5.3 实际问题与一元一次方程-【教材笔记】2025-2026学年新教材七年级上册数学课前预习笔记（人教版2024）

5.3实际问题与一元一次方程 资 新知解读 从前面的学习可以看出，方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具， 本节我们重点研究如何用一元一次方程解决实际问题， 例1某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母， ‘1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺 刚好配套的意思是指螺栓量与螺母 栓和螺母的工人各多少名？ 数量的比拾好为1：2 分析：每天生产的螺母数量是螺栓数量的2倍时，它们刚好配套， 解：设应安排x名工人生产螺栓，(22-x)名工人生 产螺母 如果设x名工人生 根据螺母数量应是螺栓数量的2倍，列得方程 产螺母，怎样列方程？ 本题属于配套 问题 2000(22-x)=2×1200x. 解方程，得 若m个A和n个B配成一套，了 哈的整丹 可得相等关系为m×B的数量=×A的数量 x=10. 0 进而 这类问题中配套 22-x=12 的物品之间具有一定 答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产 的数量关系，这可以 作为列方程的依据 螺母 )本题属于工程问题 例2整理一批图书，由1人整理需要40h完成.现计划由一部分人先整理 4h,然后增加2人与他们一起整理8h,完成这项工作.假设这些人的工作效率 相同，应先安排多少人进行整理？ 分析：如果把总工作量设为1，则人均效率（一个人1h完成的工作量）为 ,x人先整理4h完成的工作量为行，增加2人后再整理8h完成的工作量为 1 40 8x+2》,这两个工作量之和应等于总工作量· 40 0 解：设先安排x人整理4h 这类问题中常常 根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量，列 把总工作量看作1， 得方程 并利用“工作量=人 均效率×人数×时 4x,8(x+2) 4040 1 间”的关系考虑问题 第五章一元一次方程133 解方程，得 x=2. 答：应先安排2人进行整理 息归纳 用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 设未知数，列方程 实际问题 元一次方程 晚要检验解是否满足方程，义要 解方 检验解是否特合实际情况 实际问题 一元一次方程 的答案 检验 的解(x=m) 这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数、列方程、 解方程、检验所得结果、确定答案，正确分析问题中的相等关系是列方程的 基础. 练习 1.一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要 24天.如果由这两支工程队从两端同时施工，需要多少天可以铺好这条 管线？ 需要8天可以捕好这条管线 2.在一次劳动课上，有27名同学在甲处劳动，有19名同学在乙处劳动. 现在从其他班级另调20人去支援，使得在甲处的人数为在乙处人数的2 倍，应调往甲、乙两处各多少人？应调往甲处17人，调往乙处3人 3.一台仪器由1个A部件和3个B部件构成.用1m钢材可以做40个A 部件或240个B部件.现要用6m3钢材制作这种仪器，应用多少立方米 钢材做A部件，多少立方米钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？ 最多能制成多少台仪器？应用4m钢村楼A部件，2m钢材发B部件，才 能制作尽可能多的仪器：最多能制成160台仪器 有些实际问题中的数量关系比较隐蔽，需要仔细分析才能列出方程.下面我 们进一步探究几个这样的问题， 134 教材笔记数学七年级上册 Q探究1 销售中的盈亏 一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中 一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的 是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 少当利润值为正戴时是盈利，为负数时是亏损 分析：有同学可能认为，一件盈利25%，另一件亏 0 损25%，合起来是不盈不亏；实际上，是盈是亏要看这 可以先大体估计 盈亏，再通过准确计 家商店买进这两件衣服时共花了多少元.如果总售价大 算检验你的判断 于总进价就盈利，总售价小于总进价就亏损，相等就不 盈不亏 假设一件商品的进价是40元，如果卖出后盈利25%，那么商品利润是 40×25%元；如果卖出后亏损25%，那么商品利润是40×(-25%)元. 