1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教A版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ 第2课时　用空间向量研究夹角问题 (教师独具内容) 课程标准：1.能用向量方法解决简单夹角问题.2.通过用空间向量解决夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 教学重点：利用直线的方向向量和平面的法向量求解空间夹角问题． 教学难点：将夹角问题转化为空间向量问题． 核心素养：通过学习利用空间向量求三种空间角的大小或其三角函数值，实现了几何问题代数化，在此过程中提升了数学运算及直观想象素养． 知识点一　空间角及向量求法 (1)异面直线所成的角的向量求法 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝＝． 注意：异面直线所成的角的取值范围是． (2)直线与平面所成的角的向量求法 直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝＝． 注意：直线与平面所成的角的取值范围是． [想一想]　设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为v，平面的法向量为n，则θ与〈v，n〉有什么关系？ 提示：θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－. (3)平面与平面的夹角及其向量求法 ①平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． ②若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即向量n1与n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝． 注意：平面与平面的夹角的取值范围是. 知识点二　用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题． (3)把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论． 1．(平面与平面的夹角)已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面的夹角为________． 答案：45° 2．(直线与平面所成的角)设直线a的一个方向向量为a＝(－1，2，1)，平面α的一个法向量为b＝(0，1，2)，则直线a与平面α所成角的正弦值为________． 答案： 3．(异面直线所成的角)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意一点，则直线BM与OP所成角的大小为________． 答案： 题型一　利用空间向量求异面直线所成的角　 例1　在三棱锥P－ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P－BC－A的大小为120°，求异面直线PB与AC所成角的余弦值． [解]　 解法一：取BC的中点O，连接OP，OA，因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，又AO∩PO＝O，AO，PO⊂平面PAO，所以BC⊥平面PAO，又BC⊂平面ABC，所以平面PAO⊥平面ABC，且∠POA就是二面角P－BC－A的平面角，即∠POA＝120°，建立空间直角坐标系，如图所示． 设AB＝2，则A(，0，0)，C(0，－1，0)，B(0，1，0)，P，所以＝(－，－1，0)，＝，cos〈，〉＝＝－，所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为. 解法二：如图所示，取BC的中点O，连接OP，OA，因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以∠POA就是二面角P－BC－A的平面角． 设AB＝2，则＝－，＝－， 故·＝(－)·(－) ＝·－·－·＋· ＝－1－0－0＋××＝－， 所以cos〈，〉＝＝－. 即异面直线PB与AC所成角的余弦值为. 【感悟提升】　两异面直线所成的角的向量求法 (1)用坐标法求异面直线所成的角的步骤 ①建立恰当的空间直角坐标系； ②找到两条异面直线的方向向量的坐标形式； ③利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角； ④结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角． (2)取定基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，我们经常采用取定基底的方法，这是小技巧．在利用公式cos〈a，b〉＝求向量a，b的夹角时，关键是求出a·b及|a|与|b|，一般是把a，b用一个基底表示出来，再求有关的量． 【跟踪训练】　 1．如图，已知两个正四棱锥P－ABCD与Q－ABCD的高分别为1和2，AB＝4.求异面直线AQ与PB所成角的余弦值． 解：由题设知，四边形ABCD是正方形，连接AC，BD，交于点O，则AC⊥BD.