5.2 解一元一次方程-【教材笔记】2025-2026学年新教材七年级上册数学课前预习笔记（人教版2024）

5.2解一元一次方程 新知解读 我们已经知道，直接利用等式的性质可以解简单的方程.本节我们将结合方 程的具体特点，继续研究如何解一元一次方程。 问题1某校三年共购买计算机140台，去年购买的数量是前年的2倍，今 年购买的数量又是去年的2倍.前年这所学校购买了多少台计算机？ 设前年购买计算机x台，则去年购买计算机2x台，今年购买计算机4x台. 根据“三年共购买计算机140台”，可以得到如下相等关系： 前年购买量+去年购买量+今年购买量=140 0 列得方程 “各部分量的和= x+2x+4x=140. 总量”是一个基本的相 把含有x的项合并同类项，得 等关系 7x=140. o 系数化为1，得 请你自己检验x= 依据是等式的性质2x=20, 20是方程x+2x+4x= 因此，前年这所学校购买了20台计算机. 140的解。 ?思考 》为运用等式的性质2求方程的解创造条件 上面解方程中“合并同类项”起了什么作用？ 例1解下列方程： (1)2x-5x=6-8 0 根据等式的性质解 (2)7x-2.5x+3x-1.5x=-15×4-6×3. 一元一次方程时，得到 的x=m就是方程的解 解：(1)合并同类项，得 (想一想为什么).今后， x=-2 检验环节通常可以省略. 2 系数化为1，得 x=4. (2)合并同类项，得 6x=-78. 系数化为1，得 x=-13 120 教材笔记数学七年级上册 例2有一列数1，-3,9，-27,81，-243，…，其中第n个数是(-3)- (n>1),如果这列数中某三个相邻数的和是-1701，那么这三个数各是多少？ 分析：从符号和绝对值两方面观察，可以发现这列数的排列规律，后面的数 是它前面的数与-3的乘积. 解：设所求三个数中的第1个数是x,则后两个数分别是-3x,9x. 由三个数的和是-1701，得 小知道三个羲中的米个数， x-3x+9x=-1701 就可以求出另两个戴 合并同类项，得 7x=-1701. 系数化为1，得 x=-243. 所以 -3x=729, 9x=-2187. 答：这三个数是-243,729，-2187. 练习 (1)x=3 1.解下列方程： 7 (2)x= (2)+=7 2 (1)5x-2x=9; (3)x=-4 (4)x=1. （3)-3x+0.5x=10; (4)7x-4.5x=2.5×3-5. 2.某工厂的产值连续增长，2022年是2021年的1.5倍，2023年是2022年 的2倍，这三年的总产值为550万元.2021年的产值是多少万元？100万元 3.某洗衣机厂今年计划生产I型、Ⅱ型、Ⅲ型洗衣机共25500台，其中I 型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量之比为1：2：14.洗衣机厂计划生产这 三种洗衣机各多少台？生产1型、Ⅱ型、Ⅲ型洗衣机各1500合，3000合 21000台 第五章 一元一次方程 121 问题2把一批图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若 每人分4本，则缺25本.这个班有多少名学生？ 这批书的总数有几 设这个班有x名学生， 种表示方法？它们之间 每人分3本，共分出3x本，加上剩余的20本，这 有什么关系？ 批书共(3x+20)本 有2种方法表示 它们相等 每人分4本，需要4x本，减去缺的25本，这批书 o 共(4x-25)本. “表示同一个量的 这批书的总数是一个定值，表示它的两个式子应相 两个不同的式子相等”， 等，根据这一相等关系列得方程 是一个基本的相等关系 3x+20=4x-25. ?思考 方程3x+20=4x-25的两边都有含x的项(3x与4x)和不含字母的常数项 (20与-25)，怎样才能把它转化为x=m(常数)的形式呢？ 为了使方程的右边没有含x的项，等式两边减4x,利用等式的性质1，得 3x+20-4x=-25. 为了使方程的左边没有常数项，等式两边减20，利用等式的性质1，得 3x-4x=-25-20. 该项系数的特号发 把上面的方程与原方程作比较，这个变形相当于 生放变 3x+20:=4x-25 把某项从等式的一 边移到另一边时，这项 有什么变化？ 3x-4x=-25-20 即把原方程左边的20变为-20移到右边，把右边的4x变为-4x移到左边： 像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项. 下面，我们继续解这个方程， 对方程3x-4x=-25-20合并同类项，得 -x=-45. 系数化为1，得 x=45. 由上可知，这个班有45名学生. 122 教材笔记数学七年级上册 ?思考 )通过移项，将含有未知数的项与常 项分别移到方程的两边，使方程 上面解方程中“移项”起了什么作用？ 更接近于a=ba中0)的形式 例3解下列方程： 移项解一元一次方程的步骤：(1)移项： (2)合并同类项 (1)3x+7=32-2x; (2)x-3= (3)系数化为1 解：（1)移项，得 (2)移项，得 3x+2x=32-7. 