在本问题中，设盈利25%的那件衣服的进价是x元，它的商品利润就是 0.25x元.根据进价与利润的和等于售价，列得方程 商品销售问题中的几个相等关系 (1)售价=标价×打折装。 x+0.25x=60. 10 (2)利润=售价-进价： 解得 (3）利润=进价×利润率 x=48. （4)利到丰-盟 ×100% 类似地，可以设另一件衣服的进价为y元，它的商品利润是-0.25y元，列 得方程 y-0.25y=60 解得 y=80 两件衣服的总进价是48+80=128（元），而两件衣服的总售价是 60+60=120(元)，总售价小于总进价，由此可知卖这两件衣服共亏损8元 列、解方程后得出的结论与你先前的估计一致吗？通过对本题的探究，你对 方程在实际问题中的应用有什么新的认识？ 第五章一元一次方程 135 练习 1.某商店有两种书包.每个小书包比大书包的进价少10元，而它们的售后 利润额相同，其中，每个小书包的利润率为30%，每个大书包的利润率为 20%.试求两种书包的进价.小书包的进价为20元，大书包的进价为30元 2.一件商品按成本价提高20%后标价，再打八折销售，售价为144元.售出 这件商品是盈利还是亏损？亏损 Q探究2 球赛积分表问题 表5.3-1某次篮球联赛积分 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄腾 14 21 远大 14 > 7 21 卫星 14 10 18 钢铁 14 0 14 14 (1)胜一场和负一场各积多少分？ (2)用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系. (3)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ )铜铁队14场全负，总积分为14分 分析：（1)观察表5.3-1，从最下面一行数据可以看出，负一场积1分 设胜一场积x分，由表5.3-1中其他任何一行可以列方程，求出x的值. 例如，由第一行得方程 10x+1×4=24. 解得 x=2 136 教材笔记数学七年级上册 .…)如用第三行验证：9×2+5×1=23 用表5.3-1中其他行可以验证，得出结论：胜一场积2分，负一场积1分. (2)若一支球队胜m场，则负(14-m)场，胜场积分为2m,负场积分为 14-m,总积分为 2m+(14-m), 即 m+14. (3)设一支球队胜了场，则负了（14-y)场.若这支球队的胜场总积分等 于负场总积分，则得方程 比赛积分问题中的基木等量关系 2y=14-. (1)比赛总场鬟=胜场裁+负场 裁十平场数： 解得 (2)比赛总积分=胜场总积分+ 14 负场总积分+平场总积分 y= 想一想，y表示什么量？它可以不取整数吗？由此 0 你能得出什么结论？ 这个问题说明： 利用方程不仅能求具 解决实际问题时，要考虑得到的结果是不是符合实 体数值，而且可以进 际.因为y(所胜的场数)的值必须是整数，所以y=14 行推理判断。 不符合实际，由此可以判定没有哪支球队的胜场总积分等于负场总积分 上面的问题说明，用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正 确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义， )易酷：不要忽略验证是否符合问题的实你意义←“ 练习 1.在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.某队9 场比赛保持不败， (1)如果这支球队9场比赛得到的积分是21分，你能算出这9场比赛中 的胜场数和平场数吗？胜6场，平3场 (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？不能 2.下表是某校七年级至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中 各年级同一兴趣小组每次活动时间相同. 第五章一元一次方程137 年级 课外小组活动总时间h 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 请将九年级课外兴趣小组的活动次数填入上表 九年敏文艺小组活动次最为2，科技小组活动次裁也为2.心 Q探究3 本题属于方案选择问题《 不同能效空调的综合费用比较 购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况，某人 耗能低 打算从当年生产的两款空调中选购一台，表5.3-2是这两款空 1 调的部分基本信息.