连接PQ，则PQ过点O. 由正四棱锥的性质知PQ⊥平面ABCD，故以O为原点，CA，DB，QP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)， 则P(0，0，1)，A(2，0，0)，Q(0，0，－2)，B(0，2，0)， ∴＝(－2，0，－2)，＝(0，2，－1)． ∴cos〈，〉＝＝， ∴异面直线AQ与PB所成角的余弦值为. 题型二　利用空间向量求直线与平面所成的角　 例2　正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成角的大小． [解]　 解法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，a)，C1，取A1B1的中点M， 则M， 连接AM，MC1， 有＝，＝(0，a，0)，＝(0，0，a)． ∴·＝0，·＝0， ∴⊥，⊥， 即MC1⊥AB，MC1⊥AA1， 又AB∩AA1＝A，AB，AA1⊂平面ABB1A1， ∴MC1⊥平面ABB1A1. ∴∠C1AM是AC1与侧面ABB1A1所成的角． 由于＝，＝， ∴·＝0＋＋2a2＝， ||＝＝a， ||＝＝a， ∴cos〈，〉＝＝. ∴〈，〉＝30°， 即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°. 解法二：建立与解法一相同的空间直角坐标系，则＝(0，a，0)，＝(0，0，a)，＝. 设侧面ABB1A1的法向量为n＝(x，y，z)， 则n·＝0且n·＝0. ∴ay＝0且az＝0. ∴y＝z＝0.令x＝1，则n＝(1，0，0)． ∴cos〈，n〉＝＝－， ∴|cos〈，n〉|＝. ∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°. 　本例中增加条件“E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点”，求B1F与平面GEF所成角的正弦值． 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则B1(0，a，a)，E，F，G，于是＝，＝，＝. 设平面GEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 ∴令z＝1，得x＝，y＝， ∴平面GEF的一个法向量为n＝(，，1)， ∴|cos〈，n〉|＝＝＝. ∴B1F与平面GEF所成角的正弦值为. 【感悟提升】　求直线与平面所成的角的向量方法 用向量法求直线与平面所成的角可利用向量夹角公式或法向量． 利用法向量求直线与平面所成的角的基本步骤： ①建立空间直角坐标系； ②求直线的方向向量； ③求平面的法向量n； ④计算：设直线与平面所成的角为θ，则sinθ＝. 【跟踪训练】　 2. 如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，A1A⊥平面ABCD，A1A＝A1D1＝1，AB＝AD＝2，求直线C1C与平面ACD1所成角的正弦值． 解：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，C(2，2，0)，D1(0，1，1)，C1(1，1，1)， 所以＝(1，1，－1)，＝(2，2，0)，＝(0，1，1)． 设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，则y＝－1，z＝1， 所以n＝(1，－1，1)． 设直线C1C与平面ACD1所成的角为θ， 则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，所以直线C1C与平面ACD1所成角的正弦值为. 题型三　利用空间向量求平面与平面的夹角　 例3　若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，求平面APB与平面CPB夹角的余弦值． [解]　解法一：如图所示，取PB的中点D，连接CD. ∵PC＝BC＝，∴CD⊥PB. ∴作AE⊥PB于E，那么平面APB与平面CPB的夹角的大小就等于异面直线EA与DC所成的角θ的大小． 易知AB＝，PB＝2， ∴PD＝1，PE＝＝， DE＝PD－PE＝，AE＝＝，CD＝1， 又AC＝1，＝＋＋，且⊥，⊥， ∴||2＝||2＋||2＋||2＋2||·||cos(π－θ)， 即1＝＋＋1－2××1×cosθ， 解得cosθ＝. 故平面APB与平面CPB夹角的余弦值为. 解法二：由解法一可知，向量与的夹角的大小就是平面APB与平面CPB的夹角的大小，如图，建立空间直角坐标系Cxyz，则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(0，0，0)，P(1，0，1)，又D为PB的中点， ∴D. ∵＝＝，∴E，＝，＝， ||＝，||＝1，·＝×＋×＋×＝. ∴cos〈，〉＝＝. 故平面APB与平面CPB夹角的余弦值为. 解法三：如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，＝(0，0，1)，＝(，1，0)，＝(，0，0)，＝(0，－1，1)， 设平面APB的法向量为m＝(x，y，z)， 则即 则令x＝1，则m＝(1，－，0)， 设平面CPB的法向量为n＝(x′，y′，z′)， 则即 则 令y′＝1，则n＝(0，1，1)， ∴|cos〈m，n〉|＝＝， ∴平面APB与平面CPB夹角的余弦值为. 