第2章 微专题系列❸——幂、指、对数式比较大小问题（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

微专题系列❸——幂、指、对数式比较大小问题 类型1 利用指数函数、对数函数的图象和性质比较大小 比较大小时，若题设涉及指数式、对数式，则应考虑指数函数、对数函数的图象与性质，此外，要特别注意数字“0”和“1”等比较大小问题的桥梁媒介作用． 【例1】 若a＝()－0.3，b＝log52，c＝e－，则(　　) A. a<b<c B．c<a<b C. b<c<a D．c<b<a C　解析：结合指数函数y＝()x的图象易知a＝()－0.3>1，结合对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上单调递增可知b＝log52<log5＝.　 又c＝e－＝∈(，1)，所以b<c<a. 【练1】 已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b D　解析：因为c＝log＝log23>log2e＝a，所以c＞a.因为b＝ln 2＝＜1＜log2e＝a，所以a＞b.所以c＞a＞b. 类型2 构造函数利用函数单调性比较大小 【例2】 (多选)若已知实数x，y满足log3x－log3y<()x－()y，则下列结论正确的是(　　) A．> B．x3<y3 C．2x－y<1 D．ln (y－x)>0 ABC　解析：因为log3x－log3y<()x－()y成立，所以x，y∈R＋，由log3x－log3y<()x－()y变形得log3x－()x<log3y－()y，令函数f(x)＝log3x－()x，因为y＝log3x，y＝－()x都在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝log3x－()x在(0，＋∞)上单调递增，log3x－()x<log3y－()y即f(x)<f(y)，所以0<x<y，因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以>，A正确；因为函数y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，所以x3<y3，B正确；因为x－y<0，函数y＝2x在(－∞，＋∞)上单调递增，所以2x－y<20＝1，C正确；y－x>0，ln(y－x)的符号可正可负，D错误． [思维过程] 明确目标→根据已知不等式判断选项正确与否． 提取信息→所给不等式左边含对数式，右边含指数式． 建立联系→构造函数f(x)＝log3x－()x，判断其在(0，＋∞)上单调递增，可得0<x<y，再利用单调性逐一分析选项中的不等式是否成立即可． 【练2】 给出下列命题：①ln 2>，②ln 2>，③log23>log58，其中真命题为(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ C　解析：对于①，∵ln 2＝ln 2＝ln >ln e＝1，∴ln 2>，故①正确；对于②，对于函数y＝(x>0)，y′＝，当0<x<e时，y′>0，此时函数y＝单调递增，因为0<2<e，所以<＝，则ln 2<，故②错误； 对于③，因为log23－＝log2＝log2>log21＝0，即log23>.又log58－＝log5＝log5<log51＝0，即log58<，所以log23>log58，③正确． 类型3 利用特例、设元法，巧解涉及三元变量的比较大小问题 比较大小时，若题设涉及三个指数式连等或三个对数式连等，则可利用特例法求解，也可在设元变形的基础上，灵活运用相关函数的性质解题． 【例3】 若log2x＝log3y＝log5z<－1，则(　　) A．2x<3y<5z B．5z<3y<2x C．3y<2x<5z D．5z<2x<3y B　解析：设log2x＝log3y＝log5z＝t<－1，可得x＝2t，y＝3t，z＝5t，所以2x＝2t＋1，3y＝3t＋1，5z＝5t＋1.又t<－1，所以t＋1<0，由幂函数y＝xt＋1的单调性可知5z<3y<2x. 【练3】 设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞0，则，，的大小关系不可能是(　　) A．＜＜ B．＝＝ C．＜＜ D．＜＜ D　解析：方法一　取x＝2，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝3，z＝5，此时易知＝＝，选项B正确；取x＝4，由log2x＝log3y＝log5z得y＝9，z＝25，此时易知＜＜，选项A正确；取x＝，由log2x＝log3y＝log5z得y＝，z＝，此时易知＜＜，选项C正确．综上可知本题应选D. 方法二　设log2x＝log3y＝log5z＝k＞0，可得x＝2k＞1，y＝3k＞1，z＝5k＞1，∴＝2k－1，＝3k－1，＝5k－1.若0＜k＜1，则函数f(x)＝xk－1在定义域上单调递减，∴＞＞，即＜＜，故C正确；若k＝1，则函数f(x)＝xk－1＝1，∴＝＝，故B正确；若k＞1，则函数f(x)＝xk－1在定义域上单调递增，∴＜＜，故A正确．综上可知，，的大小关系不可能是D. [分级练(14)见P296] 学科网（北京）股份有限公司 $$