专题03 与二次根式有关运算的六种考法（压轴题专项训练）数学湘教版2024八年级上册

专题03 与二次根式有关运算的六种考法 目录 1 类型一、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 1 类型二、复合二次根式的化简 5 类型三、二次根式中的分母有理化 9 类型四、利用二次根式有关运算比较大小 16 类型五、二次根式中的新定义型探究问题 20 类型六、二次根式中的规律探究问题 24 30 类型一、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 确定参数范围：根据被开方数非负性（如中a≥0）及分母不为零等条件，确定参数的允许范围。 因式分解：将被开方数分解为完全平方数与其他因数的乘积（如=|a|）。 绝对值处理：根据参数范围去掉根号后的绝对值符号。若a≥0，则=a；若a符号未知，保留|a|。 合并同类项：将同类二次根式系数相加。 示例：化简（x≥2）→=x-2。 注意：始终结合参数范围简化结果，确保代数式有意义 例1．下列说法： ①已知，，满足，则； ②已知，，是正整数，，且，则，，； ③实数，，满足，，则代数式的值可以是6； 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式1-1．如果实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简代数式 ． 变式1-2．实数、、满足条件，则的值是 ． 变式1-3若，则的值为 ． 类型二、复合二次根式的化简 复合二次根式化简（如）的技巧： 观察结构：优先尝试将内部根式化为完全平方形式。目标：将表达式转化为 ± 或 ±（x,y同结构）。 配方法（核心）： 设原式为= +（或-）。关键步骤： 两边平方：a + = (x + y) ± 2 关键等式： x + y = a 2 = 或 -2 = (需结合范围判断) 解方程组求x, y（要求x>y>0且x+y, xy均为有理数）。 恒等式验证：若a² - b为完全平方数（设=k²），则可能适用： = ± （注意正负号及范围）。 设t整体法：直接设t = ，平方后去根号解方程。 例2．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 变式2-1．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则可将将变成，即变成，从而使得化简．例如，，∴．这种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简的结果是，可知．整理，得，比较等式两边的组成，可得，，即，，所以． 尝试化简下列各式： (1)； (2)． 变式2-2．先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________； （2）化简； （3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 变式2-3．像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： ＝＝＝＝． 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 类型三、二次根式中的分母有理化 目标： 使分母变为有理数（常数或无根整式）。 操作后： 必须化简分子（展开、约分、合并同类项）。 共轭式： 保持分母结构仅变中间符号（+/-互换）。 结果验证： 确保最终分母不含根号且最简。 例3．例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫作分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②； ③已知，，则； ④设实数m，n满足，则．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式3-1．已知，则a的值为 ． 变式3-2阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ； ； ； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：______；______；______； (2)化简：； (3)已知，，求的值． 变式3-3阅读下列材料，并回答问题．； ； ； ； … (1)填空：__________；比较大小：__________；（填“”或“”） (2)观察上述算式，仿照上述方法计算（是正整数）； (3)计算：（提示：）． 类型四、利用二次根式有关运算比较大小 统一形式法 原理：将根式化为同次根式或同分母形式直接比较。 示例：比较与→平方得2<3，故<。 平方法（最常用） 适用：含"±"的和/差形式。 操作：两边平方后比较非根式部分（注意符号和范围）。 有理化放缩法 原理：通过分母有理化构造可比较形式。 示例：比较-与-2： 分子有理化：-=1/(+)，-2=1/(+2) ∵+>+2 → 1/(+)<1/(+2)，故-<-2 差值/比值法 差值：计算A-B，与0比较（适用于复杂表达式）。 比值：计算A/B，与1比较（确保同号）。 临界值估算 技巧：取平方数附近整数值辅助判断（如≈3.16）。 例4．比较大小： （填“”或“”）． 变式4-1已知，比较大小： 1（填“”“ ”或“”）． 变式4-2我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用． 如： (1)化简：______； (2)比较和的大小； (3)化简：． 变式4-3材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：，． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)填空：的有理化因式是 （写出一个即可）； (2)化简：； (3)比较与的大小，并说明理由． 类型五、二次根式中的新定义型探究问题 1. 破译定义本质 • 逐字解析：精读新运算或符号的规则，标注关键限制（如参数范围、运算顺序）。 • 数学化表示：将文字定义转为代数表达式。 2. 定向关联旧知 • 对标常规方法：将新问题映射到已有知识（例如：若定义涉及平方，联想完全平方公式；含分式则需分母有理化）。 • 挖掘隐含条件：利用被开方数非负性、分母≠0等挖掘隐藏参数范围。 3. 验证与探究 • 特值检验法：代入特殊值（正数、0、边界值）验证性质或运算律（如交换律 a★b = b★a 是否成立）。 • 反例构造：针对开放性结论，尝试构造反例（如找不同值证明 a★(b★c) ≠ (a★b)★c）。 • 代数推理：对普遍性结论进行代数推导（如两边平方、因式分解） 例5．