【感悟提升】　平面与平面夹角的向量求法 (1)若AB，CD分别是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的异面直线，则平面α与平面β的夹角就是向量与的夹角或其补角(如图1)． (2)利用坐标法求平面与平面夹角的步骤 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图2. 利用坐标法的解题步骤如下： ①建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系； ②求法向量：在建立的坐标系下求两个平面的法向量n1，n2； ③计算：设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝. 【跟踪训练】　 3. 如图所示，已知四棱锥S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，且SA＝AB＝BC＝3AD，求平面SAB与平面SCD夹角的正弦值． 解：依题意，AD，AB，AS两两垂直．以A为原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD＝1， 则A(0，0，0)，S(0，0，3)，C(3，3，0)，D(1，0，0)， 所以＝(1，0，0)，＝(－1，0，3)，＝(2，3，0)， 显然，是平面SAB的一个法向量． 设平面SCD的法向量为n＝(x，y，z)， 则 令x＝3，可得y＝－2，z＝1，此时n＝(3，－2，1)． 因为cos〈，n〉＝＝， 所以平面SAB与平面SCD夹角的正弦值为＝. 题型四　向量法的综合应用　 例4　如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且A1P＝λA1B1. (1)证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN； (2)当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值； (3)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC的夹角为30°？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由． [解]　 以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，M，N. ∵＝λ＝λ(1，0，0)＝(λ，0，0)， ∴P(λ，0，1)， ∴＝，＝. (1)证明：∵＝， ∴·＝0＋－＝0， ∴⊥， ∴无论λ取何值，总有AM⊥PN. (2)∵m＝(0，0，1)是平面ABC的一个法向量， ∴sinθ＝|cos〈m，〉|＝ ＝， 又θ∈，∴当λ＝时，sinθ取得最大值，即θ取得最大值，此时sinθ＝，cosθ＝， ∴tanθ＝2. (3)假设存在点P满足题意，设n＝(x，y，z)是平面PMN的法向量， 则由得 令x＝3，得y＝1＋2λ，z＝2－2λ， ∴n＝(3，1＋2λ，2－2λ)． 由(2)知平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1)， ∴|cos〈m，n〉|＝＝， 化简，得4λ2＋10λ＋13＝0.　(*) ∵Δ＝100－4×4×13＝－108<0， ∴方程(*)无解， ∴不存在点P，使得平面PMN与平面ABC的夹角为30°. 【感悟提升】　向量法解决存在性问题的策略 首先，假定题中的数学对象存在；其次，构建空间直角坐标系；再次，利用空间向量法把存在性问题转化为求参数是否有解问题；最后，解方程，下结论．利用上述解题策略，可使此类存在性难题变为常规问题． 【跟踪训练】　 4．图1是直角梯形ABCD，AB∥CD，∠D＝90°，四边形ABCE是边长为2的菱形，且∠BCE＝60°，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，如图2，且AC1＝. (1)求证：平面BC1E⊥平面ABED； (2)在棱DC1上是否存在点P，使得点P到平面ABC1的距离为？若存在，求出直线EP与平面ABC1所成角的正弦值；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：连接AC，交BE于点O， ∵四边形ABCE是边长为2的菱形，∠BCE＝60°，∴AC⊥BE，OA＝OC＝. 易知相交直线OA，OC1均与BE垂直， ∴∠AOC1是二面角A－BE－C1的平面角， ∵AC1＝，∴OA2＋OC＝AC， ∴OA⊥OC1， ∠AOC1＝90°， ∴平面BC1E⊥平面ABED. (2)在棱DC1上存在点P，使得点P到平面ABC1的距离为.理由如下： 以O为原点，OA，OB，OC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D，C1(0，0，)， A(，0，0)，B(0，1，0)，E(0，－1，0)， ∴＝，＝，＝(－，1，0)，＝(－，0，)，＝(－，－1，0)， 设＝λ＝，λ∈[0，1]， 则＝＋＝. 