1.2 空间向量基本定理-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教A版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ (教师独具内容) 课程标准：1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解． 教学重点：把空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量． 教学难点：运用空间向量基本定理解决立体几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题． 核心素养：1.通过学习空间向量基本定理及基底、基向量等概念，培养数学抽象素养.2.通过应用空间向量基本定理，提升直观想象及数学运算素养． 知识点一　空间向量基本定理 (1)定理 条件 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p 结论 存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc (2)基底与基向量 ①如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． ②空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． [想一想]　对于基底{a，b，c}，三个基向量a，b，c中能否有一个为0? 提示：因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，因此三个基向量均不为0. 知识点二　空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． (2)正交分解 把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 1．(基底与基向量)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则(　　) A．a与b共线 B．a与b同向 C．a与b反向 D．a与b共面 答案：A 2．(用基底表示空间向量)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，用基底{，，}表示，则＝________． 答案：＋＋ 3. (空间向量基本定理的应用)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，则·＝________． 答案：1 题型一　基底的概念　 例1　已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底． [解]　假设，，共面，则存在实数λ，μ，使得＝λ＋μ， ∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3. ∵e1，e2，e3不共面， ∴此方程组无解， ∴，，不共面， ∴{，，}可以作为空间的一个基底． 【感悟提升】　判断能否构成基底的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． (2)方法 ①如果向量中存在零向量，则不能构成基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底； ②对于a，b，c，假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立关于λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能构成基底；若无解，则不共面，能构成基底． 【跟踪训练】　 1．(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列选项中，能作为空间的一个基底的是(　　) A．{，，} B．{，，} C．{，，} D．{，，} 答案：AC 解析：对于A，，，两两正交，所以{，，}可以作为空间的一个基底；对于B，因为＝，所以＝＋＝＋，所以，，共面，故{，，}不能作为空间的一个基底；对于C，，在平面A1BCD1内，而DC与平面A1BCD1不平行，所以，，不共面，所以{，，}可以作为空间的一个基底；对于D，因为＝，所以＝＋＝＋，故{，，}不能作为空间的一个基底．故选AC. 题型二　用基底表示空间向量　 例2　如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，Q是CA1上的点，且CQ∶QA1＝4∶1，＝a，＝b，＝c，用基底{a，b，c}表示以下向量： (1)；(2)；(3)；(4). [解]　连接AC，AC1，AD1(图略)． (1)＝(＋)＝(＋＋)＝(a＋b＋c)＝a＋b＋c. (2)＝(＋)＝(＋2＋)＝(a＋2b＋c)＝a＋b＋c. (3)＝(＋)＝[(＋＋)＋(＋)]＝a＋b＋c. (4)＝＋＝＋(－)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c. 【感悟提升】　用基底表示空间向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底； (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果； (3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． 【跟踪训练】　 2．已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，向量p＝a－2b－4c，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，用基底{a＋b，a－b，c}表示向量p. 解：设p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc，整理， 得p＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc， 又p＝a－2b－4c， 所以，解得 故p＝－(a＋b)＋(a－b)－4c. 题型三　空间向量基本定理的应用　 例3　如图，已知直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D； (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值． [解]　(1)证明：设＝a，＝b，＝c，这三个向量不共面，{a，b，c}构成空间的一个基底． 根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0. 因为＝b＋c，＝－c＋b－a. 所以·＝－c2＋b2＝0， 所以⊥，即CE⊥A′D. (2)因为＝－a＋c，所以·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2， 又||＝|a|，||＝|a|， 所以cos〈，〉＝＝. 所以异面直线CE与AC′所成角的余弦值为. 