5.1 方程-【教材笔记】2025-2026学年新教材七年级上册数学课前预习笔记（人教版2024）

第五章 一元一次方程 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1km 的一号营地出发，每小时行进1.2km；乙队从距大本营3km的二号营地出发， 每小时行进0.8km.多长时间后，甲队在途中追上乙队？这是方程的根本特征 你能用小学学过的算术方法解决这个问题吗？本章我们将学习一种新的方 法，通过列方程来解决这个问题.方程是含有未知数的等式，它是应用广泛的数 学工具」解决许多实际问题时，人们经常用字母表示其中的未知数，通过分析问 题中的数量关系，列出方程表示相等关系，然后解方程求出未知数，从而获得实 际问题的答案 怎样根据问题中的数量关系列方程？怎样解方程？这是本章研究的主要 问题。 通过解决本章中丰富多彩的问题，你将初步感受方程的作用，并学习利用 元一次方程解决问题的方法， . 5.1方程 资 新知解读 在小学，我们利用算术方法解决了很多实际问题.接下来，我们将引入方程 解决一些实际问题.首先来认识一下什么是方程 5.1.1从算式到方程 先来看本章引言中的问题，请你先试着用列算式的方法解决 下面，我们引人一种新的方法来解决这个问题.在这个问题中，甲、乙两 队的行进速度是已知的，行进的时间和路程是未知的 如果设两队行进的时间为xh,根据“路程=速度×时 想一想，甲队追上乙 间”，甲队和乙队的行进路程可以分别表示为1.2xkm 队时，他们距大本营的路 和0.8xkm,从而甲、乙两队距大本营的路程可以分别 程之间有什么关系？相等 表示为(1.2x+1)km和(0.8x+3)km. 甲队追上乙队时，他们处于同一位置，此时 甲队距大本营的路程=乙队距大本营的路程， 因此 1.2x+1=0.8x+3. 这样，我们就根据实际问题中的相等关系，得到了一个含有未知数x的等式.通 过本章的学习，我们将能够从这个含有未知数x的等式中解出未知数的值x=5, 从而求出5h后甲队追上乙队 再来看两个实际问题 问题1用买3个大水杯的钱，可以买4个小水杯，大水杯的单价比小水杯 的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？ 如果设大水杯的单价为x元，那么小水杯的单价为(x-5)元.因为用买3个 大水杯的钱，可以买4个小水杯，所以 )等号左边表示买3个大水杯花的 线戴，等号右边表示买4个小水 3x=4(x-5)·杯花的我表 由这个含有未知数x的等式可以求出大水杯的单价，进而可以求出小水杯的 单价 问题2一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其面积是 4000mm2,长和宽的比为8：5即宽是长的 这枚纪念币的长和宽分别是多 少毫米？ 第五章一元一次方程 111 如果设这枚纪念币的长为xmm,则纪念币的宽可以表示为三xmm, 面积可 8 以表示为x子mm.已知纪念币的面积为40o0mm2,所以 ⊙ x2=4000 在我国古代，一般 用“天元”“地元”“人 由这个含有未知数x的等式可以求出这枚纪念币的 元”“物元”等表示未 知数.17世纪，法国 长，进而可以求出纪念币的宽 数学家笛卡儿最早使 像这样，先设出字母表示未知数，然后根据问题 用x,y,z等字母表示 中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等 未知数，这种做法一 直沿用至今」 式叫作方程（equation). 方程必须满足两个秦件：(1)是等式 (2)化筒后含有未知戴，二者缺一不可 溯源d 汉语中“方程”一词源于讨论含多个未知数的等式 的问题，我国古代数学著作《九章算术》中有专门的“方 程”章，其中以一些实际应用问题为例，给出了由几个一 次方程组成的方程组的解法，称为“方程术”，19世纪50 年代，清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将 equation（指含有未知数的等式)一词译为“方程”. 