设平面ABC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则 令x＝1，则y＝，z＝1，∴n＝(1，，1)， ∴点P到平面ABC1的距离为 d＝＝＝， 解得λ＝或λ＝(舍去)， ∴＝， ∴＝－＝， ∴|cos〈，n〉|＝＝＝， ∴直线EP与平面ABC1所成角的正弦值为. 1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为，则l1与l2所成的角为(　　) A. B. C.或 D．以上均不对 答案：A 解析：l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为.故选A. 2．已知两个平面的法向量分别为m＝(0，1，1)，n＝(1，－1，0)，则这两个平面的夹角为(　　) A．30° B．60° C．60°或120° D．120° 答案：B 解析：因为cos〈m，n〉＝＝＝－，且向量夹角的范围为[0，π]，所以两向量的夹角为，故两个平面的夹角为，即60°.故选B. 3．已知A∈α，P∉α，＝，平面α的一个法向量为n＝，则直线PA与平面α所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．150° 答案：C 解析：设PA与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，∵0°≤θ≤90°，∴θ＝60°.故选C. 4. 如图，二面角α－l－β的棱上有两个点A，B，线段BD和AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l.若AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则平面α与平面β夹角的余弦值为________． 答案： 解析：设平面α与平面β夹角的大小为α，由题意，得＝＋＋，且⊥，⊥，即·＝0，·＝0，∴2＝2＋2＋2＋2||||cos(π－α)，∴(2)2＝36＋16＋64－2×6×8×cosα，解得cosα＝，∴平面α与平面β夹角的余弦值为. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比20%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ 考向 平面与平面的夹角 异面直线所成的角 直线与平面所成的角 异面直线所成的角 空间角的综合问题 空间角的综合问题 直线与平面所成的角 考点 利用空间向量求平面与平面的夹角 利用空间向量求异面直线所成的角 已知直线与平面所成的角求其他量 已知异面直线所成的角求其他量 利用空间向量求空间角 利用空间向量求空间角 利用空间向量求直线与平面所成的角 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★★ ★ ★★★ ★★★ ★★ ★★★ 考向 空间角的综合问题 平面与平面的夹角 空间角的综合问题；点到平面的距离 平面与平面的夹角；点到平面的距离 直线与平面所成的角 平面与平面的夹角 空间角的综合问题 考点 利用空间向量求空间角 已知平面与平面的夹角求其他量 利用空间向量求空间角；利用空间向量求点到平面的距离 利用空间向量求二面角；利用空间向量求点到平面的距离 直线与平面所成角的最值(范围)问题 判断(证明)直线与平面平行；已知二面角求其他量 利用空间向量求空间角；根据线线垂直求参数 一、选择题 1．在一个锐二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这个锐二面角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由＝＝，知这个锐二面角的余弦值为. 2. 如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，D，E分别为SO，SB的中点，OC⊥AB，SO＝AB＝4，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(2，0，0)，A(0，2，0)，D(0，0，2)，E(0，－1，2)，则＝(0，－2，2)，＝(－2，－1，2)，所以直线AD与直线CE所成角的余弦值为|cos〈，〉|＝＝＝.故选C. 3. 如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：D 解析： 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设DD1＝a，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，a)，D1(0，0，a)，故＝(－2，2，0)，＝(－2，0，a)，＝(0，0，a)．设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则 可取n＝，故cos〈n，〉＝＝ ＝，又直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，所以＝，解得a＝4.故选D. 4. 已知矩形ABCD与ABEF全等，D－AB－E为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为θ，且cosθ＝，则AB与BC的长度之比为(　　) A．