【感悟提升】　 (1)向量法是证明异面直线垂直常用的方法，常选一基底表示两异面直线． (2)利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 【跟踪训练】　 3. 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，M，N分别是AB，CD的中点． (1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD； (2)求MN的长． 解：(1)证明：设＝p，＝q，＝r， 则{p，q，r}构成空间的一个基底． 由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°.连接AN(图略)． ＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)， ∴·＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2)＝(a2cos60°＋a2cos60°－a2)＝0， ∴MN⊥AB，同理可证MN⊥CD. (2)由(1)可知，＝(q＋r－p)， ∴||2＝(q＋r－p)2 ＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)] ＝＝×2a2＝， ∴||＝a，∴MN的长为a. 1．若{a，b，c}为空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z的值分别为(　　) A．0，0，1 B．0，0，0 C．1，0，1 D．0，1，0 答案：B 解析：若x，y，z中存在一个不为0的数，不妨设x≠0，则a＝－b－c，∴a，b，c共面，这与{a，b，c}是基底矛盾，故x＝y＝z＝0. 2．(多选)设{a，b，c}是空间的一个基底，下列说法中正确的是(　　) A.一定能构成空间的一个基底 B．a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面 C．有且仅有一对实数λ，μ，使得c＝λa＋μb D．对空间任一向量p，总存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc 答案：ABD 解析：对于A，因为{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c不共面，则a，b，c也不共面，一定能构成空间的一个基底，故A正确；对于B，由基底向量的定义，知a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面，故B正确；对于C，因为a，b，c不共面，所以不存在实数λ，μ，使得c＝λa＋μb，故C错误；对于D，因为{a，b，c}是空间的一个基底，由空间向量基本定理，知对空间任一向量p，总存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，故D正确．故选ABD. 3. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量可用基底{a，b，c}表示为(　　) A．a－b＋2c B．a－b－2c C．－a＋b＋c D.a－b＋c 答案：D 解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝a－b＋c. 4. 已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，设＝a，＝b，＝c，则A′B与B′C所成角的余弦值为(　　) A. B. C．－ D．－ 答案：B 解析：∵·＝(－)·(－)＝(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋c2＝0－0－0＋1＝1，∴cos〈，〉＝＝＝. 5．已知空间单位向量e1，e2，e3，e1⊥e2，e2⊥e3，e1·e3＝，若空间向量m＝xe1＋ye2＋ze3满足m·e1＝4，m·e2＝3，m·e3＝5，则x＝________，y＝________，z＝________． 答案：0　3　5 解析：由题意可得 即解得 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 考向 空间向量基本定理的应用 基底的概念 基底的概念 用基底表示空间向量 空间向量基本定理的应用 空间向量基本定理的应用 用基底表示空间向量 考点 求空间向量的数量积 单位正交基底的概念 求距离 判断线面的位置关系 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★ ★★★ 考向 空间向量基本定理的应用 空间向量基本定理的应用 用基底表示空间向量；空间向量基本定理的应用 用基底表示空间向量；空间向量基本定理的应用 用基底表示空间向量；空间向量基本定理的应用 空间向量基本定理的应用 空间向量基本定理的应用 考点 求空间向量的数量积 利用空间向量的数量积求参数 求距离 求距离；判断或证明垂直问题 求距离 判断或证明垂直问题 利用向量共面求参数 一、选择题 1．已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，m＝－a＋6b－5c，n＝3a＋8b，则m·n＝(　　) A．15 B．21 C．45 D．36 答案：C 解析：因为{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，所以|a|＝1，|b|＝1，|c|＝1，a·b＝b·c＝a·c＝0.又m＝－a＋6b－5c，n＝3a＋8b，所以m·n＝(－a＋6b－5c)·(3a＋8b)＝－3＋48＝45.故选C. 2．若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且向量a＝e1＋e2，b＝e2－e3，c＝e1＋te3不能构成空间的一个基底，则t＝(　　) A．－1 B．1 C．0 D．－2 答案：B 解析：由于a＝e1＋e2，b＝e2－e3，所以a，b不共线，由于a，b，c不能构成空间的一个基底，所以存在x，y∈R使得c＝xa＋yb，即e1＋te3＝x(e1＋e2)＋y(e2－e3)＝xe1＋(x＋y)e2－ye3，所以解得故选B. 3．已知BD⊥平面ABC，AB⊥BC，BD＝1，AB＝2，BC＝3，则空间的一个单位正交基底可以为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为BD⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC，所以BD⊥AB，BD⊥BC.因为AB⊥BC，即AB，BC，BD两两垂直，又BD＝1，AB＝2，BC＝3，所以空间的一个单位正交基底可以为.故选B. 4. 已知空间四边形OABC，其对角线分别为OB，AC，M，N分别是边CB，OA的中点，点G在线段MN上，且NG＝2GM，用基底{，，}表示向量正确的是(　　) A.＝＋＋ B.＝＋＋ C.＝＋＋ D.＝＋＋ 答案：C 解析：根据题意可得＝＋，又NG＝2GM，所以＝，所以＝＋＝＋(＋)＝＋×(＋)＝×＋(＋)＝＋＋.故选C. 5. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，＝，N为B1B的中点，则||＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}构成空间的一个正交基底．