李善兰(1811一1882) 用算术方法解题时，列出的算式表示用算术方法解题的计算过程，其中只含 有已知数，不含未知数；而方程是根据问题中的相等关系列出的等式，其中既含 有已知数，也含有用字母表示的未知数，这为解决许多问题带来了方便.通过今 后的学习，你会逐步认识到：从算式到方程是数学的一大进步 例根据下列问题，设未知数并列出方程： (1)某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人， 这所学校有多少名学生？ (2)如图5.1-1，一块正方形绿地沿某一方向加宽 5m 5m,扩大后的绿地面积是500m2,求正方形绿地的 边长 图5.1-1 112 教材笔记数学七年级上册 解：(1)设这所学校的学生数为x,那么女生数为0.52x,男生数为(1-0.52x 根据“女生比男生多80人”，列得方程 0.52x-(1-0.52)x=80 (2)设正方形绿地的边长为xm,那么扩大后的绿地 0 你能解释这些方程 面积为(x2+5x)m2.根据“扩大后的绿地面积是500m2”,的左边、右边各表示什 列得方程 么意思吗？由此体会如 何根据相等关系列方程 x2+5x=500. 总归纳 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学 解决实际问题的一种方法.这个过程可以表示如下： 实际问题 设未知数，用含有未知数的等式表示相等关系 方程 练习 改买甲种铅笔x支，则 根据下列问题，设未知数并列出方程： 1.4x+1.8(15-x)=23. 1.甲种铅笔每支1.4元，乙种铅笔每支1.8元.用23元钱买这两种铅笔， 一共买了15支，两种铅笔各买了多少支？ 2.有两条电线，第一条长90m,第二条长40m.要从第 一条截下一段接在第二条上，使两条电线长度相等.求 截下的那段电线的长度（两条电线接头部分的长度忽略 不计).设裁下xm,则90-=40+x 3.某圆环形状的工件如图所示，它的面积是200cm2,外 (第3题) 沿大圆的半径是10cm,内沿小圆的半径是多少厘米？ 3设内沿小圆的半径为xcm,则π×10-πx2-200 列方程是解决实际问题的重要方法，要想得到实际问题的解，还需要求出方 程中未知数的值 对于前面根据本章引言中的问题列出的方程1.2x+1=0.8x+3,可以发现，当 x=5时，左边=1.2×5+1=7，右边=0.8×5+3=7，这时方程左、右两边的值 第五章一元一次方程113 相等。方程的解是裁值，能使方程左、右两边的值相等《← 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解(solution). 例如，x=5就是方程1.2x+1=0.8x+3的解.求方程的解的过程，叫作解方程 )不要漏掉未知戴 解方程是过程 例2(1)x=2,x=3是方程2x=3的解吗？ (2)x=10,x=20是方程3x=4(x-5)的解吗？ 解：(1)当x=2时，方程2x=3的左边=2×2=4，右边=3，方程左、右两 边的值不相等，所以x=2不是方程2x=3的解； 当=时，方程2x-3的左边=2×号-3，右边=3，方程左、右两边的值相 等，所以x=了是方程2x=3的解。 (2)当x=10时，方程3x=4(x-5)的左边=3×10=30，右边=4×(10- 5)=20,方程左、右两边的值不相等，所以x=10不是方程3x=4x-5)的解. 当x=20时，方程3x=4x-5)的左边=3×20=60，右边=4×(20-5)=60，方 程左、右两边的值相等，所以x=20是方程3x=4(x-5)的解。 ?思考 -60不是方程52-4000的解 x=60是方程日2=40的解吗？x=80呢7 x80是方粒524000的解 8 方程有多种类型，本章我们先来研究一类最简单的方程 ?思考 观察方程 1.2x+1=0.8x+3,3x=4x-5),0.52x-(1-0.52x=80, 它们有什么共同特征？ >一元一次方程的三个特征6 一般地，如果方程中只含有一个未知数（元)，且含有未知数的式子都是整 式，未知数的次数都是l,这样的方程叫作一元一次方程(linear equation with one unknown ) 114教材笔记数学七年级上册 溯源。 用“元”表示未知数，源于我国宋元时期的“天元术”.天元术指的是用 “天元”表示未知数，进而列出方程.现存的使用天元术的最早著作是这一时 期我国数学家李冶（1192一1279)于1248年所著的《测圆海镜》，书中的“立 天元一”相当于现在的“设未知数x”,后来在研究涉及多个未知数的问题时， 又引入“地元”“人元”“物元”等表示多个未知数 练习 →x=2不是孩方程的解 1.判断x=2和x=4是不是方程2x-3=5的解 x=4是该方程的解 2.下列等式中哪些是方程？哪些是一元一次方程？ (1)2+3=3+2; (2)8y-9=9-y; (3)x2+2x+1=4. (2)(3)是方程.(2)是一元一次方程 5.1.2等式的性质 像2x=3,x+1=3这样的简单方程，我们可以直接看出方程的解，但是对于 比较复杂的方程，仅靠观察来解方程是困难的.因此，还要研究怎样解方程.方 程是含有未知数的等式，为了研究解方程，先来看看等式有什么性质 像m+n=n+m,x+2x=3x,3×3+1=5×2,3x+1=5y这样的式子，都是等 式.我们可以用a=b表示一般的等式 首先，给出关于等式的两个基本事实 等式两边可以交换.如果a=b,那么b=a. 相等关系可以传递.如果a=b,b=c,那么a=c. ?思考 在小学，我们已经知道：等式两边同时加（或减）同一个正数，同时乘 同一个正数，或同时除以同一个不为0的正数，结果仍相等，引入负数后， 这些性质还成立吗？你可以用一些具体的数试一试， 一般地，等式有以下性质： 等式的性质1等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 如果a=b,那么a±c=b±c 第五章 一元一次方程 115 等式的性质2等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 如果a=b,那么ac=bc; 如果a=b,c≠0，那么a=b 例3根据等式的性质填空，并说明依据： (1)如果2x=5-x,那么2x+ =5; (2)如果m+2n=5+2n,那么m= (3)如果x=-4,那么 ·x=28; 4如果3m=4机，那么)m=·n 解：（1)2x+x=5；根据等式的性质1，等式两边加x,结果仍相等. (2)m=5;根据等式的性质1，等式两边减2n,结果仍相等. (3)-7·x=28；根据等式的性质2，等式两边乘-7，结果仍相等. )m=2·n;根据等式的性质2，等式两边除以2，结果征 利用等式的性质可以解方程。 例4利用等式的性质解下列方程： (1)x+7=26; (2)-5x=20: (3)-了x-5=4 分析：要使方程x+7=26转化为x=m(常数)的形式，需要去掉方程左边的 7,利用等式的性质1，方程两边减7就得出x的值，类似地，利用等式的性质， 可以将另外两个方程转化为x=m的形式 解：(1)方程两边减7，得 x+7-7=26-7.2运用了等式的性质1 于是 x=19. 0 (2)方程两边除以-5，得 解以x为未知数的 -5x=20 方程，就是把方程逐步 -5 -5 转化为x=m(常数)的 运用了等式的 于是 形式.等式的性质是转 性质2 化的重要依据 x=-4 116 教材笔记数学七年级上册 (3)方程两边加5，得 …→运用了等式的性盾1 号x-5+5=4+5. 化简，得 一般地，可以通过这 种方法检验解出的结 -x=9. 果是否正确。注意是 将结果代入原方程， 方程两边乘-3，得 )运用了等式的性质2 口而不是代入由原方程 变形后所得的方程 x=-27. 一般地，从方程解出未知数的值以后，通常需要代人原方程检验，看这个值 能否使方程左、右两边的值相等.例如，将x=-27代入方程-了x-5=4的左边， 得 -1x(-27)-5=4. 方程左、右两边的值相等，所以x=-27是方程-】x-5=4的解. 