合并同类项，得 2x=1+3. 5x=25. 合并同类项，得 系数化为1，得 、1 -。x=4. x=5. 系数化为1，得 x=-8. 例4某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最 大量还多200t;如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100t.新、旧 工艺的废水排量之比为2：5，采用两种工艺的废水排量各是多少吨？ 分析：因为采用新、旧工艺的废水排量之比为2：5，所以可设它们分别为 2xt和5xt,再根据它们与环保限制的最大量之间的关系列方程. 解：设采用新、旧工艺的废水排量分别为2xt和5xt. 根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得 5x-200=2x+100. 移项，得 等式两边代表哪个 5x-2x=100+200. 数量？ 合并同类项，得 3x=300. 左边表示旧工艺时的废水排量 右边表示新工艺时的废水排量 系数化为1，得 x=100. 所以 2x=200,5x=500 答：采用新、旧工艺的废水排量分别为200t和500t. 第五章 一元一次方程 123 溯源一 约820年，阿拉伯数学家花拉子米著有《代数学》（又称《还原与对消计 算概要》)，其中，“还原”指的是“移项”，“对消”隐含着移项后合并同类 项.我国古代数学著作《九章算术》的“方程”章，更早使用了“对消”和 “还原”的方法 练习 1.解下列方程： (1)3x=4x+3; (2)6x-8=4x; (1)=-3 (2)=4 (4-6= (3)=1 (4)y=-24 (3)6y-7=4y-5; 2.解根据本章引言中的问题列出的方程1.2x+1=0.8x+3.x=5 3.李明出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是李明年龄的3倍，求现在李明 的年龄.14岁 4.王芳和张华同时采摘樱桃，王芳平均每小时采摘8kg,张华平均每小时 采摘7kg.采摘结束后王芳从她采摘的樱桃中取出025kg给了张华，这 时两人的樱桃一样多.她们采摘用了多长时间？0.5h 问题3某工厂采取节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减 少2000kW·h(千瓦时)，全年的用电量是150000kW·h.这个工厂去年上半 年平均每月的用电量是多少？ 设去年上半年平均每月的用电量是xkW·h,则下半 台功率为1kW 年平均每月的用电量是(x-2000)kW·h;上半年的用电 的电器1h的用电量 量是6xkW·h,下半年的用电量是6x-2000)kW·h 是1kWh. 根据全年的用电量是150000kW·h,列得方程 6x+6(x-2000)=150000 方程左边去括号，得 0 当方程中有带括 6x+6x-12000=150000. 号的式子时，去括号 移项，得 是常用的化简步骤。 124 教材笔记数学七年级上册 6x+6x=150000+12000. 合并同类项，得 12x=162000. 系数化为1，得 x=13500. 由上可知，这个工厂去年上半年平均每月的用电量是13500kW·h. 例5解下列方程： (1)2x-(x+10)=5x+2x-1): (2)3x-7x-1)=3-2(x+3). 解：（1)去括号，得 (2)去括号，得 2x-x-10=5x+2x-2. 3x-7x+7=3-2x-6. 移项，得 移项，得 2x-x-5x-2x=-2+10. 3x-7x+2x=3-6-7. 合并同类项，得 合并同类项，得 -6x=8. 2x=-10 系数化为1，得 系数化为1，得 x=- 4 x=5. 例6一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2；从乙码头返回甲码头 逆水而行，用了2.5h.已知水流的速度是3km/h,求船在静水中的平均速度. 分析：一般情况下，可以认为这艘船往返的路程相等，根据这个相等关系， 可以列方程求出船在静水中的平均速度， 逆水速度=静水速度一水流速度(《 解：设船在静水中的平均速度为xkm/h,则顺水速度为(x+3)km/h,逆水速 度为(x-3)km/h )顺水速度=静水速度+水流速度 根据往返路程相等，列得方程 2(x+3)=2.5(x-3)】 去括号，得 2x+6=2.5x-7.5. 移项及合并同类项，得 -0.5x=-13.5. 系数化为1，得 x=27. 答：船在静水中的平均速度为27km/h. 第五章一元一次方程 125 练习 1.解下列方程： (1)x=2 (1)2x+3)=5x; (2)4x+3(2x-3)=12-(x+4); (2)=1 11 (3)x=6. (3)62x-4+2x=7-(号x-月 (4)x=0. (4)2-3x+1)=1-2(1+0.5x. 2.一个长方形的长减少2cm,宽增加2cm后，面积保持 不变.已知这个长方形的长是6cm,求它的宽.4cm 3.编织大、小两种中国结共6个，总计用绳20m.