1.2 空间向量基本定理-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教A版2019）

(教师独具内容)

课程标准：1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解．

教学重点：把空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量．

教学难点：运用空间向量基本定理解决立体几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．

核心素养：1.通过学习空间向量基本定理及基底、基向量等概念，培养数学抽象素养.2.通过应用空间向量基本定理，提升直观想象及数学运算素养．

知识点一　空间向量基本定理

(1)定理

(2)基底与基向量

①如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．

②空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．

[想一想]　对于基底{a，b，c}，三个基向量a，b，c中能否有一个为0?

提示：因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，因此三个基向量均不为

0.

知识点二　空间向量的正交分解

(1)单位正交基底

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．

(2)正交分解

把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．

1．(基底与基向量)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则(　　)

A．a与b共线 B．a与b同向

C．a与b反向 D．a与b共面

答案：A

2．(用基底表示空间向量)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，用基底{，，}表示，则＝________．

答案：＋＋

3. (空间向量基本定理的应用)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，则·＝________．

答案：1

题型一　基底的概念　

例1　已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．

[解]　假设，，共面，则存在实数λ，μ，使得＝λ＋μ，

∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3.

∵e1，e2，e3不共面，

∴此方程组无解，

∴，，不共面，

∴{，，}可以作为空间的一个基底．

【感悟提升】　判断能否构成基底的基本思路及方法

(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．

(2)方法

①如果向量中存在零向量，则不能构成基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底；

②对于a，b，c，假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立关于λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能构成基底；若无解，则不共面，能构成基底．

【跟踪训练】　

1．(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列选项中，能作为空间的一个基底的是(　　)

A．{，，}

B．{，，}

C．{，，}

D．{，，}

答案：AC