对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于m的最大整数），称为m的根整数，如：，．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下四种说法：①；②；③若方程，则满足条件的x的整数值有4个；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差为239．其中正确说法的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式5-1 若一个四位自然数，且M满足则称这个四位数M为“蛟龙数”，规定．则最小的“蛟龙数”是 ；若式子的结果是整数，则满足条件的最大“蛟龙数”是 ． 变式5-2 任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将m的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为，其中，则 ；若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”的最大值为 ． 变式5-3 定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”． (1)若与是关于15的友好二次根式，求； (2)若与是关于4的友好二次根式，求． 类型六、二次根式中的规律探究问题 1. 逐项运算显结构 • 基础变形：先对前3-5项精确化简（分母有理化、配方等），迫使隐藏规律显现。 例：探究 → 有理化单项： 2. 结构类比寻通式 • 观察差异：对比化简后项的代数特征（如 ），猜想通项 或等比形式。 • 裂项规律：若相邻项含 ，考虑 。 3. 运算验证定结论 • 代入检验：取 验证通项是否匹配已化简项。 • 和式 telescoping（相消）：若为求和问题，代入通项展开观察中间项抵消情况。 例： （中间项全消）。 4. 归纳证明保严谨 • 数学归纳法：对猜想通项，验证 成立，假设 成立推导 成立。 关键点：规律常藏于有理化或配方后的差分结构（后项-前项），求和问题优先尝试裂项相消。 例6．嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 变式6-1观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)观察以上规律，请写出第5个等式：______； (2)观察以上规律，请写出第个等式：______（为正整数）； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 变式6-2嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． (2)观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 变式6-3【阅读材料】 （材料一）细心观察图形，认真分析各式，总结其中蕴含的规律． ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）； （材料二）化简：． 解：． 【问题解决】利用你总结的规律，解答下面的问题： (1)填空： _________， _________； (2)求的值． 一、解答题 1．计算： (1)若 ，求 的值． (2)已知 是整数，求正整数a的值． 2．若、、为正有理数，证明： (1)若为有理数，则、为有理数． (2)若为有理数，则、、为有理数． 3．先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以， 问题： （1）填空：__________，____________﹔ （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________． （3）化简：（请写出化简过程） 4．已知m,n是两个连续的正整数，，，求证：是定值且为奇数． 5．先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简． 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； （2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简   ①．   ②． 6．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式的学习中也有这种相辅相成的“对子”，如，它们的积是有理数，我们说这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 解决问题： (1)比较大小：________（用“”“”或“”填空）； (2)计算：； (3)设实数满足，求的值． 7．化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， (1)若，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． (3)利用这一规律计算：． 8．比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 显然，所以． 仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题： (1)猜想：与的大小关系； (2)尝试计算：． 9．我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．课本中阅读材料告诉我们，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： (1)化简：________； (2)比较大小：________；（用“>”、“=”或“<”填空） (3)设有理数满足：，则________； (4)已知，求的值． 10．我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”例如：，因为，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题． (1)判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”． ①与（   ）    ②与（   ）    ③与（   ） (2)已知关于x的整式，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值； (3)已知关于x的整式，若S，T互为“差值代数式”，且满足． ①求b，c，d的值； ②求代数式的最小值． 