已知 编织1个大号中国结需用绳4m,编织1个小号中国 结需用绳3m.问这两种中国结各编织了多少个」 大号中国结编织了2个，小号中国结编织了4个 问题4如图5.2-1，翠湖在青山、绿水两地之间，距青山50km,距绿 水70km.某天，一辆汽车匀速行驶，途经王家庄、青山、绿水三地的时间如表 5.2-1所示.王家庄距翠湖的路程有多远？ xkm ←50km -70km 王家庄 青山 翠湖 绿水 图5.2-1 表5.2-1 地名 王家庄 青山 绿水 时间 10:00 13:00 15:00 设王家庄距翠湖的路程为xkm,则王家庄距青山的路程为(x-50)km,王家 庄距绿水的路程为(x+70)km.由表5.2-1可知，汽车从 0 王家庄到青山的行驶时间为3h,从王家庄到绿水的行 你还能列得其他 驶时间为5h. 方程吗？ 根据汽车在各段的行驶速度相等，列得方程 ￥x-5050+70 x-50x+70 3 3 5 这个方程中未知数的系数不是整数，如果能化去分母，把未知数的系数化成整数， 126 教材笔记数学七年级上册 就可以使解方程中的计算更简便些 我们知道，等式两边乘同一个数，结果仍相等.这个方程中各分母的最小公 倍数是15，方程两边都乘15，得 5(x-50)=3(x+70). 去括号，得 5x-250=3x+210. 移项，得 5x-3x=210+250. 合并同类项，得 2x=460. 系数化为1，得 x=230. 因此，王家庄距翠湖的路程为230km. 为了更全面地研究问题，我们再以方程3x+1-2=3x-2-2x+3为例，以 2 10 5 框图的形式展示解这类一元一次方程的步骤 3x+1-2= 3x-22x+3 。 2 10 5 方程两边的每一 去分母→依据是等式的性质2 项都要乘分母的最小 公倍数10. 5(3x+1)-10×2=(3x-2)-2(2x+3) 去括号→依据是分配率 15x+5-20=3x-2-4x-6 移项→依据是等式的性质1 你能说出每个步骤 的依据吗？ 15x-3x+4x=-2-6-5+20 合并同类项心依据是合并同美项的法则 16x=7 系数化为1→依据是等式的性质2 7 X= 16 第五章 一元一次方程 127 息归纳 解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、 系数化为1等，通过这些步骤，可以使以x为未知数的一元一次方程逐步转化 为x=m的形式.这个过程主要依据等式的性质和运算律等， 例门解下列方程：)注意：去分母时不要漏乘不会分手的项 1)1=2*2 4 (2)3x+1=3-2x-1 2 3 解：(1)去分母（方程两边乘4），得 2(x+1)-4=8+(2-x) © 去括号，得 对于2x+2-4=8+ 2x+2-4=8+2-x 2-x,也可以先合并同 移项，得 类项，再移项」 2x+x=8+2-2+4. 合并同类项，得 3x=12. 系数化为1，得 x=4. (2)去分母(（方程两边乘6)，得 18x+3(x-1)=18-2(2x-1). 去括号，得 18x+3x-3=18-4x+2. 移项，得 18x+3x+4x=18+2+3. 合并同类项，得 25x=23. 系数化为1，得 23 25 128 教材笔记数学七年级上册 练习 (1)=21.(2)x6.(3)x=-7 9 1.解下列方程： (4)x=- 28 (1)19 21 x= (2)x+1 100100 (x-2); -2= 2 (3)5x-1=3x+1_2-x 2x-12x+1 4 2 3 (4) 3x+2-1= 2 4 5 2.伦敦的不列颠博物馆保存着一件极其珍贵的文 物—莱茵德纸草书。这是古埃及人用象形文字 写在一种用纸莎草压制成的草片上的著作.书中 记载了许多数学问题，其中有一道著名的问题： 一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分 之一，它的全部，加起来总共是33.这个数是多 少？请你用方程解决这个问题. 1386 97 3.一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公 路同方向匀速行驶，客车的行驶速度是70km/h, 卡车的行驶速度是60kmh,客车比卡车早1h经过B地.求A,B两地 相距的路程. 420km 习题5.20 复习巩固 1.解下列方程： 1.(1)x=-4. (2)y= (1)x+3x=-16; (2)1y-2.5y-7.5y=5; 6 (3)3x+5=4x+1; (4)9-3y=5y+5. (3)x=4 (4)y=2 2.解下列方程： (1)5c+(2-4c)=0; （2)25b-(6-5)=29; 2.(1)c=-2. (2)b=1. （3)7x+2(3x-3)=20; (4)8y-3(3y+2)=6. (3)x-2. (4)=-12 3.解下列方程： (1)3x+5=2x-1. 3； (2)-3-3x+4」 17 3.(1)x= -515 5 2 5 (3)3y-1-1=5y-7 (2)x= 6 6 4 (3)y=-1. (4)5y+4+y-1=2-5y-5 （4)y= 4 3 4 12 第五章 一元一次方程 129