练习 1.根据等式的性质填空： (1)如果x=y,那么x+1=y+—； (1)1 (2)x （2)如果x+2=y+2,那么=y; (3)5 (4)2 (3)如果x=y,那么·x=5y; (4)如果3x=6y,那么x=·y. 2.利用等式的性质解下列方程，并检验： (1)=11. (2)=150. (1)x-5=6; (2)0.3x=45; (3)x-4 (4)x=4 (3)5x+4=0; （42-43 检验略 第五章一元一次方程 117 习题5.1 1.(1)a+5=8 复习巩固 (2)b=9 1.列等式表示： 0 第1题是把用 (1)比a大5的数等于8； (3)2x+10=-18 文字表示的关系转 (4)号x-y=6 (2)b的三分之一等于9： 化成用等式表示 3 (3)x的2倍与10的和等于18； (5)3a+5-4a. (4)x的三分之一与y的差等于6： 《6)2b-7=a* (5)比a的3倍大5的数等于a的4倍； (6)比b的一半小7的数等于a与b的和 2.(1）x+(x+2)Hx+3=14. (2）x+x+3r=180. 2.根据下列图形中标出的量及其满足的关系，列出 3)x(x-1)=6 方程： 3.=3是方程(3)的解 x+3 0是方程(1)的解 x+2 x=-2是方程(2)的解 (3x) 面积是6 周长是1本 4.(1)根据等式的性质 (1) (2) (3) 1,得x=33 (2)先根据等式的性 (第2题) 1得宁=4 3.x=3,x=0,x=-2分别是下列哪个方程的解？ 据等式的性质2，得 (1)5x+7=7-2x; (2)6x-8=8x-4: x-8. (3)3x-2=4+x; (4)2x-3=5x-6. (3)先根据等式的性 质1.得3=3，再根 4.利用等式的性质解下列方程： 据等式的性质2，得 x=1. (1)x-4=29; (4)先根据等式的性 (2)+2=6: 质1，得4x-4,再根 (3)3x+1=4; (4)4x-2=2 据等式的性质2.得 x=1 综合运用 5.设这个班有男生x 列方程（第5~10题）： 人，根据题意，得 5.某校七年级（1)班共有学生48人，其中女生人数 4 +5x+3=48 比男生人数的4多3，这个班有男生多少人？ 6.设获得一等奖的学生 有x人，则获得二等 6.把10000元奖学金按照两种奖项奖给20名学生， 奖的学生有(20-x)人 其中一等奖每人800元，二等奖每人400元.获得 根据题意，得800r+ 400(20-x)=10000. 一等奖的学生有多少人？ 18 教材笔记数学七年级上册 7.去年某镇居民人均可支配收人为30438元，比前 7.设前年这个镇居民 年增长了68%，前年这个镇居民人均可支配收入 人均可支配收入为x 元，根据题意，得 为多少元？ (1+6.8%)x=30438 8.一辆汽车已行驶了12000km,计划每月再行 8.设x个月后这辆汽丰 驶800km,几个月后这辆汽车行驶的总路程为 行驶的总路程为 20800km? 20800km,根据题意 得12000+800r 9.一个圆柱形包装盒（厚度忽略不计）的高是 20800 12cm,表面积是108.5πcm2.这个包装盒的底面 9.设圆柱形包装盒的底 半径是多少厘米？ 面半径是xcm,根 据题意，得2×πx2+ 10.某校号召学生用零花钱为地震灾区捐款.七年级 2×12=108.5π (1)班全体学生一共捐款428元，七年级（2) 10.设七年领(2)班有 班平均每名学生捐款10元，七年级(1)班的捐 x名学生，则七年级 款数比七年级（2)班少22元.七年级(2)班 (2)班共捐款10x元 根据题意，得10x- 有多少名学生？ 428=22 拓探索 11.根据题意，得 11.一个两位数个位上的数字是1，十位上的数字是 10x+1-18=10+x 即10x-17=10+x x.把1与x对调，新的两位数比原两位数小18， 方程两边加17-x x的值是多少？请你用方程解决这个问题 得9x=27. 方程两边徐以9 得=3. 第五章一元一次方程 119