11．阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题． 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则 即，当且仅当时取等号，此时有最小值为 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解： 当且仅当 即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数 可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 与二次根式有关运算的六种考法 目录 1 类型一、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 1 类型二、复合二次根式的化简 5 类型三、二次根式中的分母有理化 9 类型四、利用二次根式有关运算比较大小 16 类型五、二次根式中的新定义型探究问题 20 类型六、二次根式中的规律探究问题 24 30 类型一、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 确定参数范围：根据被开方数非负性（如中a≥0）及分母不为零等条件，确定参数的允许范围。 因式分解：将被开方数分解为完全平方数与其他因数的乘积（如=|a|）。 绝对值处理：根据参数范围去掉根号后的绝对值符号。若a≥0，则=a；若a符号未知，保留|a|。 合并同类项：将同类二次根式系数相加。 示例：化简（x≥2）→=x-2。 注意：始终结合参数范围简化结果，确保代数式有意义 例1．下列说法： ①已知，，满足，则； ②已知，，是正整数，，且，则，，； ③实数，，满足，，则代数式的值可以是6； 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式及平方的非负性，二次根式的性质，不定方程的解，①利用完全平方公式及平方的非负性判定即可，②利用平方差公式转化成方程组，判定方程组的整数解即可，③两方程相减得，根据，得取值判断即可． 【详解】解：①， ， ， ， ， ， 故①正确， ② ， ，，是正整数， ，都是整数， ， ， ， 而只能分解成和的乘积， ∴当时， 解得：，，或，，， 当时， 解得：，， ， ，与矛盾，不符合题意，舍去， 故②错误， ③实数，，满足，， 两方程相减得：， 当，均大于或等于时， 即， ， 则，故不成立， 当，有一个大于有一个小于时， ，故不成立， 当，都小于时，，不符合题意， 故③错误． 故正确的为：①，共个， 故选：B． 变式1-1．如果实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简代数式 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质，立方根的定义，掌握二次根式的性质，立方根的定义，是解题的关键． 根据数轴的特点确定的符号和大小，再根据二次根式的性质，立方根的定义化简，即可求解． 【详解】解：根据数轴上点的位置可得，，，， ∴ ， 故答案为： ． 变式1-2．实数、、满足条件，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式；分析题中条件不难发现等号左边含有未知数的项都有根号，而等号右边的则都没有．由此可以想到将等式移项，并配方成三个完全平方数之和等于的形式，从而可以分别求出、、的值，即可求解． 【详解】将题中等式移项并将等号两边同乘4得 ， ， ， ，，， ，，， ． 故答案为：． 变式1-3若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据题意先得到，再由进行化解求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 类型二、复合二次根式的化简 复合二次根式化简（如）的技巧： 观察结构：优先尝试将内部根式化为完全平方形式。目标：将表达式转化为 ± 或 ±（x,y同结构）。 配方法（核心）： 设原式为= +（或-）。关键步骤： 两边平方：a + = (x + y) ± 2 关键等式： x + y = a 2 = 或 -2 = (需结合范围判断) 解方程组求x, y（要求x>y>0且x+y, xy均为有理数）。 恒等式验证：若a² - b为完全平方数（设=k²），则可能适用： = ± （注意正负号及范围）。 设t整体法：直接设t = ，平方后去根号解方程。 例2．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件列出方程组，解方程组即可得到答案； （3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 且， ∴； （2）解：∵ ∴， 化简后两边同时平方得：， ∴， 经检验：是原方程的解； （3）解： ． 变式2-1．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则可将将变成，即变成，从而使得化简．例如，，∴．这种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简的结果是，可知．整理，得，比较等式两边的组成，可得，，即，，所以． 尝试化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式得出进而求出即可； （2）根据完全平方公式得出进而求出即可． 此题主要考查了二次根式的化简与性质，熟练应用完全平方公式是解题关键． 【详解】（1）； （2）解：． 变式2-2．先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________； （2）化简； （3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 【答案】（1）④，；（2）；（3） 【分析】（1）第④步出现了错误，； （2）类比例题，将9分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可； （3）类比例题，将8分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可． 【详解】解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下： ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和完全平方公式的运用，能够将数据拆为正确的完全平方公式是解题的关键． 变式2-3．