第2章 第7节 函数模型及其应用（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

[分级练(16)见P301] 第七节　函数模型及其应用 课标解读 1.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律． 2．结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义． 知识点一　几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) “对勾”函数模型 f(x)＝x＋(a>0) 知识点二　三种函数模型的性质 性质 函数 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞)上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的 变化 随x的增大，逐渐表现为与y轴平行 随x的增大，逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) 　(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(　　×　　) (2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.(　　×　　) (3)不存在x0，使ax0＜x＜logax0.(　　×　　) (4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，且b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　　×　　) 二、版本互鉴 1．(人教B版必修第一册P131习题33A T1改编)如果一种商品的售价上涨2%后，又下降了2%，则这种商品的最终售价y与原来的售价x之间的函数关系为(　　) A．y＝0.96x B．y＝0.98x C．y＝0.999 6x D．y＝x 答案：C 2．(苏教版必修第一册P237例2改编)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　) A．f(x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f(x)＞h(x) C.g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x) 答案：B 3．(湘教版必修第一册P148 T11)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，已知lg 3≈0.48.从数量级的角度考虑，则约为________.　 答案：1093 4．(人教A版必修第一册P161 T10改编)把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃.那么t min后物体的温度θ(单位：℃)可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却，1 min以后物体的温度是38 ℃，则k的值约为(参考数据：ln 3≈1.10，ln 7≈1.95)________． 答案：0.25 考点 利用已知函数模型解决实际问题(自悟通) 1．(2024·北京卷)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1 C．N＝N D．N＝N D　解析：由题意，得＝2.1，＝3.15.若S不变，则2.1ln N1＝3.15ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以N＝N. 2．(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2 B．p2>10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 ACD　解析：因为Lp＝20×lg 随着p的增大而增大，且Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lg ，得p＝p010，因为Lp3＝40，所以p3＝p010＝100p0，故C正确；假设p2>10p3，则p010>10p010，所以10－>10，所以Lp2－Lp3>20，不可能成立，故B不正确；因为＝＝10－＋2≥1，所以p1≤100p2，故D正确．综上，选ACD. 3．某市家庭煤气的使用量x(单位：m3)和煤气费f(x)(单位：元)满足关系f(x)＝已知某家庭2022年前三个月的煤气费如表： 月份 用气量 煤气费 一月份 4 m3 4元 二月份 25 m3 14元 三月份 35 m3 19元 若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为________元． 答案：11.5　解析：根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，所以f(x)＝ 所以f(20)＝4＋×(20－5)＝11.5. 利用所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题． 考点 利用函数图象刻画实际问题(自悟通) 1.已知正方形ABCD的边长为4，动点P从点B开始沿折线BCDA向点A运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　) D　解析：依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求． 2．(2022·北京卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是(　　) A．当T＝220，P＝1 026时，二氧化碳处于液态 B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态 C．当T＝300，P＝9 987时，二氧化碳处于超临界状态 D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态 D　解析：当T＝220，P＝1 026时，lg P>3，此时二氧化碳处于固态，故A错误；当T＝270，P＝128时，2<lg P<3，此时二氧化碳处于液态，故B错误；当T＝300，P＝9 987时，lg P与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，另一方面，T＝300时对应的是非超临界状态，故C错误；当T＝360，P＝729时，因为2<lg P<3，故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确． 3．某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(单位：千万元)与投入的资金x(单位：千万元)的函数关系为y＝kxa(x>0)，其图象如图所示． (1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y(单位：千万元)与投入的资金x(单位：千万元)的函数关系式； (2)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，求分别对A，B两种芯片投入多少资金时，该公司可以获得最大净利润，并求出最大净利润．(净利润＝A芯片的毛收入＋B芯片的毛收入－研发耗费资金) 解：(1)∵生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，∴可设y＝mx(m>0，x>0). ∵每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元， ∴m＝0.25＝， ∴生产A芯片的毛收入y与投入的资金x的函数关系式为y＝x(x>0)； 由题图可知解得 ∴生产B芯片的毛收入y与投入的资金x的函数关系式为y＝(x>0). (2)设对B芯片投入的资金为x千万元，则对A芯片投入的资金为(40－x)千万元， 设净利润为W千万元，则W＝＋(40－x)－2(0<x<40)， 令t＝∈(0，2)，则W＝－t2＋t＋8， 则当t＝2，即x＝4时，Wmax＝－1＋2＋8＝9， ∴当对A芯片投入3.6亿元，对B芯片投入0.4亿元时，该公司可以获得最大净利润，最大净利润为9千万元． 