1∶1 B.∶1 C.∶2 D．1∶2 答案：C 解析：设AB＝a，BC＝b，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则F(b，0，0)，M，B(0，a，0)，D(0，0，b).＝，＝(0，－a，b)，所以||＝，||＝，·＝－，|cos〈，〉|＝＝，整理，得4×＋5×－26＝0，解得＝2或＝－(舍去)，所以＝＝. 5．(多选)在正三棱柱A1B1C1－ABC中，AA1＝AB，则下列结论中正确的是(　　) A．直线AA1与CB1所成的角为30° B．直线AC1与CB1所成的角为60° C．AC1与平面ABC所成角的正弦值为 D．AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为 答案：ACD 解析：对于A，依题意，取A1C1的中点E，AC的中点F，连接EF，EB1，如图，易得EF∥AA1，又AA1⊥平面A1B1C1，所以EF⊥平面A1B1C1，又EB1，EC1⊂平面A1B1C1，所以EF⊥EB1，EF⊥EC1，又△A1B1C1是正三角形，E是A1C1的中点，故EB1⊥EC1，则EB1，EC1，EF两两垂直，故以E为原点，EB1，EC1，EF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图．设AB＝2，则AA1＝AB＝2，则A1(0，－1，0)，C1(0，1，0)，A(0，－1，2)，C(0，1，2)，B1(，0，0)，故＝(0，0，－2)，＝(，－1，－2)，则|cos〈，〉|＝＝＝，所以直线AA1与CB1所成的角为30°，故A正确；对于B，因为＝(0，2，－2)，则|cos〈，〉|＝＝＝，则直线AC1与CB1所成的角不为60°，故B错误；对于C，易得平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1)，所以AC1与平面ABC所成角的正弦值为|cos〈m，〉|＝＝＝，故C正确；对于D，取A1B1的中点D，连接C1D，因为AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，所以C1D⊥AA1，又△A1B1C1是正三角形，D是A1B1的中点，故C1D⊥A1B1，因为AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1⊂平面AA1B1B，所以C1D⊥平面AA1B1B，易得点D的坐标为，所以侧面AA1B1B的一个法向量为＝，所以AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为|cos〈，〉|＝＝＝，故D正确．故选ACD. 6．(多选)若将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列结论中正确的是(　　) A．AD与BC所成的角为45° B．AC与BD所成的角为90° C．直线BC与平面ACD所成角的余弦值为 D．平面ABC与平面BCD的夹角的正切值为 答案：BCD 解析：如图，连接AC，BD，交于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，即AO⊥BD，CO⊥BD，∴二面角C－BD－A的平面角为∠COA＝90°，即CO⊥AO.以O为原点，OA，OD，OC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设AB＝2，则A(，0，0)，B(0，－，0)，C(0，0，)，D(0，，0)，∴＝(－，，0)，＝(0，，)，＝(－，0，)，＝(0，2，0)．对于A，∵|cos〈，〉|＝＝＝，∴AD与BC所成的角为60°，A错误；对于B，∵·＝0＋0＋0＝0，∴AC⊥BD，B正确；对于C，设平面ACD的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，解得y＝1，z＝1，∴n＝(1，1，1)， ∴|cos〈，n〉|＝＝＝，即直线BC与平面ACD所成角的正弦值为，∴直线BC与平面ACD所成角的余弦值为＝，C正确；对于D，∵x轴⊥平面BCD，∴平面BCD的一个法向量为m＝(1，0，0)，设平面ABC的法向量为p＝(a，b，c)，又＝(－，0，)，＝(－，－，0)，则令a＝1，则b＝－1，c＝1，∴p＝(1，－1，1)，设平面ABC与平面BCD的夹角为θ，∴cosθ＝|cos〈m，p〉|＝＝＝，又θ∈，∴sinθ＝＝，∴tanθ＝＝，D正确．故选BCD. 二、填空题 7．如果平面的一条斜线与它在这个平面内的射影的方向向量分别是r1＝(1，0，－1)，r2＝(0，1，1)，那么这条斜线与这个平面所成角的大小为__________． 答案：60° 解析：∵cos〈r1，r2〉＝＝＝－，∴〈r1，r2〉＝120°，又斜线与平面所成的角θ的范围是0°<θ<90°，∴这条斜线与这个平面所成角的大小为60°. 8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BB1的中点，则直线A1D与EC所成角的余弦值为________；平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为________． 