像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： ＝＝＝＝． 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)14或46 【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解． 【详解】（1） （2） （3）∵， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴a的值为：或． 【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值． 类型三、二次根式中的分母有理化 目标： 使分母变为有理数（常数或无根整式）。 操作后： 必须化简分子（展开、约分、合并同类项）。 共轭式： 保持分母结构仅变中间符号（+/-互换）。 结果验证： 确保最终分母不含根号且最简。 例3．例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫作分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②； ③已知，，则； ④设实数m，n满足，则．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化．熟练掌握平方差公式，有理化因式，完全平方公式变形求值，二次根式的混合运算，是解题的关键．判断四个结论的正确性，逐一分析每个结论的解题过程． ①的小数部分．得，结论①正确． ② ，结论②错误． ③可得，，得，结论③错误． ④由已知得，得，由，得，得，得．结论④正确． 【详解】解：①∵， ∴， ∴的整数部分为1， ∴小数部分． ∴． ∴①正确． ②∵ ， ∴②错误． ③∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴③错误． ④：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴④正确． 综上，正确结论为①和④，共2个． 选：B． 变式3-1．已知，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简计算，分母有理化，还涉及因式分解，难度较大，正确计算化简是解题的关键． 先分母有理化化简，然后对分子提取公因式，再分母有理化即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 变式3-2阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ； ； ； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：______；______；______； (2)化简：； (3)已知，，求的值． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，仿照材料中提供的思路进行解答． 仿照材料中提供的解题思路进行分母有理化即可； 仿照材料中提供的解题思路把每一个二次根式分别进行分母有理化，再合并同类二次根式即可； 首先把，分别进行分母有理化，再把分母有理化后的值代入代数式中计算求值即可． 【详解】（1）解：； ； ； 故答案为：，，； （2）解： ； （3）解： ，， ， ， ， ． 变式3-3阅读下列材料，并回答问题．； ； ； ； … (1)填空：__________；比较大小：__________；（填“”或“”） (2)观察上述算式，仿照上述方法计算（是正整数）； (3)计算：（提示：）． 【答案】(1)； (2) (3)44 【分析】本题考查了二次根式的运算，读懂阅读材料找到算式规律是解题的关键． （1）根据材料计算方法即可得到第一个填空答案；根据材料计算方法可知，，结合即可得到答案； （2）仿照材料方法计算即可； （3）仿照材料方法计算可求得，原式，进一步计算即可． 【详解】（1）解：， 根据材料可知，，， ， ， 故答案为：，； （2）解： （3）解： 类型四、利用二次根式有关运算比较大小 统一形式法 原理：将根式化为同次根式或同分母形式直接比较。 示例：比较与→平方得2<3，故<。 平方法（最常用） 适用：含"±"的和/差形式。 操作：两边平方后比较非根式部分（注意符号和范围）。 有理化放缩法 原理：通过分母有理化构造可比较形式。 示例：比较-与-2： 分子有理化：-=1/(+)，-2=1/(+2) ∵+>+2 → 1/(+)<1/(+2)，故-<-2 差值/比值法 差值：计算A-B，与0比较（适用于复杂表达式）。 比值：计算A/B，与1比较（确保同号）。 临界值估算 技巧：取平方数附近整数值辅助判断（如≈3.16）。 例4．比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查考查了二次根式混合运算，二次根式的大小比较，求出，即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 变式4-1已知，比较大小： 1（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，二次根式的大小比较，先计算，再进一步比较大小即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 变式4-2我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用． 如： (1)化简：______； (2)比较和的大小； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3)22 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小，二次根式的加减计算，熟知分母有理化的方法是解题的关键． （1）仿照题意进行分母有理化即可； （2）分母有理化得到，，利用作差法可得，则； （3）分母有理化得到，再把所求式子的每一项按照此方法分母有理化，并计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ． ， ， ， ． ， ； （3）解： ， ∴原式 ． 变式4-3材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：，． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)填空：的有理化因式是 （写出一个即可）； (2)化简：； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式．