且过点(1，2)的直线上．故选B. 5．在平面直角坐标系内，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则边AC，AB所在直线的斜率之和为(　　) A．－2 B．0 C. D．2 答案：B 解析：由题意知，△ABC的另外两边所在直线的倾斜角分别为60°，120°，所以边AC，AB所在直线的斜率之和为tan60°＋tan120°＝＋(－)＝0. 6．(多选)已知直线过(0，a)，(b，0)两点，则下列说法正确的是(　　) A．当a≠0，b＝0时，直线的倾斜角为直角 B．当a＝0，b≠0时，直线的倾斜角为平角 C．当ab<0时，直线的倾斜角为锐角 D．当ab>0时，直线的倾斜角为钝角 答案：ACD 解析：当a≠0，b＝0时，直线表示的是y轴，倾斜角为直角，A正确；当a＝0，b≠0时，直线表示的是x轴，倾斜角为0°，B错误；当ab<0时，∵直线过(0，a)，(b，0)两点，∴斜率k＝＝－，由于ab<0，∴k>0，∴倾斜角为锐角，C正确；同理可知D正确．故选ACD. 二、填空题 7．已知直线l经过点P(3，m)和点Q(m，－2)，直线l的方向向量为(2，4)，则直线l的斜率为________，实数m的值为________． 答案：2　 解析：由直线l的方向向量为(2，4)，得直线l的斜率为＝2，因此＝2，解得m＝. 8．已知点M(2m＋3，m)，N(m－2，1)，则当m∈________时，直线MN的倾斜角为锐角；当m∈________时，直线MN的倾斜角为直角；当m∈________时，直线MN的倾斜角为钝角． 答案：(－∞，－5)∪(1，＋∞)　{－5}　(－5，1) 解析：当倾斜角为锐角时，斜率kMN＝>0，则m<－5或m>1；当倾斜角为直角时，两点横坐标相等，即2m＋3＝m－2，解得m＝－5；当倾斜角为钝角时，斜率kMN＝<0，则－5<m<1. 9．已知点A(1，0)，B(2，)，C(m，2m)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则实数m的值为________，直线AC的一个方向向量为__________． 答案：2－3　(1，－)(答案不唯一) 解析：设直线AB的倾斜角为α，则直线AC的倾斜角为2α.由题意，得tanα＝＝，又0°≤α<180°，∴α＝60°，从而2α＝120°，∴kAC＝＝tan120°＝－，解得m＝2－3.直线AC的一个方向向量为(1，－)． 三、解答题 10．已知直线l经过点A(－1，2)与B(m，3)． (1)若a＝(－2，2)是直线l的一个方向向量，求m的值； (2)当m∈时，求直线l的倾斜角θ的取值范围． 解：(1)∵a＝(－2，2)是直线l的一个方向向量， ∴直线l的斜率kl＝＝－1， 又A(－1，2)，B(m，3)，且易知m≠－1， ∴kl＝＝＝－1， 解得m＝－2. (2)∵直线l的斜率kl＝， 又－≤m＋1<0，∴≤－， 即tanθ≤－， 又0≤θ＜π， ∴<θ≤，即直线l的倾斜角θ的取值范围为. 11．1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点，如图，以大五角星的中心点为原点建立平面直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大五角星中心点与四颗小五角星中心点的连线，α≈16°，则第三颗小五角星的一条边AB所在直线的倾斜角约为(　　) A．0° B．1° C．2° D．3° 答案：C 解析：因为O，O3分别为大五角星和第三颗小五角星的中心点，所以OO3平分第三颗小五角星的一个角，又由五角星的角尖为36°，知∠BAO3＝18°.过O3作x轴的平行线O3E，如图，则∠OO3E＝α≈16°，所以直线AB的倾斜角约为18°－16°＝2°.故选C. 12．已知函数f(x)＝mx－|2x－1|，若满足f(x)>0的整数解恰有3个，则实数m的取值范围为________． 答案： 解析：由f(x)>0，得mx>|2x－1|，所以满足f(x)>0的整数解恰有3个，等价于函数y＝|2x－1|的图象在直线y＝mx下方的部分有3个整点．如图，当直线y＝mx的斜率m满足kOA<m≤kOB时满足题意，其中A(3，5)，B(4，7)，又kOA＝，kOB＝，所以<m≤，即实数m的取值范围为. 13．若正方形的一条对角线所在直线的斜率为2，求该正方形的一条边所在直线的斜率． 解：设正方形的一条边所在直线的倾斜角为α，正方形的一条对角线所在直线的斜率为2的直线的倾斜角为β，则tanβ＝2>1＝tan，所以<β<.由题意可知，正方形的一条边所在直线与这条对角线所在直线的夹角为，则|α－β|＝.当α－β＝时，α＝β＋，则tanα＝tan＝＝＝－3；当α－β＝－时，α＝β－，则tanα＝tan＝＝＝，所以该正方形的一条边所在直线的斜率为－3或. 14．已知点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2，3]时，求： (1)的最大值与最小值； (2)的取值范围． 解：(1)解法一：如图所示，由点M(x，y)满足关系式y＝－2x＋8，且2≤x≤3，可知点M(x，y)在线段AB上移动，并且A(2，4)，B(3，2)． ∵的几何意义是直线OM的斜率， 且kOA＝2，kOB＝， ∴可求得的最大值为2，最小值为. 解法二：∵y＝－2x＋8，∴＝－2. 设f(x)＝－2，则f(x)在[2，3]上单调递减． 当x＝2时，f(x)max＝2； 当x＝3时，f(x)min＝. 故的最大值与最小值分别为2，. (2)由于＝，其几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率． 设函数y＝－2x＋8在[2，3]上的图象的左、右端点分别为A(2，4)，B(3，2)． ∵kNA＝，kNB＝， ∴≤≤. ∴的取值范围为. 15 学科网（北京）股份有限公司 $$