第2章 第6节 函数与方程（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第六节　函数与方程 课标解读 1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系． 2．了解函数零点存在定理及用二分法求方程近似解具有一般性． 知识点一　函数的零点 1．函数零点概念 一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 与x轴的交点 (x1，0)， (x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 2 1 0 3.函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a,_b)，f(x0)＝0． 知识点二　二分法 　对于在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． (1)若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点． (2)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． (3)周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点． 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(　　×　　) (2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)＜0.(　　×　　) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　×　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点．(　　√　　) (5)函数f(x)＝lg x的零点是(1，0)．(　　×　　) 二、版本互鉴 1．(苏教版必修第一册P250 T3改编)函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是(　　) A．(1，2) B．(2，3) C．(，1)和(3，4) D．(4，＋∞) 答案：B 2．(湘教版必修第一册P132 T1改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 3．(人教B版必修第一册P120例5改编)函数f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)的零点为________________________________________________________________________． 答案：－，，1，2 4．(人教B版必修第一册P126习题32B T3)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有三个零点－1，1，x0，且x0∈(2，3)，则实数c的取值范围是________． 答案：(2，3) 考点 函数零点所在区间的判定(自悟通) 1.(2025·河南阶段性测试)函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) C　解析：方法一(利用零点存在定理)　因为函数f(x)是增函数，且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，所以由零点存在定理得函数f(x)的零点位于区间(2，3)内． 方法二(数形结合)　函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在区间转化为g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋3的图象的交点横坐标所在范围．如图所示，可知f(x)的零点在(2，3)内． 2．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(　　) A.f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0 B　解析：在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和函数y＝的图象，如图所示．由图象可知函数y＝2x和函数y＝的图象只有一个交点，即函数f(x)＝2x＋只有一个零点x0，且x0>1.因为x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则由函数图象可知，f(x1)<0，f(x2)>0. 3．已知f(x－2)＝ln x－，且f(x0)＝0，则x0所在的区间为(　　) A.(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(4，5) A　解析：由f(x－2)＝ln x－，得f(x)＝ln (x＋2)－，根据单调性的性质可知f(x)＝ln (x＋2)－是定义域上的增函数，故f(x)在定义域内最多有一个零点．又f(0)＝ln 2－1<0，f(1)＝ln 3－>0，所以存在x0∈(0，1)，使得f(x0)＝0. 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点的存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 考点 函数零点个数的判定问题(精研通) 【例1】 已知f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论： ①若k＝0，则f(x)有两个零点； ②∃k＜0，使得f(x)有一个零点； ③∃k＜0，使得f(x)有三个零点； ④∃k＞0，使得f(x)有三个零点． 以上正确结论的序号是____________． 答案：①②④　解析：f(x)＝|lg x|－kx－2可转化成两个函数y1＝|lg x|，y2＝kx＋2的图象交点问题．对于①，当k＝0时，|lg x|＝2有两个交点，如图①所示，①正确；对于②，存在k＜0，使y1＝|lg x|与y2＝kx＋2相切，如图②所示，②正确； 对于③，若k＜0，y1＝|lg x|与y2＝kx＋2最多有两个交点，如图③所示，③错误；对于④，当k＞0时，过点(0，2)存在函数g(x)＝lg x(x＞1)图象的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有三个交点，如图④所示，故④正确． 函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点； (2)零点存在定理，要求函数f(x)的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数； (3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数． 　已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x>0时，f(x)＝则函数g(x)＝4f(x)－1的零点个数为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 D　解析：由f(x)为偶函数可知，只需作出x∈(0，＋∞)上的图象，再利用对称性作另一半图象即可．当x∈(0，2]时，可以通过对y＝2x的图象变换作出f(x)的图象，当x>2时，f(x)＝f(x－2)，进而可作出f(x)在(2，4]，(4，6]，…上的图象，如图所示，g(x)的零点个数即f(x)＝的根的个数，也即f(x)与y＝的图象的交点个数，观察图象知，当x>0时，有5个交点，根据图象的对称性可得当x<0时，也有5个交点，共10个交点，故选D. 考点3 函数零点的应用(精研通) 考法1　由函数零点个数求参数问题 【例2】 (2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax.当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点．则a＝(　　) A．－1 B． C．1 D．2 D　解析：由题意可知f(x)＝g(x)，则a(x＋1)2－1＝cos x＋2ax，即cos x＝a(x2＋1)－1.令h(x)＝cos x－a(x2＋1)＋1.可得h(x)为偶函数，由题意知h(x)在(－1，1)上有唯一零点，所以h(0)＝0，即cos 0－a(0＋1)＋1＝0，得a＝2，故选D. 利用函数零点个数求参数的方法 由函数零点个数求参数问题，先对解析式变形为关于两个初等函数的方程，再在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，然后利用数形结合求解． 已设函数f(x)＝ (1)若a＝1，则f(x)的最小值为________； (2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________． 答案： (1)－1 (2)[，1)∪[2，＋∞) 解析：(1)若a＝1，则f(x)＝作出函数f(x)的图象如图所示，由图可得f(x)的最小值为－1. (2)当a≥1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21－a≤0，即a≥2；当a<1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足解得≤a<1.综上，实数a的取值范围为[，1)∪[2，＋∞). 考法2　由函数零点所在区间求参数问题 【例3】 (1)(2025·辽宁沈阳检测)已知函数f(x)满足f(x)＝f(3x)，当x∈[1，3)时，f(x)＝ln x，若在区间[1，9)内，函数g(x)＝f(x)－ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(，) B．(，) C．(，) D．(，) (2)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，3) B．(1，2) C．(0，3) D．(0，2) (1)B　(2)C　解析：(1)∵函数f(x)满足f(x)＝f(3x)，当x∈[1，3)时，f(x)＝ln x， ∴f(x)＝ 令g(x)＝f(x)－ax＝0，∴f(x)＝ax，画出函数图象，如图所示， 当直线y＝ax与f(x)＝ln (3≤x＜9)相切时，f′(x)＝，设切点为(x0，y0)，则＝，∴y0＝1，∴ln ＝1，∴x0＝3e，此时a＝k＝，当直线经过点(9，ln 3)时，a＝k＝.综上所述，a∈(，). (2)根据指数函数和反比例函数的性质可知函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)内单调递增．因为函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，所以f(1)<0且f(2)>0，解得0<a<3，故实数a的取值范围是(0，3). 根据零点所在区间求参数问题的解题步骤 　若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是________． 答案：(，)　解析：依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足 解得<m<. 学科网（北京）股份有限公司 $$