熟练掌握分母有理化，平方差公式是解题的关键． （1）根据分母有理化的概念进行解答即可； （2）把各个分母分母有理化，然后进行计算即可； （3）先求出各个数的倒数，比较倒数的大小，从而比较与的大小即可． 【详解】（1）∵， ∴的有理化因式为：， 故答案为：； （2）原式 （3），理由如下： ， 类型五、二次根式中的新定义型探究问题 1. 破译定义本质 • 逐字解析：精读新运算或符号的规则，标注关键限制（如参数范围、运算顺序）。 • 数学化表示：将文字定义转为代数表达式。 2. 定向关联旧知 • 对标常规方法：将新问题映射到已有知识（例如：若定义涉及平方，联想完全平方公式；含分式则需分母有理化）。 • 挖掘隐含条件：利用被开方数非负性、分母≠0等挖掘隐藏参数范围。 3. 验证与探究 • 特值检验法：代入特殊值（正数、0、边界值）验证性质或运算律（如交换律 a★b = b★a 是否成立）。 • 反例构造：针对开放性结论，尝试构造反例（如找不同值证明 a★(b★c) ≠ (a★b)★c）。 • 代数推理：对普遍性结论进行代数推导（如两边平方、因式分解） 例5．对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于m的最大整数），称为m的根整数，如：，．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下四种说法：①；②；③若方程，则满足条件的x的整数值有4个；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差为239．其中正确说法的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查新定义“根整数”的理解与应用，涉及无理数的估算、二次根式及最值分析．根据新定义再结合无理数的估算、二次根式及最值逐一验证各说法的正确性即可． 【详解】解：①：计算左边，，和为；右边，等式成立．故①正确． ②：，取反例，左边，右边，显然．故②错误． ③：方程，x为整数且． 逐一验证： 当时，左边分别为，满足条件； 其他x值均不满足．故满足条件的x有3个，而非4个．故③错误． ④：设正整数m进行3次连续求根整数运算后结果为1，即， 第三次操作时：，则； 第二次操作时：，则，其中； 第一次操作时：，则． 排除提前终止的情况： 若，则，对应，但这些m在2次操作内即可终止，需排除； 若，则，对应； 若，则，对应； ∴需进行3次根整数运算结果为1的正整数m的范围为， ∴m的最大值为255，最小值为16，差值为．故④正确． 综上，正确说法为①④，共2个． 故选：B． 变式5-1 若一个四位自然数，且M满足则称这个四位数M为“蛟龙数”，规定．则最小的“蛟龙数”是 ；若式子的结果是整数，则满足条件的最大“蛟龙数”是 ． 【答案】 1001 【分析】本题考查整式的混合运算，化简二次根式，二元一次方程的解，熟练掌握新定义是解题的关键，根据新定义，结合，得到，根据最小的“蛟龙数”得到，得到，进而得到时，最小，求出最小的“蛟龙数”，求出，进而得到，根据式子的结果是整数，得到为完全平方数，根据，推出，根据，，得到，根据，得到蛟龙数最大时，，此时只能为0，得到的最大值为9，进而求出此时的值，即可得出结果． 【详解】解：∵是蛟龙数，且M满足， ∴， ∴， ∴， ∵蛟龙数最小， ∴， ∴， ∴当时，蛟龙数最小，为； ∵ ， ∴， ∵式子的结果是整数， ∴为完全平方数， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴当蛟龙数最大时，，此时只能等于0， ∵， ∴最大为9， ∴， ∴， ∴最大的蛟龙数为：； 故答案为：1001，． 变式5-2 任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将m的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为，其中，则 ；若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，利用二次根式的性质进行化简．理解题意，熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 由题意知，，，则，当时，，则，计算求解即可；由题意知，，，则，，，由为整数，可知，，由题意知，当值最大时，的值最大，然后求出两种情况的最大值，最后比较大小即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， 当时，， ∴， 由题意知，，， ∴， ∴， ∴， ∵为整数， ∴或或， 由题意知，当值最大时，的值最大， 当时，最大的值为5，此时，的最大值为； 当时，最大的值为9，此时，的最大值为； 当时，最大的值为4，此时，的最大值为； ∵， ∴满足条件的“十拿九稳数”的最大值为， 故答案为：，． 变式5-3 定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”． (1)若与是关于15的友好二次根式，求； (2)若与是关于4的友好二次根式，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握“友好二次根式”的定义，是解题的关键： （1）根据定义，得到，求解即可； （2）根据定义，得到：，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， ∴； （2）由题意： ∴， ∴． 类型六、二次根式中的规律探究问题 1. 逐项运算显结构 • 基础变形：先对前3-5项精确化简（分母有理化、配方等），迫使隐藏规律显现。 例：探究 → 有理化单项： 2. 结构类比寻通式 • 观察差异：对比化简后项的代数特征（如 ），猜想通项 或等比形式。 • 裂项规律：若相邻项含 ，考虑 。 3. 运算验证定结论 • 代入检验：取 验证通项是否匹配已化简项。 • 和式 telescoping（相消）：若为求和问题，代入通项展开观察中间项抵消情况。 例： （中间项全消）。 4. 归纳证明保严谨 • 数学归纳法：对猜想通项，验证 成立，假设 成立推导 成立。 关键点：规律常藏于有理化或配方后的差分结构（后项-前项），求和问题优先尝试裂项相消。 例6．嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． （1）根据前个的规律即可得出答案； （2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：等式④：； （2）解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为， 证明如下：等式左边右边； （3）解：∵（均为正整数）， ∴，， ∴ ． 