答案：　 解析：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，C(1，1，0)，∴＝(0，1，－1)，＝，＝，∴|cos〈，〉|＝＝，故直线A1D与EC所成角的余弦值是.设平面A1ED的法向量为n1＝(1，y，z)，则有即∴∴n1＝(1，2，2)．∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，∴|cos〈n1，n2〉|＝＝，即平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为. 9. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB，AC，AA1两两垂直，AB＝AC＝AA1，M，N分别是侧棱BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC的夹角为，则当CN最小时，∠AMB＝________． 答案： 解析：建立空间直角坐标系，如图所示，设AB＝AC＝AA1＝1，CN＝b，BM＝a，则N(0，1，b)，M(1，0，a)，A(0，0，0)，B(1，0，0)，所以＝(1，0，a)，＝(0，1，b)，设平面AMN的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则n＝(－a，－b，1)，又平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1)，所以cos＝＝＝，即3a2＋3b2＝1，当CN最小时，b＝0，BM＝a＝，所以tan∠AMB＝＝，所以∠AMB＝. 三、解答题 10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，M是PD的中点． (1)求直线AD与平面ACM所成角的余弦值； (2)求平面ACD与平面ACM夹角的余弦值； (3)求点P到平面ACM的距离． 解：(1)因为PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，所以AB，AD，AP两两垂直． 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，D(0，4，0)，C(2，4，0)，P(0，0，4)，M(0，2，2)，＝(0，4，0)，＝(2，4，0)，＝(0，2，2)，＝(0，0，4)． 设平面ACM的法向量为n＝(x，y，z)， 则 可取n＝(－2，1，－1)， 设直线AD与平面ACM所成的角为α， 则sinα＝＝＝， cosα＝＝. (2)平面ACD的一个法向量为m＝(0，0，1)， 设平面ACD与平面ACM的夹角为β，则cosβ＝＝＝. (3)设点P到平面ACM的距离为d， 则d＝＝＝， 所以点P到平面ACM的距离为. 11．(多选)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝，AD＝1，则下列说法中正确的是(　　) A．长方体外接球的表面积等于7π B．若P是线段BD上的一动点，则PA＋PB1的最小值为3 C．点A1到平面C1BD的距离等于 D．二面角A1－BD－A的正切值为2 答案：ABD 解析：长方体外接球的直径2R＝AC1＝＝，故长方体外接球的表面积为S＝4πR2＝7π，故A正确；把矩形BDD1B1和Rt△ABD放置在同一平面内，如图1，其中AB＝，AD＝1，BB1＝，则BD＝2，当A，P，B1三点共线时，PA＋PB1最小，连接AB1，交BD于点P，因为sin∠ABD＝＝，故∠ABD＝30°，所以∠ABB1＝120°，由余弦定理可得，AB＝AB2＋BB－2AB·BB1cos120°＝3＋3－2×××＝9，所以AB1＝3，即PA＋PB1的最小值为3，故B正确；以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图2，则D(0，0，0)，A1(1，0，)，B(1，，0)，C1(0，，)，所以＝(1，，0)，＝(0，，)，＝(1，0，)， 设平面C1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则即令y＝－1，则x＝，z＝1，所以n＝(，－1，1)，所以点A1到平面C1BD的距离为＝＝，故C错误；作AO⊥BD，交BD于点O，由于AA1⊥BD，AA1∩AO＝A，AA1，AO⊂平面A1AO，所以BD⊥平面A1AO，又A1O⊂平面A1AO，所以A1O⊥BD，则∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角，在Rt△ABD中，AB·AD＝BD·AO，所以AO＝，在Rt△A1AO中，tan∠A1OA＝＝＝2，故D正确．故选ABD. 12. 如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.若PD＝AD＝1，Q为l上的点，则直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为________． 答案： 解析：由题意可得DA，DC，DP两两垂直，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示． 