如果电价是0.5元/(kW·h),请你分析他 购买、使用哪款空调综合费用较低 表5.3-2两款空调的部分基本信息 平均每年 匹数 能效等级 售价/元 耗能高 耗电量/(kW·h) 中国能效标识 1.5 1级 3000 640 1.5 3级 2600 800 分析：在这个问题中， 综合费用=空调的售价+电费. 选定一种空调后，售价是确定的，电费则与使用的时间有关 设空调的使用年数是1，则1级能效空调的综合费用（单位：元）是 3000+0.5×6401, 即 空调售价 1年的电黄 3000+320t. 3级能效空调的综合费用（单位：元）是 -2600+0.5×800t, 138 教材笔记数学七年级上册 即 2600+400t 先来看t取什么值时，两款空调的综合费用相等， 列方程 3000+320t=2600+400t, 解得 t=5. 为了比较两款空调的综合费用，我们把表示3级能效空调的综合费用的式子 2600+400t变形为1级能效空调的综合费用与另外一个式子的和，即 (3000+320)+(80t-400), 2600+4001-(3000+320 .2=2600+400-3000-3201 也就是 1城能效空调综合费用 =801-400 -3000+320t+80(t-5) 这样，当t<5时，80(t-5)是负数，这表明3级能效空调的综合费用较低；当t>5 时，80(t-5)是正数，这表明1级能效空调的综合费用较低」 由此可见，同样是1.5匹的空调，1级能效空调虽 。 然售价高，但由于比较省电，使用年份长（超过5年） 通常，1级能效 时综合费用反而低.根据相关行业标准，空调的安全使 空调既节能又省钱！ 用年限是10年（从生产日期计起），因此购买、使用1 级能效空调更划算。 练习 1.在甲复印店用A4纸复印文件，复印页数不超过20时，每页收费0.12元： 复印页数超过20时，超过部分每页收费降为0.09元.在乙复印店用A4 纸复印文件，不论复印多少页，每页都收费01元.复印页数为多少时， 两店的收费相同？复印页戴为60时，西店的收费相同 2.现有两种地铁机场线计次月票：第一种售价200元，每月包含10次；第 二种售价300元，每月包含20次.两种月票超出每月包含次数后，都需 要另外购票，票价为25元/次.某人每月乘坐地铁机场线超过10次，他 购买哪种月票比较节省费用？ 设每月乘车次数为x(x>10),当10r<14时 购买第一种月票比较节省费用：当=14时 两种月票费用相等：当心14时，购买第二 种月票比较节省费用 第五章一元一次方程139 习题5.3d 1.略 复习巩固 1.结合本节内容体会例2后归纳的框图 2.用10m3木材制作桌 面，用2m3木材制作 2.制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1m木材可 桌腿，才能制作尽可 制作20个桌面，或者制作400条桌腿.现有12m木 能多的桌子 材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？ 3.某车间每天能制作500个甲种零件，或250个乙种 3.甲种零件应制作10 零件（同一天内不能同时制作这两种零件），甲 天，乙种零件应制作 乙两种零件各1个配成1套产品.现要用30天制 20天 作最多的成套产品，甲、乙两种零件各应制作多少 天？ 4一共需要3 h. 4.某项工作由甲、乙两人单独做分别需要7.5h和5h. 如果让甲、乙两人一起工作1h,再由乙单独完成 剩余部分，一共需要多长时间？ 5.应先安排2人整理2h, 5.整理一批数据，由1人整理需80h完成.现在计 再增加5人整理8h 划先由一些人整理2h,再增加5人整理8h,完成 这项工作的子. 怎样安排参与整理数据的具体人数？ 6.每箱装12个产品 综合运用 7.(1）设时间为xmin, 6.用A型和B型机器生产同样的产品，已知5台A 则温度为(3x+10)℃ 型机器一天生产的产品装满8箱后还剩4个，7台 当=21时，温度为 B型机器一天生产的产品装满11箱后还剩1个， 3×21+10=73(℃). 每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品. (2)设温度为y℃。 求每箱装多少个产品 剩时间为y-10 min 7.下表中记录了一次实验中时间和温度的数据，假设 3 温度的变化是均匀的， 当=34时，时间为 时间min 0 5 10 15 20 25 34-10 -8(min). 温度/℃ 10 25 40 55 70 85 (1)实验进行21min时的温度是多少？ (2)实验进行多长时间的温度是34℃？ 8.某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中 装2块大月饼和4块小月饼.制作1块大月饼要用 0.05kg面粉，制作1块小月饼要用0.02kg面粉. 8.