变式6-1观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)观察以上规律，请写出第5个等式：______； (2)观察以上规律，请写出第个等式：______（为正整数）； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，分母有理数，二次根式的大小比较，根据已知等式得出规律是解题关键． （1）观察已知等式规律作答即可； （2）观察已知等式规律作答即可； （3）根据上述规律，得到两个数的倒数，然后通过比较两个倒数的大小，即可比较这两个数的大小． 【详解】（1）解：观察以上规律，第5个等式为：， 故答案为： （2）解：观察以上规律，第个等式为：， 故答案为：； （3）解：， ， ， ，即， ． 变式6-2嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． (2)观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 【答案】(1)；（答案不唯一） (2) (3)见解析 (4)①；②18 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法代入运算即可． 【详解】（1）解：根据材料提示可得，特例 4 为：， 故答案为：； （2）解：由上述计算可得，如果为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （3）解：， 等式左边等式右边； （4）①解： ． ② ， ， ， ． 变式6-3【阅读材料】 （材料一）细心观察图形，认真分析各式，总结其中蕴含的规律． ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）； （材料二）化简：． 解：． 【问题解决】利用你总结的规律，解答下面的问题： (1)填空： _________， _________； (2)求的值． 【答案】(1)5， (2) 【分析】本题考查了数学中的阅读能力，规律问题，还有二次根式的化简，分母有理化，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算． （1）根据题意找到规律，，即可得到答案； （2）根据题意将原式进行分母有理化进行求解即可． 【详解】（1）解：，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）； ……， 以此类推，可知，， ；， （负值舍去）； 故答案为：，； （2）解：， ． 一、解答题 1．计算： (1)若 ，求 的值． (2)已知 是整数，求正整数a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的求值，二次根式的性质，因式分解，以及解二元一次方程组： （1），利用完全平方公式，多项式乘以多项式的法则，推出的结果以，6个数字为一组循环出现，求解即可； （2）根据 是整数，设（为正整数），进而得到，推出，进行求解即可． 【详解】（1）解：令， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即：，， 同法可得：，，， ； ∴的结果以，6个数字为一组循环出现， ∵， ∴． （2）∵， 是整数， ∴设（为正整数）， ∴， ∴， ∵为正整数，为正整数， ∴均为整数，且， ∴， 解得：， 故． 2．若、、为正有理数，证明： (1)若为有理数，则、为有理数． (2)若为有理数，则、、为有理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的定义，完全平方公式的化简计算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设(为正有理数)，则，两边同时平方化简即可； （2）设，则，两边同时平方得到，则，故．后续同（1）求解． 【详解】（1）解：设(为正有理数) ∴ ∴    ∴，   ∴ ∴，为有理数． （2）解：设，则 ∴ ∴ ∴． 把看成（1）中的，看成（1）中的， 由（1）知为有理数，为有理数，为有理数 ∵ ∴为有理数  由（1）知、为有理数 ∴、、为有理数． 3．先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以， 问题： （1）填空：__________，____________﹔ （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________． （3）化简：（请写出化简过程） 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果； （3）将写成，4写成，就可以凑成完全平方的形式进行计算． 【详解】解：（1）； ； （2）； （3） ==． 【点睛】本题考查二次根式的计算和化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 4．已知m,n是两个连续的正整数，，，求证：是定值且为奇数． 【答案】见解析 【分析】设，用n将a表示出来，代入原式化简即可证明． 【详解】由题：， 原式 ∴代数式定值为1，是一个奇数． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式，和分解因式，题目较为新颖，难度较大，用n将a表示出来是本题的关键． 5．先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简． 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； （2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简   ①．   ②． 【答案】（1）④；；（2）①；② 【分析】（1）第④步出现了错误，==． （2）类比例题，将13和8分别拆分成两个二次根式的平方和，再用完全平方公式变形，计算求值即可． 【详解】解：（1）第④步出现了错误； = =． （2）① = = =． ② = = ． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及完全平方公式的应用，利用完全平方公式对二次根式进行化简是解题关键． 6．