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案． 考点3 构建函数模型解决实际问题(精研通) 考法1　构建一次、二次函数模型 【例1】 如图，已知边长为8 m的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4 m，CD＝6 m．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上． (1)设MP＝x m，PN＝y m，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域； (2)求矩形BNPM面积的最大值． 解：(1)如图，过点P作PQ⊥AF于点Q， ∴PQ＝8－y，EQ＝x－4. ∵PQ∥DF，∴△EPQ∽△EDF， ∴＝，∴＝，∴y＝－x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}． (2)设矩形BNPM的面积为S，则S(x)＝xy＝x(10－)＝－(x－10)2＋50，4≤x≤8， ∴S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x＝10，∴当x∈[4，8]时，S(x)单调递增， ∴当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，即最大面积为48 m2. 解决一、二次函数模型问题的三个注意点 (1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错； (2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题． 考法2　构建与指数、对数有关的函数模型 【例2】 基本再生数R0与世代间隔T是某病毒的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在某病毒传播初始阶段，可以用指数模型I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在某病毒传播初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(参考数据：ln 2≈0.69)(　　) A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 B　解析：因为R0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，所以r＝＝0.38，所以I(t)＝ert＝e0.38t.设在某病毒传播初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(t＋t1)＝2e0.38t，所以e0.38t1＝2，所以0.38t1＝ln 2，所以t1＝≈≈1.8(天). 指数函数与对数函数模型的应用技巧 (1)先合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型． (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题． 　某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2022年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　) A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年 C　解析：设2022年后的第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．根据题意得130(1＋12%)n＞200，则n＞≈＝，解得n＞，又∵n∈N*，∴n≥4，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2026年． 考法3　构建y＝x＋(a>0)型函数模型 【例3】 某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10).若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值． 解：(1)由题意知C(0)＝8，代入C(x)的关系式，得k＝40， 因此C(x)＝(0≤x≤10)，而每厘米厚的隔热层建造成本为6万元， 所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋6x＝＋6x(0≤x≤10). (2)f(x)＝＋6x＝＋6x＋10－10≥2－10＝2×40－10＝70， 当且仅当6x＋10＝40，即x＝5时取等号． 故当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小，最小值为70万元． 解决与分式函数有关的实际应用问题的难点 (1)构建函数式．破解此难点的方法是仔细审题，恰当地设出未知数，把题目条件的文字叙述所表达的等量关系转化为函数式． (2)根据构建的函数式求最值．由于得到的函数式为分式函数，一般要通过拆分、合并等变形把其化为at＋(a>0，b>0)的形式，再利用均值不等式求最值，同时要注意等号是否成立． 如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是(　　) A．56 dm2 B．65 dm2 C．120 dm2 D．88 dm2 A　解析：设四周空白部分的面积是y dm2，阴影部分的长为x dm，则宽为 dm，由题意得y＝(x＋4)(＋2)－72＝8＋2(x＋)≥8＋2×2 ＝56，当且仅当x＝，即x＝12时等号成立．所以四周空白部分面积的最小值为56 dm2. 考法4　构建分段型函数模型 【例4】 (2024·广东四校联考)民族要复兴，乡村必振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献．某农民专业合作社为某品牌服装进行代加工，已知代加工该品牌服装每年需投入固定成本30万元，每代加工x万件该品牌服装，需另投入f(x)万元，且f(x)＝根据市场行情，该农民专业合作社为这一品牌服装每代加工一件服装，可获得12元的代加工费． (1)求该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润y(单位：万元)关于年代加工量x(单位：万件)的函数解析式； (2)当年代加工量为多少万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大？并求出年利润的最大值． 解：(1)当0<x≤10时，y＝12x－－30＝－x2＋10x－30； 当10<x≤50时，y＝12x－－30＝－2x－＋85. 故y＝ (2)当0<x≤10时，函数y＝－x2＋10x－30为开口向下的二次函数，且对称轴为直线x＝10， 所以y＝－x2＋10x－30在(0，10]上单调递增， 故ymax＝－×102＋10×10－30＝20(万元)； 当10<x≤50时，y＝－2x－＋85＝－＋85≤－2＋85＝25， 当且仅当2x＝，即x＝15时，等号成立． 即当x＝15时，ymax＝25万元． 因为20<25，所以当年代加工量为15万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大，最大值为25万元． 分段函数模型的求解策略 (1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解． (2)构建分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏． (3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者). [分级练(17)见P304] 学科网（北京）股份有限公司 $$