用2500kg面粉制作 现有面粉4500kg,应各用多少千克面粉制作两种 大月林，用2000kg 月饼，才能生产最多的盒装月饼？ 面粉制作小月饼 9.李明和刘伟分别从A,B两地同时出发，李明骑自 行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出 9.刻伟每小时行进4km 发24min后两人相遇.相遇时李明比刘伟多行进 李明每小时行进16km 4.8km,相遇后6min李明到达B地.两人每小时 相遇后经过96min刻刘 分别行进多少千米？相遇后经过多长时间刘伟到达 伟到达A地， A地？ 教材笔记数学七年级上册 10.销售量要比按原价 10.商店对某商品降价20%促销，为了使销售总金额 销售时增加25%. 不变，销售量要比按原价销售时增加百分之几？ 11.甲组的4名工人3月份完成的总工作量比此月人 均定额的4倍多20件，乙组的5名工人3月份 1山.设此月人均定额是 完成的总工作量比此月人均定额的6倍少20件」 x件，那么甲组工人 (1)如果两组工人此月人均实际完成的工作量相 实你人均工作量为 等，那么此月人均定额是多少件？ 4x+20件，乙组1上 (2)如果甲组工人此月人均实际完成的工作量比乙 4 组的多2件，那么此月人均定额是多少件？ 人实际人均工作量为 (3)如果甲组工人此月人均实际完成的工作量比乙 6x-20件 5 组的少2件，那么此月人均定额是多少件？ (1)根据题意，得 拓广探索 4x+206x-20 12.将探究2的积分表换为你们学校某次足球联赛 4 (或其他联赛)积分表，请你根据积分表提出一 解得=45 些数学问题并加以解决 (2）根据题意，得 13.（古代问题)希腊数学家丢番图的墓碑上记载着： 4x+206x-20 +2 “他生命的六分之一是幸福的童年： 4 5 再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的 解得x=35. 胡须 (3)根据题意，得 又度过了一生的七分之一， 4x+206x-20 -2 他结了婚： 4 再过五年，他有了儿子，感 解得=55 到很幸福； 可是儿子只活了他父亲全部 年龄的一半； 12.略 儿子死后，他在极度悲痛中 度过了四年，也与世长辞了” 丢番图(Diophantus, 根据以上信息，请你算出： 活动于250年前后) 13.(1)丢番因的寿命为 (1)丢番图的寿命； 84岁 (2)丢番图开始当爸爸时的年龄； (2)丢香图开始当苍 (3)儿子死时丢番图的年龄 爸时的年岭为38岁 14.下面是某购物平台的两种图书促销方式， (3)儿子死时丢番因 方式一：满100元减50元 的年龄为80岁. 方式二：单件打六折 考虑下列问题： (1)设某本书的原价为t元，列表说明当t在不同 14.(1)略.(2)当 范围内取值时，按两种方式购买分别需要支付的 100≤1<125时，选择 金额 方式一省我 (2)观察你的列表，你能从中发现如何根据图书 当1K100或D125时 的原价选择省钱的购买方式吗？通过计算验证你 选择方式二省线 的想法 当仁125时，两种方 式的费用相同 第五章 一元一次方程 141 ★阅读与思考头 )体现了“模型观念”的核心素养 初步认识数学模型 什么是模型呢？模型可以是按照一定比例缩小的实物，如建筑模型（图 1)、船舶模型；模型也可以是从实际问题抽象出的数学式子或计算机程序 模型有物理模型、数学模型、生物模型（图2)、计算机仿真模型（图3）等，建 立模型通常是为了用简单的方法去描述现实，即通过研究简化了的模型，来 把握现实世界的本质或规律.具体到数学模型，就是要抽象出现实世界中的 事物或因素之间的关系，然后用数学表达式（数字、字母和数学符号构成的 等式和不等式等)入、表格、图象、框图或计算机程序等来表示. 图1 图2 图3 方程就是一类常见的重要数学模型.从初等数学中简单的代数方程（如 一元一次方程)，到高等数学中复杂的微分方程、积分方程等，无论方程的类 型如何变化，方程模型本质上表示的都是一种相等关系，即方程两边的式子 表达的是对同一个事物从不同角度或不同方面的刻画.因此，利用方程模型 解决现实问题时，关键是要分析并找到现实问题中蕴含的相等关系. 我们已经知道如何利用一元一次方程解决实际问题.这个过程实际上也 反映了建立数学模型解决实际问题的基本过程：首先构造数学模型，这需要 对实际问题进行分析，明确其中蕴含的关系或规律，可能还要作一些合理的 假设，将实际问题抽象成数学问题 (数学模型)；然后求解数学模型， 实际问题 数学模型 数学问题) 即解决数学问题本身；最后用数学 结论解释并解决实际问题，这时需 要结合实际问题的意义，来检验数 实际问题的解 求解数学模型 学模型的解，有时候还需要适当改 数学问题的解) 进数学模型，最终得到实际问题的 答案. 142 教材笔记数学七年级上册