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式的学习中也有这种相辅相成的“对子”，如，它们的积是有理数，我们说这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 解决问题： (1)比较大小：________（用“”“”或“”填空）； (2)计算：； (3)设实数满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的应用，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键． （1）先将两边进行分母有理化后再进行比较大小即可； （2）先将其中的一项进行分母有理化后观察规律，再进行计算即可； （3）根据（1）和（2）得到的规律进行计算即可． 【详解】（1）解： ，，， ∴， ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ， ， ①，同理②， ∴①②得：， ， ． 7．化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， (1)若，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）先化简，再代入代数式计算即可； （）利用倒数的关系，先分别化简、，比较结果的大小，进而可比较与的大小； （）由题意可得每项可表示为，利用该规律拆项后计算即可求解； 本题考查了二次根式的化简及化简求值，二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴原式 ， ， ； （2）解：∵， ， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ∴原式 ， ． 8．比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 显然，所以． 仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题： (1)猜想：与的大小关系； (2)尝试计算：． 【答案】(1) (2)9 【分析】此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同． （1）根据阅读材料中的方法将两式化简，即可做出比较； （2）原式变形后，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：，． 显然， 所以． 所以 （2）解： 9．我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．课本中阅读材料告诉我们，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： (1)化简：________； (2)比较大小：________；（用“>”、“=”或“<”填空） (3)设有理数满足：，则________； (4)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键． （1）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解； （2）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解； （3）先利用有理化因式的定义进行化简，根据化简结果列一元二次方程组求解即可； （4）设，，根据有理化因式的定义计算出的值，根据的值得出的值，即是结果． 【详解】（1）解：的有理化因式是， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ， 而， ∴， ∵和都是大于0的数， ∴， 故答案为：． （3）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． （4）解：设，， 则， ∵， ∴，即． 10．我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”例如：，因为，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题． (1)判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”． ①与（   ）    ②与（   ）    ③与（   ） (2)已知关于x的整式，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值； (3)已知关于x的整式，若S，T互为“差值代数式”，且满足． ①求b，c，d的值； ②求代数式的最小值． 【答案】(1)①√    ②×    ③√ (2)或 (3)① ；②的最小值为 【分析】根据定义解答即可得解； 先由定义得出或，解方程即可得解； ①恒等变形得出，然后由新定义即可得解，②先将代数式变形成，然后通过配方利用非负数的性质得出，最后代入即可得解． 【详解】（1）∵， ∴①与互为“差值代数式”， ∵， ∴②与不互为“差值代数式”， ∵， ∴③与互为“差值代数式”， 故答案为：①√    ②×    ③√； （2）由题可知， ∴或， ∴或， 综上所述或； （3）①， ， ， ， ，       互为“差整值代数式”， ，                          ②， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，二次根式的加减运算，因式分解，分式的混合运算，利用平方根解方程，代数式的配方等知识点，熟练掌握其性质并能灵活对代数式进行恒等变形是解决此题的关键． 11．阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题． 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则 即，当且仅当时取等号，此时有最小值为 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解： 当且仅当 即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数 可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)4，8 (2)真分式，，4 (3)当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽面积长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8； 故答案为：4，8； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，的值为整数， ∴为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时，， ∴， 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$