∵＝－＝－＝a＋c－(a＋b＋c)＝a－b＋c，∴||＝＝. 6. (多选)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点．下列结论正确的是(　　) A．A1M∥D1P B．A1M∥B1Q C．A1M∥平面DCC1D1 D．A1M∥平面D1PQB1 答案：ACD 解析：∵＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴∥，从而A1M∥D1P，由直线与平面平行的判定定理可知，A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1，故A，C，D正确；又B1Q与D1P不平行，故B不正确．故选ACD. 二、填空题 7．设{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，且向量p＝3a＋b＋c，若m＝a＋b，n＝a－c，则用基底{m，n，c}表示向量p＝________． 答案：m＋2n＋3c 解析：设p＝xm＋yn＋zc，则x(a＋b)＋y(a－c)＋zc＝(x＋y)a＋xb＋(z－y)c＝3a＋b＋c，故解得故p＝m＋2n＋3c. 8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，则·＝________． 答案：3 解析：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，{，，}构成空间的一个基底，则＝－，＝＋＋，所以·＝(－)·(＋＋)＝2－2＝22－12＝3. 9. 在如图所示的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1.若BD⊥AN，则λ的值为________． 答案：－1 解析：设＝a，＝b，＝c，则＝－＝b－a.因为A1N＝λA1D1，所以＝＋＝c＋λb.因为BD⊥AN，所以⊥，所以·＝(b－a)·(c＋λb)＝0.不妨取AB＝AA1＝AD＝1，则a·b＝1×1×cos60°＝，b·c＝1×1×cos60°＝，a·c＝1×1×cos30°＝，所以(b－a)·(c＋λb)＝＋λ－－＝0，解得λ＝－1. 三、解答题 10. 如图，M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点(点P靠近点N)，若＝a，＝b，＝c. (1)以{a，b，c}为基底表示； (2)若|a|＝|b|＝1，|c|＝2，∠OAB＝∠OAC＝，∠CAB＝，求||的值． 解：(1)因为P，Q是MN的三等分点(点P靠近点N)，所以＝， 整理得－＝－， 故＝＋， 因为M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点， 所以＝＋，＝， 所以＝＋＋＝(－)＋(－)－＝－＋＋＝－a＋b＋c. (2)由题意，得a·b＝1×1×cos＝，a·c＝1×2×cos＝1，b·c＝1×2×cos＝0. 由(1)得＝－a＋b＋c， 所以||＝，故||2＝＝a2＋b2＋c2－a·b－a·c＋b·c＝，所以||＝. 11. (多选)如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝，∠BAA1＝，∠CAA1＝，AB＝AC＝1，AA1＝2，O是B1C与BC1的交点，则下列结论正确的是(　　) A.＝(＋＋) B．||＝ C．AO⊥BC D．平面ABC⊥平面B1BCC1 答案：ABD 解析：对于A，＝(＋)＝(＋＋)，故A正确；对于B，不妨设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}构成空间的一个基底，依题意，得|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，b·c＝1，a·c＝－1，由A项可得，＝(a＋b＋c)，则||2＝(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c)＝×(1＋1＋4＋0＋2－2)＝，则||＝，故B正确；对于C，因为＝b－a，所以·＝(a＋b＋c)·(b－a)＝×(－1＋1＋1＋1)＝1≠0，故C错误；对于D，如图，取BC的中点E，连接AE，则＝(＋)＝(a＋b)，因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.又·＝(a＋b)·c＝(a·c＋b·c)＝×(－1＋1)＝0，故AE⊥BB1.又BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面B1BCC1，所以AE⊥平面B1BCC1，又AE⊂平面ABC，故平面ABC⊥平面B1BCC1，故D正确．故选ABD. 12．已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，过点B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N，用，，表示，则＝____________，点B与点D之间的距离为________． 答案：＋＋　 解析：在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝， 则可得AM＝，BM＝，CN＝，ND＝，MN＝1.因为平面ABC与平面ACD垂直，BM⊥AC，平面ABC∩平面ACD＝AC，BM⊂平面ABC，则BM⊥平面ACD，所以BM⊥ND.由题意可得＝＋＋，所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝＋12＋＋2×(0＋0＋0)＝，所以||＝. 13. 如图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，且CC1＝CD＝1. (1)求证：CC1⊥BD； (2)试判断直线CA1与平面C1BD是否垂直．若垂直，给出证明；若不垂直，请说明理由． 解：(1)证明：∵·＝·(－)＝·－·＝1×1×－1×1×＝0，∴⊥，∴CC1⊥BD. (2)CA1⊥平面C1BD. 证明：∵·＝(＋＋)·(－)＝2－·＋·－2＋·－·＝0， ∴⊥，∴CA1⊥BD. 同理可证CA1⊥BC1. ∵BC1∩BD＝B，BC1，BD⊂平面C1BD， ∴CA1⊥平面C1BD. 14. 如图，在三棱锥P－ABC中，G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m，＝n，＝t，求证＋＋为定值，并求出该定值． 解：连接AG，并延长交BC于点H，由题意，可令{，，}为空间的一个基底． ＝＝(＋)＝＋×＝＋×(＋)＝＋(－)＋(－)＝＋＋. 连接DM.因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数λ，μ， 使得＝λ＋μ，即－＝λ(－)＋μ(－)， 所以＝(1－λ－μ)＋λ＋μ＝(1－λ－μ)m＋λn＋μt. 由空间向量基本定理，知＝(1－λ－μ)m，＝λn，＝μt，所以＋＋＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，为定值． 17 学科网（北京）股份有限公司 $$