因为PD＝AD＝1，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，＝(1，0，0)，＝(0，1，0)，＝(1，1，－1)．因为四边形ABCD为正方形，所以AD∥BC，又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC，又AD⊂平面PAD，平面PAD∩平面PBC＝l，P∈l，则AD∥l，即∥，设＝m＝(m，0，0)，则Q(m，0，1)，＝(m，0，1)，设平面QCD的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则y＝0，z＝－m，所以平面QCD的一个法向量为n＝(1，0，－m)，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值为|cos〈n，〉|＝＝，当m＝0时，|cos〈n，〉|＝，当m≠0时，＝×＝×≤×＝×≤×＝，当且仅当m>0且|m|＝，即m＝1时取等号，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为. 13．(新课标Ⅰ卷) 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝. (1)若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC； (2)若AD⊥DC，且二面角A－CP－D的正弦值为，求AD. 解：(1)证明：因为PA⊥底面ABCD， 又AD⊂底面ABCD，所以PA⊥AD， 又AD⊥PB，PB∩PA＝P，PB，PA⊂平面PAB， 所以AD⊥平面PAB， 又AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB. 因为BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB， 根据平面知识可知AD∥BC， 又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， 所以AD∥平面PBC. (2)由题意知DC，AD，AP两两垂直，以D为原点，AD，DC所在直线分别为x轴、y轴，过点D且平行于AP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，设A(a，0，0)，a>0，则CD＝，C(0，，0)，P(a，0，2)，＝(0，－，0)，＝(－a，，0)，＝(a，－，2)． 设平面CPD的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 可取n＝(2，0，－a)． 设平面ACP的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则即 可取m＝(，a，0)． 因为二面角A－CP－D的正弦值为， 所以二面角A－CP－D的余弦值的绝对值为， 故|cos〈m，n〉|＝＝＝， 又a>0，所以a＝，即AD＝. 14. 在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为长方形，SB⊥底面ABCD，其中SB＝2，BA＝2，BC＝λ，λ的可能取值为： ①λ＝；②λ＝；③λ＝；④λ＝；⑤λ＝3. (1)求直线AS与平面ABCD所成角的正弦值； (2)若在线段CD上能找到一点E，满足AE⊥SE，则λ可能的取值有几种情况？请说明理由； (3)在(2)的条件下，当λ为所有可能情况的最大值时，在线段CD上满足AE⊥SE的点有两个，分别记为E1，E2，求平面BSE1与平面BSE2的夹角的大小． 解：(1)∵SB⊥底面ABCD， ∴∠SAB是直线AS与平面ABCD所成的角， 由SB⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD， 得SB⊥AB， 又SB＝BA＝2， ∴∠SAB＝45°， ∴直线AS与平面ABCD所成角的正弦值为. (2)以B为原点，BC，BA，BS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则S(0，0，2)，A(0，2，0)，设E(λ，t，0)(0≤t≤2)，则＝(λ，t－2，0)，＝(λ，t，－2)， 由AE⊥SE，得·＝λ2＋t(t－2)＝0， 由题意，知t2－2t＋λ2＝0在t∈[0，2]上有解，则λ2＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1， 当t∈[0，2]时，－(t－1)2＋1∈[0，1]， 即0≤λ2≤1， 又λ>0，∴0<λ≤1， ∴λ的可能值中，①②③三种情况可取， 即λ＝，或. (3)在(2)的条件下，λ的最大值是，此时有t2－2t＋＝0，解得t＝或t＝， 取E1，E2，则＝(0，0，2)，＝，＝， 设平面BSE1的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则 取x1＝1，则m＝(1，－，0)， 设平面BSE2的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 则 取x2＝，则n＝(，－1，0)， 则cos〈m，n〉＝＝＝， 又0°≤〈m，n〉≤180°， ∴〈m，n〉＝30°， ∴平面BSE1与平面BSE2的夹角是30°. 30 学科网（北京）股份有限公司 $$